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2024年长春市初中学业水平考试网上阅卷模拟练习
数学
本试卷包括三道大题，共24道小题，共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．
2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1. 如图，数轴上表示数的点所在的线段是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了有理数与数轴，根据数轴上点的位置，结合即可得到答案．
【详解】解：由数轴可知，数轴上表示数的点所在的线段是，
故选：A．
2. 三角形结构在生产实践中有着广泛的应用，如图所示的斜拉索桥结构稳固，其蕴含的数学道理是（ ）
A. 两点之间，线段最短 B. 三角形的稳定性
C. 三角形的任意两边之和大于第三边 D. 三角形的内角和等于
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角形的稳定性，由三角形的稳定性，即可得到答案，掌握三角形的稳定性是解题的关键．
【详解】解：如图所示的斜拉索桥结构稳固，其蕴含的数学道理是三角形的稳定性
故选：B．
3. 下图是几个小正方体组成的几何体的俯视图，小正方形内的数字是该位置小正方体的个数，则这个几何体的主视图是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查由三视图判断几何体由几何体的俯视图，可知从正面看这个几何体，会看到左边有2个小正方形，右边有1个小正方形，从而确定答案．
【详解】解：由几何体的俯视图，可知从正面看这个几何体，左边有2个小正方形，右边有1个小正方形．
故选A．
4. 已知，下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质，根据表达式的性质即可求解．
【详解】解：A．，不一定成立，
B．，则，不成立 ，
C．，一定成立，
D．即，不成立，
故选：C．
5. 如图，一束太阳光线平行照射在正六边形上．若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了正多边形的内角，平行线的性质，作，则，根据题意得出，，进而根据，即可求解．
【详解】解：如图所示，作，则，
∵正六边形的每个内角为
∴
则
∵太阳光线是平行的，
∴
依题意，
∴
故选：D．
6. 如图是一把遮阳伞的示意图，遮阳伞立柱垂直于，垂足为点D，米．当遮阳伞撑开至如图所示的位置时，，则此时伞内半径的长度为（ ）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据，即可求解．
【详解】解：∵，
∴米
故选：B．
7. 综合实践课上，数学兴趣小组给出了利用无刻度的直尺和圆规作等腰三角形的三种方案：①已知底边长和腰长；②已知底边长和一个底角；③已知底边长和底边上的高．图1、图2、图3分别对应以上三种方案中的一种，根据尺规作图痕迹，其对应顺序正确的是（ ）
A. ①②③ B. ③①② C. ②③① D. ②①③
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了垂线的尺规作图，线段的尺规作图，作与已知角相等的角的尺规作图，根据相关作图方法进行判断求解即可．
【详解】解：由作图方法可知，图2对应的是已知底边长和腰长；图1对应的是已知底边长和一个底角；图3对应的是已知底边长和底边上的高，
故选：D．
8. 在温度不变的条件下，通过多次对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若压强由增压至，则气缸内气体体积的变化情况是（ ）
A. 减小，减小了 B. 增大，增大了
C. 减小，减小了 D. 增大，增大了
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，先利用待定系数法求出，再分别求出压强为和时气体的体积即可得到答案．
【详解】解：设，
把代入中得：，解得，
∴，
当时，，当时，，
∴若压强由增压至，则气缸内气体体积的变化情况是减少了，
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9. 计算： = __________.
【答案】
【解析】
【详解】原式= .
