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压轴题02圆锥曲线压轴题十七大题型汇总
命题预测 本专题考查类型主要涉及点解析结合的相关考点，本考点主要压轴题类型，包含了新定的考点，解析几何与其他知识点的综合运用等。 预计2024年后命题会在上述几个方面进行考查，尤其是各方面知识点的综合与新考点问题等。
高频考法 题型01离心率问题 题型02三角换元法的运用 题型03新定义问题 题型04解析几何与立体几何结合 题型05解析几何与导数结合问题 题型06解析几何的实际应用 题型07切线、斜率相关问题 题型08模长相关问题 题型09解析几何新考点 题型10解析几何之类比距离问题 题型11解析几何与数列结合 题型12解析几何中的定值问题 题型13解析几何与向量结合 题型14解析几何中的定点问题 题型15解析几何中的取值范围问题 题型16解析几何中的存在问题 题型17轨迹方程问题
01离心率问题
1.（23-24高三下·浙江·开学考试）双曲线的左右焦点分别为是双曲线右支上一点，点关于平分线的对称点也在此双曲线上，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2. （2024·内蒙古赤峰·一模）如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下面的题目：已知曲线C的方程为，其左、右焦点分别是，，直线l与椭圆C切于点P，且，过点P且与直线l垂直的直线与椭圆长轴交于点M，则（ ）
A． B． C． D．
3. （2024·河南信阳·模拟预测）一光源在桌面的正上方，半径为2的球与桌面相切，且PA与球相切，小球在光源的中心投影下在桌面产生的投影为一椭圆（其中球与截面的切点即为椭圆的焦点），如图所示，形成一个空间几何体，且正视图是，其中，则该椭圆的离心率 .
4. （2024·山东·一模）如图，在中，已知，其内切圆与AC边相切于点D，且，延长BA到E，使，连接CE，设以E，C为焦点且经过点A的椭圆的离心率为，以E，C为焦点且经过点A的双曲线的离心率为，则的取值范围是 ．
5. （2024·浙江杭州·二模）机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为，开口直径为．旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，椭圆的离心率等于 ．
02三角换元法的运用
利用三角函数的定义解题：（1）角的顶点与坐标原点重合；（2）角的始边与轴正半轴重合；在角的终边上任取一点，该点到原点的距离，则：；； .
6.（23-24高三下·浙江·开学考试）是圆上一动点，为的中点，为坐标原点，则的最大值为 .
7. （2024高三·全国·专题练习）已知平面直角坐标系中的定点，，，动点，其中现将坐标平面沿x轴翻折成平面角为的二面角，则C，P两点间距离的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8. （2023·湖北·二模）已知动直线l的方程为，，，O为坐标原点，过点O作直线l的垂线，垂足为Q，则线段PQ长度的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9. （2024·浙江绍兴·二模）过点作圆的切线，为切点，，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
10. （2024·山东烟台·一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为1的圆沿着轴正向无滑动地滚动，点为圆上一个定点，其初始位置为原点为绕点转过的角度（单位：弧度，）.

(1)用表示点的横坐标和纵坐标；
(2)设点的轨迹在点处的切线存在，且倾斜角为，求证：为定值；
(3)若平面内一条光滑曲线上每个点的坐标均可表示为，则该光滑曲线长度为，其中函数满足.当点自点滚动到点时，其轨迹为一条光滑曲线，求的长度.
03新定义问题
涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.
11.（2024·浙江宁波·二模）在平面直角坐标系中，定义为两点间的“曼哈顿距离”.已知椭圆，点在椭圆上，轴.点满足.若直线与的交点在轴上，则的最大值为 .
12. （2024·浙江·模拟预测）如图，由部分椭圆和部分双曲线，组成的曲线称为“盆开线”．曲线与轴有两个交点，且椭圆与双曲线的离心率之积为．
(1)设过点的直线与相切于点，求点的坐标及直线的方程；
(2)过的直线与相交于点三点，求证：．
13. （2024·安徽·二模）在平面直角坐标系中，利用公式①（其中，，，为常数），将点变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由，，，组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母，，…表示．
(1)在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转得到点（到原点距离不变），求点的坐标；
(2)如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转角得到点（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；
(3)向量（称为行向量形式），也可以写成，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式①可以表示为：，则称是二阶矩阵与向量的乘积，设是一个二阶矩阵，，是平面上的任意两个向量，求证：．
14. （多选）（2024·辽宁鞍山·二模）在平面直角坐标系中，定义为点到点的“折线距离”．点是坐标原点，点在直线上，点在圆上，点在抛物线上．下列结论中正确的结论为（ ）
A．的最小值为2 B．的最大值为
C．的最小值为 D．的最小值为
15. （2024·上海静安·二模）我们称如图的曲线为“爱心线”，其上的任意一点都满足方程，现将一边在x轴上，另外两个顶点在爱心线上的矩形称为心吧．若已知点“爱心线”上任意一点的最小距离为，则用表示心吧面积的最大值为 ．
04解析几何与立体几何结合
16.（2023·江西南昌·三模）艾溪湖大桥由于设计优美，已成为南昌市的一张城市名片.该大桥采用对称式外倾式拱桥结构，与桥面外伸的圆弧形人行步道相对应，寓意“张开双臂，拥抱蓝天”，也有人戏称：像一只展翅的蝴蝶在翩翩起舞（如图）.其中像蝴蝶翅膀的叫桥的拱肋（俗称拱圈），外形是抛物线，最高点即抛物线的顶点在桥水平面的投影恰为劣弧的中点（图2），拱圈在竖直平面内投影的高度为，劣弧所在圆的半径为，拱跨度为，桥面宽为，则关于大桥两个拱圈所在平面夹角的余弦值，下列最接近的值是（ ）（已知

A． B． C． D．
17. （2024·河南·模拟预测）如图所示，在圆锥内放入两个球，它们都与圆锥的侧面相切（即与圆锥的每条母线相切），且这两个球都与平面α相切，切点分别为 ，数学家丹德林利用这个模型证明了平面α与圆锥侧面的交线为椭圆，记为Γ，为椭圆Γ的两个焦点.设直线分别与该圆锥的母线交于A，B两点，过点A的母线分别与球相切于 C，D 两点，已知以直线为x轴，在平面α内，以线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系.
(1)求椭圆Γ的标准方程.
(2)点 T在直线上，过点T作椭圆Γ的两条切线，切点分别为M，N，A，B分别是椭圆Γ的左、右顶点，连接，设直线与交于点P.证明:点 P 在直线上.
18. （20-21高三上·全国·阶段练习）已知直线BC垂直单位圆O所在的平面，且直线BC交单位圆于点A，，P为单位圆上除A外的任意一点，l为过点P的单位圆O的切线，则（　　）
A．有且仅有一点P使二面角取得最小值
B．有且仅有两点P使二面角取得最小值
C．有且仅有一点P使二面角取得最大值
D．有且仅有两点P使二面角取得最大值
19 .（2024·全国·模拟预测）人类对地球形状的认识经历了漫长的历程．古人认为宇宙是“天圆地方”的，以后人们又认为地球是个圆球.17世纪，牛顿等人根据力学原理提出地球是扁球的理论，这一理论直到1739年才为南美和北欧的弧度测量所证实．其实，之前中国就曾进行了大规模的弧度测量，发现纬度越高，每度子午线弧长越长的事实，这同地球两极略扁，赤道隆起的理论相符．地球的形状类似于椭球体，椭球体的表面为椭球面，在空间直角坐标系下，椭球面，这说明椭球完全包含在由平面所围成的长方体内，其中按其大小，分别称为椭球的长半轴、中半轴和短半轴．某椭球面与坐标面的截痕是椭圆.
(1)已知椭圆在其上一点处的切线方程为．过椭圆的左焦点作直线与椭圆相交于两点，过点分别作椭圆的切线，两切线交于点，求面积的最小值．
(2)我国南北朝时期的伟大科学家祖暅于5世纪末提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．祖暅原理用现代语言可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．当时，椭球面围成的椭球是一个旋转体，类比计算球的体积的方法，运用祖暅原理求该椭球的体积．
20. （2024·河北石家庄·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，过点的动直线交于A，B两点，点在轴上方，且不与轴垂直，的周长为，直线与交于另一点，直线与交于另一点，点为椭圆的下顶点，如图①.
(1)当点为椭圆的上顶点时，将平面xOy沿轴折叠如图②，使平面平面，求异面直线与所成角的余弦值；
(2)若过作，垂足为.
（i）证明:直线过定点；
（ii）求的最大值.
05解析几何与导数结合问题
21.（多选）（2024·浙江杭州·二模）过点的直线与抛物线C：交于两点．抛物线在点处的切线与直线交于点，作交于点，则（ ）
A．直线与抛物线C有2个公共点
B．直线恒过定点
C．点的轨迹方程是
D．的最小值为
22. （23-24高三下·江苏泰州·阶段练习）已知抛物线：，焦点为，过作轴的垂线，点在轴下方，过点作抛物线的两条切线，，，分别交轴于，两点，，分别交于，两点．
(1)若，与抛物线相切于，两点，求点的坐标；
(2)证明：的外接圆过定点；
(3)求面积的最小值．
23. （2024·四川德阳·二模）已知双曲线的左，右顶点分别为是双曲线上不同于，的一点，设直线的斜率分别为，则当取得最小值时，双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
24. （2024·全国·模拟预测）已知是坐标原点，抛物线的焦点为，点在上，线段是圆的一条直径，且的最小值为．
(1)求的方程；
(2)过点作圆的两条切线，与分别交于异于点的点，求直线斜率的最大值．
25. （多选）（2024·河南信阳·模拟预测）太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相互统一的和谐美．定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数”下列有关说法中正确的是（ ）
A．对圆的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数；
B．函数是圆的一个太极函数；
C．存在圆，使得是圆的太极函数；
D．直线所对应的函数一定是圆的太极函数．
06解析几何的实际应用
26.（2024·浙江·模拟预测）应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜，这种望远镜的特点是，镜铜可以很短而观察天体运动又很清楚．某天文仪器厂设计制造的一种反射式望远镜，其光学系统的原理如图（中心截口示意图）所示．其中，一个反射镜弧所在的曲线为抛物线，另一个反射镜弧所在的曲线为双曲线一个分支．已知是双曲线的两个焦点，其中同时又是抛物线的焦点，且，的面积为10，，则抛物线方程为 ．

27. （2024·浙江·二模）如图为世界名画《星月夜》，在这幅画中，文森特·梵高用夸张的手法，生动地描绘了充满运动和变化的星空.假设月亮可看作半径为1的圆的一段圆弧，且弧所对的圆心角为.设圆的圆心在点与弧中点的连线所在直线上.若存在圆满足：弧上存在四点满足过这四点作圆的切线，这四条切线与圆也相切，则弧上的点与圆上的点的最短距离的取值范围为 .（参考数据：）
28. （2024·山西晋中·模拟预测）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：如图用一张圆形纸片，按如下步骤折纸：
步骤1：设圆心是，在圆内异于圆心处取一定点，记为；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点（即折叠后图中的点与点重合）；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与的交点为；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.
现取半径为4的圆形纸片，设点到圆心的距离为，按上述方法折纸.以线段的中点为原点，线段所在直线为轴建立平面直角坐标系，记动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)设轨迹与轴从左到右的交点为点，，为直线上的一动点（点不在轴上），连接交椭圆于点，连接并延长交椭圆于点.是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
29. （2024·全国·模拟预测）已知一个玻璃酒杯盛酒部分的轴截面是抛物线，其通径长为1，现有一个半径为的玻璃球放入该玻璃酒杯中，要使得该玻璃球接触到杯底（盛酒部分），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
30. （2024·上海静安·二模）江南某公园内正在建造一座跨水拱桥．如平面图所示，现已经在地平面以上造好了一个外沿直径为20米的半圆形拱桥洞，地平面与拱桥洞外沿交于点与点． 现在准备以地平面上的点与点为起点建造上、下桥坡道，要求：①；②在拱桥洞左侧建造平面图为直线的坡道，坡度为 （坡度为坡面的垂直高度和水平方向的距离的比）；③在拱桥洞右侧建造平面图为圆弧的坡道；④在过桥的路面上骑车不颠簸．
(1)请你设计一条过桥道路，画出大致的平面图，并用数学符号语言刻画与表达出来；
(2)并按你的方案计算过桥道路的总长度；（精确到0.1米）
(3)若整个过桥坡道的路面宽为10米，且铺设坡道全部使用混凝土．请设计出所铺设路面的相关几何体，提出一个实际问题，写出解决该问题的方案，并说明理由 （如果需要，可通过假设的运算结果列式说明，不必计算）．
07切线、斜率相关问题
过圆上一点的切线方程为：， 过圆外一点的切点弦方程为：. 过椭圆上一点的切线方程为， 过椭圆外一点的切点弦方程为; 过双曲线上一点的切线方程为, 过双曲线外一点的切点弦方程为,
31.（多选）（2024·浙江金华·模拟预测）已知椭圆为原点，过第一象限内椭圆外一点作椭圆的两条切线，切点分别为A，B．记直线的斜率分别为，若，则（ ）
A．为定值 B．为定值
C．的最大值为2 D．的最小值为4
32. （2024·全国·模拟预测）费马原理，也称为时间最短原理：光传播的路径是光程取极值的路径．在凸透镜成像中，根据费马原理可以推出光线经凸透镜至像点的总光程为定值（光程为光在某介质中传播的路程与该介质折射率的乘积）．一般而言，空气的折射率约为1．如图是折射率为2的某平凸透镜的纵截面图，其中平凸透镜的平面圆直径为6，且与轴交于点．平行于轴的平行光束从左向右照向该平凸透镜，所有光线经折射后全部汇聚在点处并在此成像．（提示：光线从平凸透镜的平面进入时不发生折射）

