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九年级数学质量调研
（考试时间：120分钟；满分：120分）
说明：
本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共26题．第Ⅰ卷为选择题，共8小题，24分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共18小题，96分．
所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效．
第Ⅰ卷（共24分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分．
1. 下列各数中最小的是（ ）
A. B. C. 0 D.
2. 下列四个图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 下面是一个由长方体和四棱柱组合成的几何体，它的主视图如图所示，则该几何体的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
5. 正八边形如图所示，与交于点O，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
6. 数学家裴波那契编写的《算经》中有如下问题，一组人平分10元钱，每人分得若干，若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第二次分钱的人数．设第二次分钱的人数为人，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
7. 某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查，结果如下表：
册数/册 1 2 3 4 5
人数/人 2 5 7 4 2
根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是（ ）
A. 3，3 B. 3，7 C. 2，7 D. 7，3
8. 综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．下列说法正确的是（ ）
A. 当液体密度时，浸在液体中的高度
B. 当液体密度时，浸在液体中的高度
C. 当浸在液体中的高度时，该液体的密度
D. 当液体的密度时，浸在液体中的高度
第Ⅱ卷（共96分）
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9. 利用量子模拟器将原子尽可能紧密地排列在一起，有助科学家探索奇异物质状态，构建新型量子材料．据最新一期《科学》杂志介绍，研究人员已开发出一种技术，可以将原子排列间隔缩小到原来的1/10，相距仅50纳米．50纳米用科学记数法表示是________米．
10. 计算：________．
11. 甲、乙两射击运动员各进行10次射击，甲的成绩是8，8，8，9，8，9，10，9，9，9，乙的成绩如图所示．则甲、乙射击成绩的方差之间关系是________（填“”，“”，“”）．
12. 如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝100°，则∠A+∠C＝_______．
13. 如图是一只蝴蝶标本，将其放在平面直角坐标系中，若蝴蝶两个“翅膀顶端”，两点的坐标分别为，，则蝴蝶“翅膀尾部”点的坐标为_________
14. 若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是______．
15. 如图，在中，以为直径的，交的延长线于点D，交于点E，连接OD，．若的半径为1，，则用含的代数式表示的长度为________．
16. 如图，矩形中，，，点、分别是边、上动点，在运动过程中始终保持，连接，取中点，连接，则的最小值是______．
三、作图题（本题满分4分）
17. 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
在一个住宅小区里，有一块三角形绿地，如图所示．现准备在其中建一个半圆形花坛，使它的圆心在BC边上，且面积最大．请你在图中画出这个半圆形花坛．
四、解答题（本题满分68分，共有9道小题）
18. （1）化简：；
（2）解不等式组：，并求出它的所有整数解．
19. 某商场为吸引消费者，举行幸运大转盘活动，规定顾客消费满100元就可获得转如图所示的转盘（转盘被平均分成3份）的机会．为了活跃气氛，该商场设计了两个方案：
方案一：转动转盘一次，若指针指向数字1可领取一份奖品；
方案二：转动转盘两次，若两次指针指向的数字之和为奇数可领取一份奖品．（若指针指向分界线，则重转）
（1）若转动转盘一次，则领取到一份奖品的概率为________；
（2）若转动转盘两次，用树状图列举出所有等可能出现结果；
（3）如果你获得转动转盘的机会，想要领取到奖品，你会选择哪个方案？并说明理由．
