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第05讲 一元二次不等式与其他常见不等式解法
01 考情透视
考点要求 考题统计 考情分析
（1）会从实际情景中抽象出一元二次不等式． （2）结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式． （3）了解简单的分式、绝对值不等式的解法． 2020年I卷第1题，5分 从近几年高考命题来看，三个 “二次” 的关系是必考内容，单独考查的频率很低，偶尔作为已知条件的一部分出现在其他考点的题目中．
三个”二次“间的关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x＜x1或x＞x2} R
ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2}
微提醒　对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形．
【记牢常用结论】
1．分式不等式的解法
(1)>0(<0) f(x)·g(x)>0(<0)．
(2)≥0(≤0)
2．绝对值不等式的解法
绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|0)的解集为(－a，a)．
记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间．
3．一元二次不等式恒成立的条件
(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是
(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是
【诊断自测】不等式的解集是，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为不等式的解集是，
所以，和是方程的根，
所以，即，，则．故选：D．
知识点2：分式不等式
（1） （2）
（3）（4）
【诊断自测】不等式的解集为（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【解析】不等式，等价于或，
解得或，即不等式的解集为.故选：A
知识点3：绝对值不等式
（1）
（2）；
；
（3）含有两个或两个以上绝对值的不等式，可用图象法和零点分段法求解.
【诊断自测】（2024·高三·山西忻州·期末）不等式的解集是 ．
【答案】
【解析】原不等式可变形为或，
由，解得；由，解得，
所以原不等式的解集为.
故答案为：.
解题模板
1、已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．
由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为．
2、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．
由的解集为，得：的解集为，即关于的不等式的解集为．
3、已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．
由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推．
4、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．
由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为．
5、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
6、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
7、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
8、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足．
题型一：不含参数一元二次不等式的解法
【典例1-1】（2024·上海嘉定·一模）不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】由不等式，可得，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
【典例1-2】不等式的解集是，则不等式的解集是（用集合表示） ．
【答案】
【解析】不等式的解集为，
∴，且1，2是方程的两个实数根，
∴，解得，，其中；
∴不等式化为，
即，解得，
因此所求不等式的解集为 .
故答案为：．
【变式1-1】不等式的解集是 ．
【答案】
【解析】由题意，解得或，
所以不等式的解集是.
故答案为：.
【变式1-2】一元二次不等式的解集为 .
【答案】
【解析】由可得，
即，
解得或，
所以不等式的解集为.
故答案为：
题型二：含参数一元二次不等式的解法
【典例2-1】设函数
(1)若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围；
(2)解关于的不等式：．
【解析】（1）对一切实数x恒成立，等价于恒成立.
当时，不等式可化为，不满足题意.
当，有，即，解得
所以的取值范围是．
（2）依题意，等价于，
当时，不等式可化为，所以不等式的解集为.
当时，不等式化为，此时，所以不等式的解集为.
当时，不等式化为，
①当时，，不等式的解集为；
②当时，，不等式的解集为；
③当时，，不等式的解集为；
综上，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
【典例2-2】已知关于的一元二次不等式的解集为．
(1)求和的值；
(2)求不等式的解集．
【解析】（1）由题意知和是方程的两个根且，
由根与系数的关系得，解得；
（2）由、，不等式可化为，
即，则该不等式对应方程的实数根为和．
当时，，解得，即不等式的解集为，
当时，，不等式的解集为空集，
当时，，解得，即不等式的解集为，
综上：当时，解集为，
当时，解集为空集，
当时，解集为．
【方法技巧】
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类讨论．
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数，数形结合处理．
(3)有两个根时，还需要根据两根的大小进行讨论，注意分类讨论．
【变式2-1】已知函数．
(1)若关于x的不等式的解集为R，求实数a的取值范围；
(2)解关于x的不等式．
【解析】（1）若不等式的解集为R，
则，
解得，
即实数的取值范围,；
（2）不等式，
①当时，即时，不等式的解集为，
②当时，即或时，
由，解得或，
所以不等式的解集为，
综上所述，当时，不等式的解集为；
当或时，不等式的解集为．
【变式2-2】解关于实数的不等式：．
【解析】对方程 ，
当时，
即时,不等式的解集为
当时，
即或时,
的根为，
不等式的解集为；
综上可得，时,不等式的解集为，
或时，不等式的解集为.
