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对数运算练习题
一 对数的定义
【例1】(2021·全国高一课前预习)在中，实数的取值范围为______.
【一隅三反】
1．(2021·全国高一课前预习)(多选)下列选项中错误的是( )
A．零和负数没有对数
B．任何一个指数式都可以化成对数式
C．以10为底的对数叫做自然对数
D．以e为底的对数叫做常用对数
2．使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为(　　)
A．a>且a≠1 B．0C．a>0且a≠1 D．a<
二 指数对数的互化
【例2】(2021·全国高一课时练习)指数式和对数式互相转化：
(1)____________．(2)____________．
(3)____________．(4)____________．
【一隅三反】
1．(2021·全国高一专题练习)将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.
(1)53=125；
(2)4-2=；
(3)log3=-3.
2．(2021·全国高一课前预习)把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．
(1)；
(2)；
(3)．
三 对数的求值
【例3-1】(2021·全国高一课前预习)利用指数式、对数式的互化求下列各式中x的值．
(1)；
(2)；
(3)．
【例3-2】(2021·上海高一专题练习)求下列各式的值：
(1)log28；
(2)log9；
(3)lne；
(4)lg1.
【一隅三反】
1．(2021·全国高一课时练习)计算：____.
2．(2021·全国高一课前预习)求下列各式中的x的值．
(1)；
(2)．
3．(2021·全国高一专题练习)计算：(1)_________．
(2)_________．
(3)_________．
(4)__________．
(5)__________．
四 对数的运算
【例4-1】(2021·全国高一课前预习)求下列式子值．
(1)________；
(2)________．
【例4-2】(2021·全国高一专题练习)计算下列各式的值：
(1)；(2)；
(3)；(4)．
【一隅三反】
1．(2021·长沙市明德中学高一开学考试)计算：______
2．(2021·全国高一课时练习)计算:________．
3．(2021·全国高一课时练习)计算：____.
4．(2021·全国高一课时练习)计算:(1)lg 125+lg 2lg 500+(lg 2)2.
(2)
(3)
5．(2021·全国)计算下列各式的值：
(1)lg lg＋lg；
(2)lg25＋lg8＋lg5×lg20＋(lg 2)2.
五 换底公式
【例5】(1)(2021·全国高一专题练习)已知，则( )
A． B． C． D．
(2)(2021·全国高一课时练习)设，且，则( )
A． B．10 C．20 D．100
【一隅三反】
1．(2021·上海高一专题练习)已知，用含的式子表示_________.
2．(2020·上海市川沙中学高一期中)已知：lg2=a，lg3=b，则a，b表示=_____________；
(2021·全国)已知a，b，c均为正数，且，求证：；
参考答案
一 对数的定义
【例1】(2021·全国高一课前预习)在中，实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】由题意，要使式子有意义，则满足，
解得或，即实数的取值范围为.故答案为：.
【一隅三反】
1．(2021·全国高一课前预习)(多选)下列选项中错误的是( )
A．零和负数没有对数
B．任何一个指数式都可以化成对数式
C．以10为底的对数叫做自然对数
D．以e为底的对数叫做常用对数
【答案】BCD
【解析】对于A：由对数的定义可知：零和负数没有对数.故A正确；
对于B：只有符合，且，才有，故B错误；
对于C：以10为底的对数叫做常用对数，故C错误；
对于D：以e为底的对数叫做自然对数，故D错误.
故选：BCD.
2．使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为(　　)
A．a>且a≠1 B．0C．a>0且a≠1 D．a<
【答案】　B
【解析】由题意知解得0二 指数对数的互化
【例2】(2021·全国高一课时练习)指数式和对数式互相转化：
(1)____________．(2)____________．
(3)____________．(4)____________．
【答案】
【解析】.故答案为：，，，.
【一隅三反】
1．(2021·全国高一专题练习)将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.
(1)53=125；
(2)4-2=；
(3)log3=-3.
【答案】(1)log5125=3；(2)；(3)
【解析】(1)∵53=125，∴log5125=3.
(2)∵，∴.
