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专题04 因式分解和分式方程（易错必刷44题18种题型）
因式分解的意义
因式分解-运用公式法
提公因式法与公式法的综合运用
因式分解-十字相乘法等
分式有意义的条件
分式有意义的条件
分式的值
因式分解-提公因式法
因式分解-运用公式法
因式分解-分组分解法
因式分解的应用
分式的值为零的条件
分式的值为零的条件
分式的基本性质
分式的加减法 分式的化简求值
分式方程的解 解分式方程
分式方程的增根 分式方程的应用
一．因式分解的意义（共5小题）
1．若多项式x2﹣ax﹣1可分解为（x﹣2）（x+b），则a+b的值为（　　）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
【答案】A
【解答】解：∵（x﹣2）（x+b）＝x2+bx﹣2x﹣2b＝x2+（b﹣2）x﹣2b＝x2﹣ax﹣1，
∴b﹣2＝﹣a，﹣2b＝﹣1，
∴b＝0.5，a＝1.5，
∴a+b＝2．
故选：A．
2．下列各式变形中，是因式分解的是（　　）
A．a2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b）2﹣1
B．2x2+2x＝2x2（1+）
C．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
D．x4﹣1＝（x2+1）（x+1）（x﹣1）
【答案】D
【解答】解：A a2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b）2﹣1中不是把多项式转化成几个整式积的形式，故A错误；
B 2x2+2x＝2x2（1+）中不是整式，故B错误；
C （x+2）（x﹣2）＝x2﹣4是整式乘法，故C错误；
D x4﹣1＝（x2+1）（x2﹣1）＝（x2+1）（x+1）（x﹣1），故D正确．
故选：D．
3．对于①x﹣3xy＝x（1﹣3y），②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，从左到右的变形，表述正确的是（　　）
A．都是因式分解
B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算
D．①是乘法运算，②是因式分解
【答案】C
【解答】解：①x﹣3xy＝x（1﹣3y），从左到右的变形是因式分解；
②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，从左到右的变形是整式的乘法，不是因式分解；
所以①是因式分解，②是乘法运算．
故选：C．
4．如果把多项式x2﹣8x+m分解因式得（x﹣10）（x+n），那么m＝　﹣20　，n＝　2　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据题意得：x2﹣8x+m＝（x﹣10）（x+n）＝x2+（n﹣10）x﹣10n
∴n﹣10＝﹣8，﹣10n＝m
解得m＝﹣20，n＝2；
故应填﹣20，2．
5．仔细阅读下面的例题，并解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值．
解法一：设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n，
∴解得n＝﹣7，m＝﹣21．
∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21．
解法二：设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）
∴当x＝﹣3时，x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）＝0
即（﹣3）2﹣4×（﹣3）+m＝0，解得m＝﹣21
∴x2﹣4x+m＝x2﹣4x﹣21＝（x+3）（x﹣7）
∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21．
问题：仿照以上一种方法解答下面问题．
（1）若多项式x2﹣px﹣6分解因式的结果中有因式x﹣3，则实数p＝　1　．
（2）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是2x+5，求另一个因式及k的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设另一个因式为x+a，得x2﹣px﹣6＝（x﹣3）（x+a）
则x2﹣px﹣6＝x2+（a﹣3）x﹣3a，
∴，解得a＝2，p＝1．
故答案为：1．
（2）设另一个因式为（x+n），得2x2+3x﹣k＝（2x+5）（x+n）
则2x2+3x﹣k＝2x2+（2n+5）x+5n
∴，
解得n＝﹣1，k＝5，
∴另一个因式为（x﹣1），k的值为5．
二．公因式（共1小题）
6．多项式﹣5mx3+25mx2﹣10mx各项的公因式是（　　）
A．5mx2 B．﹣5mx3 C．mx D．﹣5mx
【答案】D
【解答】解：﹣5mx3+25mx2﹣10mx各项的公因式是﹣5mx，
故选：D．
三．因式分解-提公因式法（共2小题）
