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拓展2 数列求和常用的方法（精讲）
考点一 公式法
【例1】（2022嘉兴）已知等差数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
【一隅三反】
1（2022·惠州）已知正项等比数列的前项和为，，且，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的前项和
2．（2022高二·昌平）已知等差数列的前项和为，且满足，各项均为正数的等比数列满足.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
考点二 裂项相消求和
【例2-1】（2022高三上·鞍山月考）已知等差数列满足首项为的值，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
【例2-2】（2022·衡水）已知数列满足，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
【例2-3】（2022·天津市模拟）已知是等差数列，是等比数列，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）记的前n项和为，证明：；
（3）记，求数列的前项和．
【一隅三反】
1．（2022安徽）已知数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
2．（2022·广东梅州 ）已知是数列的前项和，，___________.
①，；②数列为等差数列，且的前项和为.从以上两个条件中任选一个补充在横线处，并求解：
(1)求；
(2)设，求数列的前项和.
3．（2022·全国·模拟预测）已知数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前n项和.
4．（2022河南）已知数列，满足，；
（1）求的通项公式；
（2）若，求的前2n项和．
考点三 错位相减求和
【例3】（2022高三上·湖北月考）已知数列的前项和为，，.
（1）证明：为等比数列；
（2）求.
【一隅三反】
1．（2022河北）已知数列的前n项和为，且，.
（1）证明：为等比数列，并求的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
2．（2022·安徽黄山）已知数列、满足，若数列是等比数列，且 ．
(1)求数列、的通项公式；
(2)令，求的前项和为.
3．（2022 如皋 ）从条件①，②，③，中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答.
已知数列的前项和为，____.
（1）求的通项公式；
（2）设，记数列的前项和为，是否存在正整数使得.
考点四 分组转化求和
【例4-1】（2022河南）设等比数列的前项和为，且，．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【例4-2】（2022·滨海模拟）已知数列中，，，令．
（1）求数列的通项公式；
（2）若求数列的前23项和．
【一隅三反】
5．（2022·福建省福州第一中学）已知等差数列中，．
(1)求；
(2)设，求的前项和．
2．（2022高二下·楚雄期末）已知数列的前项和满足，数列是公差为-1的等差数列，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
3．（2022黄冈）已知数列各项均为正数且满足，数列满足，且．
（1）求的通项公式；
（2）若，求的前n项和．
拓展2 数列求和常用的方法（精讲）
考点一 公式法
【例1】（2022嘉兴）已知等差数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
答案：
【解析】（1）解：设等差数列的公差为，由可得，
解得，
（2）解：，且，故数列为等比数列，且首项为2，公比为4，
因为
【一隅三反】
1（2022·惠州）已知正项等比数列的前项和为，，且，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的前项和
答案：（1）（2）
【解析】（1）解：设的公比为（），
因为，且，，成等差数列，
所以，即，解得，所以
（2）解：由（1），
2．（2022高二·昌平）已知等差数列的前项和为，且满足，各项均为正数的等比数列满足.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
答案：（1）
【解析】（1）解：设等差数列的公差为，则，
所以.
设等比数列的公比为，
由于，
所以，
所以
（2）解：，
所以
考点二 裂项相消求和
【例2-1】（2022高三上·鞍山月考）已知等差数列满足首项为的值，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
答案：见解析
【解析】（1）解：根据题意得，，
因为数列是等差数列，设公差为，则由，得，解得，所以.
（2）解：由（1）可得，
所以.
【例2-2】（2022·衡水）已知数列满足，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
答案：见解析
【解析】（1）解：因为数列满足，设，则，与已知矛盾，所以，
又，所以，所以
所以数列是等比数列，
设数列的公比是q，首项是，则q＝3.
由，可得，所以，所以
（2）解：因为，
所以.
【例2-3】（2022·天津市模拟）已知是等差数列，是等比数列，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）记的前n项和为，证明：；
（3）记，求数列的前项和．
答案：见解析
【解析】（1）解：设等差数列公差为d，等比数列公比为q，
所以，所以
（2）证明：的前n项和为
，(当时，取等号)
命题得证
（3）解：由（1）得，，
所以数列的前项和，
【一隅三反】
1．（2022安徽）已知数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
答案：（1）（2）
【解析】（1）解：因为，，
令 ， 则 ， 即， 解得，
由题知， 由， 两边同除以，得，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，即.
（2）解：由（1）及条件可得，
所以
2．（2022·广东梅州 ）已知是数列的前项和，，___________.
①，；②数列为等差数列，且的前项和为.从以上两个条件中任选一个补充在横线处，并求解：
(1)求；
(2)设，求数列的前项和.
