资源简介

拓展1 利用递推公式求通项公式常用的方法（精讲）
考点一 公式法
【例1-1】（2022·青海）已知数列的前项和，则＝________.
【例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和，则数列的通项公式为______．
【例1-3】（2022·广东）已知正项数列的前项和为，满足.求数列的通项公式 ；
【例1-4】（2022·北京）已知数列满足，求的通项公式 ．
【一隅三反】
1．（2022·上海）设数列的前项和为，且.求数列的通项公式 .
2．（2022·广西）设数列满足，且，求．
3．（2023·安徽省舒城中学）若数列是正项数列，且，则_______．
4．（2022·福建 ）已知数列的前n项和为，且满足，则数列的通项公式为______．
考点二 累乘法
【例2-1】（2022·江苏）已知数列满足，，则数列的通项公式是
【例2-2]（2022·湖南）已知，，则数列的通项公式是
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，则( )
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高二）已知数列满足， ，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022河北）已知数列的前n项和为，且满足，则数列的通项公式等于___________
考点三 累加法
【例3-1】（2022·黑龙江）已知数列满足，．
(1)求，；
(2)求数列的通项公式．
【例3-2】（2022·哈尔滨）在数列中，，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1．（2022山东）已知在数列的前项之和为，若，则_______．
2．（2022·云南）已知数列满足，，，求通项公式．
3．（2021·全国·高二课时练习）设{an}是首项为1的正项数列且-(n＋1)－anan＋1＝0(n∈N*)，求an.
考点四 构造法
【例4-1】（2022·宁夏）已知数列中，，则等于
【例4-2】（2022·上海）已知数列满足，且，则数列的通项公式为______．
【例4-3】（2022·湖北）已知在数列中，，，则______．
【例4-4】（2022·江西）数列{an}满足，，则数列{an}的通项公式为___________.
【一隅三反】
1．（2022·青海）在数列中，，，则通项公式______．
2．（2022·山西）在数列中，若，则________.
3．（2022湖南）若数列满足，，则数列的通项公式________.
拓展1 利用递推公式求通项公式常用的方法（精讲）
考点一 公式法
【例1-1】（2022·青海）已知数列的前项和，则＝________.
答案：
【解析】由于数列的前项和.
当时，；
当时，.
满足.因此，对任意的，.故答案为：.
【例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和，则数列的通项公式为______．
答案：
【解析】因为，
当时，，
当时，，
所以．故答案为：．
【例1-3】（2022·广东）已知正项数列的前项和为，满足.求数列的通项公式 ；
答案：
【解析】①；
当时，代入①得.
当时，②；
①-②得，
整理得，
因为，所以，
所以数列为等差数列，公差为1，
所以.
【例1-4】（2022·北京）已知数列满足，求的通项公式 ．
答案：.
【解析】对任意的，，
当时，则，
当时，由，可得，
上述两个等式作差可得，
，
满足，
因此，对任意的，.
【一隅三反】
1．（2022·上海）设数列的前项和为，且.求数列的通项公式 .
答案：
【解析】当时，；
当时，，
；
经检验：满足；
综上所述：.
2．（2022·广西）设数列满足，且，求．
答案：
【解析】当时，，
即，
两边同时除以，
得，
所以数列是常数数列，
所以，
所以．
3．（2023·安徽省舒城中学）若数列是正项数列，且，则_______．
答案：
【解析】数列是正项数列，且所以，即
时
两式相减得，
所以（ ）当时，适合上式，所以
4．（2022·福建 ）已知数列的前n项和为，且满足，则数列的通项公式为______．
答案：
【解析】因为，所以，即．
当时，，
当时，，
显然不满足上式.
所以．
故答案为：.
考点二 累乘法
【例2-1】（2022·江苏）已知数列满足，，则数列的通项公式是
答案：
【解析】因为，
所以，，，，，，
所以，
即，又，所以；
故选：A
【】例2-2（2022·湖南）已知，，则数列的通项公式是
答案：n
【解析】由，得，
即，
则，，，…，，
由累乘法可得，所以，
又，符合上式，所以.
故选：D．
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，则( )
A． B． C． D．
答案：D
【解析】数列满足，且，
∴，，
∴，，，，
累乘可得：，
可得：．
故选：D﹒
2．（2022·全国·高二）已知数列满足， ，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
答案：A
【解析】由，得，
即，则，，，…，，
由累乘法可得，所以，
又，符合上式，所以.
故选：A．
3．（2022河北）已知数列的前n项和为，且满足，则数列的通项公式等于___________
答案：
【解析】由得：，当时，，
两式相减得：，化简整理得：，
当时，，即有，解得，因此，，，，
，
而满足上式，所以.故答案为：
考点三 累加法
【例3-1】（2022·黑龙江）已知数列满足，．
(1)求，；
(2)求数列的通项公式．
答案：(1)，(2)
【解析】（1），，，.
（2）由得：，
，
又满足，.
【例3-2】（2022·哈尔滨）在数列中，，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
答案：C
【解析】因，则有，
于是得，当时，
，
因此，，显然，满足上式，
所以.
故选：C
【一隅三反】
1．（2022山东）已知在数列的前项之和为，若，则_______．
答案：
【解析】 .
.
2．（2022·云南）已知数列满足，，，求通项公式．
答案：.
【解析】因为，
所以，
所以，
，
，
……，
，
所以，
因为，
所以，
所以，
因为满足上式，
所以.
3．（2021·全国·高二课时练习）设{an}是首项为1的正项数列且-(n＋1)－anan＋1＝0(n∈N*)，求an.
答案：an＝n(n∈N*)
【解析】-(n＋1)－anan＋1＝0(n∈N*)，可得(an＋1+an)[nan＋1－(n＋1)an]＝0.
因为{an}是首项为1的正项数列，故an＋1+an为正数，
故nan＋1－(n＋1)an＝0，即＝，
所以an＝a1·＝1.
且当时，符合an＝n，所以an＝n(n∈N*)．
综上可知， an＝n(n∈N*)．
考点四 构造法
【例4-1】（2022·宁夏）已知数列中，，则等于
答案：
【解析】
所以所以数列是一个以2为首项，以4为公比的等比数列，
所以.故选：C
【例4-2】（2022·上海）已知数列满足，且，则数列的通项公式为______．
答案：
【解析】由两边取倒数可得，即．
所以数列是首项为2，公差为3等差数列.
所以，所以．
故答案为：.
【例4-3】（2022·湖北）已知在数列中，，，则______．
答案：
【解析】因为，，所以，
整理得，所以数列是以为首项，
为公比的等比数列，所以，解得．
故答案为：.
【例4-4】（2022·江西）数列{an}满足，，则数列{an}的通项公式为___________.
答案：．
【解析】∵，所以，即，
∴是等差数列，而，
所以，
所以．故答案为：．
【一隅三反】
1．（2022·青海）在数列中，，，则通项公式______．
答案：
【解析】由得：，又，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
，则.
故答案为：.
2．（2022·山西）在数列中，若，则________.
答案：
【解析】取倒数得:，
所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，
所以，所以.
故答案为：
3．（2022湖南）若数列满足，，则数列的通项公式________.
答案：
【解析】由，可得，设
则，则
所以是以1为首项，3为公比的等比数列.
则，则，所以
故答案为：

展开更多......

收起↑