7．若长和宽分别是a，b的长方形的周长为10，面积为4，则a2b+ab2的值为（　　）
A．14 B．16 C．20 D．40
【答案】C
【解答】解：∵长和宽分别是a，b的长方形的周长为10，面积为4，
∴2（a+b）＝10，ab＝4，
∴a+b＝5，
则a2b+ab2＝ab（a+b）＝20．
故选：C．
8．把﹣a（x﹣y）﹣b（y﹣x）+c（x﹣y）分解因式正确的结果是（　　）
A．（x﹣y）（﹣a﹣b+c） B．（y﹣x）（a﹣b﹣c）
C．﹣（x﹣y）（a+b﹣c） D．﹣（y﹣x）（a+b﹣c）
【答案】B
【解答】解：﹣a（x﹣y）﹣b（y﹣x）+c（x﹣y），
＝a（y﹣x）﹣b（y﹣x）﹣c（y﹣x），
＝（y﹣x）（a﹣b﹣c）．
故选：B．
四．因式分解-运用公式法（共2小题）
9．若4x2﹣（k﹣1）x+9能用完全平方公式因式分解，则k的值为　13或﹣11　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵4x2﹣（k﹣1）x+9是一个完全平方式，
∴k﹣1＝±12，
解得：k＝13或k＝﹣11，
故选：13或﹣11．
10．分解因式：（4a+b）2﹣4（a+b）2．
【答案】3（2a+b）（2a﹣b）．
【解答】解：（4a+b）2﹣4（a+b）2
＝（4a+b）2﹣（2a+2b）2
＝（4a+b+2a+2b）（4a+b﹣2a﹣2b）
＝（6a+3b）（2a﹣b）
＝3（2a+b）（2a﹣b）．
五．提公因式法与公式法的综合运用（共3小题）
11．将a3b﹣ab进行因式分解，正确的是（　　）
A．a（a2b﹣b） B．ab（a﹣1）2
C．ab（a+1）（a﹣1） D．ab（a2﹣1）
【答案】C
【解答】解：a3b﹣ab＝ab（a2﹣1）＝ab（a+1）（a﹣1），
故选：C．
12．因式分解：
（1）4m2n﹣8mn2﹣2mn
（2）m2（m+1）﹣（m+1）
（3）4x2y+12xy+9y
（4）（x2﹣6）2+2（x2﹣6）﹣15．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）4m2n﹣8mn2﹣2mn＝2mn（2m﹣4n﹣1）；
（2）m2（m+1）﹣（m+1）
＝（m+1）（m2﹣1）
＝（m+1）2（m﹣1）；
（3）4x2y+12xy+9y
＝y（4x2+12x+9）
＝y（2x+3）2；
（4）（x2﹣6）2+2（x2﹣6）﹣15
＝（x2﹣6﹣3）（x2﹣6+5）
＝（x2﹣9）（x2﹣1）
＝（x+3）（x﹣3）（x+1）（x﹣1）．
13．先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1
解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则
原式＝A2+2A+1＝（A+1）2
再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2
上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解下列问题：
（1）因式分解：9+6（x﹣y）+（x﹣y）2＝　（x﹣y+3）2　．
（2）因式分解：（a+b）（a+b﹣8）+16．
（3）证明：若n为正整数，则式子（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1的值一定是某一个整数的平方．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）将“x﹣y”看成整体，令x﹣y＝A，则
原式＝A2+6A+9＝（A+3）2
再将“A”还原，得：
原式＝（x﹣y+3）2
故答案为：（x﹣y+3）2；
（2）因式分解：（a+b）（a+b﹣8）+16．
将“a+b”看成整体，令a+b＝A，则
原式＝A（A﹣8）+16＝A2﹣8A+16＝（A﹣4）2
再将“A”还原，得：
原式＝（a+b﹣4）2；
（3）证明：（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1
＝（n+1）（n+4） （n+3）（n+2）+1
＝（n2+5n+4）（n2+5n+6）+1
令n2+5n＝A，则
原式＝（A+4）（A+6）+1
＝A2+10A+25
＝（A+5）2
＝（n2+5n+5）2
∵n为正整数，
∴n2+5n+5是整数，
∴式子（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1的值是某一个整数的平方．
六．因式分解-分组分解法（共1小题）
14．已知整数a，b满足2ab+4a＝b+3，则a+b的值是（　　）
A．0或﹣3 B．1 C．2或3 D．﹣2
【答案】A
【解答】解：由2ab+4a＝b+3，得：
2ab+4a﹣b﹣2＝1
∴（2a﹣1）（b+2）＝1，
∵2a﹣1，b+2都为整数，
∴或，
解得或，
∴a+b＝0或﹣3．
故选：A．
七．因式分解-十字相乘法等（共2小题）
15．若多项式2x2+ax﹣6能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式2x﹣3，则a的值为（　　）
A．1 B．5 C．﹣1 D．﹣5
【答案】A
