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第四章 数列 章末重难点归纳总结
考点一 等差等比基本量的计算
【例1-1】（2022·陕西）等差数列的首项为1，公差不为0.若，，成等比数列，则的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【例1-2】（2022·江苏）记为等比数列的前项和.若，则___________.
【一隅三反】
1．（2022·甘肃）等差数列的首项为5,公差不等于零．若，，成等比数列，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·黑龙江齐齐哈尔）已知等比数列的前n项和，则______.
3．（2022·吉林）已知等比数列的公比，，，则___________.
考点二 等差等比数列的性质
【例2-1】（2022·福建漳州·高二期中）已知等差数列中，是函数的两个零点，则=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【例2-2】（2022·福建）在等比数列中，若，是方程的根，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
【例2-3】（2022·江苏省震泽中学高二阶段练习）已知分别是等差数列与的前项和，且，则（ ）
A． B． C． D．
【例2-4】（2022·北京）若等差数列满足，则当的前项和的最大时，的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．8或9
【一隅三反】
1．（2022·陕西）已知a是4与6的等差中项，b是与的等比中项，则（ ）
A．13 B． C．3或 D．或13
2．（2022·黑龙江齐齐哈尔）已知数列是等差数列，数列是等比数列，，且，（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·上海市行知中学）正项等比数列中，存在两项使得，且，则最小值____.
4．（2022·浙江·嘉兴一中高二期中）已知数列的前n项的和，若数列为等比数列，则的值为___________．
考点三 求通项与求和
【例3-1】（2023·云南）已知数列的首项.
(1)求；
(2)记，设数列的前项和为，求.
【例3-2】（2022·河南）已知正项数列的前项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
.
【一隅三反】
1．（2022·宁夏·石嘴山市第三中学高二阶段练习（理））已知数列中，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·甘肃·天水市第一中学高二阶段练习）（多选）已知数列满足，，则下列结论中错误的有（ ）
A．为等比数列 B．的通项公式为
C．为递增数列 D．的前项和为
3．（2022·上海市松江二中高二期中）设数列的前项和为，且，则数列的通项公式为___________.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前n项和为 ；各项均为正数的等比数列 满足， ．
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ．
5．（2023·广西）已知等差数列的前项和为，且关于的不等式的解集为.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和
6．（2022·福建泉州）已知等差数列的前项和为，其中，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
考点四 数列的实际应用
【例4-1】（2022·福建）把120个面包全部分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且较大的三份之和是较小的两份之和的7倍，则最小一份的面包个数为（ ）
A．2 B．5 C．6 D．11
【例4-2】（2022·天津）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第一天走的路程为（ ）
A．63里 B．126里 C．192里 D．228里
【一隅三反】
1．（2022·安徽·六安一中）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难.次日脚痛减一半，六朝才得到其关.要见每朝行里数，请公仔细算相还.”意思是：有一个人要走441里路，第一天走得很快，以后由于脚痛，后一天走的路程都是前一天的一半，6天刚好走完.则此人最后一天走的路程是（ ）
A．7里 B．14里 C．21里 D．112里
2（2022·湖南）农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成.2003年某地区农民人均收入为3150元（其中工资性收入为1800元，其它收入为1350元），预计该地区自2004年起的5年内，农民的工资性收入将以每年的年增长率增长，其它收入每年增加160元．根据以上数据，2008年该地区农民人均收入介于（ ）
A．4200元~4400元 B．4400元~4600元 C．4600元~4800元 D．4800元~5000元
3．（2022·黑龙江·哈尔滨七十三中）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》.1852年，英国传教士伟烈亚力将该解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.此定理讲的是关于整除的问题，现将1到2031这2031个数中，能被2除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列共有（ ）
A．202项 B．203项 C．204项 D．205项
第四章 数列 章末重难点归纳总结
考点一 等差等比基本量的计算
【例1-1】（2022·陕西）等差数列的首项为1，公差不为0.若，，成等比数列，则的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
答案：A
【解析】因为，，成等比数列，则
即，将代入计算
可得或（舍）
则通项公式为
故选:A.
【例1-2】（2022·江苏）记为等比数列的前项和.若，则___________.
答案：
【解析】公比，
则故答案为：
【一隅三反】
1．（2022·甘肃）等差数列的首项为5,公差不等于零．若，，成等比数列，则（ ）
A． B． C． D．
答案：D
【解析】由题可知等差数列的首项为,设的公差为d，
由，，成等比数列得，
即，
解得，
因而，
故.
故选:D
2．（2022·黑龙江齐齐哈尔）已知等比数列的前n项和，则______.
答案：9
【解析】因为当等比数列的公比时，，
又，故可得，解得，
故，则.
故答案为：.
3．（2022·吉林）已知等比数列的公比，，，则___________.
答案：
【解析】由得
由等比数列得，所以，即
解得或，则或，由，可得，即
所以.故答案为：.
考点二 等差等比数列的性质
【例2-1】（2022·福建漳州·高二期中）已知等差数列中，是函数的两个零点，则=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
答案：D
【解析】由题意知，又是等差数列，
所以.
故选：D
【例2-2】（2022·福建）在等比数列中，若，是方程的根，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
答案：C
【解析】显然方程有两个正实根，依题意，有，，
等比数列公比，，所以.
故选：C
【例2-3】（2022·江苏省震泽中学高二阶段练习）已知分别是等差数列与的前项和，且，则（ ）
A． B． C． D．
答案：B
【解析】因为数列是等差数列，所以，
所以，
又因为分别是等差数列与的前项和，且，
所以,
故选：.
【例2-4】（2022·北京）若等差数列满足，则当的前项和的最大时，的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．8或9
答案：B
【解析】因为，所以，
因为，所以，
所以当的前项和的最大时，的值为8.