10. 若抛物线（a为常数）与x轴有且只有一个公共点，则a的值为____________．
【答案】0
【解析】
【分析】此题考查了抛物线与x轴的交点，抛物线与x轴的交点与根的判别式有关：根的判别式大于0，有两个交点；根的判别式大于0，没有交点；根的判别式等于0，有一个交点．根据抛物线与x轴只有一个交点，得到根的判别式等于0，即可求出a的值．
【详解】∵抛物线（a为常数）与x轴有且只有一个公共点，
∴，
∴．
故答案为：0
11. 已知两组数据，甲组：、、、、，乙组：、、、、．若甲组数据的方差记为，乙组数据的方差记为，则____________．（填“”、“”或“”）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了求方差，根据题意计算两组数据的方差，即可求解．
【详解】解：甲组：、、、、，平均数为
乙组：、、、、．平均数为
∴．
故答案为：．
12. 如图为风力发电机的示意图，叶片外端A到旋转中心O的距离为20米，叶片当前在塔筒左侧且与塔筒夹角为．当叶片从当前位置顺时针旋转到点A与塔筒底端B距离最大时，叶片扫过的面积至少为____________平方米．（结果保留）
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了扇形的面积计算，根据题意可得当A、O、B三点共线时，点A与塔筒底端B距离最大，则叶片扫过的扇形圆心角度数最少为，据此利用扇形面积计算公式求解即可．
【详解】解；当A、O、B三点共线时，点A与塔筒底端B距离最大，
∴叶片扫过的扇形圆心角度数最少为，
∴叶片扫过的面积至少为平方米，
故答案为：．
13. 如图①，将三个边长为1的正方形并排放在直线l上，两侧正方形不动，把中间的正方形抽出并重新摆放，形成一个轴对称图形，如图②，则中间正方形的中心O到直线l的距离为____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，轴对称的性质等等，连接，过点O作于E，交于D，由轴对称的性质得到一定共线，且，则，利用勾股定理求出，则，即可得到．
【详解】解：如图所示，连接，过点O作于E，交于D，
∵图②是一个轴对称图形，
∴一定共线，且，
在中， ，
∴，
由正方形的性质可得，
∴，
又∵（平行线间间距相等），
∴，
∴中间正方形的中心O到直线l的距离为，
故答案为：．
14. 如图，在矩形中，，．点E、F分别在边、上（点E不与A、D重合）且，于点P，交于点Q，于点M，交于点N．给出下面四个结论：
①四边形是矩形；
②平分四边形的周长；
③；
④当时，四边形的面积为2．
上述结论中，所有正确结论的序号是____________．
【答案】①②④
【解析】
【分析】①由三个角是直角可判定四边形是矩形，从而判断①正确；②先证明可得，设分别交于点，证明可得，由四边形是矩形，可得得出平分四边形的周长，从而判断②正确；③证明可得，同理可证再利用相似三角形性质判断③错误；④在中，，再通过面积法求得，证明，可得，求得，四边形的面积为．从而判断④正确
【详解】，
四边形是矩形，
故①正确；
矩形中，
又，
四边形是平行四边形，
，
如图，设分别交于点，
，
,
又
，
四边形是矩形，
平分四边形的周长
故②正确；
四边形是矩形，
，
同理可证
，
故③错误；
在中，，
，
，
，
由题意可得，
，
，
，
，
四边形的面积为．
故④正确，
故答案为：①②④
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，先计算小括号内的分式减法，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
16. 小淇参加一个抽奖活动，活动规则是：抽奖者手里预先持有一张标有数字7的卡片，然后从分别标有数字6，7，8的三张卡片中随机抽取一张（卡片除数字不同外，其余均相同），记录数字后放回，再从中随机抽取一张，并记录数字，若两次抽取的数字与手中持有的数字能组成3个连续整数或者是3个相同的数字，则为中奖．用画树状图（或列表）的方法求小淇参加这个抽奖活动中奖的概率．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到小淇参加这个抽奖活动中奖的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：
由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中小淇中奖的结果数有3种，
∴小淇参加这个抽奖活动中奖的概率为．
17. 2024年10月1日，中华人民共和国将迎来75周岁的生日．为喜迎国庆，某学校举办了一场历史知识竞赛，竞赛共20道题，评分规则为：对于每一道题，答对得5分，答错或不答扣2分，其中九年级代表队最终得分为86分，求九年级代表队答对了多少道题？
【答案】九年级代表队答对了18道题