(1)设该平凸透镜纵截面中的曲线为曲线，试判断属于哪一种圆锥曲线，并求出其相应的解析式．
(2)设曲线为解析式同的完整圆锥曲线，直线与交于，两点，交轴于点，交轴于点（点不与的顶点重合）．若，，试求出点所有可能的坐标．
33. （2024·山东临沂·一模）动圆与圆和圆都内切，记动圆圆心的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为，则曲线上一点处的切线方程为：，试运用该性质解决以下问题：点为直线上一点（不在轴上），过点作的两条切线，切点分别为.
（i）证明：直线过定点；
（ii）点关于轴的对称点为，连接交轴于点，设的面积分别为，求的最大值.
34. （2024·湖北武汉·模拟预测）某校数学问题研究小组的同学利用电脑对曲线进行了深人研究．已知点在曲线上，曲线在点处的切线方程为．请同学们研究以下问题，并作答．
(1)问题1：过曲线的焦点的直线与曲线交于两点，点在第一象限．
（i）求（为坐标原点）面积的最小值；
（ii）曲线在点处的切线分别为，两直线相交于点，证明．
(2)问题2：若是曲线上任意两点，过的中点作轴的平行线交曲线于点，记线段与曲线围成的封闭区域为，研究小组的同学利用计算机经过多次模拟实验发现是个定值，请求出这个定值．
35. （2024·浙江金华·模拟预测）已知双曲线：，F为双曲线的右焦点，过F作直线交双曲线于A，B两点，过F点且与直线垂直的直线交直线于P点，直线OP交双曲线于M，N两点．
(1)求双曲线的离心率；
(2)若直线OP的斜率为，求的值；
(3)设直线AB，AP，AM，AN的斜率分别为，，，，且，，记，，，试探究v与u，w满足的方程关系，并将v用w，u表示出来．
08模长相关问题
利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解.
36.（23-24高三下·浙江·开学考试）已知椭圆的长轴长为4，离心率为，左顶点为，过右焦点作直线与椭圆分别交于两点（异于左右顶点），连接.
(1)证明：与不可能垂直；
(2)求的最小值；
37. （2024·浙江台州·二模）已知椭圆：，直线：交椭圆于M，N两点，T为椭圆的右顶点，的内切圆为圆Q.
(1)求椭圆的焦点坐标；
(2)求圆Q的方程；
(3)设点，过P作圆Q的两条切线分别交椭圆C于点A，B，求的周长.
38. （2024·浙江金华·模拟预测）在直角坐标系中，圆Γ的圆心P在y轴上（不与重合），且与双曲线的右支交于A，B两点．已知．
(1)求Ω的离心率；
(2)若Ω的右焦点为，且圆Γ过点F，求的取值范围．
39. （2023·安徽芜湖·模拟预测）设双曲线：（，）过，，，四个点中的三个点．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线，，其中与的右支交于，两点，与直线交于点，与的右支相交于，两点，与直线交于点，求的最大值．
40. （2024高三·全国·专题练习）已知O为坐标原点，抛物线，过点的直线交抛物线于A，B两点，．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若点，连接AD，BD，证明：；
(3)已知圆G以G为圆心，1为半径，过A作圆G的两条切线，与y轴分别交于点M，N且M，N位于x轴两侧，求面积的最小值．
09解析几何新考点
41.（2024·安徽芜湖·二模）已知直线l：与曲线W：有三个交点D、E、F，且，则以下能作为直线l的方向向量的坐标是（ ）．
A． B． C． D．
42. （2023·陕西西安·模拟预测）双纽线是1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的．在平面直角坐标系中，把到定点和距离之积等于的点的轨迹称为双纽线．已知点是双纽线上一点，下列说法正确的是（ ）
①双纽线关于原点对称；②；③双纽线上满足的点只有两个；④的最大值是.
A．①②③ B．①②④ C．①② D．①②③④
43. （2024·河北邯郸·二模）已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴、轴，且过两点．
(1)求的方程．
(2)是上两个动点，为的上顶点，是否存在以为顶点，为底边的等腰直角三角形？若存在，求出满足条件的三角形的个数；若不存在，请说明理由．
44. （2024·全国·一模）我国著名科幻作家刘慈欣的小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中的“水滴”是三体文明使用新型材料-强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，其外形与水滴相似，某科研小组研发的新材料水滴角测试结果如图所示（水滴角可看作液、固、气三相交点处气—液两相界面的切线与液—固两相交线所成的角），圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆（长轴平行于液—固两者的相交线，椭圆的短半轴长小于圆的半径）的一部分，设图中用圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为，，则（ ）
附：椭圆上一点处的切线方程为.
A． B．
C． D．和的大小关系无法确定
45. （2020·上海浦东新·三模）数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物，曲线：为四叶玫瑰线，下列结论正确的有（ ）

（1）方程，表示的曲线在第二和第四象限；
（2）曲线上任一点到坐标原点的距离都不超过；
（3）曲线构成的四叶玫瑰线面积大于；
（4）曲线上有个整点横、纵坐标均为整数的点.
A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（1）（2）（4） D．（1）（3）（4）
10解析几何之类比距离问题
46.（23-24高三上·黑龙江·期末）已知直线交圆于两点，则的最小值为（ ）
A．9 B．16 C．27 D．30
47. （2024·新疆乌鲁木齐·二模）在平面直角坐标系中，重新定义两点之间的“距离”为，我们把到两定点的“距离”之和为常数的点的轨迹叫“椭圆”．
(1)求“椭圆”的方程；
(2)根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由；
(3)设，作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为的左顶点为，过作直线交于两点，的外心为，求证：直线与的斜率之积为定值．
48. （2024·江苏南通·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：的离心率为，直线l与Γ相切，与圆O：相交于A，B两点.当l垂直于x轴时，.
(1)求Γ的方程；
(2)对于给定的点集M，N，若M中的每个点在N中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为.
（ⅰ）若M，N分别为线段AB与圆O上任意一点，P为圆O上一点，当的面积最大时，求；
（ⅱ）若，均存在，记两者中的较大者为.已知，，均存在，证明：.
49. （2022·上海闵行·二模）已知直线与圆有公共点，且公共点的横 纵坐标均为整数，则满足的有（ ）
A．40条 B．46条 C．52条 D．54条
50. （2022·全国·模拟预测）设点是：上的动点，点是直线：上的动点，记，则的最小值是 ．
11解析几何与数列结合
51.（2024高三下·安徽淮北·期中）双曲线的左右焦点分别是，，点在其右支上，且满足，，则的值是（ ）
A． B． C．8056 D．8048
52. （2024·河南信阳·模拟预测）已知椭圆C：短轴长为2，左、右焦点分别为，，过点的直线l与椭圆C交于M，N两点，其中M，N分别在x轴上方和下方，，，直线与直线MO交于点，直线与直线NO交于点．
(1)若的坐标为，求椭圆C的方程；
(2)在（1）的条件下，过点并垂直于x轴的直线交C于点B，椭圆上不同的两点A，D满足，，成等差数列．求弦AD的中垂线的纵截距的取值范围；
(3)若，求实数a的取值范围．
53. （2020·江苏·模拟预测）已知函数，若对于正数，直线与函数的图像恰好有个不同的交点，则 .
54. （2024·河北·模拟预测）已知平面内定点是以为直径的圆上一动点（为坐标原点）．直线与点处的切线交于点，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为．
(1)求点的轨迹方程；
(2)求矩形面积的最大值；
(3)设的轨迹，直线与轴围成面积为，甲同学认为随的增大，也会达到无穷大，乙同学认为随的增大不会超过4，你同意哪个观点，说明理由．
55. （2016·上海·模拟预测）一青蛙从点开始依次水平向右和竖直向上跳动，其落点坐标依次是，(如图，的坐标以已知条件为准)，表示青蛙从点到点所经过的路程.
(1)点为抛物线 准线上一点，点，均在该抛物线上，并且直线 经过该抛物线的焦点，证明；
(2)若点要么落在所表示的曲线上，要么落在所表示的曲线上，并且,试写出(不需证明)；
(3)若点要么落在所表示的曲线上，要么落在所表示的曲线上，并且，求的值.
12解析几何中的定值问题
求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值
56.（2024·全国·模拟预测）已知为双曲线上异于左、右顶点的一个动点，双曲线的左、右焦点分别为，且．当时，的最小内角为．
(1)求双曲线的标准方程．
(2)连接，交双曲线于另一点，连接，交双曲线于另一点，若．
①求证：为定值；
②若直线AB 的斜率为 1 ，求点P 的坐标．
57. （2023·广东广州·模拟预测）已知双曲线，直线过的右焦点且与交于两点．
(1)若两点均在双曲线的右支上，求证：为定值；
(2)试判断以为直径的圆是否过定点？若经过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
58. （2024·全国·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是上一点.若为的内心，且.
(1)求的方程；
(2)点A是在第一象限的渐近线上的一点，且轴，点是右支上的一动点，在点处的切线与直线相交于点，与直线相交于点.证明：为定值.
59. （2024·辽宁·二模）已知点P为双曲线上任意一点，过点的切线交双曲线的渐近线于两点．
(1)证明：恰为的中点；
(2)过点分别作渐近线的平行线，与OA、OB分别交于M、N两点，判断PMON的面积是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由；
60. （2024·上海奉贤·二模）已知曲线 ，是坐标原点， 过点的直线与曲线交于，两点.
(1)当与轴垂直时，求的面积；
(2)过圆上任意一点作直线，，分别与曲线切于，两 点，求证：；

(3)过点的直线与双曲线交于，两点（，不与轴重合）.记直线的斜率为，直线斜率为， 当时，求证：与都是定值.

13解析几何与向量结合
61.（2024·上海杨浦·二模）平面上的向量、满足：，，.定义该平面上的向量集合.给出如下两个结论：
①对任意，存在该平面的向量，满足
②对任意，存在该平面向量，满足
则下面判断正确的为（ ）
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①正确，②正确 D．①错误，②错误
62. （2021·浙江宁波·模拟预测）已知平面非零向量满足，则对于任意的使得（ ）
A．恒有解 B．恒有解
C．恒无解 D．恒无解
63. （2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，，的面积为.
(1)求的方程；
(2)是上位于第一象限的一点，其横坐标为1，直线过点且与交于，两点（均异于点），点在上，设直线，，的斜率分别为，，，若，问点的横坐标是否为定值？若为定值，求出点的横坐标；若不为定值，请说明理由.
64. （2022·浙江杭州·模拟预测）已知平面向量，，，，则的取值范围是 ．
64. （2023·河北衡水·模拟预测）平面上有两组互不重合的点，与 ，，，.则的范围为（ ）.
A． B．
C． D．
14解析几何中的定点问题
求解直线过定点问题常用方法如下： (1)“特殊探路，一般证明”，即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； (2)“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； (3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.
66.（2024·上海徐汇·二模）已知椭圆，分别为椭圆的左、右顶点，分别为左、右焦点，直线交椭圆于两点（不过点）.
(1)若为椭圆上（除外）任意一点，求直线和的斜率之积；
(2)若，求直线的方程；
(3)若直线与直线的斜率分别是，且，求证：直线过定点.
67. （2024·全国·模拟预测）如图，已知抛物线，其焦点为，其准线与轴交于点，以为直径的圆交抛物线于点，连接并延长交抛物线于点，且．
(1)求的方程．
(2)过点作轴的垂线与抛物线在第一象限交于点，若抛物线上存在点，，使得．求证：直线过定点．
68. （2024·全国·模拟预测）已知椭圆的离心率为，且过点．
(1)求椭圆的标准方程．
(2)设过点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点．问：在轴上是否存在定点，使直线的斜率与的斜率的积为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由．
69. （2024·全国·一模）如图，已知椭圆的短轴长为，焦点与双曲线的焦点重合.点，斜率为的直线与椭圆交于两点.