故选：B.
【一隅三反】
1．（2022·陕西）已知a是4与6的等差中项，b是与的等比中项，则（ ）
A．13 B． C．3或 D．或13
答案：D
【解析】a是4与6的等差中项，故，
b是与的等比中项，则，则，或.
故选：D
2．（2022·黑龙江齐齐哈尔）已知数列是等差数列，数列是等比数列，，且，（ ）
A． B． C． D．
答案：D
【解析】因为数列是等差数列，，
所以，，
因为数列是等比数列，，
所以，，
所以.
故选：D.
3．（2022·上海市行知中学）正项等比数列中，存在两项使得，且，则最小值____.
答案：
【解析】在正项等比数列中有，由等比数列的性质知，即，解得或（舍），
则，可得，其中.
所以，当且仅当，即时等号成立.
故的最小值为：.
4．（2022·浙江·嘉兴一中高二期中）已知数列的前n项的和，若数列为等比数列，则的值为___________．
答案：
【解析】数列为等比数列，则其前项成等比数列，即，
由，，
，，故，
解得. 此时，时，
当，，故符合，于是时，，数列为等比数列.
故答案为：
考点三 求通项与求和
【例3-1】（2023·云南）已知数列的首项.
(1)求；
(2)记，设数列的前项和为，求.
答案：(1)
(2)
【解析】（1）由题意可得，，，
所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，
所以，故.
（2）由（1）得，
所以
令①，则，
因为②，
①-②得，
所以，
所以.
【例3-2】（2022·河南）已知正项数列的前项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
答案：(1)
(2)
【解析】（1）解：因为，即①，
当时，解得或（舍去），
当时②，
①②时，即，
即，即，
因为，所以，即，
所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以.
（2）解：由（1）可得，
所以
.
【一隅三反】
1．（2022·宁夏·石嘴山市第三中学高二阶段练习（理））已知数列中，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
答案：C
【解析】
所以所以数列是一个以2为首项，以4为公比的等比数列，
所以.
故选：C
2．（2022·甘肃·天水市第一中学高二阶段练习）（多选）已知数列满足，，则下列结论中错误的有（ ）
A．为等比数列 B．的通项公式为
C．为递增数列 D．的前项和为
答案：AD
【解析】由题意得，则，而，
故是首项为，公比为的等比数列，
，得，为递减数列，故A正确，B，C错误，
对于D，，的前项和为，故D正确，
故选：AD
3．（2022·上海市松江二中高二期中）设数列的前项和为，且，则数列的通项公式为___________.
答案：
【解析】由题意得：
则当时，
于是
又当时，
故数列是首项为公比为的等比数列
所以
故答案为：
4．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前n项和为 ；各项均为正数的等比数列 满足， ．
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ．
答案：(1) ； ；
(2) ．
【解析】（1）设等差数列的首项为 ，公差为d，
由，得 ，解得,
∴ ；
设等比数列的公比为q（），
由， ，得 ，解得 ,
∴ ；
（2）
由（1）知：,
令 的前n项和为 ，则 ，
所以 ，
两式作差可得： ，
∴ ，
则数列的前n项和 ．
5．（2023·广西）已知等差数列的前项和为，且关于的不等式的解集为.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和
答案：(1)
(2)
【解析】（1）设等差数列的公差为，
因为关于的不等式的解集为，
所以的根为，
所以，所以，，
又，所以
所以数列的通项公式为；
（2）由（1）可得，
因为，所以，
所以数列的前项和
6．（2022·福建泉州）已知等差数列的前项和为，其中，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
答案：(1)
(2)
【解析】（1）由题设，，可得，又，所以公差，
所以，
所以的通项公式．
（2）由（1）知：，
令，
，
所以．
考点四 数列的实际应用
【例4-1】（2022·福建）把120个面包全部分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且较大的三份之和是较小的两份之和的7倍，则最小一份的面包个数为（ ）
A．2 B．5 C．6 D．11
答案：A
【解析】设等差数列的首项为，公差为，由条件可知，
，，即，
即 ，解得：，，
所以最小一份的面包个数为个.
故选：A
【例4-2】（2022·天津）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第一天走的路程为（ ）
A．63里 B．126里 C．192里 D．228里
答案：C
【解析】由已知，设等比数列首项为，前n项和为， 公比为,，
则 ，等比数列首项.故选：C.
【一隅三反】
1．（2022·安徽·六安一中）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难.次日脚痛减一半，六朝才得到其关.要见每朝行里数，请公仔细算相还.”意思是：有一个人要走441里路，第一天走得很快，以后由于脚痛，后一天走的路程都是前一天的一半，6天刚好走完.则此人最后一天走的路程是（ ）
A．7里 B．14里 C．21里 D．112里
答案：A
【解析】设为公比为的等比数列，则，
解得，则，故选：A
2（2022·湖南）农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成.2003年某地区农民人均收入为3150元（其中工资性收入为1800元，其它收入为1350元），预计该地区自2004年起的5年内，农民的工资性收入将以每年的年增长率增长，其它收入每年增加160元．根据以上数据，2008年该地区农民人均收入介于（ ）
A．4200元~4400元 B．4400元~4600元 C．4600元~4800元 D．4800元~5000元
答案：B
【解析】由题知：2004年农民收入；
2005年农民收入；
所以2008年农民收入
故选：B．
3．（2022·黑龙江·哈尔滨七十三中）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》.1852年，英国传教士伟烈亚力将该解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.此定理讲的是关于整除的问题，现将1到2031这2031个数中，能被2除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列共有（ ）
A．202项 B．203项 C．204项 D．205项
答案：C
【解析】将被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则，
由可得数列的奇数项能被2除余1，
所以，
由可得，
故选：C.

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