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设九年级代表队答对了x到题，则答错或者不答了道题，根据一共得分86分列出方程求解即可．
【详解】解：设九年级代表队答对了x到题，则答错或者不答了道题，
由题意得，，
解得，
答：九年级代表队答对了18道题．
18. 如图，在中，，是的角平分线，作交于点E，作交于点F．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，则的值为　　　　．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质与判定，平行线分线段成比例，求正弦；
（1）根据已知条件证明四边形是平行四边形，根据角平分线的定义以及平行线的性质得出，即可得证；
（2）根据得出，结合已知以及菱形的性质，即可得．
【小问1详解】
证明： ，
，
，
．
四边形是平行四边形．
，
平分
，
．
四边形 是菱形．
小问2详解】
解：∵四边形是菱形，
∴
∴
∵
∴
又∵，
∴
19. 图1、图2、图3均是的正方形网格．每个小正方形的顶点称为格点，点、、、均在格点上，点在上且不是格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）在图①中，画出线段的中点；
（2）在图②中，在线段上确定一点，连接，使；
（3）在图③中，在线段上确定一点，连接，使．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了中位线的性质，平行四边形的性质，矩形的性质；
（1）根据网格的特点和网格线的交点即为所求；
（2）根据网格特点找到的中点，连接与的中点，并延长交于点，构造平行四边形，即可求解；
（3）根据网格的特点构造矩形，即可求解．
【小问1详解】
如图所示，点即为所求；
【小问2详解】
如图所示，点即为所求；
【小问3详解】
如图所示，点即为所求；
20. 加强青少年体育锻炼，促进青少年健康成长，是关系国家和民族未来的大事．某校八年级开展了两次体育综合水平测试，每次测试满分均为20分，从中随机抽取10名学生的成绩，整理如下：
学生每周增加锻炼时间计划表
两次平均成绩（分） 每周增加时间（小时）
4
2
0
根据以上信息，回答下列问题：
（1）图中圈出了甲、乙两名学生成绩对应的点，在甲、乙两名学生中，第一次成绩较高的学生是　　　，两次平均成绩较低的学生是　　　　；
（2）抽取的10名学生第二次成绩的中位数m所在的范围是　　　　；
A． B． C． D．
（3）在抽取的10名学生中，第二次成绩高于第一次成绩的学生有　　　　人；
（4）请根据学生每周增加锻炼时间计划表，利用样本估计该校八年级1000名学生每周共需增加多少小时锻炼时间？
【答案】（1）乙；乙 （2）C
（3）7 （4）估计该校八年级1000名学生每周共需增加2600小时锻炼时间
【解析】
【分析】本题主要考查了频数分布图，求中位数，用样本估计总体：
（1）根据统计图中的数据即可得到答案；
（2）根据中位数的定义进行求解即可；
（3）根据统计图中的数据即可得到答案；
（4）分别求出增加4小时的人数和增加2小时的人数，再求出对应的增加时间即可．
【小问1详解】
解：由统计图可知，第一次成绩较高的学生是乙；
由统计图可知，甲同学的两次成绩和大于22分，则平均成绩大于11分，而乙同学的两次成绩和小于20分，则平均成绩小于10分，
∴两次平均成绩较低的学生是乙
故答案为：乙；乙；
【小问2详解】
解：把这10名学生第二次的成绩从低到高排列，处在第5和第6的成绩都在14分到16分之间，
∴中位数在C租，
故答案为：C．
【小问3详解】
解：由统计图可知，在抽取的10名学生中，第二次成绩高于第一次成绩的学生有7人，
故答案为：7；
【小问4详解】
解：小时，
∴估计该校八年级1000名学生每周共需增加2600小时锻炼时间．
21. 甲、乙两个弹簧，在一定的弹性限度内，两个弹簧挂重物后可达到的最大长度均为a厘米，甲弹簧原长3厘米，每挂质量为1千克的重物弹簧伸长1厘米．两个弹簧各自的长度y（厘米）与所挂重物质量x（千克）之间的函数图象如图所示．
（1）　　　　；
（2）求乙弹簧的长度y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）在弹性限度内，把两个质量相同的重物分别挂在甲、乙两个弹簧上，发现弹簧的长度恰好相同．若把这两个重物同时挂在乙弹簧上，求此时乙弹簧的长度．
【答案】（1）
（2）
（3）厘米
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用；
（1）根据题可得；
（2）设所求函数关系式为，待定系数法求解析式，即可求解；
（3）依题意，，解方程，得出，将代入（2）中的函数解析式，即可求解．
【小问1详解】
解：∵甲弹簧原长3厘米，每挂质量为1千克的重物弹簧伸长1厘米．
当时，，
故答案为：．
【小问2详解】
设所求函数关系式为.
将点代入，得
解得
所以，与之间的函数关系式为
【小问3详解】
根据题意，得
，
解得.
