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5.2 导数的运算（精讲）
考点一 基本函数的求导
【例1】（2022·内蒙古）求下列函数的导数.
(1)； (2)； (3)；(4).
【一隅三反】
1．（2022·广西）下列各式正确的是（ ）.
A． B．
C． D．
2．（2022·江苏省灌南高级中学高二阶段练习）（多选）下列选项正确的是（ ）
A．，则 B．，则
C．，则 D．，则
3．（2022·全国·高二课时练习）求下列函数的导数：
(1)；(2)；(3)；(4)．
考点二 导数的运算法则
【例2】（2022·全国·高二课时练习）求下列函数的导数：
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．
【一隅三反】
（2022·陕西·延安市）求下列函数的导数.
(1)； (2)； (3)；
(4). (5)； (6)；
(7)．
考点三 复合函数的求导
【例3】（2022·全国·高二课时练习）求下列函数的导数．
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．
【一隅三反】
1．（2022·全国·高二课时练习）求下列函数的导数：
(1)；(2)；(3)；(4).
2．（2021·全国高二专题练习）求下列函数的导数：
（1）y＝；（2）y＝e2x＋1；（3）y＝ln(3x－1)；
（4）y＝sin；（5）y＝esin(ax＋b)；（6）y＝5log2(2x＋1).
考点四 求导数值
【例4-1】（2022·湖北·武汉市第一中学）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【例4-2】（2022·江西·萍乡市第二中学高二开学考试（理））若函数的导函数为，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2022·新疆·霍城县第二中学高二期末（文））已知函数 的导函数为，且满足，则 （ ）
A． B． C．1 D．
2．（2022·江苏省灌南高级中学高二阶段练习）已知，且，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·北京八十中高二期中）如图，函数的图像在点P处的切线方程是，则（　　）
A．-2 B．3 C．2 D．-3
考点五 切线方程
【例5-1】（2022·全国·高二课时练习）已知，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A．3x－y－4＝0 B．3x＋y－2＝0
C．4x＋y－3＝0 D．4x－y－5＝0
【例5-2】（2022·浙江·高二阶段练习）曲线在处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【例5-3】（2022·广东·新会陈经纶中学高二期中）（多选）已知曲线.则曲线过点P（1，3）的切线方程为.（ ）
A． B． C． D．
【例5-4】（2022·陕西·西安中学高二期中）若函数在点处的切线与直线垂直，则（ ）
A． B． C． D．
【例5-5】（2022·全国·高二课时练习）已知曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【例5-6】（2022·江西师大附中高二阶段练习（理））已知函数，则过点可作曲线的切线的条数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【一隅三反】
1．（2022·浙江大学附属中学高二期中）曲线在点处的切线方程为________．（用一般式表示）
2．（2022·四川泸州·高二期末（文））曲线在处切线的斜率为
3．（2022·全国·高二课时练习）过点且与曲线相切的直线方程为______．
4．（2022·贵州·贵阳市白云区第二高级中学高二期末（理））若函数的图像在点处的切线与直线平行，则
5．（2022·辽宁铁岭·高二期末）已知，，直线与曲线相切，则的最小值是
6．（2022·全国·高二期末）过轴上一点作函数的图象的切线，则切线的最多条数 为
7．（2022·广东·中山市迪茵公学高二阶段练习）（多选）过点作曲线的切线，则切线方程 是
A． B． D．
8．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高二期中）已知函数的图象在（1，f（1））处的切线经过坐标原点，则实数a的值为
5.2 导数的运算（精讲）
考点一 基本函数的求导
【例1】（2022·内蒙古）求下列函数的导数.
(1)； (2)； (3)；(4).
答案：(1)(2)(3)(4)
【解析】（1），则
（2），则
（3），则
（4），则
【一隅三反】
1．（2022·广西）下列各式正确的是（ ）.
A． B．
C． D．
答案：C
【解析】根据基本函数求导公式，
，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误.
故选：C.
2．（2022·江苏省灌南高级中学高二阶段练习）（多选）下列选项正确的是（ ）
A．，则 B．，则
C．，则 D．，则
答案：BCD
【解析】A：，错误；
B：，则，正确；
C：，正确；
D：正确.
故选：BCD
3．（2022·全国·高二课时练习）求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
答案：(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】（1）由，可得；
（2）由，可得；
（3）由，可得；
（4）由，
可得.
考点二 导数的运算法则
【例2】（2022·全国·高二课时练习）求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)
【解析】（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
（5）.
（6）
．
【一隅三反】
（2022·陕西·延安市）求下列函数的导数.
(1)； (2)； (3)；
(4). (5)； (6)；
(7)．
答案：(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
【解析】（1）由，可得
（2）由，可得
（3）由，可得
（4）由，可得
（5）因为，
所以，
即；
（6）因为，则.
（7）因为，所以.
考点三 复合函数的求导
【例3】（2022·全国·高二课时练习）求下列函数的导数．
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．
答案：(1)(2)(3)(4)
(5)
【解析】（1），.
（2），
，.
（3），
.
（4），
.
（5），
．
【一隅三反】
1．（2022·全国·高二课时练习）求下列函数的导数：
(1)；(2)；(3)；(4).
答案：(1)(2)(3)(4)
【解析】（1）
（2）因为，所以
（3）.
