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专题15 导数的概念及运算（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 3
【考点突破】 13
【考点1】导数的运算 13
【考点2】导数的几何意义 16
【考点3】导数几何意义的应用 20
【分层检测】 25
【基础篇】 25
【能力篇】 32
【培优篇】 35
考试要求：
1.通过实例分析，了解平均变化率、瞬时变化率，了解导数概念的实际背景.
2.通过函数图象，理解导数的几何意义.
3.了解利用导数定义求基本初等函数的导数.
4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.5.能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数.
1.导数的概念
(1)如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝.
(2)当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)，记为f′(x)(或y′)，即f′(x)＝y′＝
.
2.导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).
3.基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，α≠0) f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos__x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin__x
f(x)＝ax(a＞0且a≠1) f′(x)＝axln__a
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a＞0且a≠1) f′(x)＝
f(x)＝ln x f′(x)＝
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有：
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
′＝(g(x)≠0)；
[cf(x)]′＝cf′(x).
5.复合函数的定义及其导数
(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)).
(2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
1.f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，则(f(x0))′＝0.
2.′＝－(f(x)≠0).
3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.
4.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高考真题）当时，函数取得最大值，则（ ）
A． B． C． D．1
3．（2021·全国·高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
4．（2022·全国·高考真题）已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A．在区间单调递减
B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线的切线
5．（2022·全国·高考真题）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点 B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线
三、填空题
6．（2022·全国·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ．
7．（2022·全国·高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ．
8．（2022·全国·高考真题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是 ．
9．（2021·全国·高考真题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是 ．
10．（2021·全国·高考真题）曲线在点处的切线方程为 ．
参考答案：
1．C
【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解.
【详解】设曲线在点处的切线方程为，
因为，
所以，
所以
所以
所以曲线在点处的切线方程为.
故选：C
2．B
【分析】根据题意可知，即可解得，再根据即可解出．
【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．
故选：B.
3．D
【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；
解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.
【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得，
所以，曲线在点处的切线方程为，即，
由题意可知，点在直线上，可得，
令，则.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，，
由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，
当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：

由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.

故选：D.
【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.
4．AD
【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．
【详解】由题意得：，所以，，
即，
又，所以时，，故．
对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减；
对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点；
对C，当时，，，直线不是对称轴；
对D，由得：，
解得或,
从而得：或,
所以函数在点处的切线斜率为，
切线方程为：即．
故选：AD．
5．AC
【分析】利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.
【详解】由题，，令得或，
令得，
所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确；
因，，，
所以，函数在上有一个零点，
当时，，即函数在上无零点，
综上所述，函数有一个零点，故B错误；
令，该函数的定义域为，，
则是奇函数，是的对称中心，
将的图象向上移动一个单位得到的图象，
所以点是曲线的对称中心，故C正确；
令，可得，又，
当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.
故选：AC.
6．
【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围.
【详解】∵，∴，
设切点为,则,切线斜率,
切线方程为：,
∵切线过原点，∴,
整理得：,
∵切线有两条，∴,解得或,
∴的取值范围是,
故答案为：
7．
【分析】分和两种情况，当时设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得；
【详解】[方法一]：化为分段函数，分段求
分和两种情况，当时设切点为，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得；
解： 因为，
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：；
[方法二]：根据函数的对称性，数形结合
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
因为是偶函数，图象为：
所以当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可.
[方法三]：
因为，
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
故答案为：；.
8．
【分析】法一：依题可知，方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，构造函数，利用指数函数的图象和图象变换得到的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.
【详解】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点
因为，所以方程的两个根为，
即方程的两个根为，
即函数与函数的图象有两个不同的交点，
因为分别是函数的极小值点和极大值点，
所以函数在和上递减，在上递增，
所以当时，，即图象在上方
当时，，即图象在下方
，图象显然不符合题意，所以．
令，则，
设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为，
则切线的斜率为，故切线方程为，
则有，解得，则切线的斜率为，
因为函数与函数的图象有两个不同的交点，
所以，解得，又，所以，
综上所述，的取值范围为．
[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导
=0的两个根为
因为分别是函数的极小值点和极大值点，
所以函数在和上递减，在上递增，
设函数，则，
若，则在上单调递增，此时若，则在
上单调递减，在上单调递增，此时若有和分别是函数
且的极小值点和极大值点，则，不符合题意；
若，则在上单调递减，此时若，则在上单调递增，在上单调递减，令，则，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，且，则需满足，，即故，所以.
【整体点评】法一：利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做”，是该题的最优解；
法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即可，该法属于通性通法．
9．
【分析】结合导数的几何意义可得，结合直线方程及两点间距离公式可得，，化简即可得解.
【详解】由题意，，则，
所以点和点，,
所以，
所以，
所以，
同理,
所以.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：
解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件，消去一个变量后，运算即可得解.
10．
【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．
【详解】由题，当时，，故点在曲线上．
求导得：，所以．
故切线方程为．
故答案为：．
【考点1】导数的运算
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数恰有一个零点，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·甘肃兰州·三模）函数，若在是减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·河南·模拟预测）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．点为图象的一个对称中心
C．若在上有两个实数根，则
D．若的导函数为，则函数的最大值为
4．（2024·甘肃陇南·一模）已知函数有3个不同的零点,且，则（ ）
A． B．的解集为
C．是曲线的切线 D．点是曲线的对称中心
三、填空题
5．（2024·辽宁·三模）已知抛物线，圆，直线与抛物线和圆分别切于、两点，则点的纵坐标为 .
6．（22-23高三下·上海黄浦·开学考试）已知函数，则 ．
参考答案：
1．A
【分析】先将函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，然后利用导数的几何意义及建立关于的不等式，即可得解.