因为(千克)，
所以，当时，．
答：此时乙弹簧的长度为厘米．
22. 【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，是的半径，．点P在上，将点P沿的方向平移到点Q，使．当点P在上运动一周时，试探究点Q的运动路径．
【问题解决】经过讨论，小组同学想利用平行四边形的知识解决该问题：如图②，在线段上截取，连结、，由平行四边形的性质可推出点Q的运动路径是以点B为圆心、3为半径的圆．下面是部分证明过程：
证明：在线段上截取，连接、．
1°当点P在直线外时，
证明过程缺失
2°当点P在直线上时，
易知．
综上，点Q的运动路径是以点B为圆心、3为半径的圆．
请你补全证明中缺失的过程．
【结论应用】在上述问题的条件下，记点M是线段的中点，如图②．若点P在上运动一周，则点M的运动路径长为　　　　．
【拓展提升】如图③，在矩形中，，．点P是平面内一点，，将点P沿的方向平移到点Q，使．点M是线段上的任意一点，连结．设线段长度的最大值为a，最小值为b，则　　　　．
【答案】问题解决：见解析；结论应用：；拓展提升：
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，一点到圆上一点距离的最值问题，勾股定理，矩形的性质等等：
（1）根据平移的性质得到，则可证明四边形是平行四边形，得到，则点Q的运动路径是以点B为圆心、3为半径的圆．
（2）在上截取，同理可证明点M的运动路径是以点N为圆心、3为半径的圆，再根据圆周长公式求解即可；
（3）如图所示，在上截取，连接，同理可证明，则点M的运动轨迹是以点N为圆心，1为半径的圆，则在整个运动过程中当最小时，且当点M运动到上时，有最小值，同理在整个运动过程中当最大时，且当点M运动到延长线上时，有最大值，在中利用勾股定理求出的最大值和最小值即可得到答案．
【详解】问题解决：证明：线段上截取，连接、．
当点P在直线外时，
由平移性质可得，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴点Q的运动路径是以点B为圆心、3为半径的圆．
结论应用：如图所示，在上截取，同理可证明点M的运动路径是以点N为圆心、3为半径的圆，
∴点P在上运动一周，则点M的运动路径长为；
拓展提升：如图所示，在上截取，连接，
同理可证明，
∴点M的运动轨迹是以点N为圆心，1为半径的圆，
∵，
∴当点N固定时，当点M运动到上时，有最小值，最小值为，
∴在整个运动过程中当最小时，且当点M运动到上时，有最小值，
同理在整个运动过程中当最大时，且当点M运动到延长线上时，有最大值，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，，
在中，，
∴，
∴，
∴．
23. 如图①，是边长为等边三角形．动点从点出发，沿折线向终点运动．当点不与的顶点重合时，以为边作等边，使点和点在的同侧，再作．
（1）当点在边上运动时，若，则的值为　　　　；
（2）如图②，当点在边上运动时，求证：；
（3）当的周长最小时，求的长；
（4）当点在边上运动时，设线段与线段交于点．在不添加辅助线的情况下，图中始终与相似的三角形有　　　　个，并直接写出与相似比为时线段的长．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）当或时，的周长最小
（4）；或
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理；
（1）根据得出，根据三角形的面积公式可得
（2）根据等边三角形的性质得出，，，进而得出，即可证明，根据全等三角形的性质即可得证；
（3）①当点在边 上时，当时周长最小，最小值为，此时；当点 在边 上时，同理可得当时的周长最小，最小值为，此时
（4）证明，，，进而根据相似三角形的性质得出与相似比为时线段的长，即可求解．
【小问1详解】
解：∵是边长为的等边三角形，是等边三角形
∴
∴
∴
又
∴
过点作于点，则之间的距离为的长
∴
【小问2详解】
证明：和均为等边三角形，
，，
，
，
，
，
【小问3详解】
①当点在边 上时，
的周长
当时周长最小，最小值为，此时；
②当点 在边 上时，同理可得
的周长
当时的周长最小，最小值为，此时
综上，当或时，的周长最小，最小值均为
【小问4详解】
解：∵和均为等边三角形，
∴
∴
∴
由（2）可得
∴
∴
又∵
∴
∴图中始终与相似的三角形有个，
∵，
当，且时，
当，且时，设，则
∵
∴，
过点作于点，如图所示
∴，则
在中，
试题
解得：（负值舍去）
∴
综上所述，或
24. 在平面直角坐标系中，点和点都在抛物线上，点在抛物线对称轴的右侧，且点关于点的对称点恰好落在轴上，设点的横坐标为．
（1）当时，求点的纵坐标；
（2）若点的纵坐标为，求点的坐标；
（3）当点不在轴上时，过点作轴于点．
①当点在轴上方，且抛物线在内部（包括边界）的最高点和最低点的纵坐标之差为时，求点的坐标；
②当点在抛物线对称轴右侧时，直线交直线于点，点是点关于轴的对称点．若的周长是周长的倍，直接写出的值．
【答案】（1）6 （2）或
（3）①或②或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，相似三角形的性质与判定，
（1）将代入解析式，得出点的纵坐标，进而根据对称性即可得出的纵坐标；
（2）根据点的纵坐标为，则点的纵坐标为，代入抛物线解析式，即可求解；
（3）分两种情况讨论，得出和，解方程，即可求解；
（4）分两种情况讨论，先证明得出，进而表示出点的纵坐标，根据列出方程，解方程，即可求解．
【小问1详解】
当时，
点的纵坐标为，
点的纵坐标为；
【小问2详解】
若点的纵坐标为，则点的纵坐标为，
令，得
解得：
∴或
【小问3详解】
①设点的横坐标为，
情形一，如图所示，
∴，
解得(舍去).