【解答】解：∵多项式2x2+ax﹣6能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式2x﹣3，﹣6＝﹣3×2．
∴2x2+ax﹣6＝（2x﹣3）（x+2）＝2x2+x﹣6．
∴a＝1．
故选A．
16．若关于x的二次三项式x2+kx+b因式分解为（x﹣1）（x﹣3），则k+b的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣7 D．7
【答案】A
【解答】解：由题意得：x2+kx+b＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，
∴k＝﹣4，b＝3，
则k+b＝﹣4+3＝﹣1．
故选：A．
八．因式分解的应用（共8小题）
17．已知x2+2x﹣1＝0，则x4﹣5x2+2x的值为（　　）
A．0 B．﹣1 C．2 D．1
【答案】A
【解答】解：∵x2+2x﹣1＝0，
∴x2＝1﹣2x，
x4﹣5x2+2x
＝（x2）2﹣5x2+2x
＝（1﹣2x）2﹣5（1﹣2x）+2x
＝1﹣4x+4x2﹣5+10x+2x
＝4x2+8x﹣4
＝4（1﹣2x）+8x﹣4
＝4﹣8x+8x﹣4
＝0，
故选：A．
18．已知正数a，b满足a3b+ab3﹣2a2b+2ab2＝7ab﹣8，则a2﹣b2＝（　　）
A．1 B．3 C．5 D．不能确定
【答案】B
【解答】解：∵a3b+ab3﹣2a2b+2ab2＝7ab﹣8，
ab（a2+b2）﹣2ab（a﹣b）＝7ab﹣8，
ab（a2﹣2ab+b2）﹣2ab（a﹣b）+2a2b2﹣7ab+8＝0，
ab（a﹣b）2﹣2ab（a﹣b）+2a2b2﹣7ab+8＝0，
ab[（a﹣b）2﹣2（a﹣b）+1]+2（a2b2﹣4ab+4）＝0，
ab（a﹣b﹣1）2+2（ab﹣2）2＝0，
∵a、b均为正数，
∴ab＞0，
∴a﹣b﹣1＝0，ab﹣2＝0，
即a﹣b＝1，ab＝2，
解方程，
解得a＝2、b＝1，a＝﹣1、b＝﹣2（不合题意，舍去），
∴a2﹣b2＝4﹣1＝3．
故选：B．
19．已知496﹣1可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（　　）
A．61，63 B．63，65 C．65，67 D．63，64
【答案】B
【解答】解：利用平方式公式进行分解该数字：496﹣1＝（448+1）（448﹣1）＝（448+1）（424+1）（424﹣1）＝（448+1）（424+1）（412+1）（46+1）（43+1）（43﹣1）
＝（448+1）（424+1）（412+1）（46+1）×65×63
故选：B．
20．已知x2+x＝1，那么x4+2x3﹣x2﹣2x+2020的值为（　　）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【答案】A
【解答】解：∵x2+x＝1，
∴x4+2x3﹣x2﹣2x+2020
＝x4+x3+x3﹣x2﹣2x+2020
＝x2（x2+x）+x3﹣x2﹣2x+2020
＝x2+x3﹣x2﹣2x+2020
＝x（x2+x）﹣x2﹣2x+2020
＝x﹣x2﹣2x+2020
＝﹣x2﹣x+2020
＝﹣（x2+x）+2020
＝﹣1+2020
＝2019．
故选：A．
21．已知x2+x+1＝0，则x2019+x2018+x2017+…+x+1的值是（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．2
【答案】B
【解答】解：原式＝（x2019+x2018+x2017）+（x2016+x2015+x2014）+ +（x3+x2+x）+1
＝x2017（x2+x+1）+x2014（x2+x+1）+ +x（x2+x+1）+1
＝0+0+0+ +0+1
＝1．
故选：B．
22．已知a+b＝2，则a2﹣b2+4b的值为　4　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵a+b＝2，
∴a2﹣b2+4b，
＝（a+b）（a﹣b）+4b，
＝2（a﹣b）+4b，
＝2a+2b，
＝2（a+b），
＝2×2，
＝4．
故答案为：4．
23．a，b，c是△ABC的三边，若（a2+b2）（a﹣b）＝c2（a﹣b），则△ABC的形状是　等腰或直角　三角形．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵（a2+b2）（a﹣b）＝c2（a﹣b）
∴（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0
∴a﹣b＝0或a2+b2﹣c2＝0，
①当a﹣b＝0时，
解得：a＝b，此时△ABC是等腰三角形；
②直角三角形，理由如下，如图所示：
在△ABC中，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，
四个全等直角三角拼接成边长为c的大正方形，边长为
a﹣b的小正方形，由面积的和差得：
S正方形ABMN＝S正方形CDEF+4 S△ABC，
∴＝a2﹣2ab+b2+2ab＝a2+b2
∴a2+b2﹣c2＝0
即△ABC是直角三角形；
故答案为等腰或直角．