20. 如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔80海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，求这时海轮所在的处距离灯塔有多远？（结果精确到0.1海里．）参考数据：，，，
21. 为更好推动数字化教育，某校组织七、八年级的学生开展为期五天的信息素养提升实践活动，计划开设五场主题活动．为了解学生的活动意向，学校在七、八年级各随机抽取40名同学进行问卷调查（调查问卷如图，所有问卷全部收回且有效），并将调查结果绘制成如下的条形统计图和扇形统计图（均不完整）．
信息素养提升实践活动意向调查问卷 请在下列选项中选择一项活动意向，并在其后“□”内打√（每位同学必须且只能选择其中一项）． A．创意编程□ B．3D创意设计□ C．智能博物□ D．电脑绘图□ E．优创未来
请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图和扇形统计图空缺部分；
（2）已知该校七、八年级学生共有1000人参加本次实践活动（每人只参加一场主题活动），活动地点安排在两个多功能厅，学校根据调查结果给出五场主题活动的具体时间和地点的预案，其中主题活动C，D的时间和地点已确定，请你合理安排A，B，E三场活动的时间和地点，补全活动安排表格（写出一种方案即可），并说明理由．
时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
地点 南院多功能厅 （容纳350人） 北院多功能厅 （容纳160人） 南院多功能厅 （容纳350人） 北院多功能厅 （容纳160人） 北院多功能厅 （容纳160人）
主题 ______ ______ C ______ D
22. 阅读下列材料并完成相应的任务．
阅读思考：四边形的中位线 我们学习过三角形的中位线，类似的，把连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线．如图1，在四边形ABCD中，设，AB与CD不平行，E，F分别为AD，BC的中点，则有结论： 图1 图2 这个结论可以用下面的方法证明： 方法一：如图2，连接AC，取AC的中点M，连接ME，MF． ∵点E，点M分别是AD和AC的中点， ∴，且． 同理：，且． ∵，∴． 在中，． 即．
[自主探究]请将方法二的证明过程补充完整；
方法二：如图3，连接AF并延长至点G，使，连接CG，DG．
图3 图4
[尝试应用]
如图4，在五边形ABCDE中， ， ， ，．若点F，G分别是边BC，DE的中点，则线段FG长的取值范围是________．
23. 今年荆州马拉松比赛召开前，某体育用品专卖店抓住商机，计划购进两种跑鞋共双进行销售．已知元全部购进种跑鞋数量是全部购进种跑鞋数量的倍，种跑鞋的进价比B种跑鞋的进价每双多元，两种跑鞋的售价分别是每双元，元．
（1）求两种跑鞋进价分别是多少元？
（2）该体育用品专卖店根据以往销售经验，决定购进种跑鞋的数量不多于种跑鞋的，销售时对种跑鞋每双降价出售．若这批跑鞋能全部售完，则如何购货才能获利最大？最大利润是多少？
24. 如图，在平行四边形中，点是对角线上的一点，过点作且，连接、、．
（1）求证：；
（2）请从以下三个条件中选择一个作为已知，判断四边形ABFE的形状，并证明你的结论．
条件①：；
条件②：；
条件③：连接AF，．
（注：如果选择条件①、条件②、条件③分别进行了解答，按第一个解答计分）
已知：________（填写序号）
25. 小明用相同圆点按照一定的规律拼摆图案，图案由符合规律的图形组成
图形序号n（号） 0 1 2 3 4 5 ……
圆点总数m（个） 0 1 3 6 10 15 ……
（1）请你依据学习经验，将点绘制在平面直角坐标系中，并用平滑的曲线连结各点，根据图象，你发现，m与n之间的关系可能满足我们所学过的________函数．（选填“一次”、“二次”、“反比例”）
（2）请结合数据和图象，求m与n之间函数关系的表达式，并写出自变量n的取值范围；
（3）小明按照原规律拼摆了一组图案．若拼摆n号图形使用了个圆点，则________．
26. 已知：如图，在中， ，，，，将沿方向匀速运动得到，已知平移速度为1，分别与，相交于、，与相交于，设运动时间为．
解答下列问题：
（1）连接，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形是正方形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由；
（2）在运动过程中，是否存在某一时刻，使，若存在，求的值；若不存在，请说明理由；
（3）连接，设四边形的面积为，求与之间的函数关系式．九年级数学质量调研
（考试时间：120分钟；满分：120分）
说明：
本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共26题．第Ⅰ卷为选择题，共8小题，24分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共18小题，96分．
所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效．
第Ⅰ卷（共24分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分．
