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第五章 一元函数的导数及其应用 章末重难点归纳总结
考点一 函数求导
【例1-1】（2022·浙江）已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（ ）
A． B． C．1 D．2
【例1-2】（2021·全国·高二单元测试）已知，则等于（ ）
A．-4 B．2 C．1 D．-2
【例1-3】（2022·全国·高二课时练习）求下列函数的导数：
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．
【一隅三反】
1．（2022·浙江）如图，函数的图象在点处的切线方程是，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高二阶段练习）求下列函数的导数
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
3．（2022·全国·高二课时练习）求下列函数的导数．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
考点二 切线方程
【例2-1】（2022·陕西）曲线（）在点处的切线与直线垂直，则（ ）
A． B． C． D．
【例2-2】（2022·陕西·咸阳市高新一中高二阶段练习（文））直线是曲线y＝lnx（x>0）的一条切线，则实数b等于（ ）
A．－1＋ln2 B．1 C．ln2 D．1＋ln2
【例2-3】（2022·浙江省常山县第一中学高二期中）已知，则在x＝1处的切线方程是______．
【例2-4】（2022·江西南昌）若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为___________.
【一隅三反】
1．（2022·陕西）已知函数在点处的切线斜率为7，则实数a的值为___________.
2．（2022·陕西）若直线和曲线相切，则实数的值为_________.
3．（2022·全国·高二单元测试）（多选）若直线是曲线的切线，则曲线的方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
考点三 利用导数求函数的单调性
【例3-1】（2023·全国·专题练习）求下列函数的单调区间.
(1)；(2)
(3)；(4).
【例3-2】（2022·江西）已知定义在上的函数满足，，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【例3-3】（2022·江西 ）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【例3-4】（广东省2023届高三上学期11月新高考学科综合素养评价数学试题）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是________．
【一隅三反】
1．（2022·陕西渭南 ）已知函数， 则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·单元测试）已知函数，则不等式的解集为__________．
3．（2022·陕西·西安中学高二期中）已知函数是定义在的奇函数，当时，，则不等式的解集为
4．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高三期中）已知函数，则不等式的解集为__________.
考点四 极值最值
【例4-1】（2022·河南）函数的极小值为（ ）
A． B．1 C． D．
【例4-2】（江西省西路片七校2023届高三上学期第一次联考数学（文）试题）已知函数在上有最小值，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2022·全国·高二课时练习）已知函数在处取得极值0，则______．
2．（2022·全国·高二单元测试）若函数在区间上有极值点，则实数a的取值范围为______．
3．（2022·上海市建平中学高三阶段练习）已知函数在处取得极值，则实数_____.
4．（2022·浙江·杭州四中高二期中）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线的方程；
(2)若函数在处取得极大值，求a的取值范围.
5．（2022·宁夏 ）已知函数
(1)若在处有极值，求实数的值和极值；
(2)讨论函数的单调性.
第五章 一元函数的导数及其应用 章末重难点归纳总结
考点一 函数求导
【例1-1】（2022·浙江）已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（ ）
A． B． C．1 D．2
答案：A
【解析】因为,
所以,故选:A.
【例1-2】（2021·全国·高二单元测试）已知，则等于（ ）
A．-4 B．2 C．1 D．-2
答案：B
【解析】，令得：，解得：，
所以， 故选：B
【例1-3】（2022·全国·高二课时练习）求下列函数的导数：
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．
答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)
【解析】（1）函数可以看作函数和的复合函数，
∴．
（2）函数可以看作函数和的复合函数，
∴ .
（3）函数可以看作函数和的复合函数，
∴．
（4）函数可以看作函数和的复合函数，
∴．
（5）函数可以看作函数和的复合函数，
∴ ．
（6）函数可以看作函数和的复合函数，
∴．
【一隅三反】
1．（2022·浙江）如图，函数的图象在点处的切线方程是，则（ ）
A． B． C． D．
答案：D
【解析】依题意可知切点，
函数的图象在点处的切线方程是，
，即
又
即
故选：D.
2．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高二阶段练习）求下列函数的导数
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
答案：(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】（1）解：.