24．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣4n+4＝0，求m，n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣4n+4＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣4n+4）＝0，
∴（m﹣n）2+（n﹣2）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣2）2＝0，∴n＝2，m＝2．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）a2+b2+6a﹣2b+10＝0，则a＝　﹣3　，b＝　1　．
（2）已知x2+2y2﹣2xy+8y+16＝0，求xy的值．
（3）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣8b+18＝0，求△ABC的周长．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）解：由：a2+b2+6a﹣2b+10＝0，得：
（a+3）2+（b﹣1）2＝0，
∵（a+3）2≥0，（b﹣1）2≥0，
∴a+3＝0，b﹣1＝0，
∴a＝﹣3，b＝1．
故答案为：﹣3； 1．
（2）由x2+2y2﹣2xy+8y+16＝0得：
（x﹣y）2+（y+4）2＝0
∴x﹣y＝0，y+4＝0，
∴x＝y＝﹣4
∴xy＝16．
答：xy的值为16．
（3）由2a2+b2﹣4a﹣8b+18＝0得：
2（a﹣1）2+（b﹣4）2＝0，
∴a﹣1＝0，b﹣4＝0，
∴a＝1，b＝4；
已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，由三角形三边关系知c＝4，
∴△ABC的周长为9．
九．分式有意义的条件（共1小题）
25．当x＝　0或1　时，分式无意义．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据题意得，x（x﹣1）＝0，
解得x1＝0，x2＝1．
故答案为：0或1．
一十．分式的值为零的条件（共1小题）
26．如果分式的值为0，那么x的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣1或1 D．1或0
【答案】B
【解答】解：根据题意，得
|x|﹣1＝0且x+1≠0，
解得，x＝1．
故选：B．
一十一．分式的值（共1小题）
27．若1＜x＜2，则的值是（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．2 D．1
【答案】D
【解答】解：∵1＜x＜2，
∴x﹣2＜0，x﹣1＞0，x＞0，
∴原式＝﹣1﹣（﹣1）+1＝1，
故选：D．
一十二．分式的基本性质（共3小题）
28．若＝2，则＝　　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由＝2，得x+y＝2xy
则＝＝＝．
故答案为．
29．若把分式中的x和y都变为原来的3倍，那么分式的值（　　）
A．变为原来的3倍 B．变为原来的
C．变为原来的 D．不变
【答案】B
【解答】解：用3x和3y代替式子中的x和y得：，
则分式的值变为原来的．
故选：B．
30．阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．
如：，；
解决下列问题：
（1）分式是 　真　分式（填“真”或“假”）；
（2）将假分式化为带分式；
（3）如果x为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的x的值．
【答案】（1）真；
（2）x﹣2+；
（3）﹣1或﹣3或11或﹣15．
【解答】解：（1）分式是真分式；
故答案为：真；
（2）；
（3）原式＝，
∵分式的值为整数，
∴x+2＝±1或±13，
∴x＝﹣1或﹣3或11或﹣15．
一十三．分式的加减法（共2小题）
31．如图，若x为正整数，则表示﹣的值的点落在（　　）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
【答案】B
【解答】解∵﹣＝﹣＝1﹣＝
又∵x为正整数，
∴≤＜1
故表示﹣的值的点落在②
故选：B．
32．分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如，．
（1）将假分式化为一个整式与一个真分式的和；
（2）若分式的值为整数，求x的整数值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题可得，＝＝2﹣；
（2）＝＝＝x﹣1+，
∵分式的值为整数，且x为整数，
∴x+1＝±1，
∴x＝﹣2或0．
一十四．分式的化简求值（共1小题）
33．先化简，再求值：，然后从0，1，2，3四个数中选择一个恰当的数代入求值．
【答案】，﹣．
【解答】解：原式＝（﹣）
＝
＝，
∵x≠3，0，2，
∴当x＝1时，原式＝＝﹣．
一十五．分式方程的解（共4小题）