1. 下列各数中最小的是（ ）
A. B. C. 0 D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了实数比较大小，根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大且值越小进行求解即可．
详解】解：∵，
∴，
∴四个数中最小的数为，
故选：A．
2. 下列四个图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握相关定义是解题关键．在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义与中心对称图形的定义，对各选项分析判断即可．
【详解】解：A.是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意；
B.是中心对称图形，但不是轴对称图形，符合题意；
C. 是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
D. 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意．
故选：B．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂相乘、相除、积的乘方、合并同类项，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、。故该选项是错误的；
B、不是同类项，故该选项是错误的；
C、，故该选项是错误的；
D、，故该选项是正确的；
故选：D
4. 下面是一个由长方体和四棱柱组合成的几何体，它的主视图如图所示，则该几何体的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了三视图，根据俯视图是从物体的上面观察得到的图形，结合选项进行判断即可，熟练掌握几何体的三视图是解题的关键．
【详解】解：由题意得，
该几何体的俯视图是：
故选：．
5. 正八边形如图所示，与交于点O，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了多边形的内角和和正多边形的性质，根据正多边形的性质可得多边形的内角和公式求出，再求出即可解决问题．
【详解】解：∵正八边形，，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
6. 数学家裴波那契编写的《算经》中有如下问题，一组人平分10元钱，每人分得若干，若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第二次分钱的人数．设第二次分钱的人数为人，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设第二次分钱的人数为x人，则第一次分钱的人数为人，根据两次每人分得的钱数相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：设第二次分钱的人数为x人，则第一次分钱的人数为人，
依题意得：
故选：B．
7. 某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查，结果如下表：
册数/册 1 2 3 4 5
人数/人 2 5 7 4 2
根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是（ ）
A. 3，3 B. 3，7 C. 2，7 D. 7，3
【答案】A
【解析】
【分析】由人数最多所对应的册数可得出众数，由总人数是20人可得，中位数是将数据从小到大排序后的第10和11个所对应册数的平均数即可求得结果；
【详解】由表中数据可得，人数基数最大的7人所应的册数是3，所以众数是3．
将数据从小到大排序后，第10和第11个数据均为3，所以中位数为：，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了中位数和众数的求解，准确分析表中数据得出结果是解题的关键．
8. 综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．下列说法正确的是（ ）
A. 当液体密度时，浸在液体中的高度
B. 当液体密度时，浸在液体中的高度
C. 当浸在液体中的高度时，该液体的密度
D. 当液体的密度时，浸在液体中的高度
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了反比例函数的应用，由题意可得，设，把，代入解析式，进而结合函数图象，逐项分析判断，求解即可．
【详解】解：设h关于的函数解析式为，
把，代入解析式，得．
∴h关于的函数解析式为．
A. 当液体密度时，浸在液体中的高度，故该选项不正确，不符合题意；
B. 当液体密度时，浸在液体中的高度，故该选项不正确，不符合题意；
C. 当浸在液体中的高度时，该液体的密度，故该选项正确，符合题意；
D. 当液体的密度时，浸在液体中的高度，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