（4）
2．（2021·全国高二专题练习）求下列函数的导数：
（1）y＝；（2）y＝e2x＋1；（3）y＝ln(3x－1)；
（4）y＝sin；（5）y＝esin(ax＋b)；（6）y＝5log2(2x＋1).
答案：（1）；（2）2e2x＋1；（3）；（4）；（5） ；（6）.
【解析】（(1)设，，则；
(2)设则.
(3)设，则
(4)设，则
(5)设，
则；
(6)设，则
考点四 求导数值
【例4-1】（2022·湖北·武汉市第一中学）已知，则（ ）
A． B． C． D．
答案：B
【解析】因为，
所以，所以，
解得；故选：B
【例4-2】（2022·江西·萍乡市第二中学高二开学考试（理））若函数的导函数为，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
答案：D
【解析】由，得，令，则，解得，所以，.故选：D.
【一隅三反】
1．（2022·新疆·霍城县第二中学高二期末（文））已知函数 的导函数为，且满足，则 （ ）
A． B． C．1 D．
答案：B
【解析】由，可得，所以 ，则 .
故选：B.
2．（2022·江苏省灌南高级中学高二阶段练习）已知，且，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
答案：D
【解析】，，解得.故选：D
3．（2022·北京八十中高二期中）如图，函数的图像在点P处的切线方程是，则（　　）
A．-2 B．3 C．2 D．-3
答案：B
【解析】因为函数的图像在点P处的切线方程是，
所以，所以，故选：B.
考点五 切线方程
【例5-1】（2022·全国·高二课时练习）已知，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A．3x－y－4＝0 B．3x＋y－2＝0
C．4x＋y－3＝0 D．4x－y－5＝0
答案：B
【解析】因为，所以．当x＝1时，，
所以曲线在点处的切线方程为，即3x＋y－2＝0．故选：B．
【例5-2】（2022·浙江·高二阶段练习）曲线在处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
答案：C
【解析】对函数求导得,故当时,斜率，
又切线过点，故切线方程为，即
故选：C.
【例5-3】（2022·广东·新会陈经纶中学高二期中）（多选）已知曲线.则曲线过点P（1，3）的切线方程为.（ ）
A． B． C． D．
答案：AB
【解析】设切点为，则，所以，
所以切线方程为，
因为切线过点（1，3），所以，即，即，
解得或，所以切线方程为或，故选：AB
【例5-4】（2022·陕西·西安中学高二期中）若函数在点处的切线与直线垂直，则（ ）
A． B． C． D．
答案：A
【解析】由，得，
因为函数在点处的切线与直线垂直，
所以，解得，
故选：A
【例5-5】（2022·全国·高二课时练习）已知曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
答案：B
【解析】将代入，得，
易知直线的斜率为8．
因为，所以，所以．故选：B．
【例5-6】（2022·江西师大附中高二阶段练习（理））已知函数，则过点可作曲线的切线的条数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
答案：C
【解析】因为，所以，
设切点为，
所以在切点处的切线方程为，
又在切线上，所以，
即，
整理得，解得或，
所以过点可作曲线的切线的条数为2.
故选：C．
【一隅三反】
1．（2022·浙江大学附属中学高二期中）曲线在点处的切线方程为________．（用一般式表示）
答案：
【解析】由，得，
所以切线的斜率为，
所以所求的切线方程为，即.
故答案为：.
2．（2022·四川泸州·高二期末（文））曲线在处切线的斜率为
答案：
【解析】，则，当时，，
3．（2022·全国·高二课时练习）过点且与曲线相切的直线方程为______．
答案：或
【解析】由题意，设切点坐标为，则，
又由函数，可得，可得，所以，
根据斜率公式和导数的几何意义，可得，即，
解得或，所以切线的斜率为或，
所以切线方程为或，即或.
故答案为：或.
4．（2022·贵州·贵阳市白云区第二高级中学高二期末（理））若函数的图像在点处的切线与直线平行，则
答案：
【解析】由函数得，
，所以，
直线的斜率，
因为函数的图像在点处的切线与直线平行，
由导数的几何意义得，即，所以.
5．（2022·辽宁铁岭·高二期末）已知，，直线与曲线相切，则的最小值是
答案：9
【结节性】根据题意，设直线与曲线的切点为，
因为，直线的斜率为，
所以，，
所以，
因为
所以，当且仅当时等号成立.所以的最小值是.
6．（2022·全国·高二期末）过轴上一点作函数的图象的切线，则切线的最多条数 为
答案：3
【解析】由题意知，，
设切点为，
则切线方程为，
设轴上一点，代入切线方程，
得，即，
该方程有可能有一个，两个或三个零点，所以可作切线的条数为1,2或3条，
7．（2022·广东·中山市迪茵公学高二阶段练习）（多选）过点作曲线的切线，则切线方程 是
A． B． D．
答案：、
【解析】.
当点是切点时，此时切线的斜率为：，
所以切线方程为：；
当点是不切点时，设切点为，即，
此时切线的斜率为：，
所以切线方程为：，把点代入得：
，
，解得：，或舍去，
所以切线方程为：，
8．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高二期中）已知函数的图象在（1，f（1））处的切线经过坐标原点，则实数a的值为
答案：-1
【解析】，，，可得切线方程为，代入得.

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