34．若关于x的分式方程﹣1＝无解，则m的值　﹣或﹣　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：方程两边同乘x（x﹣3），得x（2m+x）﹣（x﹣3）x＝2（x﹣3）
（2m+1）x＝﹣6
x＝﹣，
当2m+1＝0，方程无解，解得m＝﹣．
x＝3时，m＝﹣，
x＝0时，m无解．
故答案为：﹣或﹣．
35．若方程的根为正数，则k的取值范围是（　　）
A．k＜2 B．﹣3＜k＜2
C．k≠﹣3 D．k＜2且 k≠﹣3
【答案】A
【解答】解：方程两边都乘以（x+3）（x+k）得：3（x+k）＝2（x+3），
3x+3k＝2x+6，
3x﹣2x＝6﹣3k，
x＝6﹣3k，
∵方程的根为正数，
∴6﹣3k＞0，
解得：k＜2，
∵分式方程的解为正数，
x+3≠0，x+k≠0，
x≠﹣3，k≠3，
即k的范围是k＜2，
故选：A．
36．已知关于x的分式方程＝1的解是非负数，则m的取值范围是 　m≥2且m≠3　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：去分母得，
m﹣3＝x﹣1，
解得x＝m﹣2，
由题意得，m﹣2≥0，
解得，m≥2，
x＝1是分式方程的增根，所有当x＝1时，方程无解，即m≠3，
所以m的取值范围是m≥2且m≠3．
故答案为：m≥2且m≠3．
37．若关于x的方程有正整数解，且关于x的不等式组有且只有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为 　﹣4　．
【答案】﹣4．
【解答】解：方程的解为x＝，
根据题意，得，解得a＜1，a为奇数且a≠﹣5．
∵不等式的解集为﹣5≤x＜，且只有3个整数解，
∴﹣3＜≤﹣2，解得﹣7＜a≤1．
综上：﹣7＜a＜1，a为奇数且a≠﹣5，
∴a＝﹣3，﹣1．
∵﹣3﹣1＝﹣4，
∴符合条件的所有整数a的和为﹣4
故答案为：﹣4．
一十六．解分式方程（共2小题）
38．解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）无解；（2）x＝﹣2．
【解答】解：（1），
原分式方程可化为：+2＝，
﹣3+2（x﹣4）＝1﹣x，
﹣3+2x﹣8＝1﹣x，
2x+x＝1+8+3，
3x＝12，
x＝4，
检验：把x＝4代入（x﹣4）＝0，
∴原分式方程无解；
（2），
原分式方程可化为：﹣1＝，
1+4x﹣（x﹣2）＝﹣3，
1+4x﹣x+2＝﹣3，
4x﹣x＝﹣3﹣1﹣2，
3x＝﹣6，
x＝﹣2，
检验：把x＝﹣2代入（x﹣2）≠0，
∴原分式方程解为x＝﹣2．
39．代数式的值比代数式的值大4，则x＝　2　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由题意得：
﹣＝4，
x+2＝4（2x﹣3），
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，2x﹣3≠0，
∴x＝2是原方程的根，
故答案为：2．
一十七．分式方程的增根（共1小题）
40．若方程＝1有增根，则它的增根是（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．1和﹣1
【答案】B
【解答】解：方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得
6﹣m（x+1）＝（x+1）（x﹣1），
由最简公分母（x+1）（x﹣1）＝0，可知增根可能是x＝1或﹣1．
当x＝1时，m＝3，
当x＝﹣1时，得到6＝0，这是不可能的，
所以增根只能是x＝1．
故选：B．
一十八．由实际问题抽象出分式方程（共1小题）
41．在临桂新区建设中，需要修一段全长2400m的道路，为了尽量减少施工对县城交通工具所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8天完成任务，求原计划每天修路的长度．若设原计划每天修路xm，则根据题意可得方程　　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原计划用的时间为：，实际用的时间为：．所列方程为：，
故答案为：．
一十九．分式方程的应用（共3小题）
42．甲、乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍，两人各加工600个这种零件，甲比乙少用5天．
（1）求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件？
（2）已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是150元和120元，现有3000个这种零件的加工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成．如果总加工费不超过7800元，那么甲至少加工了多少天？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设乙每天加工x个零件，则甲每天加工1.5x个零件，由题意得：＝+5
化简得600×1.5＝600+5×1.5x
解得x＝40
∴1.5x＝60
经检验，x＝40是分式方程的解且符合实际意义．
答：甲每天加工60个零件，乙每天加工，40个零件．