(3)∵，∴
2．(2021·全国高一课前预习)把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)；(2)；(3)．
【解析】(1)由可得；
(2)由得；
(3)由可得．
三 对数的求值
【例3-1】(2021·全国高一课前预习)利用指数式、对数式的互化求下列各式中x的值．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)；(2)；(3)或．
【解析】(1)由，得，∴；
(2)由，得，且；
(3)由，得，∴，.∵，∴或．
【例3-2】(2021·上海高一专题练习)求下列各式的值：
(1)log28；
(2)log9；
(3)lne；
(4)lg1.
【答案】(1)3;(2)-1；(3)1；(4)0.
【解析】(1)设log28＝x，则2x＝8＝23.
所以x＝3.所以log28＝3.
(2)设log9＝x，则9x＝＝9－1，
所以x＝－1.所以log9＝－1.
(3)ln e＝1.
(4)lg 1＝0.
【一隅三反】
1．(2021·全国高一课时练习)计算：____.
【答案】0
【解析】由对数的运算法则，可得
.
故答案为：0.
2．(2021·全国高一课前预习)求下列各式中的x的值．
(1)；
(2)．
【答案】(1)；(2)．
【解析】(1)因为，所以，所以；
(2)由得，
所以，所以．
3．(2021·全国高一专题练习)计算：(1)_________．
(2)_________．
(3)_________．
(4)__________．
(5)__________．
【答案】1 )
【解析】(1)原式
(2)原式
(3)原式
(4)原式
(5)
所以原式
故答案为：1，，，，
四 对数的运算
【例4-1】(2021·全国高一课前预习)求下列式子值．
(1)________；
(2)________．
【答案】0； 4
【解析】(1)原式＝；
(2)．
【例4-2】(2021·全国高一专题练习)计算下列各式的值：
(1)；(2)；
(3)；(4)．
【答案】(1)；(2)1；(3)；(4)1．
【解析】(1)；
(2)；
(3)
；
(4)
．
【一隅三反】
1．(2021·长沙市明德中学高一开学考试)计算：______
【答案】
【解析】原式.故答案为：
2．(2021·全国高一课时练习)计算:________．
【答案】4
【解析】原式．
故答案为：4.
3．(2021·全国高一课时练习)计算：____.
【答案】
【解析】原式
，
故答案为： .
4．(2021·全国高一课时练习)计算:(1)lg 125+lg 2lg 500+(lg 2)2.
(2)
(3)
【答案】(1)3；(2)1；(3)-7.
【解析】(1)原式=lg 53+lg 2(lg 5+lg 100)+(lg 2)2
=3lg 5+lg 2·lg 5+2lg 2+(lg 2)2
=3lg 5+2lg 2+lg 2(lg 5+lg 2)
=3lg 5+3lg 2=3lg 10=3.
(2)原式=
(3)原式=
5．(2021·全国)计算下列各式的值：
(1)lg lg＋lg；
(2)lg25＋lg8＋lg5×lg20＋(lg 2)2.
【答案】(1)；(2)3.
【解析】(1)原式＝(5lg 2－2lg 7)－lg 2＋(2lg 7＋lg 5)
＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5
＝lg 2＋lg 5＝(lg 2＋lg 5)
＝lg 10＝.
(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2
＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.
五 换底公式
【例5】(1)(2021·全国高一专题练习)已知，则( )
A． B． C． D．
(2)(2021·全国高一课时练习)设，且，则( )
A． B．10 C．20 D．100
【答案】(1)B(2)A
【解析】(1)，，
．故选：B．
(2)由，可得，，
由换底公式得，，
所以，
又因为，可得．
故选：A.
【一隅三反】
1．(2021·上海高一专题练习)已知，用含的式子表示_________.
【答案】
【解析】.故答案为：
2．(2020·上海市川沙中学高一期中)已知：lg2=a，lg3=b，则a，b表示=_____________；
【答案】；
【解析】因为lg2=a，lg3=b，所以，故答案为：；
3．(2021·全国)已知a，b，c均为正数，且，求证：；
【答案】证明见解析
【解析】设，则.
∴，
∴，
而，
∴，得证.

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