答案：(1)条件选择见解析，(2)
【解析】(1)解：选条件①：，，得，所以，，
即数列、均为公差为的等差数列，
于是，
又，，，所以；
选条件②：因为数列为等差数列，且的前项和为，
得，所以，
所以的公差为，
得到，则，
当，.
又满足，所以，对任意的，.
(2)解：因为，
所以
.
3．（2022·全国·模拟预测）已知数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前n项和.
答案：(1)(2)
【解析】(1)解：由，可得，即，
所以当时，，，，，
将上述式子进行累加得，-
将代入可得，即.
当时也满足上式，
所以数列的通项公式.
(2)解：由（1）得，
则.
4．（2022河南）已知数列，满足，；
（1）求的通项公式；
（2）若，求的前2n项和．
答案：（1）（2）
【解析】（1）解：∵，
∴，即，又，
∴数列是首项为1，公差为的等差数列，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴
.
考点三 错位相减求和
【例3】（2022高三上·湖北月考）已知数列的前项和为，，.
（1）证明：为等比数列；
（2）求.
答案：见解析
【解析】（1）证明：，
，即，故为等比数列.
（2）解：由（1）知，，
，
，
，
【一隅三反】
1．（2022河北）已知数列的前n项和为，且，.
（1）证明：为等比数列，并求的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
答案：见解析
【解析】（1）证明：因为，所以（），
故，即（）
又，故，即，因此（）
故是以2为首项，3为公比的等比数列.因此（）
（2）解：因为①
故②
①②，得
，
即.
2．（2022·安徽黄山）已知数列、满足，若数列是等比数列，且 ．
(1)求数列、的通项公式；
(2)令，求的前项和为.
答案：(1)，(2)
【解析】(1)
当时，， ，又，∴
是以为首项，为公比的等比数列，
∴当时，
由累加法可得：，
又当时，也适合上式，∴
(2)
∴①
∴②
①-②得：
∴
3．（2022 如皋 ）从条件①，②，③，中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答.
已知数列的前项和为，____.
（1）求的通项公式；
（2）设，记数列的前项和为，是否存在正整数使得.
答案：见解析
【解析】（1）解：若选择①，因为，所以，
两式相减得，整理得，
即，所以为常数列，而，所以；
若选择②，因为，所以，
两式相减，
得，
因为，
所以是等差数列，所以；
若选择③，由变形得，，
所以，
由题意知，所以，所以为等差数列，
又，所以，
又时，也满足上式，所以；
（2）解：若选择①或②，，
所以
所以，
两式相减得
，
则，故要使得，即，整理得，，
当时，，所以不存在，使得.
若选择③，依题意，，
所以，
故，
两式相减得：
，则，令，则，
即，令，则，
当时，，
又，故，
综上，使得成立的最小正整数的值为5.
考点四 分组转化求和
【例4-1】（2022河南）设等比数列的前项和为，且，．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
答案：见解析
【解析】（1）解：设数列的公比为，则解得，．
故．
（2）解：由（1）可得．
则
．
【例4-2】（2022·滨海模拟）已知数列中，，，令．
（1）求数列的通项公式；
（2）若求数列的前23项和．
答案：见解析
【解析】（1）解：当n=1时，a1a2=2，又a1=1，得a2=2，
由，①，
得，②，
①②两式相除可得，
则，且b1=a2=2，
所以数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列，
故
（2）解：当n为偶数时，；
当n为奇数时，，
，
所以数列的前23项和为，
=，
=
．
【一隅三反】
5．（2022·福建省福州第一中学）已知等差数列中，．
(1)求；
(2)设，求的前项和．
答案：(1)(2)
【解析】(1)设等差数列的公差为，∵，所以，
可得，两式相减可得：，所以
所以可得：；
(2)由（1）知：，所以，
2．（2022高二下·楚雄期末）已知数列的前项和满足，数列是公差为-1的等差数列，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
答案：见解析
【解析】（1）解：因为，所以，
当时，，
由于满足，所以的通项公式为，
因为数列是公差为的等差数列，，
所以，所以
（2）解：因为，
所以.
3．（2022黄冈）已知数列各项均为正数且满足，数列满足，且．
（1）求的通项公式；
（2）若，求的前n项和．
答案：见解析
【解析】（1）解：由可得，
，
，左右两边同除以，得，所以数列是公差为1的等差数列，
，，；
（2）解：设的前n项和为，的前n项和为
由（1）可得的前n项和，
的前n项和①
所以②
②①得
所以，
因为，所以的前n项和.

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