（2）设甲加工了a天，乙加工了b天，则由题意得
，
由①得b＝75﹣1.5a ③
将③代入②得150a+120（75﹣1.5a）≤7800
解得a≥40，
当a＝40时，y＝15，符合问题的实际意义．
答：甲至少加工了40天．
43．在“扶贫攻坚”活动中，某单位计划选购甲、乙两种物品慰问贫困户．已知甲物品的单价比乙物品的单价高10元，若用500元单独购买甲物品与450元单独购买乙物品的数量相同．
①请问甲、乙两种物品的单价各为多少？
②如果该单位计划购买甲、乙两种物品共55件，总费用不少于5000元且不超过5050元，通过计算得出共有几种选购方案？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：①设乙种物品单价为x元，则甲种物品单价为（x+10）元，由题意得：
＝
解得x＝90
经检验，x＝90符合题意
∴甲种物品的单价为100元，乙种物品的单价为90元．
②设购买甲种物品y件，则乙种物品购进（55﹣y）件
由题意得：5000≤100y+90（55﹣y）≤5050
解得5≤y≤10
∴共有6种选购方案．
44．某项工程，乙队单独完成所需天数是甲队单独完成所需天数的1.5倍；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天刚好如期完成．
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为2.5万元，乙队每天的施工费用为2万元，工程预算的施工费用为160万元．
①若在甲、乙工程队工作效率不变的情况下使施工时间最短，问安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？
②若要求施工总费用不超预算又要如期完工，问甲工程队至少需要施工几天？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设甲队单独完成这项工程需要x天，则乙队单独完成这项工程需要1.5x天．
根据题意，得：（10+30）+×30＝1，
解得 x＝60．
经检验，x＝60是原方程的根．
∴1.5x＝60×1.5＝90．
答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天．
（2）①设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天，
（+）y＝1，
解得：y＝36，
36×（2.5+2）＝162（万元），
∵162＞160，
∴不够，
需追加162﹣160＝2（万元），
答：不够用，需追加预算2万元；
②甲工程队需要施工a天，乙工程队需要施工b天，
根据题意得：，
由①得：2b＝180﹣3a③，
把③代入②得：2.5a+180﹣3a≤160，
a≥40，
∴甲工程队至少需要施工40天．
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专题04 因式分解和分式方程（易错必刷44题18种题型）
因式分解的意义
因式分解-运用公式法
提公因式法与公式法的综合运用
因式分解-十字相乘法等
分式有意义的条件
分式有意义的条件
分式的值
因式分解-提公因式法
因式分解-运用公式法
因式分解-分组分解法
因式分解的应用
分式的值为零的条件
分式的值为零的条件
分式的基本性质
分式的加减法 分式的化简求值
分式方程的解 解分式方程
分式方程的增根 分式方程的应用
一．因式分解的意义（共5小题）
1．若多项式x2﹣ax﹣1可分解为（x﹣2）（x+b），则a+b的值为（　　）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
2．下列各式变形中，是因式分解的是（　　）
A．a2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b）2﹣1
B．2x2+2x＝2x2（1+）
C．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
D．x4﹣1＝（x2+1）（x+1）（x﹣1）
3．对于①x﹣3xy＝x（1﹣3y），②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，从左到右的变形，表述正确的是（　　）
A．都是因式分解
B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算
D．①是乘法运算，②是因式分解
4．如果把多项式x2﹣8x+m分解因式得（x﹣10）（x+n），那么m＝　 　，n＝　 　．
5．仔细阅读下面的例题，并解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值．
解法一：设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n，
∴解得n＝﹣7，m＝﹣21．
∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21．
解法二：设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）