第Ⅱ卷（共96分）
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9. 利用量子模拟器将原子尽可能紧密地排列在一起，有助科学家探索奇异物质状态，构建新型量子材料．据最新一期《科学》杂志介绍，研究人员已开发出一种技术，可以将原子排列间隔缩小到原来的1/10，相距仅50纳米．50纳米用科学记数法表示是________米．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．根据1纳米米，得50纳米米，再表示为科学记数法．
【详解】解：50纳米米，故50纳米用科学记数法表示为米；
故答案为．
10. 计算：________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，
根据二次根式的混合运算法则进行运算即可得到答案
【详解】解：
．
故答案为．
11. 甲、乙两射击运动员各进行10次射击，甲的成绩是8，8，8，9，8，9，10，9，9，9，乙的成绩如图所示．则甲、乙射击成绩的方差之间关系是________（填“”，“”，“”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了折线统计图、平均数、方差等知识，熟练掌握方差的求法是解题关键．分别计算甲、乙射击成绩的方差，然后比较即可．
【详解】解：根据题意，甲成绩的平均数为，
∴甲射击成绩的方差，
由图可知，乙射击成绩8，9，7，10，7，9，10，7，10，8，
则乙成绩的平均数为，
∴乙射击成绩的方差，
∴．
故答案为：．
12. 如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝100°，则∠A+∠C＝_______．
【答案】220°
【解析】
【分析】连接AB，先根据切线长定理证得PA=PB，再根据等腰三角形的性质求得∠PAB的度数，然后根据圆内接四边形的两对角互补求解即可．
【详解】解：连接AB，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，
∵∠P＝100°，
∴∠PAB＝∠PBA＝（180°﹣100°）＝40°，
∵∠DAB+∠C＝180°，
∴∠PAD+∠C＝∠PAB+∠DAB+∠C＝180°+40°＝220°，
故答案为：220°．
【点睛】本题考查切线长定理、等腰三角形的性质、圆内接四边形的两对角互补，熟练掌握切线长定理和圆内接四边形的两对角互补是解答的关键．
13. 如图是一只蝴蝶标本，将其放在平面直角坐标系中，若蝴蝶两个“翅膀顶端”，两点的坐标分别为，，则蝴蝶“翅膀尾部”点的坐标为_________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查建立平面直角坐标系．根据题意，建立平面直角坐标系，写出点C的坐标．
【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，则点C的坐标为，
故答案为：．
14. 若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是______．
【答案】且
【解析】
【分析】由一元二次方程的定义，，有实数根，则，建立不等式求解．
【详解】解：由题意得，且，
解得且．
故答案为：且
【点睛】本题考查一元二次方程定义、根的判别式；由判别式定理建立关于参数的不等式是解题的关键．
15. 如图，在中，以为直径的，交的延长线于点D，交于点E，连接OD，．若的半径为1，，则用含的代数式表示的长度为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角的相关性质（直径所对的圆周角是直角）、三角形内角和定理以及同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，
连接，根据直径所对的圆周角是直角得到，再根据三角形内角和定理得到，最后利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出，即可得到答案．
【详解】解：如图，连接，
∵是直径，
∴ （直径所对的圆周角是直角），
又∵，
∴，（三角形内角和定理），
∴（同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍），
∴的长
故答案为：．
16. 如图，矩形中，，，点、分别是边、上的动点，在运动过程中始终保持，连接，取中点，连接，则的最小值是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了动点问题中线段最短问题，平面图形中建立平面直角坐标系，以及点与点之间的距离的公式进行求解，对于相关性质定理的熟练运用是解题的关键．
先建立平面直角坐标系，设长为，可得，，，从而得出，根据点与点之间的距离公式可得出得出，利用配方法可将式子变形为，从而根据，得出当时，取最小值，代入计算值即可．
【详解】根据题意，可以以为原点，为横轴，为纵轴建立平面直角坐标系，
设长为，故根据题意可得，，．
，
故线段的长为，
解答，