(1)求常数的取值范围，并求椭圆的方程.
(2)(本题可以使用解析几何的方法，也可以利用下面材料所给的结论进行解答)
极点与极线是法国数学家吉拉德·迪沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述的.对于椭圆，极点（不是原点）对应的极线为，且若极点在轴上，则过点作椭圆的割线交于点，则对于上任意一点，均有（当斜率均存在时）.已知点是直线上的一点，且点的横坐标为2.连接交轴于点.连接分别交椭圆于两点.
①设直线、分别交轴于点、点，证明：点为、的中点；
②证明直线：恒过定点，并求出定点的坐标.
70 .（2024·江苏·模拟预测）交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦有应用．设，，，是直线上互异且非无穷远的四点，则称（分式中各项均为有向线段长度，例如）为，，，四点的交比，记为．
(1)证明：；
(2)若，，，为平面上过定点且互异的四条直线，，为不过点且互异的两条直线，与，，，的交点分别为，，，，与，，，的交点分别为，，，，证明：；
(3)已知第（2）问的逆命题成立，证明：若与的对应边不平行，对应顶点的连线交于同一点，则与对应边的交点在一条直线上．
15解析几何中的取值范围问题
圆锥曲线中的取值范围问题的求解方法 （1）函数法：用其他变量作为参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解． （2）不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数的取值范围． （3）判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用根的判别式求参数的取值范围． （4）数形结合法：研究参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解．
71.（2024·上海普陀·二模）设椭圆，的离心率是短轴长的倍，直线交于、两点，是上异于、的一点，是坐标原点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线过的右焦点，且，，求的值；
(3)设直线的方程为，且，求的取值范围.
72. （2024·北京顺义·二模）已知椭圆的右焦点为，长轴长为.过F作斜率为的直线交E于A，B两点，过点F作斜率为的直线交E于C，D两点，设，的中点分别为M，N.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若，设点F到直线的距离为d，求d的取值范围.
73. （2024·上海闵行·二模）如图，已知椭圆和抛物线，的焦点是的上顶点，过的直线交于、两点，连接、并延长之，分别交于、两点，连接，设、的面积分别为、．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的取值范围.
74. （2024·全国·模拟预测）已知椭圆的左、右顶点分别为，直线的斜率为，直线与椭圆交于另一点，且点到轴的距离为．
(1)求椭圆的方程．
(2)若点是上与点不重合的任意一点，直线与轴分别交于点．
①设直线的斜率分别为，求的取值范围．
②判断是否为定值．若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由．
75. （2024·浙江绍兴·二模）已知抛物线：的焦点到准线的距离为2，过点作直线交于M，N两点，点，记直线，的斜率分别为，.
(1)求的方程；
(2)求的值；
(3)设直线交C于另一点Q，求点B到直线距离的最大值.
16解析几何中的存在问题
对于圆锥曲线中探索性问题，求解步骤如下： 第一步：假设结论存在； 第二步：结合已知条件进行推理求解； 第三步：若能推出合理结果，经验证成立即可肯定正确；若推出矛盾，即否定假设； 第四步：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范．
76.（2024·上海黄浦·二模）如图，已知是中心在坐标原点、焦点在轴上的椭圆，是以的焦点为顶点的等轴双曲线，点是与的一个交点，动点在的右支上且异于顶点.
(1)求与的方程；
(2)若直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，求点的坐标；
(3)设直线的斜率分别为，直线与相交于点，直线与相交于点， ，，求证：且存在常数使得 .
77. （2024·上海杨浦·二模）已知椭圆：的上顶点为，离心率，过点的直线与椭圆交于，两点，直线、分别与轴交于点、.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知命题“对任意直线，线段的中点为定点”为真命题，求的重心坐标；
(3)是否存在直线，使得？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由.（其中、分别表示、的面积）
78. （2023·山西·模拟预测）已知双曲线C：的渐近线与圆的一个交点为．
(1)求C的方程．
(2)过点A作两条相互垂直的直线和，且与C的左、右支分别交于B，D两点，与C的左、右支分别交于E，F两点，判断能否成立．若能，求该式成立时直线的方程；若不能，说明理由．
79. （2024·上海崇明·二模）已知椭圆，为的上顶点，是上不同于点的两点．
(1)求椭圆的离心率；
(2)若是椭圆的右焦点，是椭圆下顶点，是直线上一点.若有一个内角为，求点的坐标；
(3)作，垂足为．若直线与直线的斜率之和为，是否存在轴上的点，使得为定值？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
80. （2024·上海松江·二模）如图，椭圆的上、下焦点分别为、，过上焦点与轴垂直的直线交椭圆于、两点，动点、分别在直线与椭圆上.
(1)求线段的长；
(2)若线段的中点在轴上，求的面积；
(3)是否存在以、为邻边的矩形，使得点在椭圆上？若存在，求出所有满足条件的点的纵坐标；若不存在，请说明理由.
17轨迹方程问题
立体几何中与动点轨迹有关的题目的方法： 对点线面关系的认知，其中更多涉及了平行和垂直的一些证明方法，在此类问题中要么很容易的看出动点符合什么样的轨迹(定义)，要么通过计算(建系)求出具体的轨迹表达式，和解析几何中的轨迹问题并没有太大区别，所求的轨迹一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型.
81.（2024·广东韶关·二模）已知椭圆的离心率为，长轴长为4，是其左、右顶点，是其右焦点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设是椭圆上一点，的角平分线与直线交于点．
①求点的轨迹方程；
②若面积为，求．
82. （2024·江苏苏州·模拟预测）已知点，，和动点满足是，的等差中项．
(1)求点的轨迹方程；
(2)设点的轨迹为曲线按向量平移后得到曲线，曲线上不同的两点M，N的连线交轴于点，如果（为坐标原点）为锐角，求实数的取值范围；
(3)在（2）的条件下，如果时，曲线在点和处的切线的交点为，求证：在一条定直线上．
83. （多选）（2024·广东梅州·二模）如图，平面 ，，M为线段AB的中点，直线MN与平面的所成角大小为30°，点P为平面内的动点，则（ ）
A．以为球心，半径为2的球面在平面上的截痕长为
B．若P到点M和点N的距离相等，则点P的轨迹是一条直线
C．若P到直线MN的距离为1，则的最大值为
D．满足的点P的轨迹是椭圆
84 .（2024·辽宁沈阳·二模）以坐标原点为圆心的两个同心圆半径分别为和，为大圆上一动点，大圆半径与小圆相交于点轴于于点的轨迹为．
(1)求点轨迹的方程；
(2)点，若点在上，且直线的斜率乘积为，线段的中点，当直线与轴的截距为负数时，求的余弦值．
85. （2024·辽宁丹东·一模）我们所学过的椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线，都有令人惊奇的光学性质，且这些光学性质都与它们的焦点有关．如从双曲线的一个焦点处出发的光线照射到双曲线上，经反射后光线的反向延长线会经过双曲线的另一个焦点（如图所示，其中是反射镜面也是过点处的切线）．已知双曲线（，）的左右焦点分别为，，从处出发的光线照射到双曲线右支上的点P处（点P在第一象限），经双曲线反射后过点．

(1)请根据双曲线的光学性质，解决下列问题：
当，，且直线的倾斜角为时，求反射光线所在的直线方程；
(2)从处出发的光线照射到双曲线右支上的点处，且三点共线，经双曲线反射后过点，，，延长，分别交两条渐近线于，点是的中点，求证：为定值．
(3)在（2）的条件下，延长交y轴于点，当四边形的面积为8时，求的方程．
86. （2024·安徽池州·二模）造纸术是中国四大发明之一，彰显了古代人民的智慧.根据史料记载盛唐时期折纸艺术开始流行，19世纪折纸与数学研究相结合，发展成为折纸几何学.在一次数学探究课上，学生们研究了圆锥曲线的包络线折法.如图，在一张矩形纸片上取一点，记矩形一边所在直线为，将点折叠到上（即），不断重复这个操作，就可以得到由这些折痕包围形成的抛物线，这些折痕就是抛物线的包络线.在抛物线的所有包络线中，恰好过点的包络线所在的直线方程为 .

87. （2024·湖南·二模）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.
(1)若圆是直线族的包络曲线，求满足的关系式；
(2)若点不在直线族：的任意一条直线上，求的取值范围和直线族的包络曲线；
(3)在（2）的条件下，过曲线上两点作曲线的切线，其交点为.已知点，若三点不共线，探究是否成立？请说明理由.
88. （2023·全国·三模）已知双曲线上的所有点构成集合和集合，坐标平面内任意点，直线称为点关于双曲线的“相关直线”．
(1)若，判断直线与双曲线的位置关系，并说明理由；
(2)若直线与双曲线的一支有2个交点，求证：；
(3)若点，点在直线上，直线交双曲线于，，求证：．
89．(多选)（2023·浙江·三模）已知椭圆，其右焦点为，以为端点作条射线交椭圆于，且每两条相邻射线的夹角相等，则（ ）
A．当时，
B．当时，的面积的最小值为
C．当时，
D．当时，过作椭圆的切线，且交于点交于点，则的斜率乘积为定值
90．（2021·江苏南京·一模）设为定点，是抛物线：上的一点，若抛物线在处的切线恰好与，两点的连线互相垂直，则称点为点的“伴点”．
（1）求抛物线的焦点的“伴点”；
（2）设，问：当且仅当，满足什么条件时，点有三个“伴点”？试证明你的结论．压轴题02圆锥曲线压轴题十七大题型汇总
命题预测 本专题考查类型主要涉及点解析结合的相关考点，本考点主要压轴题类型，包含了新定的考点，解析几何与其他知识点的综合运用等。 预计2024年后命题会在上述几个方面进行考查，尤其是各方面知识点的综合与新考点问题等。
高频考法 题型01离心率问题 题型02三角换元法的运用 题型03新定义问题 题型04解析几何与立体几何结合 题型05解析几何与导数结合问题 题型06解析几何的实际应用 题型07切线、斜率相关问题 题型08模长相关问题 题型09解析几何新考点 题型10解析几何之类比距离问题 题型11解析几何与数列结合 题型12解析几何中的定值问题 题型13解析几何与向量结合 题型14解析几何中的定点问题 题型15解析几何中的取值范围问题 题型16解析几何中的存在问题 题型17轨迹方程问题
01离心率问题
1.（23-24高三下·浙江·开学考试）双曲线的左右焦点分别为是双曲线右支上一点，点关于平分线的对称点也在此双曲线上，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图，由题意可知且三点共线，设，根据双曲线的定义求得，，，在、中分别利用余弦定理计算即可求解.
【详解】如图，设关于平分线的对称点为Q，则该角平分线为线段的垂直平分线，
所以，且三点共线，设，
则，，所以，
在中，由余弦定理，得，
又，所以，解得，所以，
在中，由余弦定理，得，
整理，得，由，解得.
即双曲线的离心率为.
故选：B
2. （2024·内蒙古赤峰·一模）如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下面的题目：已知曲线C的方程为，其左、右焦点分别是，，直线l与椭圆C切于点P，且，过点P且与直线l垂直的直线与椭圆长轴交于点M，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据椭圆定义和光的反射定理，以及角平分线定理可得
【详解】由已知得，，
由椭圆定义可得，
根据光的反射定理可得为的角平分线，
由正弦定理，
所以，，又
所以
即.
故选：D.
3. （2024·河南信阳·模拟预测）一光源在桌面的正上方，半径为2的球与桌面相切，且PA与球相切，小球在光源的中心投影下在桌面产生的投影为一椭圆（其中球与截面的切点即为椭圆的焦点），如图所示，形成一个空间几何体，且正视图是，其中，则该椭圆的离心率 .
【答案】/0.5
【分析】作出球的截面图，易得，结合正切的二倍角公式求出的值，进而知长轴的长，再由球与相切的切点为椭圆的一个焦点，可得的值，最后由，得解．
【详解】如图，是球的一个截面，圆分别与相切于点，，
因为，球的半径为2，所以，，
所以，
所以，
因为是椭圆的长轴长，所以，所以，
根据球与相切的切点为椭圆的一个焦点，
所以，所以，
所以离心率．
故答案为：．
4. （2024·山东·一模）如图，在中，已知，其内切圆与AC边相切于点D，且，延长BA到E，使，连接CE，设以E，C为焦点且经过点A的椭圆的离心率为，以E，C为焦点且经过点A的双曲线的离心率为，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】设分别是与圆的切点，设，利用椭圆，双曲线的定义分切求出的表达式，进而可得的表达式，然后求出的取值范围即可的解.
【详解】如图以的中点为原点直角坐标系，设分别是与圆的切点，由圆的切线性质得，
设，所以，，
在中，，
以为焦点经过点的双曲线的离心率为，
以为焦点经过点的椭圆的离心率为，
则，
在中，设，所以，，
由余弦定理可得，
所以，所以，得，
由对勾函数的单调性可得函数在上单调递增，
所以.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：根据圆锥曲线的定义结合条件表示出，然后根据余弦定理结合条件求出参数的取值范围是解出此题的关键.
5. （2024·浙江杭州·二模）机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为，开口直径为．旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，椭圆的离心率等于 ．
【答案】/
【分析】依题意，利用等腰三角形求得,再由余弦定理求出椭圆长轴长，作出圆锥的轴截面交椭圆于点，建立坐标系，利用三角形重心性质和相似三角形求出点坐标，代入椭圆方程即可求得半短轴长，利用离心率定义计算即得.
【详解】
如图，设,因,故，又,
由余弦定理，，
即,
设椭圆中心为,作圆锥的轴截面,与底面直径交于，与椭圆交于，
连交于，以点为原点，为轴，建立直角坐标系.
则,又由得 ,
从而则得,
不妨设椭圆方程为，把和点坐标代入方程，解得，
则，故
故答案为：.
02三角换元法的运用
利用三角函数的定义解题：（1）角的顶点与坐标原点重合；（2）角的始边与轴正半轴重合；在角的终边上任取一点，该点到原点的距离，则：；； .
6.（23-24高三下·浙江·开学考试）是圆上一动点，为的中点，为坐标原点，则的最大值为 .
【答案】
【分析】写出圆的参数方程，进而可得点坐标，结合两点间距离公式转化为求三角函数的最值即可.
【详解】如图所示，
因为圆：的参数方程为，
所以设点，则的中点，
所以，
当时，取得最大值为.
故答案为：.
7. （2024高三·全国·专题练习）已知平面直角坐标系中的定点，，，动点，其中现将坐标平面沿x轴翻折成平面角为的二面角，则C，P两点间距离的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先求出动点的轨迹方程，然后利用椭圆的参数方程求解空间中两点C，P的距离．
【详解】由，得动点的轨迹方程为，
于是可设；设上半椭圆所在平面为，下半椭圆所在平面为，
当时，，
因为，，所以，从而；
若，依题意，点C到平面上的距离为，射影点，
于是，
因为， ，此时，从．
综上可得，，
故选：A ．
8. （2023·湖北·二模）已知动直线l的方程为，，，O为坐标原点，过点O作直线l的垂线，垂足为Q，则线段PQ长度的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用万能公式将直线方程化为，求出过原点与直线垂直的直线方程，进而得出点的轨迹为圆心为半径为3的圆，进而转化为点到圆的距离即可求解.
【详解】由可得，
令，由万能公式可得，
，所以直线的方程为①，
由题意可知过原点与直线垂直的直线方程为②，
可得，即表示点的轨迹为圆心为半径为3的圆，
于是线段长度的取值范围为，因为，
所以线段PQ长度的取值范围为，
故选：B.
9. （2024·浙江绍兴·二模）过点作圆的切线，为切点，，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可得，三角换元令，，，利用三角恒变换求出最大值.
【详解】根据题意，设圆的圆心为，则，
，令，，，
则，其中，
所以的最大值为.
故选：D.
10. （2024·山东烟台·一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为1的圆沿着轴正向无滑动地滚动，点为圆上一个定点，其初始位置为原点为绕点转过的角度（单位：弧度，）.