【变式2-3】设函数，其中．解不等式；
【解析】因为，不等式等价于，
又，所以，即，其中，所以，
所以原不等式等价于，
即，
所以当时，不等式组的解集为；
当时，不等式组的解集为.
综上，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
题型三：三个二次之间的关系
【典例3-1】（2024·高三·云南德宏·期末）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据题意，方程的两根为2和3，
则，
则为，其解集为.
故选：D.
【典例3-2】已知的解集为，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】C
【解析】已知的解集为，
则的两根为和2，
所以，即，
代入不等式，化简整理得，
因为，故，
不等式的解集为或.
故选：C
【方法技巧】
1、一定要牢记二次函数的基本性质．
2、含参的注意利用根与系数的关系找关系进行代换．
【变式3-1】若不等式的解集是，则不等式的解集是（　 ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为不等式的解集是：，
所以和是方程的两个实数根，
由，解得：，
故不等式，即为，
解不等式，得：，
所求不等式的解集是：.
故选：C．
【变式3-2】（多选题）不等式的解集为，且.以下结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】因为不等式的解集为，
则是方程的两个实数根，，又,
不妨令，，则，，但，故A不成立，符合题意；
令，，则，但，故B不成立，符合题意；
令，，则，，但，故C不成立，符合题意；
，故D成立，不符合题意．
故选：ABC.
【变式3-3】（多选题）已知关于的不等式的解集是，则（ ）
A．
B．
C．
D．不等式的解集是或
【答案】ABD
【解析】由题意可知，1，3是方程的两个根，且，，
A：由以上可知，故A正确；
B：当时，代入方程可得，故B正确；
C：因为，不等式的解集是，故将代入不等式左边为，故C错误；
D：原不等式可变为，且，约分可得，解集为或，故D正确；
故选：ABD
题型四：分式不等式以及高次不等式的解法
【典例4-1】（2024·高三·上海杨浦·期中）关于x的不等式的解集是 .
【答案】或
【解析】因为，
所以，解得或，
所以的解集为或.
故答案为：或.
【典例4-2】已知关于x的不等式的解集是，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由，解得或，
由条件知与同解，
当时，显然不符合条件；
所以，或，即，或，
解得或，即.
所以的取值范围为.
故答案为：.
【方法技巧】
分式不等式化为二次或高次不等式处理．
【变式4-1】（2024·上海浦东新·模拟预测）不等式的解集是 ．
【答案】
【解析】，即，即，
则，根据穿根法解得，
故答案为：.
【变式4-2】（2024·上海青浦·二模）已知函数的图像如图所示，则不等式的解集是 .
【答案】
【解析】根据函数的图像可知：
，即，
不等式可化为，
即，
解得或，
所以不等式的解集是.
故答案为：
【变式4-3】不等式的解集是 ．
【答案】
【解析】原不等式可以化为，
因为，所以.
所以不等式的解集为.
故答案为：
题型五：绝对值不等式的解法
【典例5-1】（2024·高三·上海长宁·期中）不等式的解集为 .
【答案】
【解析】当时，，
所以.
当时，，
或.
综上：解集为
故答案为：
【典例5-2】（2024·上海青浦·二模）不等式的解集为 ．
【答案】；
【解析】或，
即或，所以不等式的解集为或，
故答案为：.
【方法技巧】
（1）
（2）；
；
（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解
【变式5-1】（2024·上海虹口·模拟预测）不等式的解集为 .
【答案】
【解析】，当时，，解得，故解集为，
当时，，解集为，
当时，，解得，故解集为，
综上：不等式的解集为.
故答案为：
【变式5-2】不等式的解集是 ．
【答案】或
【解析】因为，所以或，
即或，
由解得或，
由可得，所以，
故不等式的解集为或.
故答案为：或.