将二次根式的分子进行配方法，原式变形为，
由于，故时，取最小值．
故的最小值为．
三、作图题（本题满分4分）
17. 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
在一个住宅小区里，有一块三角形绿地，如图所示．现准备在其中建一个半圆形花坛，使它的圆心在BC边上，且面积最大．请你在图中画出这个半圆形花坛．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了作三角形的角平分线，角平分线性质、三角形的内切圆的画法，将的角平分线与边的交点作为圆心，圆心到到、的距离为半径作出即可求解．
【详解】解：如图：半圆为所求，
作的角平分线，交于点，
由点向边作垂线交AB于点．以为圆点，为半径做圆．
由于为角平分线，所以到、的距离相等，圆与、相切，所以半圆为圆心在边上，且面积最大的半圆．
四、解答题（本题满分68分，共有9道小题）
18. （1）化简：；
（2）解不等式组：，并求出它的所有整数解．
【答案】（1），（2），不等式组的整数解为，1，2，3．
【解析】
【分析】本题考查了分式的减法运算以及解不等式组．
（1）先进行括号内分式的加法运算，再计算乘法即可作答．
（2）分别算出每个不等式的解集，再取它们公共部分解集，并根据整数解的定义进行作答．
【详解】解：
（2）
由①得出，
由②得，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的整数解为，1，2，3．
19. 某商场为吸引消费者，举行幸运大转盘活动，规定顾客消费满100元就可获得转如图所示的转盘（转盘被平均分成3份）的机会．为了活跃气氛，该商场设计了两个方案：
方案一：转动转盘一次，若指针指向数字1可领取一份奖品；
方案二：转动转盘两次，若两次指针指向的数字之和为奇数可领取一份奖品．（若指针指向分界线，则重转）
（1）若转动转盘一次，则领取到一份奖品的概率为________；
（2）若转动转盘两次，用树状图列举出所有等可能出现的结果；
（3）如果你获得转动转盘的机会，想要领取到奖品，你会选择哪个方案？并说明理由．
【答案】（1）
（2）图见解析，共有9种等可能的结果
（3）会选择方案二；理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了概率公式以及列表法与树状图法求概率，熟练掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）利用概率公式求解；
（2）根据题意画出树状图即可解决；
（3）利用（2）中树状图求出方案二中领取一份奖品的概率，然后比较两个方案中领取一份奖品的概率的大小来判断选择哪个方案．
【小问1详解】
解：若转动一次转盘，指针指向数字1的概率为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：树状图如图，共有9种等可能的结果；
【小问3详解】
解：会选择方案二．
理由：由（2）可得，方案二中，领取到一份奖品的概率为，
，
选择方案二．
20. 如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔80海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，求这时海轮所在的处距离灯塔有多远？（结果精确到0.1海里．）参考数据：，，，
【答案】102.1海里
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质、方向角解直角三角形等知识，正确记忆三角函数的定义并结合图形得出相关角度是解题的关键．过点作于点，结合题意确定，，然后利用三角函数解得的值，然后计算的值即可．
【详解】解：如下图，过点作于点，
由题意可知，，，海里，
∵海轮沿正南方向航行，
∴，
∴，，
∴海里，
∴海里．
答：这时海轮所在处距离灯塔有102.1海里远．
21. 为更好推动数字化教育，某校组织七、八年级的学生开展为期五天的信息素养提升实践活动，计划开设五场主题活动．为了解学生的活动意向，学校在七、八年级各随机抽取40名同学进行问卷调查（调查问卷如图，所有问卷全部收回且有效），并将调查结果绘制成如下的条形统计图和扇形统计图（均不完整）．
信息素养提升实践活动意向调查问卷 请在下列选项中选择一项活动意向，并在其后“□”内打√（每位同学必须且只能选择其中一项）． A．创意编程□ B．3D创意设计□ C．智能博物□ D．电脑绘图□ E．优创未来
请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图和扇形统计图空缺的部分；
（2）已知该校七、八年级学生共有1000人参加本次实践活动（每人只参加一场主题活动），活动地点安排在两个多功能厅，学校根据调查结果给出五场主题活动的具体时间和地点的预案，其中主题活动C，D的时间和地点已确定，请你合理安排A，B，E三场活动的时间和地点，补全活动安排表格（写出一种方案即可），并说明理由．
时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