(1)用表示点的横坐标和纵坐标；
(2)设点的轨迹在点处的切线存在，且倾斜角为，求证：为定值；
(3)若平面内一条光滑曲线上每个点的坐标均可表示为，则该光滑曲线长度为，其中函数满足.当点自点滚动到点时，其轨迹为一条光滑曲线，求的长度.
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3)8.
【分析】（1）根据给定条件，结合三角函数及弧长计算求解.
（2）利用复合函数的求导公式，求出切线斜率，再借助三角恒等变换推理即得.
（3）由（1）及给定信息，求出并确定原函数，再求出弧长即得.
【详解】（1）依题意，，则，
所以.
（2）由复合函数求导公式及（1）得，因此，
而
，
所以为定值1.
（3）依题意，.
由，得，则，于是（为常数），
则，
所以的长度为8.
【点睛】结论点睛：函数是区间D上的可导函数，则曲线在点 处的切线方程为：.
03新定义问题
涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.
11.（2024·浙江宁波·二模）在平面直角坐标系中，定义为两点间的“曼哈顿距离”.已知椭圆，点在椭圆上，轴.点满足.若直线与的交点在轴上，则的最大值为 .
【答案】
【分析】先根据条件找出坐标的关系，结合三角换元可得答案.
【详解】设,由题意，；
不妨设点位于第一象限，由可得,
设直线与的交点为，则有,;
，
由可得，整理得①；
，
由可得，整理得②；
联立①②可得，由题意，所以，
由椭圆的对称性可知，
，
因为，设，，
，其中；
所以当时，取到最大值.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有三个：一是理解新定义的含义；二是根据条件找出坐标的关系;三是借助三角函数求解最值.
12. （2024·浙江·模拟预测）如图，由部分椭圆和部分双曲线，组成的曲线称为“盆开线”．曲线与轴有两个交点，且椭圆与双曲线的离心率之积为．
(1)设过点的直线与相切于点，求点的坐标及直线的方程；
(2)过的直线与相交于点三点，求证：．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）根据离心率乘积以及，可求得，可得椭圆方程和双曲线方程，设切点为，可得切线方程，由过点，即可求解和直线方程；
（2）设出直线方程，联立椭圆方程和双曲线方程，利用韦达定理，结合的斜率之和为零，即可求证.
【详解】（1）由题设可得,，
故椭圆方程为：，双曲线方程为．
由图可知，切点在双曲线上．
设，则，则切线的方程为：，
因为直线过点，所以，，
将代入，得，
所以，，直线的方程为：．
（2）由题意可得的斜率存在且不为零，故设方程为：，
联立整理得：，
,即且,
解得：或，即．
联立整理得：，
解得：或，即．
所以，
所以，所以．
13. （2024·安徽·二模）在平面直角坐标系中，利用公式①（其中，，，为常数），将点变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由，，，组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母，，…表示．
(1)在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转得到点（到原点距离不变），求点的坐标；
(2)如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转角得到点（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；
(3)向量（称为行向量形式），也可以写成，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式①可以表示为：，则称是二阶矩阵与向量的乘积，设是一个二阶矩阵，，是平面上的任意两个向量，求证：．
【答案】(1)
(2)，
(3)证明见解析
【分析】（1）利用三角函数的定义得到旋转之前的和，再由两角和的正弦、余弦公式得到点的坐标；
（2）利用三角函数的定义得到旋转之前的和，再由两角和的正弦、余弦公式得到点的坐标，再根据变换公式的定义得到变换公式及与之对应的二阶矩阵；
（3）根据定义分别计算、、，证明即可.
【详解】（1）可求得，设，则，，
设点，，
故
所以.
（2）设，，则，，，
故
所以坐标变换公式为，
该变换所对应的二阶矩阵为
（3）设矩阵，向量，，则．
，
对应变换公式为：，
，
所以
故对应变换公式同样为
所以得证.
【点睛】方法点睛：利用三角函数的定义解题：（1）角的顶点与坐标原点重合；（2）角的始边与轴正半轴重合；在角的终边上任取一点，该点到原点的距离，则：；； .
14. （多选）（2024·辽宁鞍山·二模）在平面直角坐标系中，定义为点到点的“折线距离”．点是坐标原点，点在直线上，点在圆上，点在抛物线上．下列结论中正确的结论为（ ）
A．的最小值为2 B．的最大值为
C．的最小值为 D．的最小值为
【答案】BCD
【分析】对A，根据折线距离的定义，写出，利用绝对值放缩和绝对值不等式，可判断对错；
对B，根据折线距离的定义，写出，利用基本（均值）不等式可判断对错；
对C：利用圆的参数方程，结合折线距离的定义，写出，利用绝对值放缩和绝对值不等式，结合三角函数的最值，可判断对错；
对D：利用抛物线的参数方程，，结合折线距离的定义，写出，利用绝对值放缩和绝对值不等式，结合二次函数的值域，可判断对错.
【详解】对A：设，则 （当且仅当时取“”）.故A错；
对B：设，则.则 ，故B对；
对C：设，，则
（当且仅当，时取“”）.故C对；
对D：设，，则
（当且仅当时取“”）.故D正确.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：本题的关键之一是对“折线距离”的理解，根据新定义，写出折线距离；关键之二是含有绝对值的式子的处理，可根据绝对值的放缩和绝对值不等式，去掉绝对值的符号再求相关最值.
15. （2024·上海静安·二模）我们称如图的曲线为“爱心线”，其上的任意一点都满足方程，现将一边在x轴上，另外两个顶点在爱心线上的矩形称为心吧．若已知点“爱心线”上任意一点的最小距离为，则用表示心吧面积的最大值为 ．
【答案】
【分析】根据题意，得到，曲线上任意一点求得的最小值为，进而求得心吧面积的最大值.
【详解】解：由曲线方程，
由点“爱心线”上任意一点且点在轴的右侧，
所以点“爱心线”上任意一点的最小距离，一定出现在爱心线位于轴的右侧的点，
当时，可得，
设曲线上任意一点，且，
有，
因为的最小值为，所以的最小值为，
当时，心吧面积为的最小值为；
当时，心吧面积为的最大值为.
故答案为：.
04解析几何与立体几何结合
16.（2023·江西南昌·三模）艾溪湖大桥由于设计优美，已成为南昌市的一张城市名片.该大桥采用对称式外倾式拱桥结构，与桥面外伸的圆弧形人行步道相对应，寓意“张开双臂，拥抱蓝天”，也有人戏称：像一只展翅的蝴蝶在翩翩起舞（如图）.其中像蝴蝶翅膀的叫桥的拱肋（俗称拱圈），外形是抛物线，最高点即抛物线的顶点在桥水平面的投影恰为劣弧的中点（图2），拱圈在竖直平面内投影的高度为，劣弧所在圆的半径为，拱跨度为，桥面宽为，则关于大桥两个拱圈所在平面夹角的余弦值，下列最接近的值是（ ）（已知

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意求得，从而得到，再利用对称性与余弦的倍角公式，结合齐次式弦化切即可得解.
【详解】设弧的中点为，弦的中点为，圆心为，拱圈的顶点为，

有，易知，
则，故，
设，则，
根据对称性两个拱圈所在平面的夹角的余弦值为：.
故选：A.
17. （2024·河南·模拟预测）如图所示，在圆锥内放入两个球，它们都与圆锥的侧面相切（即与圆锥的每条母线相切），且这两个球都与平面α相切，切点分别为 ，数学家丹德林利用这个模型证明了平面α与圆锥侧面的交线为椭圆，记为Γ，为椭圆Γ的两个焦点.设直线分别与该圆锥的母线交于A，B两点，过点A的母线分别与球相切于 C，D 两点，已知以直线为x轴，在平面α内，以线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系.
(1)求椭圆Γ的标准方程.
(2)点 T在直线上，过点T作椭圆Γ的两条切线，切点分别为M，N，A，B分别是椭圆Γ的左、右顶点，连接，设直线与交于点P.证明:点 P 在直线上.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据切线长定理可得，可得，，从而可求解.
（2）根据题意设出直线，分别与椭圆方程联立，再结合根与系数的关系从而可求解.
【详解】（1）设椭圆Γ的标准方程为 ，
由切线长定理知，
则，解得.
由，解得 .
所以椭圆Γ的标准方程为
（2）
设,
已知，设，
联立方程组 ，
消去 y得 ，
显然，
由，可得 ，，
所以，
联立方程组，
消去 y得 ，
显然，
由，可得 ，，
同理
因为 M，N是切点，且，所以直线的方程为 ，即，
显然直线MN过定点，即M，D，N三点共线，则 ，
解得或（舍去），
联立方程组，解得 ，
即点 P 在直线上.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
18. （20-21高三上·全国·阶段练习）已知直线BC垂直单位圆O所在的平面，且直线BC交单位圆于点A，，P为单位圆上除A外的任意一点，l为过点P的单位圆O的切线，则（　　）
A．有且仅有一点P使二面角取得最小值
B．有且仅有两点P使二面角取得最小值
C．有且仅有一点P使二面角取得最大值
D．有且仅有两点P使二面角取得最大值
【答案】D
【分析】先作出二面角的平面角，表示出二面角的正切值，再构造辅助函数，最后用导数求最值方法判断．
【详解】过A作于M，连接MB、MC，如图所示，
因为直线BC垂直单位圆O所在的平面，直线在平面内，且直线BC交单位圆于点A，
所以，平面，，所以平面，
平面，所以，，
所以是二面角的平面角，
设，，，，则，
由已知得，，
， ， ，
令，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，当时，取最大值，没有最小值，
即当时取最大值，从而取最大值，
由对称性知当时，对应P点有且仅有两个点，
所以有且仅有两点P使二面角B﹣l﹣C取得最大值．
故选：D．
19 .（2024·全国·模拟预测）人类对地球形状的认识经历了漫长的历程．古人认为宇宙是“天圆地方”的，以后人们又认为地球是个圆球.17世纪，牛顿等人根据力学原理提出地球是扁球的理论，这一理论直到1739年才为南美和北欧的弧度测量所证实．其实，之前中国就曾进行了大规模的弧度测量，发现纬度越高，每度子午线弧长越长的事实，这同地球两极略扁，赤道隆起的理论相符．地球的形状类似于椭球体，椭球体的表面为椭球面，在空间直角坐标系下，椭球面，这说明椭球完全包含在由平面所围成的长方体内，其中按其大小，分别称为椭球的长半轴、中半轴和短半轴．某椭球面与坐标面的截痕是椭圆.
(1)已知椭圆在其上一点处的切线方程为．过椭圆的左焦点作直线与椭圆相交于两点，过点分别作椭圆的切线，两切线交于点，求面积的最小值．
(2)我国南北朝时期的伟大科学家祖暅于5世纪末提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．祖暅原理用现代语言可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．当时，椭球面围成的椭球是一个旋转体，类比计算球的体积的方法，运用祖暅原理求该椭球的体积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可知点的坐标，直线不与轴重合，设出直线的方程，联立椭圆方程，得到关于的一元二次方程，求出，根据题意可得椭圆在点处的切线方程，进而求出点的坐标，求出点到直线的距离，即可求出的表达式，利用导数求得最小值
（2）类比利用祖暅原理求球的体积的方法，构造以1为半径，为高的圆柱，挖去同底（圆柱的上底）等高的圆锥构成的几何体与半椭球满足祖暅原理的条件，结合圆柱以及圆锥的体积公式，即可求得椭球的体积.
【详解】（1）椭圆的标准方程为，则．
当直线的倾斜角为时，分别为椭圆的左、右顶点，此时两切线平行无交点，不符合题意，
所以直线的倾斜角不为,
设直线,
由,得，
则，
所以
,
又椭圆在点处的切线方程为，在点处的切线方程为，
由，得，
代入，得，所以，
则点到直线的距离，
所以，
设，则，
令，则，所以在上单调递增，
所以当，即时，的面积最小，最小值是；
（2）椭圆的焦点在轴上，长半轴长为，短半轴长为1，
椭球由椭圆及其内部绕轴旋转而成旋转体，
构造一个底面半径为1，高为的圆柱，在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，
圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体，
当平行于底面的截面与圆锥顶点距离为时，设小圆锥底面半径为，
则，即，所以新几何体的截面面积为，
把代入，得，解得，
所以半椭球的截面面积为，
由祖暅原理，得椭球的体积.
【点睛】难点点睛：本题考查了椭圆相关三角形面积的求法以及祖暅原理的应用，题目比较新颖，难度较大，解答的难点在于计算三角形面积时，要结合直线方程和椭圆方程联立，得出根与系数的关系，进行化简求解，计算量较大，另外要发挥空间想象能力，构造出圆柱中挖去一个圆锥，进而利用祖暅原理求解体积.
20. （2024·河北石家庄·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，过点的动直线交于A，B两点，点在轴上方，且不与轴垂直，的周长为，直线与交于另一点，直线与交于另一点，点为椭圆的下顶点，如图①.
(1)当点为椭圆的上顶点时，将平面xOy沿轴折叠如图②，使平面平面，求异面直线与所成角的余弦值；
(2)若过作，垂足为.
（i）证明:直线过定点；
（ii）求的最大值.
【答案】(1)
(2)（i）证明见详解；（ii）
【分析】（1）据题意求出椭圆方程，折叠后建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求出异面直线与所成角的余弦值；
（2）（i）联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理求出点的坐标，同理得到点的坐标，进而得到直线的方程，根据对称性，可判断定点在轴上，故令，即可得到定点坐标；（ii）由题意可知，点的轨迹为以，为直径的圆（除外），由即可求解.
【详解】（1）由椭圆定义可知，，
所以的周长为，所以，
又因为椭圆离心率为，
所以，所以，
又，
所以椭圆的方程：，
所以椭圆的焦点为，，
当点为椭圆的上顶点时，，
所以直线的方程为：，
由解得，，
由对称性知，
以为坐标原点，折叠后原轴负半轴，原轴，原轴的正半轴所在直线为轴建立如图空间直角坐标系，
则，，，，
，，
设直线与所成角为，
则，
异面直线与所成角的余弦值为.
（2）（i）设点，，，，
则直线的方程为，则，
由得，，
所以，
因为，所以，
所以，故，
又，
同理，，，
由三点共线，得，
所以，
直线的方程为，
由对称性可知，如果直线过定点，则该定点在轴上，
令得，
，
故直线过定点.
（ii）由题意知点，点的轨迹为以，为直径的圆（除外），
圆心为，半径为，故.
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”，即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明
05解析几何与导数结合问题
21.（多选）（2024·浙江杭州·二模）过点的直线与抛物线C：交于两点．抛物线在点处的切线与直线交于点，作交于点，则（ ）
A．直线与抛物线C有2个公共点
B．直线恒过定点
C．点的轨迹方程是
D．的最小值为
【答案】BCD
【分析】设出直线的方程为，代入，然后写出切线方程，结合韦达定理可判断AB；根据B可得的轨迹方程，从而判断C；利用弦长公式及点到直线的距离公式表示出，然后利用导数的知识求出最值进而判断D.
【详解】设直线的方程为，
联立，消去得，则，
对于A：抛物线在点处的切线为，
当时得，即，
所以直线的方程为，整理得，
联立，消去的，解得，即直线与抛物线C相切，A错误；
对于B：直线的方程为，整理得，此时直线恒过定点，B正确；
对于C：又选项B可得点在以线段为直径的圆上，点除外，故点的轨迹方程是，C正确；
对于D： ，
则，
令，
则，
设，
则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，D错误.
故选：BC.