（2）解：.
（3）解：.
（4）解：.
3．（2022·全国·高二课时练习）求下列函数的导数．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
答案：(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【解析】（1）
．
（2）方法一：
．
方法二：∵，∴．
（3）∵
，∴．
（4）∵，
∴．
（5）方法一：
．
方法二：∵，
∴．
考点二 切线方程
【例2-1】（2022·陕西）曲线（）在点处的切线与直线垂直，则（ ）
A． B． C． D．
答案：A
【解析】∵，∴，∴，即切线斜率为，
又∵曲线（）在点处的切线与直线垂直，
∴，即．
故选：A．
【例2-2】（2022·陕西·咸阳市高新一中高二阶段练习（文））直线是曲线y＝lnx（x>0）的一条切线，则实数b等于（ ）
A．－1＋ln2 B．1 C．ln2 D．1＋ln2
答案：A
【解析】设直线与曲线y＝lnx相切于点，
由y＝lnx可得，于是有：，故选：A
【例2-3】（2022·浙江省常山县第一中学高二期中）已知，则在x＝1处的切线方程是______．
答案：
【解析】已知当时，
由，得
根据点斜式可得：
故答案为:
【例2-4】（2022·江西南昌）若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为___________.
答案：
【解析】由已知，设点曲线上一点，则有，
因为，所以，所以，
所以曲线在处的切线斜率为，
则曲线在处的切线方程为，即．
要求得曲线上任意一点，到直线的最小距离即找到曲线上距离直线最近的点，即，解得或（舍去），
此时，以点为切点，曲线的切线方程为：，
此时，切点为曲线上距离直线最近的点，即点与点重合，
最小距离为直线与直线之间的距离，设最小距离为，
所以.故答案为：.
【一隅三反】
1．（2022·陕西）已知函数在点处的切线斜率为7，则实数a的值为___________.
答案：1
【解析】因为，所以由题意得，解得.故答案为：1
2．（2022·陕西）若直线和曲线相切，则实数的值为_________.
答案：1
【解析】已知，得，设切点为，
已知直线斜率，得，再将分别代入直线与曲线中
可得解得.
故答案为：
3．（2022·全国·高二单元测试）（多选）若直线是曲线的切线，则曲线的方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
答案：AC
【解析】因为直线是曲线的切线，所以在某点处的导数值为．
对于A，由，可得，
令，即，
因为，所以有解，故A正确．
对于B，由，可得，
令，可得，无解，故B不正确．
对于C，，故有解，故C正确．
对于D，的定义域为，
令，可得，不符合，
所以无解，故D不正确．
故选：AC
考点三 利用导数求函数的单调性
【例3-1】（2023·全国·专题练习）求下列函数的单调区间.
(1)；(2)
(3)；(4).
答案：(1)增区间为 ，，减区间为；
(2)增区间为 ，，减区间为，；
(3)增区间为 ，，减区间为；
(4)增区间为 ，，减区间为；
【解析】（1）解：因为，所以，
由，得或，
由，得，
所以函数的增区间为 ，，减区间为；
（2）因为，所以，
由，得或，
由，得，，
所以函数的增区间为 ，，减区间为，；
（3）因为，所以，
由，得或，
由，得，
所以函数的增区间为 ，，减区间为；
（4）因为，所以，
由，得或，
由，得，
所以函数的增区间为 ，，减区间为；
【例3-2】（2022·江西）已知定义在上的函数满足，，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
答案：D
【解析】令，则，所以在单调递减，
不等式可以转化为，即，所以.故选：D.