此时点的坐标为;
情形二：如图所示，则为最低点，为最低点，
∴，即，
解得， (舍).
此时点的坐标为；
综上，点的坐标为或
②解：如图所示，当在轴的上方时，
∵
∴
又∵，
∴，
∴
∴
∵的周长是周长的倍，
∴，
依题意，，
∴
∴
∵，
∴
∴
又∵
∴
解得：（舍去）或
当点在轴下方时，
如图所示，
同理可得，则
又∵
∴
解得：（舍去）或
综上所述，或2024年长春市初中学业水平考试网上阅卷模拟练习
数学
本试卷包括三道大题，共24道小题，共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．
2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1. 如图，数轴上表示数的点所在的线段是（ ）
A. B. C. D.
2. 三角形结构在生产实践中有着广泛的应用，如图所示的斜拉索桥结构稳固，其蕴含的数学道理是（ ）
A. 两点之间，线段最短 B. 三角形的稳定性
C. 三角形的任意两边之和大于第三边 D. 三角形的内角和等于
3. 下图是几个小正方体组成的几何体的俯视图，小正方形内的数字是该位置小正方体的个数，则这个几何体的主视图是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，一束太阳光线平行照射在正六边形上．若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图是一把遮阳伞的示意图，遮阳伞立柱垂直于，垂足为点D，米．当遮阳伞撑开至如图所示的位置时，，则此时伞内半径的长度为（ ）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
7. 综合实践课上，数学兴趣小组给出了利用无刻度的直尺和圆规作等腰三角形的三种方案：①已知底边长和腰长；②已知底边长和一个底角；③已知底边长和底边上的高．图1、图2、图3分别对应以上三种方案中的一种，根据尺规作图痕迹，其对应顺序正确的是（ ）
A. ①②③ B. ③①② C. ②③① D. ②①③
8. 在温度不变的条件下，通过多次对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若压强由增压至，则气缸内气体体积的变化情况是（ ）
A. 减小，减小了 B. 增大，增大了
C. 减小，减小了 D. 增大，增大了
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9. 计算： = __________.
10. 若抛物线（a为常数）与x轴有且只有一个公共点，则a的值为____________．
11. 已知两组数据，甲组：、、、、，乙组：、、、、．若甲组数据的方差记为，乙组数据的方差记为，则____________．（填“”、“”或“”）
12. 如图为风力发电机的示意图，叶片外端A到旋转中心O的距离为20米，叶片当前在塔筒左侧且与塔筒夹角为．当叶片从当前位置顺时针旋转到点A与塔筒底端B距离最大时，叶片扫过的面积至少为____________平方米．（结果保留）
13. 如图①，将三个边长为1的正方形并排放在直线l上，两侧正方形不动，把中间的正方形抽出并重新摆放，形成一个轴对称图形，如图②，则中间正方形的中心O到直线l的距离为____________．
14. 如图，在矩形中，，．点E、F分别在边、上（点E不与A、D重合）且，于点P，交于点Q，于点M，交于点N．给出下面四个结论：
①四边形是矩形；
②平分四边形的周长；
③；
④当时，四边形面积为2．
上述结论中，所有正确结论序号是____________．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15. 先化简，再求值：，其中．
16. 小淇参加一个抽奖活动，活动规则是：抽奖者手里预先持有一张标有数字7的卡片，然后从分别标有数字6，7，8的三张卡片中随机抽取一张（卡片除数字不同外，其余均相同），记录数字后放回，再从中随机抽取一张，并记录数字，若两次抽取的数字与手中持有的数字能组成3个连续整数或者是3个相同的数字，则为中奖．用画树状图（或列表）的方法求小淇参加这个抽奖活动中奖的概率．