【点睛】方法点睛：直线与抛物线联立问题
第一步：设直线方程：有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，都可由点斜式设出直线方程．
第二步：联立方程：把所设直线方程与抛物线方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程．
第三步：求解判别式Δ：计算一元二次方程根的判别式Δ＞0.
第四步：写出根之间的关系，由根与系数的关系可写出．
第五步：根据题设条件求解问题中的结论．
22. （23-24高三下·江苏泰州·阶段练习）已知抛物线：，焦点为，过作轴的垂线，点在轴下方，过点作抛物线的两条切线，，，分别交轴于，两点，，分别交于，两点．
(1)若，与抛物线相切于，两点，求点的坐标；
(2)证明：的外接圆过定点；
(3)求面积的最小值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由已知可得，两点的坐标，给函数求导可得切线的斜率，利用点斜式表示切线方程，联立方程即可得点坐标；
（2）设过的两条切线分别与抛物线切于，，写出直线，的方程，联立可得点坐标，设外接圆方程，求出圆心，整理变形即可得定点坐标；
（3）由已知设，坐标，表示和到的距离，然后表示,设，，，可得，利用函数的单调性即可求得最小值.
【详解】（1）∵，与抛物线相切于，两点，
设在左侧，则，，
由得，所以，
所以的斜率为，的斜率为，
此时方程：，即．
方程：，即，联立得；
（2）设过的两条切线分别与抛物线切于，，
由（1）知直线的斜率为，所以直线方程为，即，
直线的斜率为，直线方程为，即，
所以且，，
设外接圆的圆心为，则在的垂直平分线上，而的中点为，所以，
设外接圆方程为：过，所以，
所以，所以，
所以，
整理得，
所以，
令即，所以的外接圆过定点；
（3）：，所以，，
所以，
到的距离为，所以，
设，，，由，
，当且仅当时等号成立．
所以，
令，，
在上单调递减，上单调递增，
所以，所以面积的最小值.
【点睛】方法点睛：利用导数的几何意义可求得切线的斜率，表示切线方程，联立方程可表示点的坐标；通过设，，，由，，当且仅当时等号成立，把三角形的面积表示为关于的函数，利用函数的单调性求解最小值.
23. （2024·四川德阳·二模）已知双曲线的左，右顶点分别为是双曲线上不同于，的一点，设直线的斜率分别为，则当取得最小值时，双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】先根据双曲线的方程，得到，再设，通过求导，判断函数的极小值点，得到的值，再根据的关系求双曲线的离心率.
【详解】设为双曲线上异于、两点的任意一点，则，
又，，所以：
所以，
设，则（），
因为 ，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，函数取得最小值.
即时，取得最小值.
此时： .
故选：A
24. （2024·全国·模拟预测）已知是坐标原点，抛物线的焦点为，点在上，线段是圆的一条直径，且的最小值为．
(1)求的方程；
(2)过点作圆的两条切线，与分别交于异于点的点，求直线斜率的最大值．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）利用展开计算求最值可得的值；
（2）设直线的方程为，直线的方程为，根据与圆相切求出满足的二次方程，求出直线斜率的斜率，利用导数求解最值.
【详解】（1）连接，由题意知
，当点与点重合时取等号，
得，
所以的方程为；
（2）由题意知，
连接，则，
所以．
又当时，圆与轴相切，不满足题意；
当时，圆与轴相切，不满足题意，
故且．
设直线的方程为，
因为直线为圆的切线，所以，
整理得．②
设直线的方程为，
同理可得，
所以是关于的方程的两个根，
所以．设，
由得，同理可得，
所以直线的斜率为，
设，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，．
所以直线斜率的最大值为．
25. （多选）（2024·河南信阳·模拟预测）太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相互统一的和谐美．定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数”下列有关说法中正确的是（ ）
A．对圆的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数；
B．函数是圆的一个太极函数；
C．存在圆，使得是圆的太极函数；
D．直线所对应的函数一定是圆的太极函数．
【答案】BD
【分析】举出反例判断A；说明的图象关于点成中心对称，结合太极函数定义判断B；说明图象关于对称，不在函数图象上，结合太极函数定义判断C；求出直线过的定点，恰为圆心，即可判断D.
【详解】对于A，如图折线形成的函数是偶函数，满足，

显然函数的图象能将圆的周长和面积同时等分成两部分，A错误；
对于B，将正弦函数的图象向上平移1个单位即得的图象，
即的图象关于点成中心对称，而圆也关于点中心对称，
因此函数的图象能将圆的周长和面积同时等分成两部分，B正确；
对于C，的定义域为，且，
即为奇函数，图象关于对称，

若是圆的太极函数，则圆的圆心应为，但是不在的图象上，
因此函数不能将圆的周长和面积同时等分成两部分，C错误；
对于D，直线，即，
由，解得，则直线恒过定点，
显然直线经过圆的圆心，
该直线能将圆的周长和面积同时等分成两部分，D正确，
故选：BD
【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.
06解析几何的实际应用
26.（2024·浙江·模拟预测）应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜，这种望远镜的特点是，镜铜可以很短而观察天体运动又很清楚．某天文仪器厂设计制造的一种反射式望远镜，其光学系统的原理如图（中心截口示意图）所示．其中，一个反射镜弧所在的曲线为抛物线，另一个反射镜弧所在的曲线为双曲线一个分支．已知是双曲线的两个焦点，其中同时又是抛物线的焦点，且，的面积为10，，则抛物线方程为 ．

【答案】
【分析】设，由，解出得点坐标，结合得抛物线方程.
【详解】以的中点为原点，为轴，建立平面直角坐标系，
不妨设．
由，则有，解得，
又，解得，
，则有，
故抛物线方程为．
故答案为：
27. （2024·浙江·二模）如图为世界名画《星月夜》，在这幅画中，文森特·梵高用夸张的手法，生动地描绘了充满运动和变化的星空.假设月亮可看作半径为1的圆的一段圆弧，且弧所对的圆心角为.设圆的圆心在点与弧中点的连线所在直线上.若存在圆满足：弧上存在四点满足过这四点作圆的切线，这四条切线与圆也相切，则弧上的点与圆上的点的最短距离的取值范围为 .（参考数据：）
【答案】
【分析】设弧的中点为，根据圆与圆相离，确定两圆的外公切线与内公切线，确定圆的位置，分析可得弧上的点与圆上的点的最短距离.
【详解】如图，
设弧的中点为，弧所对的圆心角为，
圆的半径，在弧上取两点，则，
分别过点作圆的切线，并交直线于点，
当过点的切线刚好是圆与圆的外公切线时，劣弧上一定还存在点，使过点的切线为两圆的内公切线，
则圆的圆心只能在线段上，且不包括端点，
过点，分别向作垂线，垂足为，则即为圆的半径，
设线段交圆于点，则弧上的点与圆上的点的最短距离即为线段的长度.
在中，，
则，
即弧上的点与圆上的点的最短距离的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】结论点睛：本题考查了根据两圆位置关系求距离的范围的问题.可按如下结论求解：
相离的两个圆（圆心分别为和 ,半径分别为和）上的两个动点之间的距离的最小值是两圆心之间的距离减去两圆的半径，最大值是两圆心之间的距离加上两圆的半径，即.
28. （2024·山西晋中·模拟预测）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：如图用一张圆形纸片，按如下步骤折纸：
步骤1：设圆心是，在圆内异于圆心处取一定点，记为；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点（即折叠后图中的点与点重合）；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与的交点为；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.
现取半径为4的圆形纸片，设点到圆心的距离为，按上述方法折纸.以线段的中点为原点，线段所在直线为轴建立平面直角坐标系，记动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)设轨迹与轴从左到右的交点为点，，为直线上的一动点（点不在轴上），连接交椭圆于点，连接并延长交椭圆于点.是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，理由见详解
【分析】（1）由折纸的对称性可知，，从而确定点的轨迹；
（2）设，，，，在根据点的坐标来表示各条直线的解析式，然后得出直线恒过定点的结论，最后数形结合将面积比转化为边长比化简计算.
【详解】（1）由题意可知，，
所以点的轨迹是以，为焦点，且长轴长的椭圆，焦距，
所以，所以轨迹的方程为；
（2）
存在，使得成立，
设，，，，
又，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，代入得：
，所以，即，
所以，
因为，所以直线斜率为，
所以直线的方程为，代入得：
，所以，所以，
所以，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即，
所以直线恒过定点，设该定点为，
所以，，
，
，
所以，
所以.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
29. （2024·全国·模拟预测）已知一个玻璃酒杯盛酒部分的轴截面是抛物线，其通径长为1，现有一个半径为的玻璃球放入该玻璃酒杯中，要使得该玻璃球接触到杯底（盛酒部分），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】以轴截面抛物线的顶点为原点，对称轴为轴建立平面直角坐标系，写出该玻璃球的轴截面的方程和抛物线的方程，两方程联立，只有一个解求解.
【详解】解：以轴截面抛物线的顶点为原点，对称轴为轴建立平面直角坐标系，
当玻璃球能够与杯底接触时，该玻璃球的轴截面的方程为 ．
因为抛物线的通径长为1，则抛物线的方程为，
代入圆的方程消元得：，
所以原题等价于方程在上只有实数解．
因为由，得或，
所以需或，即或．
因为，所以，
故选：C．
30. （2024·上海静安·二模）江南某公园内正在建造一座跨水拱桥．如平面图所示，现已经在地平面以上造好了一个外沿直径为20米的半圆形拱桥洞，地平面与拱桥洞外沿交于点与点． 现在准备以地平面上的点与点为起点建造上、下桥坡道，要求：①；②在拱桥洞左侧建造平面图为直线的坡道，坡度为 （坡度为坡面的垂直高度和水平方向的距离的比）；③在拱桥洞右侧建造平面图为圆弧的坡道；④在过桥的路面上骑车不颠簸．
(1)请你设计一条过桥道路，画出大致的平面图，并用数学符号语言刻画与表达出来；
(2)并按你的方案计算过桥道路的总长度；（精确到0.1米）
(3)若整个过桥坡道的路面宽为10米，且铺设坡道全部使用混凝土．请设计出所铺设路面的相关几何体，提出一个实际问题，写出解决该问题的方案，并说明理由 （如果需要，可通过假设的运算结果列式说明，不必计算）．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）解法1；以线段的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，求得圆的方程，得到，联立方程组，求得 ，设圆的半径为，求得圆的方程为，进而得到函数的解析式；解法2：以线段的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，设圆的半径为，求得圆的方程为，得到 ，，进而得到函数的解析式；
（2）解法1：求得圆弧的长为，得到圆弧的长为，进而求得过桥道路的总长度；解法2：根据题意，求得，得到圆弧的长，求得圆弧的长为，进而得到过桥道路的总长度；
（3）设计让桥的侧面所在平面垂直于地平面，提出问题，结合面积公式，分别求得铺设过桥路需要混凝土的值.
【详解】（1）解法1、如图所示，以线段的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，
则，圆的方程为，
由，得，，
过点作圆的切线，切点为，直线的斜率为，其方程为，
所以直线的斜率为，其方程为，将其代入，
得点的坐标为，
经过点作圆与圆切于点（圆与y轴的交点），设圆的半径为，
则，即，解得，
所以，圆的方程为，
故用函数表示过桥道路为 .
解法2、如图所示，以线段的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，
作圆与x轴相切于点，并和圆切于点，
设圆的半径为，则，即，解得，
所以圆的方程为，
将直线的方程代入得，点的坐标为，
所以用函数表示过桥道路为.
（2）解法1：由点的坐标为，得，
所以圆弧的长为 3.398，
由点的坐标为，点的坐标为，得，
所以圆弧的长为 32.175，
所以过桥道路的总长度为 ，
解法2：因为，，
则，即，
所以圆弧的长为，
又由点的坐标为，得，
所以圆弧的长为，
所以过桥道路的总长度为 63.9．
（3）解：设计让桥的侧面所在平面垂直于地平面，则桥拱左侧铺设的是以曲边形为底面，
高为10米的柱体；桥拱右侧铺设的是以曲边形（）为底面，高为10米的柱体，
提问：铺设坡道共需要混凝土多少立方米？
方案1：，
所以，铺设过桥路需要混凝土10（）．
方案2：，
所以，铺设过桥路需要混凝土10（）．
07切线、斜率相关问题
过圆上一点的切线方程为：， 过圆外一点的切点弦方程为：. 过椭圆上一点的切线方程为， 过椭圆外一点的切点弦方程为; 过双曲线上一点的切线方程为, 过双曲线外一点的切点弦方程为,
31.（多选）（2024·浙江金华·模拟预测）已知椭圆为原点，过第一象限内椭圆外一点作椭圆的两条切线，切点分别为A，B．记直线的斜率分别为，若，则（ ）
A．为定值 B．为定值
C．的最大值为2 D．的最小值为4
【答案】AD
【分析】设直线的方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，由得到方程，求出，证明椭圆在处的切线方程为，从而得到椭圆在点和的切线方程，得到切点弦方程为，对照系数结合得到的轨迹方程，A选项，计算出，，求出；B选项，在A选项基础上进行求解；C选项，得到双曲线的渐近线，C错误；D选项，先得到，设，则，联立双曲线方程，由根的判别式得到不等式，求出答案.
【详解】由于，故不关于轴对称且的横纵坐标不为0，
所以直线方程斜率一定存在，
设直线的方程为，联立得，
，
设，则，
故
，
其中，
故，即，
所以，解得，
下面证明椭圆在处的切线方程为，理由如下：
当时，故切线的斜率存在，设切线方程为，
代入椭圆方程得：，
由，化简得：
，
所以，
把代入，得：，
于是，
则椭圆的切线斜率为，切线方程为，
整理得到，
其中，故，即，
当时，此时或，
当时，切线方程为，满足，
当时，切线方程为，满足，
综上：椭圆在处的切线方程为；
故椭圆在点的切线方程为，
同理可得，椭圆在点的切线方程为，
由于点为与的交点，
故，，
所以直线为，
因为直线的方程为，对照系数可得
，
又，故，整理得，
又在第一象限，
故点的轨迹为双曲线位于第一象限的部分，
A选项，，同理可得，
则，A正确；
B选项，
，
其中
又，
故，不为定值，
故不是定值，B错误；
C选项，由于，，，故双曲线的一条渐近线为，
设，则，故无最大值，
D选项，由于，，，故，
设，则，
则两式联立得，
由得，，
检验，当时，，又，
解得，满足要求.
故的最小值为4，D正确.
故选：AD
【点睛】结论点睛：过圆上一点的切线方程为：，
过圆外一点的切点弦方程为：.
过椭圆上一点的切线方程为，
过椭圆外一点的切点弦方程为;
过双曲线上一点的切线方程为,
过双曲线外一点的切点弦方程为,
32. （2024·全国·模拟预测）费马原理，也称为时间最短原理：光传播的路径是光程取极值的路径．在凸透镜成像中，根据费马原理可以推出光线经凸透镜至像点的总光程为定值（光程为光在某介质中传播的路程与该介质折射率的乘积）．一般而言，空气的折射率约为1．如图是折射率为2的某平凸透镜的纵截面图，其中平凸透镜的平面圆直径为6，且与轴交于点．平行于轴的平行光束从左向右照向该平凸透镜，所有光线经折射后全部汇聚在点处并在此成像．（提示：光线从平凸透镜的平面进入时不发生折射）