题型六：二次函数根的分布问题
【典例6-1】已知函数，关于的方程有三个不等的实根，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题意得，
当时，，递增；当时，，递减，
且；可知函数的图象如图所示，
令，则方程有三个不等的实根，
即为有两个不等的实根，
令，则有两个不等的实根，
则，所以不妨令，
则，解得，
故答案为：
【典例6-2】若关于x的一元二次方程有两个不相等的实根，且．则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【解析】令函数，依题意，的两个不等实根满足，
而函数图象开口向上，因此，则，解得，
所以实数a的取值范围为.
故答案为：
【方法技巧】
解决一元二次方程的根的分布时，常需考虑：判别式，对称轴与所给区间的位置关系，区间端点处函数值的符号，所对应的二次函数图象的开口方向．
【变式6-1】已知一元二次方程的两根都在内，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，由题意可得，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：B.
【变式6-2】已知函数，若关于的方程恰有4个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，
当时，（时取等号），，
当时，，即在上为增函数，
当时，，即在上为减函数，
在处取得极大值.
当时，，即在上为减函数，
作出函数的图象如图所示：
设，
当时，方程有1个解，
当时，方程有2个解，
当时，方程有3个解，
当时，方程有1个解，
当时，方程有0个解，
方程等价为，
要使关于的方程恰有4个不相等的实数根，
等价为方程有两个不同的根，且，，
设，
则 ，解得，
故选：D．
【变式6-3】已知关于的方程在区间内有实根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为关于的方程在区间内有实根，
所以在区间内有实根，
令，，所以在上单调递减，
所以，即，
依题意与在内有交点，
所以.
故选：B
题型七：一元二次不等式恒（能）成立问题
【典例7-1】已知关于的不等式.
(1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立，并说明理由；
(2)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围；
(3)若不等式对有解，求的取值范围.
【解析】（1）
原不等式等价于，
当时，，即，不恒成立；
当时，若不等式对于任意实数恒成立，
则且，无解；
综上，不存在实数，使不等式恒成立.
（2）设，
当时，恒成立，
当且仅当，即，
解得即，
所以的取值范围是.
（3）若不等式对有解，
等价于时，有解.
令，
当时，即，此时显然在有解；
当时，时，结合一元二次函数图象，显然有解；
当时，对称轴为，，
时，有解，
结合一元二次函数图象，易得：或，
解得或（无解），
又∵，
;
综上所述，的取值范围为.
【典例7-2】（2024·陕西西安·模拟预测）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】.
【解析】当时，不等式恒成立，
所以当时，恒成立，则，
令，则在单调递增，
所以，所以.
故答案为：.
【方法技巧】
恒成立问题求参数的范围的解题策略
（1）弄清楚自变量与参数．
（2）一元二次不等式在R上恒（能）成立，可用判别式，一元二次不等式在给定的某个区间上恒（能）成立，不能用判别式，一般分离参数求最值或分类讨论处理．
【变式7-1】当时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当时，不等式恒成立，
当时，满足不等式恒成立；
当时，令，则在上恒成立，
函数的图像抛物线对称轴为，
时，在上单调递减，在上单调递增，
则有，解得；
时，在上单调递增，在上单调递减，
则有，解得.
综上可知，的取值范围是.
故选：D.
题型八：解含参型绝对值不等式
【典例8-1】已知关于的不等式有实数解，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为关于的不等式有实数解，
所以，
当时，，
当时，，
当时，，
所以，即，
解得或，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
【典例8-2】若存在实数使得不等式成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为，当且仅当时，等号成立，
由题意可得，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
【方法技巧】
含参型绝对值不等式 ，可用零点分段法和图象法求解.
【变式8-1】若关于x的不等式的解集为，则实数m的取值范围是
【答案】
【解析】不等式的解集为，即不等式的解集为，
所以恒成立；
而表示数轴上的x对应点到对应点的距离之和，它的最小值为，
故有，所以或，即或，
故答案为：.
【变式8-2】（2024·上海长宁·二模）若对任意，均有，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【解析】因为在绝对值三角不等式中，当同号时有，
又因为，
所以在恒成立，
所以或在恒成立，
即有或在恒成立，
由，解得，
由，解得，
综上所述实数a的取值范围为.