∴当x＝﹣3时，x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）＝0
即（﹣3）2﹣4×（﹣3）+m＝0，解得m＝﹣21
∴x2﹣4x+m＝x2﹣4x﹣21＝（x+3）（x﹣7）
∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21．
问题：仿照以上一种方法解答下面问题．
（1）若多项式x2﹣px﹣6分解因式的结果中有因式x﹣3，则实数p＝　 　．
（2）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是2x+5，求另一个因式及k的值．
二．公因式（共1小题）
6．多项式﹣5mx3+25mx2﹣10mx各项的公因式是（　　）
A．5mx2 B．﹣5mx3 C．mx D．﹣5mx
三．因式分解-提公因式法（共2小题）
7．若长和宽分别是a，b的长方形的周长为10，面积为4，则a2b+ab2的值为（　　）
A．14 B．16 C．20 D．40
8．把﹣a（x﹣y）﹣b（y﹣x）+c（x﹣y）分解因式正确的结果是（　　）
A．（x﹣y）（﹣a﹣b+c） B．（y﹣x）（a﹣b﹣c）
C．﹣（x﹣y）（a+b﹣c） D．﹣（y﹣x）（a+b﹣c）
四．因式分解-运用公式法（共2小题）
9．若4x2﹣（k﹣1）x+9能用完全平方公式因式分解，则k的值为　 　．
10．分解因式：（4a+b）2﹣4（a+b）2．
五．提公因式法与公式法的综合运用（共3小题）
11．将a3b﹣ab进行因式分解，正确的是（　　）
A．a（a2b﹣b） B．ab（a﹣1）2
C．ab（a+1）（a﹣1） D．ab（a2﹣1）
12．因式分解：
（1）4m2n﹣8mn2﹣2mn
（2）m2（m+1）﹣（m+1）
（3）4x2y+12xy+9y
（x2﹣6）2+2（x2﹣6）﹣15．
13．先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1
解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则
原式＝A2+2A+1＝（A+1）2
再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2
上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解下列问题：
（1）因式分解：9+6（x﹣y）+（x﹣y）2＝　 　．
（2）因式分解：（a+b）（a+b﹣8）+16．
（3）证明：若n为正整数，则式子（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1的值一定是某一个整数的平方．
六．因式分解-分组分解法（共1小题）
14．已知整数a，b满足2ab+4a＝b+3，则a+b的值是（　　）
A．0或﹣3 B．1 C．2或3 D．﹣2
七．因式分解-十字相乘法等（共2小题）
15．若多项式2x2+ax﹣6能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式2x﹣3，则a的值为（　　）
A．1 B．5 C．﹣1 D．﹣5
16．若关于x的二次三项式x2+kx+b因式分解为（x﹣1）（x﹣3），则k+b的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣7 D．7
八．因式分解的应用（共8小题）
17．已知x2+2x﹣1＝0，则x4﹣5x2+2x的值为（　　）
A．0 B．﹣1 C．2 D．1
18．已知正数a，b满足a3b+ab3﹣2a2b+2ab2＝7ab﹣8，则a2﹣b2＝（　　）
A．1 B．3 C．5 D．不能确定
19．已知496﹣1可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（　　）
A．61，63 B．63，65 C．65，67 D．63，64
20．已知x2+x＝1，那么x4+2x3﹣x2﹣2x+2020的值为（　　）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
21．已知x2+x+1＝0，则x2019+x2018+x2017+…+x+1的值是（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．2
22．已知a+b＝2，则a2﹣b2+4b的值为　 　．
23．a，b，c是△ABC的三边，若（a2+b2）（a﹣b）＝c2（a﹣b），则△ABC的形状是　 　三角形．
24．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣4n+4＝0，求m，n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣4n+4＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣4n+4）＝0，
∴（m﹣n）2+（n﹣2）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣2）2＝0，∴n＝2，m＝2．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）a2+b2+6a﹣2b+10＝0，则a＝　 　，b＝　 　．