(1)设该平凸透镜纵截面中的曲线为曲线，试判断属于哪一种圆锥曲线，并求出其相应的解析式．
(2)设曲线为解析式同的完整圆锥曲线，直线与交于，两点，交轴于点，交轴于点（点不与的顶点重合）．若，，试求出点所有可能的坐标．
【答案】(1)为双曲线的一部分，解析式为
(2)或
【分析】（1）设，根据光线经凸透镜至像点的总光程为定值建立等量关系，简、整理即可得解；
（2）设出，的坐标，根据向量的坐标运算得到，的坐标，将点，的坐标代入的方程，得到两个方程，根据根与系数的关系及建立方程，解方程即可
【详解】（1）设上任意一点，，光线从点至点的光程为，光线穿过凸透镜后从点折射到点的光程为，
则，，
由题意得，得，化简得，
，．令，得，
为双曲线的一部分，解析式为．
（2）由题意知．
设，，，，
则，，，
，，，
易知，，得，，
即，．
将点的坐标代入，得，
化简整理得．
同理可得，
与为方程的两个解，
．
由题知，，解得，
点的坐标可能为或.

【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线与直线的位置关系， 关键是将向量坐标化，并将点代入曲线得到关于k的二次方程，结合韦达定理求解.
33. （2024·山东临沂·一模）动圆与圆和圆都内切，记动圆圆心的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为，则曲线上一点处的切线方程为：，试运用该性质解决以下问题：点为直线上一点（不在轴上），过点作的两条切线，切点分别为.
（i）证明：直线过定点；
（ii）点关于轴的对称点为，连接交轴于点，设的面积分别为，求的最大值.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析，（ii）
【分析】（1）根据椭圆的定义求解点的轨迹方程；
（2）（i）根据题意中的性质求解出两条切线方程，代入点坐标后，得出直线的方程，从而得出定点坐标；
（ii）联立直线的方程与椭圆的方程，由韦达定理得出，进而求解出的定点坐标，表示出，由基本不等式得出结果.
【详解】（1）设动圆的半径为，由题意得圆和圆的半径分别为，，
因为与，都内切，
所以，，
所以，
又，，故，
所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，
设的方程为：，
则，，所以，
故的方程为：.
（2）（i）证明：设，，，
由题意中的性质可得，切线方程为，
切线方程为，
因为两条切线都经过点，所以，，
故直线的方程为：，显然当时，，
故直线经过定点.
（ii）设直线的方程为：，
联立，整理得，
由韦达定理得，
又，所以直线的方程为，
令得，
，
所以直线经过定点，又，
所以
，
所以，当且仅当时，即时取等号.
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
(1)“特殊探路，一般证明”，即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
(2)“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
(3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.
34. （2024·湖北武汉·模拟预测）某校数学问题研究小组的同学利用电脑对曲线进行了深人研究．已知点在曲线上，曲线在点处的切线方程为．请同学们研究以下问题，并作答．
(1)问题1：过曲线的焦点的直线与曲线交于两点，点在第一象限．
（i）求（为坐标原点）面积的最小值；
（ii）曲线在点处的切线分别为，两直线相交于点，证明．
(2)问题2：若是曲线上任意两点，过的中点作轴的平行线交曲线于点，记线段与曲线围成的封闭区域为，研究小组的同学利用计算机经过多次模拟实验发现是个定值，请求出这个定值．
【答案】(1)（i）；（ii）证明见解析
(2)
【分析】（1）（i）设直线的方程为，与抛物线联立，利用韦达定理计算，然后求最值即可；（ii）利用坐标运算计算即可；
（2）， 找到各小块三角形的面积与的关系，从而得到方程，解出值..
【详解】（1）（i）明显直线的斜率不为零，设直线的方程为，，
联立，消去得，
则，
又，
则当时，的面积最小，且最小值为；
（ii）由已知得，
联立，解得，即
所以
所以 ；
（2）如图. ，线段$AB$的中点，
则.
，
分别过线段的中点，线段的中点，
作轴的平行线交抛物线分别于两点，连接.
同理可得 .
，（分子的上标均省略了文字“的面积”）
又由于的面积的面积的面积，
所以，解得.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是如何绕过直接求出曲线围成的面积，通过找到各三角形与三角形之间的关系，从而解出值.
35. （2024·浙江金华·模拟预测）已知双曲线：，F为双曲线的右焦点，过F作直线交双曲线于A，B两点，过F点且与直线垂直的直线交直线于P点，直线OP交双曲线于M，N两点．
(1)求双曲线的离心率；
(2)若直线OP的斜率为，求的值；
(3)设直线AB，AP，AM，AN的斜率分别为，，，，且，，记，，，试探究v与u，w满足的方程关系，并将v用w，u表示出来．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
（1）根据双曲线方程求离心率；
（2）首先由已知得，由直线垂直关系，点斜式写出直线的方程，联立曲线并应用韦达定理求；
（3）首先由条件设出点的坐标，并根据已知条件表示，进而求出和，再求直线，与双曲线方程联立，求得，并结合已知确定与的关系.
【详解】（1）
由双曲线方程可知，，，，
所以双曲线的离心率；
（2）设，，，由题意可知，，则直线的斜率，
所以直线的斜率，故直线的方程为，
联立直线和双曲线，，得，显然，
由韦达定理得，，
所以；
（3）设，，则，
因为，故为，代入，得点，
所以，
因为点在双曲线上，故满足双曲线方程，即，
所以，
所以，
，
又，联立直线双曲线，，得，
根据题意知，此方程的两根即为，所以，
所以，
，
即
所以，即
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是设出相关点的坐标，利用相关点的坐标表示斜率，整理后即可求解.
08模长相关问题
利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解.
36.（23-24高三下·浙江·开学考试）已知椭圆的长轴长为4，离心率为，左顶点为，过右焦点作直线与椭圆分别交于两点（异于左右顶点），连接.
(1)证明：与不可能垂直；
(2)求的最小值；
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）求出椭圆方程，设出点坐标，结合求解即可.
（2）设直线方程，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理可表示，运用换元法进而将问题转化为求关于的二次函数的最小值.
【详解】（1）由题意知，，
又因为，所以椭圆方程为，则，
证明：设，，则①，
如图所示，
假设，即，
所以，
又，，
所以②，
由①②消去得到，与题设矛盾，所以与不可能垂直.
（2）如图所示，

设方程为：，
由，得，
设，则，
所以，
，
所以 ，
设，
则
，
即当，即时，取得最小值为.
故的最小值为.
37. （2024·浙江台州·二模）已知椭圆：，直线：交椭圆于M，N两点，T为椭圆的右顶点，的内切圆为圆Q.
(1)求椭圆的焦点坐标；
(2)求圆Q的方程；
(3)设点，过P作圆Q的两条切线分别交椭圆C于点A，B，求的周长.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）化简椭圆的标准方程，根据的关系即可求得焦点坐标；
（2）先联立方程求得，，求出直线的方程，然后利用待定系数法求得内切圆的方程；
（3）设过P作圆Q的切线方程为，利用相切关系求得点A，B坐标，进而结合内切圆的半径利用三角形中等面积法求解即可.
【详解】（1）椭圆的标准方程为，因为，所以焦点坐标为.
（2）将代入椭圆方程得，由对称性不妨设，，
直线的方程为，即，
设圆Q方程为，由于内切圆Q在的内部，所以，
则Q到直线和直线的距离相等，即，解得，，
所以圆方程为.
（3）显然直线和直线的斜率均存在，
设过P作圆Q的切线方程为，
其中k有两个不同的取值和分别为直线和的斜率.
由圆Q与直线相切得：，化简得：，
则，
由得，
可得，
所以
.
同理，，所以直线的方程为，
所以与圆Q相切，将代入得，
所以，又点P到直线的距离为，
设的周长为，则的面积，
解得.所以的周长为.

38. （2024·浙江金华·模拟预测）在直角坐标系中，圆Γ的圆心P在y轴上（不与重合），且与双曲线的右支交于A，B两点．已知．
(1)求Ω的离心率；
(2)若Ω的右焦点为，且圆Γ过点F，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由点差法与直线与圆的性质分别得到与直线的斜率有关的等量关系，结合已知条件将坐标化，得，再结合两斜率关系，整体消元可得，从而求出斜率；
（2）将化斜为直，转化为坐标表示，再由韦达定理代入得关于的函数解析式，求解值域即可.
【详解】（1）设，，则线段中点
由题意不与重合，则，由在双曲线右支上，则，
所以斜率存在且不为.
由在双曲线上，则，且，
两式作差得，
所以有，
故①，
由圆Γ的圆心P在y轴上（P不与O重合），设，
由题意，
则，
化简得，由，得，
由圆Γ的圆心为，弦中点为，所以，
则，即②，
由①②得，，则，
故Ω的离心率为.
（2）由Ω的右焦点为，得，
由（1）知，，所以有，故双曲线的方程为.
设圆的方程为，由圆Γ过点，则，
则圆的方程可化为，
联立，消化简得，
，
其中，，则有，
由，
同理，
所以，
其中，
令，则，
所以，
设，，
由函数在单调递增，则，即，
所以有，
故,
.

【点睛】方法点睛：圆锥曲线最值范围问题，关键在把要求最值（范围）的几何量、代数式转化为某个（些）参数的函数，然后利用函数、不等式方法进行求解.
39. （2023·安徽芜湖·模拟预测）设双曲线：（，）过，，，四个点中的三个点．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线，，其中与的右支交于，两点，与直线交于点，与的右支相交于，两点，与直线交于点，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得双曲线不过点，将其余点坐标代入双曲线方程计算即可得；
（2）借助韦达定理与两点间距离公式表示出并化简后，可得，结合基本不等式即可得解.
【详解】（1）由，，，与不能同过，与对称，
故该双曲线不过点，
则有，解得，即双曲线方程为；
（2）由双曲线方程为，故，
由题意可知，，的斜率均存在，
设的斜率为，则的斜率为，
即，设、，
令，则，即，
联立双曲线，有，
由双曲线性质可知，即，
此时恒成立，
有，，
则，，
故
，
同理可得，
则
，当且仅当，即时，等号成立，
即的最大值为.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
圆锥曲线最值范围问题，关键在把要求最值（范围）的几何量、代数式转化为某个（些）参数的函数，然后利用函数、不等式方法进行求解.
40. （2024高三·全国·专题练习）已知O为坐标原点，抛物线，过点的直线交抛物线于A，B两点，．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若点，连接AD，BD，证明：；
(3)已知圆G以G为圆心，1为半径，过A作圆G的两条切线，与y轴分别交于点M，N且M，N位于x轴两侧，求面积的最小值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)8
【分析】（1）设直线的方程为，联立方程，利用韦达定理求出，再求出，再根据求出，即可求出抛物线C的方程；
（2）要证，即证DG平分，即证，结合（1）计算化简即可得出结论；
（3）记AM，AN分别与圆G切于点T，F，连接TG，MG，NG，求出，结合切线长定理可得，，，再根据，求出，再结合基本不等式即可得解.
【详解】（1）设直线的方程为，
由，得，
设，，
则，，
从而，解得，
所以抛物线C的方程为；
（2）要证，即证DG平分，即证，
由（1）可知，，
则
，
故；
（3）记AM，AN分别与圆G切于点T，F，连接TG，MG，NG，
由题意，得，
由切线长定理，知，，，
所以，
又
，解得，
所以，
当且仅当，即时，取等号，
故面积的最小值为8．
【点睛】思路点睛：解决直线与圆锥曲线的位置关系问题要做好两点：一是转化，把题中的已知和所求准确转化为代数中的数与式，即形向数的转化；二是设而不求，即联立直线方程与圆锥曲线方程，利用根与系数的关系求解．
09解析几何新考点
41.（2024·安徽芜湖·二模）已知直线l：与曲线W：有三个交点D、E、F，且，则以下能作为直线l的方向向量的坐标是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由函数的性质可得曲线的对称中心，即得，再根据给定长度求出点的坐标即得.
【详解】显然函数的定义域为R，，即函数是奇函数，
因此曲线的对称中心为，由直线l与曲线的三个交点满足，得，
设，则，令，则有，即，
解得，即，因此点或，或，
选项中只有坐标为的向量与共线，能作为直线l的方向向量的坐标是.
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题的关键首先是得到曲线对称中心为，从而得到，然后再去设点坐标，根据，得到高次方程，利用换元法结合因式分解解出的坐标即可.
42. （2023·陕西西安·模拟预测）双纽线是1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的．在平面直角坐标系中，把到定点和距离之积等于的点的轨迹称为双纽线．已知点是双纽线上一点，下列说法正确的是（ ）
①双纽线关于原点对称；②；③双纽线上满足的点只有两个；④的最大值是.
A．①②③ B．①②④ C．①② D．①②③④
【答案】B
【分析】对①，设动点，把关于原点对称的点代入轨迹方程，显然成立；对②，根据的面积范围证明即可；对③，易得若，则在轴上，再根据的轨迹方程求解即可；对④，根据题中所给的定点，距离之积等于，再画图利用余弦定理分析中的边长关系，进而利用三角形三边的关系证明即可.
【详解】对①，设动点，由题可得的轨迹方程，
把关于原点对称的点代入轨迹方程，原方程不变，故①正确；
对②，因为，故，
又，所以，
即，故，故②正确；
对③，若，则在的中垂线即轴上，
故此时，代入，
可得，即，仅有一个，故③错误；
对④，因为，故，
即，
因为，，
故，
即，
所以，
又，当且仅当共线时取等号，
故，
即，解得，故④正确.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了动点轨迹方程的性质判定，因为该方程较复杂，故在作不出图象时，需要根据题意求出动点的方程进行对称性的分析，同时需要结合解三角形的方法对所给信息进行辨析.
43. （2024·河北邯郸·二模）已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴、轴，且过两点．
(1)求的方程．
(2)是上两个动点，为的上顶点，是否存在以为顶点，为底边的等腰直角三角形？若存在，求出满足条件的三角形的个数；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，个
【分析】（1）设椭圆的方程为，根据条件得到，即可求出结果；
（2）设直线为，直线为，当时，由椭圆的对称性知满足题意；当时，联立直线与椭圆方程，求出的坐标，进而求出中垂线方程，根据条件中垂线直经过点，从而将问题转化成方程解的个数，即可解决问题.
【详解】（1）由题设椭圆的方程为，
因为椭圆过两点，
所以，得到，所以椭圆的方程为.
（2）由（1）知，易知直线的斜率均存在且不为0，
不妨设，，直线为，直线为，
由椭圆的对称性知，当时，显然有，满足题意，
当时，由，消得到，
所以，，即，
同理可得，所以，
设中点坐标为，则，，
所以中垂线方程为，
要使为为底边的等腰直角三角形，则直中垂线方程过点，
所以，整理得到，
令，则，，所以有两根，且，即有两个正根，
故有2个不同的值，满足，
所以由椭圆的对称性知，当时，还存在2个符合题意的三角形，
综上所述，存在以为顶点，为底边的等腰直角三角形，满足条件的三角形的个数有3个.