17. 2024年10月1日，中华人民共和国将迎来75周岁的生日．为喜迎国庆，某学校举办了一场历史知识竞赛，竞赛共20道题，评分规则为：对于每一道题，答对得5分，答错或不答扣2分，其中九年级代表队最终得分为86分，求九年级代表队答对了多少道题？
18. 如图，在中，，是的角平分线，作交于点E，作交于点F．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，则的值为　　　　．
19. 图1、图2、图3均是的正方形网格．每个小正方形的顶点称为格点，点、、、均在格点上，点在上且不是格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）在图①中，画出线段的中点；
（2）图②中，在线段上确定一点，连接，使；
（3）在图③中，在线段上确定一点，连接，使．
20. 加强青少年体育锻炼，促进青少年健康成长，是关系国家和民族未来的大事．某校八年级开展了两次体育综合水平测试，每次测试满分均为20分，从中随机抽取10名学生的成绩，整理如下：
学生每周增加锻炼时间计划表
两次平均成绩（分） 每周增加时间（小时）
4
2
0
根据以上信息，回答下列问题：
（1）图中圈出了甲、乙两名学生成绩对应的点，在甲、乙两名学生中，第一次成绩较高的学生是　　　，两次平均成绩较低的学生是　　　　；
（2）抽取的10名学生第二次成绩的中位数m所在的范围是　　　　；
A． B． C． D．
（3）在抽取的10名学生中，第二次成绩高于第一次成绩的学生有　　　　人；
（4）请根据学生每周增加锻炼时间计划表，利用样本估计该校八年级1000名学生每周共需增加多少小时锻炼时间？
21. 甲、乙两个弹簧，在一定的弹性限度内，两个弹簧挂重物后可达到的最大长度均为a厘米，甲弹簧原长3厘米，每挂质量为1千克的重物弹簧伸长1厘米．两个弹簧各自的长度y（厘米）与所挂重物质量x（千克）之间的函数图象如图所示．
（1）　　　　；
（2）求乙弹簧的长度y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）在弹性限度内，把两个质量相同的重物分别挂在甲、乙两个弹簧上，发现弹簧的长度恰好相同．若把这两个重物同时挂在乙弹簧上，求此时乙弹簧的长度．
22. 【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，是半径，．点P在上，将点P沿的方向平移到点Q，使．当点P在上运动一周时，试探究点Q的运动路径．
【问题解决】经过讨论，小组同学想利用平行四边形的知识解决该问题：如图②，在线段上截取，连结、，由平行四边形的性质可推出点Q的运动路径是以点B为圆心、3为半径的圆．下面是部分证明过程：
证明：在线段上截取，连接、．
1°当点P在直线外时，
证明过程缺失
2°当点P在直线上时，
易知．
综上，点Q的运动路径是以点B为圆心、3为半径的圆．
请你补全证明中缺失的过程．
【结论应用】在上述问题的条件下，记点M是线段的中点，如图②．若点P在上运动一周，则点M的运动路径长为　　　　．
【拓展提升】如图③，在矩形中，，．点P是平面内一点，，将点P沿的方向平移到点Q，使．点M是线段上的任意一点，连结．设线段长度的最大值为a，最小值为b，则　　　　．
23. 如图①，是边长为的等边三角形．动点从点出发，沿折线向终点运动．当点不与的顶点重合时，以为边作等边，使点和点在的同侧，再作．
（1）当点在边上运动时，若，则值为　　　　；
（2）如图②，当点在边上运动时，求证：；
（3）当的周长最小时，求的长；
（4）当点在边上运动时，设线段与线段交于点．在不添加辅助线的情况下，图中始终与相似的三角形有　　　　个，并直接写出与相似比为时线段的长．
24. 在平面直角坐标系中，点和点都在抛物线上，点在抛物线对称轴的右侧，且点关于点的对称点恰好落在轴上，设点的横坐标为．
（1）当时，求点的纵坐标；
（2）若点的纵坐标为，求点的坐标；
（3）当点不在轴上时，过点作轴于点．
①当点在轴上方，且抛物线在内部（包括边界）的最高点和最低点的纵坐标之差为时，求点的坐标；
②当点在抛物线对称轴右侧时，直线交直线于点，点是点关于轴的对称点．若的周长是周长的倍，直接写出的值．

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