（2）已知x2+2y2﹣2xy+8y+16＝0，求xy的值．
（3）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣8b+18＝0，求△ABC的周长．
九．分式有意义的条件（共1小题）
25．当x＝　 　时，分式无意义．
一十．分式的值为零的条件（共1小题）
26．如果分式的值为0，那么x的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣1或1 D．1或0
一十一．分式的值（共1小题）
27．若1＜x＜2，则的值是（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．2 D．1
一十二．分式的基本性质（共3小题）
28．若＝2，则＝　 　．
29．若把分式中的x和y都变为原来的3倍，那么分式的值（　　）
A．变为原来的3倍 B．变为原来的
C．变为原来的 D．不变
30．阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．
如：，；
解决下列问题：
（1）分式是 　 　分式（填“真”或“假”）；
（2）将假分式化为带分式；
（3）如果x为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的x的值．
一十三．分式的加减法（共2小题）
31．如图，若x为正整数，则表示﹣的值的点落在（　　）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
32．分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如，．
（1）将假分式化为一个整式与一个真分式的和；
（2）若分式的值为整数，求x的整数值．
一十四．分式的化简求值（共1小题）
33．先化简，再求值：，然后从0，1，2，3四个数中选择一个恰当的数代入求值．
一十五．分式方程的解（共4小题）
34．若关于x的分式方程﹣1＝无解，则m的值　 　．
35．若方程的根为正数，则k的取值范围是（　　）
A．k＜2 B．﹣3＜k＜2
C．k≠﹣3 D．k＜2且 k≠﹣3
36．已知关于x的分式方程＝1的解是非负数，则m的取值范围是 　 　．
37．若关于x的方程有正整数解，且关于x的不等式组有且只有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为 　 　．
一十六．解分式方程（共2小题）
38．解方程：
（1）； （2）．
39．代数式的值比代数式的值大4，则x＝　 　．
一十七．分式方程的增根（共1小题）
40．若方程＝1有增根，则它的增根是（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．1和﹣1
十八．由实际问题抽象出分式方程（共4小题）
41．在临桂新区建设中，需要修一段全长2400m的道路，为了尽量减少施工对县城交通工具所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8天完成任务，求原计划每天修路的长度．若设原计划每天修路xm，则根据题意可得方程　 　．
42．甲、乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍，两人各加工600个这种零件，甲比乙少用5天．
（1）求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件？
（2）已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是150元和120元，现有3000个这种零件的加工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成．如果总加工费不超过7800元，那么甲至少加工了多少天？
43．在“扶贫攻坚”活动中，某单位计划选购甲、乙两种物品慰问贫困户．已知甲物品的单价比乙物品的单价高10元，若用500元单独购买甲物品与450元单独购买乙物品的数量相同．
①请问甲、乙两种物品的单价各为多少？
②如果该单位计划购买甲、乙两种物品共55件，总费用不少于5000元且不超过5050元，通过计算得出共有几种选购方案？
44．某项工程，乙队单独完成所需天数是甲队单独完成所需天数的1.5倍；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天刚好如期完成．
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为2.5万元，乙队每天的施工费用为2万元，工程预算的施工费用为160万元．
①若在甲、乙工程队工作效率不变的情况下使施工时间最短，问安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？
②若要求施工总费用不超预算又要如期完工，问甲工程队至少需要施工几天？
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