【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）问，通过设出直线为，直线为，联立椭圆方程求出坐标，进而求出直线的中垂线方程，将问题转化成直线的中垂线经过点，再转化成关于的方程的解的问题.
44. （2024·全国·一模）我国著名科幻作家刘慈欣的小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中的“水滴”是三体文明使用新型材料-强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，其外形与水滴相似，某科研小组研发的新材料水滴角测试结果如图所示（水滴角可看作液、固、气三相交点处气—液两相界面的切线与液—固两相交线所成的角），圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆（长轴平行于液—固两者的相交线，椭圆的短半轴长小于圆的半径）的一部分，设图中用圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为，，则（ ）
附：椭圆上一点处的切线方程为.
A． B．
C． D．和的大小关系无法确定
【答案】A
【分析】运用圆和椭圆的切线方程分别求得、，结合可判断两者大小.
【详解】由题意知，若将水滴轴截面看成圆的一部分，圆的半径为，如图所示，
则，解得，
所以，
若将水滴轴截面看成椭圆的一部分，设椭圆方程为 ，如图所示，
则切点坐标为，
则椭圆上一点的切线方程为，
所以椭圆的切线方程的斜率为，
将切点坐标代入切线方程可得，解得，
所以，
又因为，
所以，即，
所以.
故选：A.
45. （2020·上海浦东新·三模）数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物，曲线：为四叶玫瑰线，下列结论正确的有（ ）

（1）方程，表示的曲线在第二和第四象限；
（2）曲线上任一点到坐标原点的距离都不超过；
（3）曲线构成的四叶玫瑰线面积大于；
（4）曲线上有个整点横、纵坐标均为整数的点.
A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（1）（2）（4） D．（1）（3）（4）
【答案】A
【分析】因为，所以与异号，从而可判断（1）；利用基本不等可判断（2）；将以为圆心，2为半径的圆的面积与曲线围成区域的面积进行比较即可判断（3）；先确定曲线经过点，再将第一象限内经过的整点，，逐一代入曲线的方程进行检验，根据对称性即可判断（4）.
【详解】对于（1）：因为，所以x与y异号，故图象在第二和第四象限，正确；
对于（2）：因为 ，所以，
所以，所以，正确；
对于（3）：以O为圆点，2为半径的圆O的面积为，
结合（2）知然曲线C围成的区域的面积小于圆O的面积，错误；
对于（4）：将和联立，解得，
所以可得圆与曲线C相切于点，，，，
点的位置是图中的点M，

由曲线的对称性可知，只需要考虑曲线在第一象限内经过的整点即可，
把，和代入曲线C的方程验证可知，等号不成立，
所以曲线C在第一象限内不经过任何整点，再结合曲线的对称性可知，曲线C只经过整点，错误.
故选：A
10解析几何之类比距离问题
46.（23-24高三上·黑龙江·期末）已知直线交圆于两点，则的最小值为（ ）
A．9 B．16 C．27 D．30
【答案】D
【分析】根据题中条件，先求得弦的中点的轨迹方程，则的几何意义为两点到直线的距离之和，即点到直线距离的2倍，结合点到直线的距离公式求解即可.
【详解】由题设直线与轴的交点为，设弦的中点为，
连接，则，即，所以，
即，
所以点的轨迹方程为，
即的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
设直线为，则到的最小距离为，
过分别作直线的垂线，垂足分别为，
则四边形是直角梯形，且是的中点，
则是直角梯形的中位线，所以，即，
即，
所以的最小值为30.
故选：D.
47. （2024·新疆乌鲁木齐·二模）在平面直角坐标系中，重新定义两点之间的“距离”为，我们把到两定点的“距离”之和为常数的点的轨迹叫“椭圆”．
(1)求“椭圆”的方程；
(2)根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由；
(3)设，作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为的左顶点为，过作直线交于两点，的外心为，求证：直线与的斜率之积为定值．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）设“椭圆”上任意一点为，则，再根据两点之间的“距离”得新定义即可得解；
（2）将点分别代入即可判断其对称性，取绝对值符号，进而可得出范围；
（3）先求出椭圆方程，设直线的方程为，联立方程，利用韦达定理求出，分别求出直线的方程，设，再次求出的关系，进而求出，从而可得出结论.
【详解】（1）设“椭圆”上任意一点为，则，
即，即，
所以“椭圆”的方程为；
（2）由方程，得，
因为，所以，即，
所以或或，
解得，
由方程，得，
即，所以，所以，
所以“椭圆”的范围为，，
将点代入得，，
即，方程不变，所以“椭圆”关于轴对称，
将点代入得，，
即，方程不变，所以“椭圆”关于轴对称，
将点代入得，，
即，方程不变，所以“椭圆”关于原点对称，
所以“椭圆”关于轴，轴，原点对称；

（3）由题意可设椭圆的方程为，
将点代入得，解得，
所以椭圆的方程为，，
由题意可设直线的方程为，
联立，得，
恒成立，
则，
因为的中点为，
所以直线的中垂线的方程为，
同理直线的中垂线的方程为，
设，则是方程的两根，
即是方程的两根，
所以，
又因，
所以，
两式相比得，所以，
所以，
所以直线与的斜率之积为定值．

【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
48. （2024·江苏南通·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：的离心率为，直线l与Γ相切，与圆O：相交于A，B两点.当l垂直于x轴时，.
(1)求Γ的方程；
(2)对于给定的点集M，N，若M中的每个点在N中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为.
（ⅰ）若M，N分别为线段AB与圆O上任意一点，P为圆O上一点，当的面积最大时，求；
（ⅱ）若，均存在，记两者中的较大者为.已知，，均存在，证明：.
【答案】(1)；
(2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，求出，再结合离心率求出即得.
（2）（ⅰ）在直线的斜率存在时，设出直线方程并与椭圆方程联立，借助判别式求出圆心到距离，列出的面积关系求解，再验证斜率不存在的情况；（ⅱ）利用新定义，结合对称性推理即得.
【详解】（1）因为当垂直于轴时，，而直线与Γ相切，则，解得，
又椭圆的离心率为，则椭圆的半焦距，，
所以的方程为.
（2）（i）当的斜率存在时，设的方程为：，
由消去得：，
由直线与椭圆相切，得，整理得，
于是圆心到直线的距离，
则的面积为，
设，求导得，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
因此当时，取得最大值，此时，
当的斜率不存在时，由（1）知，，
由，得，则.
对于线段上任意点，连接并延长与圆交于点，则是圆上与最近的点，
当为线段的中点时，取得最大值，所以.
（ii）因为均存在，
设点，且，
设是集合中到的最近点，根据对称性，不妨设，
令点到集合的最近点为，点到集合的最近点为，
因为是集合中所有点到集合最近点距离的最大值，则，
因为是集合中所有点到集合最近点距离的最大值，则，
因此，
而在坐标平面中，，又点是集合中到点的最近点，则，
所以.
【点睛】关键点睛：本题第（2）问涉及新定义问题，反复认真读题，理解最小距离的最大值的含义是解题的关键.
49. （2022·上海闵行·二模）已知直线与圆有公共点，且公共点的横 纵坐标均为整数，则满足的有（ ）
A．40条 B．46条 C．52条 D．54条
【答案】A
【分析】通过分析得出圆上的整数点共有12个，由直线为截距式，先排除掉关于原点对称的两点所连直线，关于x轴对称的两点所连直线（不含），
关于y轴对称的两点所连直线（不含），再结合变形为，利用几何意义得到原点到直线的距离小于等于，
利用垂径定理，弦长越小，原点到直线的距离越大，故先求解最小弦长，进而求出原点到此类直线的距离，与比较后发现不合要求，进而继续求解第二小弦长，第三小弦长，求出原点到每类直线的距离，与比较得到结论，利用组合知识求出答案.
【详解】圆上的整数点共有12个，分别为，
如图所示，
由题意可知：直线的横、纵截距都不为0，即与坐标轴不垂直，不过坐标原点，
所以关于原点对称的两点所连直线不合题意，有6条，舍去，
关于x轴对称的两点所连直线（不含）不合题意，有4条，舍去，
关于y轴对称的两点所连直线（不含）不合题意，有4条，舍去
其中变形为，
几何意义为原点到直线的距离小于等于，
这12个点所连的直线中，除去以上不合要求的直线外，根据弦长从小到大分为类，
以下为具体情况：①，弦长为的直线有4条，
此时原点到此类直线的距离为，不合要求，舍去
②，弦长为的直线有8条，
此时原点到此直线的距离为，不合要求，舍去
③，弦长为的直线有8条，
此时原点到此直线的距离为，满足要去，
④其他情况弦长均大于，故均满足要求，
由组合知识可知：满足要求的直线条数为：
故选：A
【点睛】对于比较复杂一些的排列组合知识，直接求解比较困难的时候，可以先求解出总的个数，再减去不合要求的个数，得到答案.
50. （2022·全国·模拟预测）设点是：上的动点，点是直线：上的动点，记，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】设，将转化成探求线段长最值问题求解作答.
【详解】如图，过：上一点作轴交直线于点，
过直线：上的动点作交直线于点，

依题意，设，显然圆C与直线l相离，
则可得：，
因为直线：的斜率为，所以，
，
其中锐角由确定，
所以的最小值是.
故答案为：
【点睛】思路点睛：涉及图形上的点变化引起的线段长度、图形面积等问题，若点的运动与某角的变化相关，可以设此角为自变量，借助三角函数解决.
11解析几何与数列结合
51.（2024高三下·安徽淮北·期中）双曲线的左右焦点分别是，，点在其右支上，且满足，，则的值是（ ）
A． B． C．8056 D．8048
【答案】C
【分析】先求出，再根据得到，再利用等差数列的通项求解即可.
【详解】∵，，∴，即，
又，∴，
即，
∴，
由题意知，，∴，
∴是以4为首项，4为公差的等差数列，
∴.
故选：C.
【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查等差数列的判断和通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
52. （2024·河南信阳·模拟预测）已知椭圆C：短轴长为2，左、右焦点分别为，，过点的直线l与椭圆C交于M，N两点，其中M，N分别在x轴上方和下方，，，直线与直线MO交于点，直线与直线NO交于点．
(1)若的坐标为，求椭圆C的方程；
(2)在（1）的条件下，过点并垂直于x轴的直线交C于点B，椭圆上不同的两点A，D满足，，成等差数列．求弦AD的中垂线的纵截距的取值范围；
(3)若，求实数a的取值范围．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）由椭圆的性质可得，再由两中线的交点为重心和重心的性质得到点，代入椭圆方程可得即可；
（2）由等差中项的性质得到，再由弦长公式得到，然后分当AB斜率存在时由点差法得到，再由点斜式写出弦的中垂线方程，当时，得到；当AB斜率不存在时，此时AD：，；最后得到范围；
（3）解法一：根据重心性质及面积公式得，，再结合已知不等式条件解不等式组可得，然后直曲联立得到；转化为对任意的t恒成立，解不等式即可；解法二：根据重心的性质可得，再由几何图形的面积关系结合三角形的面积公式得到；，后同解法一.
【详解】（1）依题意，，故椭圆C：；
易知点为的重心，则，故，
代入椭圆方程得∴椭圆C的方程为；
（2）
∵，，成等差数列，．∴．
设，，AD中点．，
由弦长公式
，
∵，∴，
同理，代入可得，
①当AB斜率存在时两式作差可得，，
∴，
∴弦AD的中垂线方程为，
当时，，即AD的中垂线的纵截距．
∵在椭圆C内，∴，得，且．
②当AB斜率不存在时，此时AD：，．
∴综上所述，即弦AD的中垂线的纵截距的取值范围为．
（3）解法一：易知点，分别为，的重心，设，，设点，，则根据重心性质及面积公式得，
，
而∴，
∴，∴，，
设直线l：，则联立椭圆方程得
消元化简得，，，
∴，，
∴，
∴对任意的t恒成立，
即，故实数a的取值范围为．
解法二：易知点为的重心，，
∴，，，
此时，设点，，，，则根据重心的性质可得，
∴，，，
∴，；；
而，∴，
∴，；
设直线l：，则联立椭圆方程得
消元化简得，，，
∴，，
∴，
∴对任意的t恒成立，
即，故实数a的取值范围为．
【点睛】关键点点睛：
（1）三角形重心分得线段长度比为；
（2）当求椭圆的中点弦或中点弦的垂直平分线时可用点差法较为容易.
53. （2020·江苏·模拟预测）已知函数，若对于正数，直线与函数的图像恰好有个不同的交点，则 .
【答案】
【分析】由题意首先确定函数的性质，然后结合直线与圆的位置关系得到的表达式，最后裂项求和即可求得的值.
【详解】当时，，即，；
当时，，函数周期为2，
画出函数图象，如图所示：
与函数恰有个不同的交点，
根据图象知，直线与第个半圆相切，
故，故，
.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
54. （2024·河北·模拟预测）已知平面内定点是以为直径的圆上一动点（为坐标原点）．直线与点处的切线交于点，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为．
(1)求点的轨迹方程；
(2)求矩形面积的最大值；
(3)设的轨迹，直线与轴围成面积为，甲同学认为随的增大，也会达到无穷大，乙同学认为随的增大不会超过4，你同意哪个观点，说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)乙的观点，理由见解析.
【分析】（1）根据给定条件，借助相似三角形的性质列式求出轨迹方程.
（2）利用（1）的结论，结合对称性，求出矩形面积的函数关系，利用导数求出最大值.
（3）利用导数探讨函数的单调性，探讨与矩形面积的关系，再借助数列求和推理判断得解.
【详解】（1）设点，依题意，直线的方程为，，显然点与不重合，
当点与点不重合时，连接，由是以为直径的圆上一点，则，
由轴，得∽∽，则，，
而，则，于是，即，
当点与点重合时，点与点重合，点与点重合，而满足，
所以点的轨迹方程：.