【例3-3】（2022·江西 ）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
答案：D
【解析】设，则，
当得：，当时，，
所以在上单调递增，上单调递减，
又，所以，即c故选：D．
【例3-4】（广东省2023届高三上学期11月新高考学科综合素养评价数学试题）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是________．
答案：
【解析】，
若函数在上单调递增，则在上恒成立，
即在上恒成立，
所以，
故的取值范围是．
故答案为：．
【一隅三反】
1．（2022·陕西渭南 ）已知函数， 则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
答案：A
【解析】函数定义域为R，求导得，
因此函数在R上单调递减，而，则有，
所以的大小关系是，A正确.故选：A
2．（2022·全国·单元测试）已知函数，则不等式的解集为__________．
答案：
【解析】函数的定义域为，且，则是偶函数，，且，是奇函数，又，即是为增函数，当时，，即在上为增函数，则不等式等价于，，平方得，化简得，解得或，
故答案为：
3．（2022·陕西·西安中学高二期中）已知函数是定义在的奇函数，当时，，则不等式的解集为
【解析】
【解析】令，
当时，，
当时，，
在上单调递减；
又为的奇函数，
，即为偶函数，
在上单调递增；
又由不等式得，
当，即时，不等式可化为，即，
由在上单调递减得，解得，故；
当，即时，不等式可化为，即，
由在上单调递增得，解得，故；
综上所述，不等式的解集为：．
4．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高三期中）已知函数，则不等式的解集为__________.
答案：
【解析】定义域为，且，
所以是奇函数，又，所以在上单调递增，
则不等式，即，
等价于，即，
令，，，
当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递减.
所以,又因为需要,所以
又，所以不等式的解集为.
故答案为：
考点四 极值最值
【例4-1】（2022·河南）函数的极小值为（ ）
A． B．1 C． D．
答案：C
【解析】因为，所以.
令得，
当时，，当时，.
故的单调递增区间为和，单调递减区间为.
则当时，取得极小值，且极小值为.
故选：C
【例4-2】（江西省西路片七校2023届高三上学期第一次联考数学（文）试题）已知函数在上有最小值，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
答案：A
【解析】因为函数在上有最小值，
所以函数在上先减后增，
即在上先小于0，再大于0，
令，得，
，，
故只需的斜率大于过的的切线的斜率即可，
设切点，则切线方程为：，
把代入切线方程可得，故切点为，切线斜率为，
故只需.
故选：A
【一隅三反】
1．（2022·全国·高二课时练习）已知函数在处取得极值0，则______．
答案：11
【解析】，则，即，解得或
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，
令，得或；令，得．
所以在，上单调递增，在上单调递减，符合题意，则．
故答案为：11．
2．（2022·全国·高二单元测试）若函数在区间上有极值点，则实数a的取值范围为______．
答案：
【解析】函数在区间上有极值点，
所以在区间上有变号零点．
且函数在区间上单调，所以，即，
解得．
故答案为：．
3．（2022·上海市建平中学高三阶段练习）已知函数在处取得极值，则实数_____.
答案：
【解析】由题，有.则.
又时，，
当时，，单调递增；当时，，单调递减；
则在处取得极值.
故答案为：
4．（2022·浙江·杭州四中高二期中）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线的方程；
(2)若函数在处取得极大值，求a的取值范围.
答案：(1)
(2)
【解析】（1）由可得，
所以，，
故曲线在点处的切线的方程；
（2）由（1）可得
当时，，
当时，，单调递增；当时，，单调递减；
所以此时在处取得极大值，满足题意；
当时，令，解得
下面对进行分类讨论
①当时，，在上单调递增，无极值点，舍去；
②当时，
当或时，，单调递增；当时，，单调递减，
此时在处取得极小值，故舍去；
③当时，
当或时，，单调递减；当时，，单调递增，
此时在处取得极大值，满足题意；
④当时，
当或时，，单调递增；当时，，单调递减，
此时在处取得极大值，满足题意；
综上：的取值范围为
5．（2022·宁夏 ）已知函数
(1)若在处有极值，求实数的值和极值；
(2)讨论函数的单调性.
答案：(1)，极大值为0；
(2)答案见解析.
【解析】（1）函数定义域为，
，
在x=1处取到极值，∴，解得a=1，
.
当0当x>1时，，在上单调递减，
因此在x=1处取得极大值，故a的值为1，且极大值为；
（2）∵x>0，，
当a≤0时，，在上单调递减；
当a>0时，令，令，
在(0,a)上是増函数，在上是减函数.
综上，当时，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减.

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