故答案为：
1．（2014年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷））已知函数，若对于任意的都有，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】因为函数的图象开口向上的抛物线，
所以要使对于任意的都有成立，
，解得，
所以实数的取值范围为．
2．（2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学卷（北京））已知集合，．若，则实数的取值范围是 ．
【答案】(2，3)
【解析】集合={x| a－1≤x≤a+1}，={x| x≥4或x≤1 }．又，∴，解得23．（2019年天津市高考数学试卷（文科）） 设，使不等式成立的的取值范围为 .
【答案】
【解析】，即，即，故的取值范围是．
1．(链接人A必修一P52例1)不等式x2＋2x－3>0的解集为(　　)
A．{x|－3C．{x|x<－3或x>1} D．{x|x<－1或x>3}
答案：C
解析：根据题意，方程x2＋2x－3＝0有两个根，即－3和1，则x2＋2x－3>0的解集为{x|x<－3或x>1}．故选C.
2．(链接苏教必修一P69T9)设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是(　　)
A．{x|x<－n或x>m} B．{x|－nC．{x|x<－m或x>n} D．{x|－m答案：B
解析：(m－x)(n＋x)>0 (x－m)(x＋n)<0，又因为m＋n>0，所以m>－n，所以不等式的解集为{x|－n3．当k取什么值时，一元二次不等式对一切实数x都成立.
【解析】当时，要使一元二次不等式对一切实数x都成立，
则二次函数的图象在x轴下方，即，得.
当时，二次函数的图象开口向上，一元二次不等式不可能对一切实数x都成立.综上可知，.
4．如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600km处的热带风暴中心正以20km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450km以内的地区都将受到影响.据以上预报估计，从码头现在起多长时间后，该码头将受到热带风暴的影响，影响时间大约为多长（精确到0.1h）？
【解析】如图所示：
设风暴中心最初在A处，经th后到达B处，向x轴作垂线，垂足为C，若在点B处受到风暴的影响，
则OB=450，，
因为，所以，即，
解得，，又，
所以从码头现在起大约小时后，该码头将受到热带风暴的影响，影响时间大约15个小时.
5（北师大版必修1）求关于 的不等式 的解集,其中 是常数.
解 依题意知方程 的实数根为 ,且一元二次函数 的图象是开口向上的抛物线.
(1) 当 时,一元二次函数 的图象与 轴从左至右 有两个交点 与 . 所以原不等式的解集为 .
(2) 当 时,一元二次函数 的图象与 轴只有一 个交点 . 所以原不等式的解集为 .
(3) 当 时一元二次函数 的 所以原不等式的解 集为 .
综上所述,当 时,原不等式的解集为 ;
当 时,原不等式的解集为 ;
当 时,原不等式的解集为 .
6.（北师大版必修1）求关于 的不等式 的解集,其中 是常数.
方程 的两根为 , .
(1) 当 ,即 时,二次函数 的图象与 轴从左至右有两 个交点, 与 . 所以原不等 式的解集为 .
(2) 当 ,即 时,二次函数 的图象与 轴有一个交点 . 所以原不等式的解集为 , .
(3) 当 ,即 时,二次函数 的图象与 轴从左至右有两 个交点, 与 . 所以原不等 式的解集为 .
综上,当 时,不等式的解集为
当 时,不等式的解集为 ;
当 时,不等式的解集为 .
7.（北师大版必修1）已知关于 的方程 有两个不相等的实数根,求实数 的取值范围.
解：方程 有两个不相 等的实数根,当且仅当它的判别式 时成立,即 .求解不等式,得到其解集为 .
所以当 时,方 程 有两个不相等 的实数根.
8.(链接苏教必修一）设 为实数,求证: .
证明
当且仅当 时,等号成立, .
9(链接苏教必修一）设 都是正数,求证:
证明 ,当且仅当 时,等号成立, 原不等式成立.
易错点：解含参数不等式时分类讨论不恰当
易错分析： 含参数不等式的解法是不等式问题的难点．解此类不等式时一定要注意对字母分类讨论，讨论时要做到不重不漏，分类解决后，要对各个部分的结论按照参数由小到大进行整合．
【易错题1】当时，解关于的不等式.