（2）由（1）知，点的轨迹方程，显然，
即点的轨迹关于轴对称，不妨令点在第一象限，
显然∽，，，因此，
设矩形的面积为，则，
求导得，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
因此，所以当时，矩形面积的最大值为.
（3）同意乙同学的观点，随的增大不会超过4.
由（1）知点的轨迹方程为，设，显然是偶函数，
求导得，当时，，函数在上单调递减，且恒有，
则有，即，
当增大时，面积的值也在增大，
过点分别作轴的垂线交函数的图象
于点，

由在上单调递减，
得当时，的图象与轴之间部分的面积小于，
当时，的图象与轴之间部分的面积小于，
当时，的图象与轴之间部分的面积小于，
当时，的图象与轴之间部分的面积小于，
当时，的图象与轴之间部分的面积小于，
当时，的图象与轴之间部分的面积小于，
则的轨迹，直线与轴围成面积为，
，
当时，，
因此
所以随的增大不会超过4.
【点睛】易错点睛：裂项法求和，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
55. （2016·上海·模拟预测）一青蛙从点开始依次水平向右和竖直向上跳动，其落点坐标依次是，(如图，的坐标以已知条件为准)，表示青蛙从点到点所经过的路程.
(1)点为抛物线 准线上一点，点，均在该抛物线上，并且直线 经过该抛物线的焦点，证明；
(2)若点要么落在所表示的曲线上，要么落在所表示的曲线上，并且,试写出(不需证明)；
(3)若点要么落在所表示的曲线上，要么落在所表示的曲线上，并且，求的值.
【答案】(1)证明见解析 (2) (3)
【分析】（1）设，根据青蛙依次向右向上跳动得到，，再由抛物线的定义即可证明.
（2）根据题意可得：，，，，由于青蛙从开始依次水平向右和竖直向上跳动，可知随着的增大，点无限接近点，进而可得横向路程之和无限接近，纵向路程之和无限接近，故问题得解.
（3）有题意知：，，，，，，…….观察规律可知：下标为奇数的点的纵坐标是首项为，公比为的等比数列.相邻横坐标之差是首项为，公差为的等差数列.再利用数列的性质即可求出.
【详解】（1）设，由于青蛙依次向右向上跳动，
所以，，
由抛物线定义知：，即证.
（2）依题意，，，，.
.
随着的增大，点无限接近点，
横向路程之和无限接近，纵向路程之和无限接近.
∴.
（3）由题意知：，，，
，，，……
其中，，，，……
，，，，……
观察规律可知：下标为奇数的点的纵坐标是首项为，公比为的等比数列.
相邻横坐标之差是首项为，公差为的等差数列.并可用数学归纳法证明.
所以，当为奇数时，，.
所以，.
【点睛】本题主要考查数列与抛物线的综合，同时考查了极限思想，搞清运动过程中坐标之间的关系为解题的关键，属于难题.
12解析几何中的定值问题
求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值
56.（2024·全国·模拟预测）已知为双曲线上异于左、右顶点的一个动点，双曲线的左、右焦点分别为，且．当时，的最小内角为．
(1)求双曲线的标准方程．
(2)连接，交双曲线于另一点，连接，交双曲线于另一点，若．
①求证：为定值；
②若直线AB 的斜率为 1 ，求点P 的坐标．
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②或．
【分析】（1）根据双曲线定义得出，由题意可知，，根据余弦定理计算可得，再根据双曲线的关系计算即可；
（2）①设，，，由，，将代入双曲线联立方程求解即可，②由①可知，根据题意建立等式求解即可求解.
【详解】（1）由双曲线的定义知，，
由题意可得，，
在中，由余弦定理知，
解得，因为，所以，
所以双曲线的标准方程为；
（2）①设，，，，
由，
即，所以
同理，由，得，
将的坐标代入曲线得，
，
将的坐标代入曲线得，
，
所以为定值；
②由①知，，
，
因为点在双曲线上，所以或，
即或．
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是根据题意求出A，B两点坐标，代入双曲线中得到与的关系.
57. （2023·广东广州·模拟预测）已知双曲线，直线过的右焦点且与交于两点．
(1)若两点均在双曲线的右支上，求证：为定值；
(2)试判断以为直径的圆是否过定点？若经过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)圆过定点
【分析】（1）设直线，与双曲线方程联立得出韦达定理，根据弦长公式表示，再代入求得结果.
（2）表示圆的方程，由对称性可知定点在轴上，令进行求解即可.
【详解】（1）如图，
由，设，直线，
代入，整理得：，
由解得：
由韦达定理：，
由，
同理，．
为定值．
另法：由，
同理，．
由于，不妨设，
则．
由，
得．
所以为定值．
（2）由题意：圆的方程为
即
由对称性可知：若存在定点，则必在轴上
令，有
由（1）可知，
代入方程后有：，
即，
令即．故圆过定点．
58. （2024·全国·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是上一点.若为的内心，且.
(1)求的方程；
(2)点A是在第一象限的渐近线上的一点，且轴，点是右支上的一动点，在点处的切线与直线相交于点，与直线相交于点.证明：为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据三角形面积公式及双曲线定义化简可得，求出a即可得出方程；
（2）利用导数的几何意义求出切线斜率并化简可得，求出切线及切线与直线的交点，利用两点间距离公式并结合双曲线方程化简可得
【详解】（1）因为点是上一点，所以.设的内切圆半径为，则，，.
因为，所以，
所以，所以.
由双曲线的定义及其几何性质，得，即.
联立，解得所以的方程为.
（2）由题意可知，直线的斜率存在，则可设直线的方程为.
由，可得.
由题意知.
若点在双曲线的右支的上半支上，则，
所以，故.
因为，所以，所以.
若点在双曲线的右支的下半支上，则，
所以，故.
因为，所以，所以.
综上可知，.
将代入直线的方程，得，即.
又，所以直线的方程为，即.
因为直线的方程为，所以当时，，即直线与直线的交点，所以.
联立，得，
所以直线与直线的交点.
又，所以
.
因为，所以，
所以，为定值.
.
【点睛】方法点睛：证明为定值的方法为可用变量去表示需要判断是否为定值的表达式，通过验证表达式是否与变量有关可解决问题.
59. （2024·辽宁·二模）已知点P为双曲线上任意一点，过点的切线交双曲线的渐近线于两点．
(1)证明：恰为的中点；
(2)过点分别作渐近线的平行线，与OA、OB分别交于M、N两点，判断PMON的面积是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由；
【答案】(1)证明见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）设切线为，联立方程组，根据，求得，得到，再联立直线与双曲线的渐近线，分别求得和，结合中点公式，即可得证；
（2）由（1）求得和，求得，得到，求得，结合为的中点，得到，即可求解.
【详解】（1）由切线不可能平行于轴，即切线的斜率不可能为0，
设切线方程为，
联立方程组，整理得，
所以，可得，即，
所以，即，所以，则，
所以点，
又由双曲线的渐近线方程为，
联立方程组，可得，即，
联立方程组，可得，即，
所以
，所以的中点坐标为
又因为，所以，所以点与的中点重合.
（2）由，，
可得，，
所以，即，
又由，可得，
所以，
所以，
因为为的中点，所以，
所以四边形的面积为定值.
【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线问题的方法与策略：
1、涉及圆锥曲线的定义问题：抛物线的定义是解决圆锥曲线问题的基础，它能将两种距离(圆锥曲线上的点到焦点的距离、圆锥曲线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及圆锥曲线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用圆锥曲线定义就能解决问题．因此，涉及圆锥曲线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利圆锥曲线线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．
2、涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线方程联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时注意向量、基本不等式、函数及导数在解答中的应用.
60. （2024·上海奉贤·二模）已知曲线 ，是坐标原点， 过点的直线与曲线交于，两点.
(1)当与轴垂直时，求的面积；
(2)过圆上任意一点作直线，，分别与曲线切于，两 点，求证：；

(3)过点的直线与双曲线交于，两点（，不与轴重合）.记直线的斜率为，直线斜率为， 当时，求证：与都是定值.

【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）将代入椭圆方程，求出，再计算三角形面积；
（2）设，当时求出，从而确定、、（一组）的坐标，说明，当时，设，的斜率分别为，直线，得到联立直线与椭圆的方程，由得到化为关于的一元二次方程为，利用韦达定理得到，即可得证；
（3）设、、、，直线、的斜率分别为、，设直线，联立直线与曲线的方程，消元、列出韦达定理，由得，即可求出，设直线，与双曲线联立，消元、列出韦达定理，由斜率公式计算可得.
【详解】（1）由题可知，直线为，
代入椭圆方程，解得，
所以.
（2）设，
当时， ，不妨取，，，
则，，所以，即成立；
当时，设，的斜率分别为，直线，
由 ，
因为直线与椭圆相切，所以，
即，
化简可得，
化为关于的一元二次方程为，
所以.
因为在圆上，所以，
代入上式可得，
综上可得.

（3）设、、、，
直线、的斜率分别为、，
设直线，与椭圆联立得，
则，，，
由得，
即，
计算分子部分：
，所以，
设直线，与双曲线联立得，
则，，，，
所以，
计算分子部分
，
所以，
综上可得、均为定值.

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为、；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；
（5）代入韦达定理求解.
13解析几何与向量结合
61.（2024·上海杨浦·二模）平面上的向量、满足：，，.定义该平面上的向量集合.给出如下两个结论：
①对任意，存在该平面的向量，满足
②对任意，存在该平面向量，满足
则下面判断正确的为（ ）
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①正确，②正确 D．①错误，②错误
【答案】C
【分析】根据给定条件，令，，设，利用向量模及数量积的坐标表示探求的关系，再借助平行线间距离分析判断得解.
【详解】由，，，不妨令，，设，
，得，而，，
则，整理得，由，得，
平行直线和间的距离为，
到直线和直线距离相等的点到这两条直线的距离为，
如图，阴影部分表示的区域为集合，因此无论是否属于，都有，
所以命题①②都正确.
故选：C
【点睛】思路点睛：已知几个向量的模，探求向量问题，可以在平面直角坐标系中，借助向量的坐标表示，利用代数方法解决.
62. （2021·浙江宁波·模拟预测）已知平面非零向量满足，则对于任意的使得（ ）
A．恒有解 B．恒有解
C．恒无解 D．恒无解
【答案】B
【分析】设，其中，记
则有，即，然后分，，三种情况讨论，再根据直线是过点的直线与圆锥曲线的两个不同的交点和点在以为直径的圆上，分析圆与相应准线的位置关系，即可求解.
【详解】解：设，其中，记
则有，即
若，则点的轨迹是拋物线，方程为E：，点恰为抛物线的焦点，
则是过点的直线与抛物线的两个不同的交点，点在以为直径的圆上，
此时.
若，则点的轨迹是椭圆，方程为E：，
点为椭圆E的左焦点，轴是椭圆的左准线，是过点的直线与椭圆的两个不同的交点，点在以为直径的圆上，此时圆与准线相离，故
若，则点的轨迹是双曲线，方程为E：，
点为双曲线的右焦点，轴是双曲线的右准线，是过点的直线与双曲线的两个不同的交点，点在以为直径的圆上，此时圆与准线相交，故可正，可负，可零.
所以，当时，恒有，故A错误；
当时，，与均有解，故错误；
故选：B.
【点睛】关键点点睛：利用坐标法，设，其中，记则有，即，然后分，，三种情况讨论，将原问题转化为判断圆与准线的位置关系，从而解决问题.
63. （2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，，的面积为.
(1)求的方程；
(2)是上位于第一象限的一点，其横坐标为1，直线过点且与交于，两点（均异于点），点在上，设直线，，的斜率分别为，，，若，问点的横坐标是否为定值？若为定值，求出点的横坐标；若不为定值，请说明理由.
【答案】(1)
(2)点的横坐标为定值
【分析】（1）依题意可得，即可得到为等边三角形，由面积公式求出，从而求出、；
（2）首先求出点坐标，设直线，，，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，由斜率公式求出，即可得到，最后由斜率公式求出.
【详解】（1）因为，所以，即，
又，
所以为等边三角形，
所以，所以，
又，所以，则，
所以，
所以椭圆方程为.
（2）将代入解得，所以，
由（1）可知，则直线的斜率存在，
设直线，，，，
由得，
由，
所以，，
所以
，
因为，所以，
所以，解得，
所以点的

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