地点 南院多功能厅 （容纳350人） 北院多功能厅 （容纳160人） 南院多功能厅 （容纳350人） 北院多功能厅 （容纳160人） 北院多功能厅 （容纳160人）
主题 ______ ______ C ______ D
【答案】（1）画图见解析
（2）补全表格及理由见解析
【解析】
【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
（1）用40减去八年级A，B，C，D的人数可求出八年级E部分人数；分别用B、C、E、部分人数除以80可求出B、C、E部分的百分比；
（2）求出参加各种活动的人数，结合多功能厅能容纳的人数解答即可．
【小问1详解】
八年级E部分人数：人；
B部分百分比：；
C部分百分比：；
E部分百分比：；
补全条形统计图和扇形统计图如下：
【小问2详解】
活动安排为：
时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
地点 南院多功能厅 （容纳350人） 北院多功能厅 （容纳160人） 南院多功能厅 （容纳350人） 北院多功能厅 （容纳160人） 北院多功能厅 （容纳160人）
主题 E A C B D
或
时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
地点 南院多功能厅 （容纳350人） 北院多功能厅 （容纳160人） 南院多功能厅 （容纳350人） 北院多功能厅 （容纳160人） 北院多功能厅 （容纳160人）
主题 E B C A D
理由如下：根据统计图提供的信息，
参加主题活动A的学生人数约为：（人）；
参加主题活动B的学生人数约为：（人）；
参加主题活动E的学生人数约为：（人）；
所以主题活动E只能安排在南院多功能厅星期一进行；主题和主题的活动安排在北院多功能厅均可满足容纳人数的要求，周二或周四两天都可以安排．
22. 阅读下列材料并完成相应的任务．
阅读思考：四边形的中位线 我们学习过三角形的中位线，类似的，把连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线．如图1，在四边形ABCD中，设，AB与CD不平行，E，F分别为AD，BC的中点，则有结论： 图1 图2 这个结论可以用下面的方法证明： 方法一：如图2，连接AC，取AC的中点M，连接ME，MF． ∵点E，点M分别是AD和AC的中点， ∴，且． 同理：，且． ∵，∴． 在中，． 即．
[自主探究]请将方法二的证明过程补充完整；
方法二：如图3，连接AF并延长至点G，使，连接CG，DG．
图3 图4
[尝试应用]
如图4，在五边形ABCDE中， ， ， ，．若点F，G分别是边BC，DE的中点，则线段FG长的取值范围是________．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
[自主探究]证明，推出，在中，利用三角形中位线定理即可得解；
[尝试应用]连接，作，利用等腰三角形的性质结合直角三角形的性质求得，再利用四边形的中位线性质即可求解．
【详解】自主探究（方法2）
解：∵点F是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵点E是的中点，点F是的中点，
∴ ，且，
∵，
∴，
在中，，
∴，即；
[尝试应用]连接，作，垂足为，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵分别是边的中点，
由（1）得，即，
∴．
故答案为：．
23. 今年荆州马拉松比赛召开前，某体育用品专卖店抓住商机，计划购进两种跑鞋共双进行销售．已知元全部购进种跑鞋数量是全部购进种跑鞋数量的倍，种跑鞋的进价比B种跑鞋的进价每双多元，两种跑鞋的售价分别是每双元，元．
（1）求两种跑鞋的进价分别是多少元？
（2）该体育用品专卖店根据以往销售经验，决定购进种跑鞋的数量不多于种跑鞋的，销售时对种跑鞋每双降价出售．若这批跑鞋能全部售完，则如何购货才能获利最大？最大利润是多少？
【答案】（1）种跑鞋进价为元双，种跑鞋的进价为元双；
（2）购进种鞋双，种鞋双，可获利润最大，最大利润为元．
【解析】
【分析】（）设种跑鞋的进价为元双，则种跑鞋进价为元双，根据题意，列出分式方程，解方程即可求解；
（）设种鞋购进双，则种鞋购进双，根据题意求出取值范围，设获利元，求出与一次函数，再根据一次函数的性质解答即可求解；
本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，根据题意，正确列出分式方程和一次函数解析式是解题的关键．
【小问1详解】
解：设种跑鞋的进价为元双，则种跑鞋进价为元双，
由题意得， ，
解得 ，
经检验是原方程的解，
∴种跑鞋进价为元双，种跑鞋的进价为元双；
【小问2详解】
解：设种鞋购进双，则种鞋购进双，
则 ，
解得，
设获利元，
则，
∵，随的增大而增大，
∴当时，取得最大，元，
即购进种鞋双，种鞋双，可获利润最大，最大利润为元．
24. 如图，在平行四边形中，点是对角线上的一点，过点作且，连接、、．
（1）求证：；
（2）请从以下三个条件中选择一个作为已知，判断四边形ABFE的形状，并证明你的结论．
条件①：；
条件②：；
条件③：连接AF，．
（注：如果选择条件①、条件②、条件③分别进行了解答，按第一个解答计分）