【解析】当时，代入不等式可得，解得；
当时，化简不等式可得即，
由得不等式的解为，
当时，化简不等式可得即，
由得不等式的解为或，
综上可知，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或.
【易错题2】解关于实数的不等式：．
【解析】易知方程的，
由得，解得，
当时，的解集为，
当时，的解集为，
当时，的解集为．
答题模板：一元二次不等式恒成立问题
1、模板解决思路
结合对应二次函数的图象，数形结合罗列关于参数的不等式．对于在定区间上恒成立的问题，可以分离参数转化为函数的最值问题，不要漏掉考虑函数图象的对称轴和区间端点的关系．
2、模板解决步骤
第一步：将不等式恒成立问题转化为对应函数图象的问题．
第二步：列出不等式（组），一定要注意二次项系数如果含参数时就需要进行分类讨论．
第三步：解不等式求解参数的范围．
【典例1】已知函数，.
(1)当时，解不等式；
(2)若，使得，求实数的取值范围.
【解析】（1）当时，，由可得，解得或，
故当时，不等式的解集为或.
（2）因为，使得，
因为，则，
令，则，则，
因为函数、在上均为增函数，
所以，函数在上为增函数，则，
故.
【典例2】（1）若，，求实数a的取值范围；
（2）若，，求实数x的取值范围．
【解析】（1）因为，，
①当时，不等式对成立，符合题意.
②当时，若不等式对恒成立，
则，解得，
综上，实数a的取值范围.
（2），，
即，，
所以，而在上单调递增，
所以，解得，
故实数x的取值范围.
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第05讲 一元二次不等式与其他常见不等式解法
01 考情透视
考点要求 考题统计 考情分析
（1）会从实际情景中抽象出一元二次不等式． （2）结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式． （3）了解简单的分式、绝对值不等式的解法． 2020年I卷第1题，5分 从近几年高考命题来看，三个 “二次” 的关系是必考内容，单独考查的频率很低，偶尔作为已知条件的一部分出现在其他考点的题目中．
三个”二次“间的关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x＜x1或x＞x2} R
ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2}
微提醒　对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形．
【记牢常用结论】
1．分式不等式的解法
(1)>0(<0) f(x)·g(x)>0(<0)．(2)≥0(≤0)
2．绝对值不等式的解法
绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|0)的解集为(－a，a)．
记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间．
3．一元二次不等式恒成立的条件
(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是
(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是
【诊断自测】不等式的解集是，则的值是（ ）
A． B． C． D．
知识点2：分式不等式
（1） （2）
（3）（4）
【诊断自测】不等式的解集为（ ）
A．B．C． D．
知识点3：绝对值不等式
（1）
（2）；
；
（3）含有两个或两个以上绝对值的不等式，可用图象法和零点分段法求解.
【诊断自测】（2024·高三·山西忻州·期末）不等式的解集是 ．
解题模板
1、已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．
由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为．
2、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．
由的解集为，得：的解集为，即关于的不等式的解集为．
3、已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．
由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推．
4、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．
由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为．
5、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
6、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
7、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
8、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足．
题型一：不含参数一元二次不等式的解法
【典例1-1】（2024·上海嘉定·一模）不等式的解集为 ．
【典例1-2】不等式的解集是，则不等式的解集是（用集合表示） ．
【变式1-1】不等式的解集是 ．
题型二：含参数一元二次不等式的解法
【典例2-1】设函数
(1)若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围；(2)解关于的不等式：．
【典例2-2】已知关于的一元二次不等式的解集为．
(1)求和的值；(2)求不等式的解集．
【变式2-1】已知函数．
(1)若关于x的不等式的解集为R，求实数a的取值范围；
(2)解关于x的不等式．
【变式2-2】解关于实数的不等式：．
【变式2-3】设函数，其中．解不等式；
题型三：三个二次之间的关系
【典例3-1】（2024·高三·云南德宏·期末）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【典例3-2】已知的解集为，则不等式的解集为（ ）
A． B． C．或 D．
【变式3-1】若不等式的解集是，则不等式的解集是
A． B． C． D．
【变式3-2】（多选题）不等式的解集为，且.以下结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（多选题）已知关于的不等式的解集是，则（ ）
A． B． C． D．不等式的解集是或
题型四：分式不等式以及高次不等式的解法
【典例4-1】（2024·高三·上海杨浦·期中）关于x的不等式的解集是 .