已知：________（填写序号）
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了特殊平行四边形的判定，全等三角形的判定，三角形内角和定理等知识．
（1）由平行四边形，可得，，再由证明，结合，证明即可；
（2）四边形是平行四边形，条件①证明，进而可得平行四边形是矩形；条件②：邻边相等的平行四边形即可判定平行四边形是菱形，条件③由对角线互相平分的平行四边形是菱形即可得出结论．
【小问1详解】
证明：∵平行四边形，
∴，，
∴
∵，
∵，
又∵，
∴；
【小问2详解】
解：∵且，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
又∵在平行四边形中，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
已知：①，
结论：四边形是矩形．
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
故是矩形；
已知：②；；
结论：四边形是菱形．
证明：∵，四边形是平行四边形，
∴是菱形．
已知：③
结论：四边形是菱形．
证明：∵，四边形是平行四边形，
∴是菱形．
25. 小明用相同的圆点按照一定的规律拼摆图案，图案由符合规律的图形组成
图形序号n（号） 0 1 2 3 4 5 ……
圆点总数m（个） 0 1 3 6 10 15 ……
（1）请你依据学习经验，将点绘制在平面直角坐标系中，并用平滑的曲线连结各点，根据图象，你发现，m与n之间的关系可能满足我们所学过的________函数．（选填“一次”、“二次”、“反比例”）
（2）请结合数据和图象，求m与n之间函数关系的表达式，并写出自变量n的取值范围；
（3）小明按照原规律拼摆了一组图案．若拼摆n号图形使用了个圆点，则________．
【答案】（1）二次，图见解析
（2）（自变量n为自然数）
（3）11
【解析】
【分析】本题主要考查了画函数图象以及待定系数法求函数解析式、二次函数的图象和性质；
（1）描点、连成平滑曲线可得是抛物线，故m与n之间的关系符合二次函数关系．
（2）根据抛物线经过原点可设，用待定系数法即可求解；
（3）求出当时，n的取值即可．
【小问1详解】
解：如图，图象为抛物线，故m与n之间的关系符合二次函数关系．
故填：二次
【小问2详解】
解：设，将，，，代入得：
，
解得：，
即（自变量n为自然数）
【小问3详解】
当时，即：．
解得：，（不合题意，舍去）
故答案为：
26. 已知：如图，在中， ，，，，将沿方向匀速运动得到，已知平移速度为1，分别与，相交于、，与相交于，设运动时间为．
解答下列问题：
（1）连接，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形是正方形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由；
（2）在运动过程中，是否存在某一时刻，使，若存在，求的值；若不存在，请说明理由；
（3）连接，设四边形的面积为，求与之间的函数关系式．
【答案】（1）存在，
（2）存在，
（3）
【解析】
【分析】（1）连接，首先证明四边形为矩形，若四边形为正方形，则有，然后求解即可；
（2）首先根据勾股定理解得，由平移的性质可得，，，，，，易得，证明，由相似三角形的性质可得，代入数值可解得，，进而可得，当时，在和中，由勾股定理可得关于的方程，求解即可获得答案；
（3）证明，由相似三角形的性质可解得，，进而可得，，再根据平行线分线段成比例定理可得，进而可得；过点作于点，则有，根据平行线分线段成比例定理可得，代入数值可得，然后根据四边形的面积为，可得与之间的函数关系式．
【小问1详解】
解：存在，，理由如下：
如下图，连接，
∵，，
∴，
由平移的性质可得，，，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
若四边形为正方形，
则有，
∴运动时间；
【小问2详解】
存在， ，理由如下：
∵，
∴，
又∵，，，
∴，
由平移的性质可得，，，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即有，
∴，，
∴，
当时，可有，
∴在中，，
在中，，
∴，整理可得，
解得；
【小问3详解】
由（2）可知，，，，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
由平移的性质可得，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
过点作于点，如下图，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴四边形梯形，
∴四边形的面积为
，
∴与之间的函数关系式为．
【点睛】本题主要考查了平移的性质、矩形的判定与性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识，综合性强，难度较大，熟练掌握平移的性质和相似三角形的性质是解题关键．

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