【典例4-2】已知关于x的不等式的解集是，则实数的取值范围是 ．
【方法技巧】
分式不等式化为二次或高次不等式处理．
【变式4-1】（2024·上海浦东新·模拟预测）不等式的解集是 ．
【变式4-2】（2024·上海青浦·二模）已知函数的图像如图所示，则不等式的解集是 .
【变式4-3】不等式的解集是 ．
题型五：绝对值不等式的解法
【典例5-1】（2024·高三·上海长宁·期中）不等式的解集为 .
【典例5-2】（2024·上海青浦·二模）不等式的解集为 ．
【方法技巧】
（1）
（2）；
；
（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解
【变式5-1】（2024·上海虹口·模拟预测）不等式的解集为 .
【变式5-2】不等式的解集是 ．
题型六：二次函数根的分布问题
【典例6-1】已知函数，关于的方程有三个不等的实根，则实数的取值范围是 .
【典例6-2】若关于x的一元二次方程有两个不相等的实根，且．则实数a的取值范围为 ．
【变式6-1】已知一元二次方程的两根都在内，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】已知函数，若关于的方程恰有4个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】已知关于的方程在区间内有实根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型七：一元二次不等式恒（能）成立问题
【典例7-1】已知关于的不等式.
(1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立，并说明理由；
(2)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围；
(3)若不等式对有解，求的取值范围.
【典例7-2】（2024·陕西西安·模拟预测）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
【变式7-1】当时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型八：解含参型绝对值不等式
【典例8-1】已知关于的不等式有实数解，则实数的取值范围是 .
4.真题演练
1．（2014年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷））已知函数，若对于任意的都有，则实数的取值范围为 .
2．（2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学卷（北京））已知集合，．若，则实数的取值范围是 ．
3．（2019年天津市高考数学试卷（文科）） 设，使不等式成立的的取值范围为 .
5.链接教材
1．(链接人A必修一P52例1)不等式x2＋2x－3>0的解集为(　　)
A．{x|－31} D．{x|x<－1或x>3}
2．(链接苏教必修一P69T9)设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是(　　)
A．{x|x<－n或x>m}B．{x|－nn} D．{x|－m3．当k取什么值时，一元二次不等式对一切实数x都成立.
4．如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600km处的热带风暴中心正以20km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450km以内的地区都将受到影响.据以上预报估计，从码头现在起多长时间后，该码头将受到热带风暴的影响，影响时间大约为多长（精确到0.1h）？
5．（北师大版必修1）求关于 的不等式 的解集,其中 是常数.
6.（北师大版必修1）求关于 的不等式 的解集,其中 是常数.
7.（北师大版必修1）已知关于 的方程 有两个不相等的实数根,求实数 的取值范围.
8.(链接苏教必修一）设 为实数,求证: .
9(链接苏教必修一）设 都是正数,求证:
（标准答题模板）
【易错题1】当时，解关于的不等式.
【解析】当时，代入不等式可得，解得；
当时，化简不等式可得即，
由得不等式的解为，
当时，化简不等式可得即，
由得不等式的解为或，
综上可知，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或.
【易错题2】解关于实数的不等式：．
【解析】易知方程的，
由得，解得，
当时，的解集为，
当时，的解集为，
当时，的解集为．
【典例1】已知函数，.
(1)当时，解不等式；
(2)若，使得，求实数的取值范围.
【解析】（1）当时，，由可得，解得或，
故当时，不等式的解集为或.
（2）因为，使得，
因为，则，令，则，则，
因为函数、在上均为增函数，所以，函数在上为增函数，则，故.
【典例2】（1）若，，求实数a的取值范围；
（2）若，，求实数x的取值范围．
【解析】（1）因为，，
①当时，不等式对成立，符合题意.
②当时，若不等式对恒成立，
则，解得，综上，实数a的取值范围.
（2），，即，，
所以，而在上单调递增，
所以，解得，故实数x的取值范围.
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