【详解】由可得，要使恰有一个零点，只需函数的图象与直线相切.
设切点坐标为.由，可得，则切线方程为，即，
故需使.
由可得，解得.
故选：A
2．C
【分析】求导，导函数小于等于0恒成立，分离参数求新函数最值即可求解．
【详解】函数，
若函数在区间上是减函数，则在恒成立，
即在恒成立，
由对勾函数性质可知在单调递减，故，所以.
故选：C.
3．ACD
【分析】对于A，直接由周期公式即可判断；对于B，直接代入检验即可；对于C，画出图形，通过数形结合即可判断；对于D，求得后结合辅助角公式即可得解.
【详解】由题意可得，故A正确；
，所以不是图象的一个对称中心，故B错误；
令，由得，
根据题意可转化为直线与曲线，有两个交点，
数形结合可得，故C正确；
设为的导函数，
则，其中，
当且仅当，即当且仅当时等号成立，故D正确，
故选：ACD．
4．AC
【分析】利用三次函数的零点式，结合条件可求得，从而可判断AB，利用导数的几何意义可判断C，举反例排除D.
【详解】对于A，因为有3个不同的零点,
所以不妨设，
易知展开式中的常数项为，故，
又，所以，解得，
所以，解得，故A正确；
对于B，因为，
令，即，
利用数轴穿根法，解得或，故B错误；
对于C，易得，
当切线斜率为时，令，解得或，
当时，，
此时切线为，即，故C正确；
对于D，因为，又，
所以，所以点是曲线的对称中心，故D错误.
故选：AC.
5．
【分析】设，利用导数的几何意义表示出切线方程，再利用圆心到直线的距离得到方程，求出，即可得解.
【详解】由则，所以，设，
则，
所以切线方程为，即，
又与圆相切，
所以，解得或（舍去），
所以，即点的纵坐标为.
故答案为：
6．
【分析】对求导，再代入，从而求得，进而得到，由此计算可得.
【详解】因为，所以，
则，解得：，
所以，则.
故答案为：.
反思提升：
1.求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.
2.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.
3.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
【考点2】导数的几何意义
一、单选题
1．（2024·重庆·模拟预测）（ ）
A．72 B．12 C．8 D．4
2．（2023·四川成都·一模）与曲线在某点处的切线垂直，且过该点的直线称为曲线在某点处的法线，若曲线的法线的纵截距存在，则其最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数的图象关于对称，则（ ）
A．函数为奇函数 B．在区间有两个极值点
C．是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线
4．（2023·海南海口·一模）直线是曲线的切线，则实数的值可以是（ ）
A．3π B．π C． D．
三、填空题
5．（2024·江西·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知曲线的一条切线与轴、轴分别交于，两点，则的面积的最大值为 ．
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数（是的导函数），则曲线在处的切线方程为 ．
参考答案：
1．B
【分析】令，根据导数的概念，可求解.
【详解】令，根据导数的概念，
，
，所以.
故选：B．
2．A
【分析】在曲线上任取一点，求出曲线在点处的法线方程，可得出该直线的纵截距，再利用导数求出该法线纵截距的最小值.
【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得，则，
若曲线的法线的纵截距存在，则，
所以，曲线在点处的法线方程为，
即，所以，曲线在点处的法线的纵截距为，
令，令，其中，
则，令，可得，
当时，，此时，函数单调递减，
当时，，此时，函数单调递增，
所以，.
故选：A.
3．ACD
【分析】直接利用函数的对称性求得，根据正弦函数的奇偶性判断A；根据极值点的定义即可判断B；根据正弦函数的对称性即可判断C；根据导数的几何意义即可判断D.
【详解】因为函数的图象关于对称，
所以，则，即，
因为，所以，则，
对A，由得，定义域为R，且，
所以函数为奇函数，正确；
对B，当时，，
由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，
即为函数的唯一极值点，错误；
对C，当时，，，
所以是曲线的对称中心，正确；
对D，由，得，
解得或，
从而得或，
所以函数在点处的切线斜率为，
此时切线方程为，即，
即直线是曲线的切线，正确.
故选：ACD
4．AB
【分析】设切点为，由题意可得，解得，由导数的几何意义可得，即，即可得出答案.
【详解】设切点为，∵直线恒过定点，
，∴，
∴，∴，
∵，∴可取，
由导数的几何意义知，，
则，则，
所以，
∴当时，；当，，故A，B正确，C，D不正确.
故选：AB.
5．
【分析】设切点，求导，切线方程，求出,,得到,构造函数求解最值.
【详解】设切点，，求导得，则切线方程，
由切线与轴、轴分别交于两点，
则,,
得到,
构造函数,，
求导，
令，，
所以，单调递增，，单调递减，
所以.
故答案为：.
6．．
【分析】由导数的几何意义先求出切线的斜率，再求出切点坐标，有点斜式求出切线方程即可.
【详解】由题意设切点，因为 ，
令，得，
由导数几何意义知：，
又，所以，
故曲线在处的切线方程为：，
整理得： .
故答案为：.
反思提升：
1.求曲线在点P(x0，y0)处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程，若在该点P处的导数不存在，则切线垂直于x轴，切线方程为x＝x0.
2.求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.过点处的切点坐标不知道，要设出切点坐标，根据斜率相等建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键.
【考点3】导数几何意义的应用
一、单选题
1．（2024·辽宁大连·一模）斜率为的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
2．（2023·全国·模拟预测）若过点与曲线相切的直线只有2条，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
3．（2023·安徽淮南·一模）已知函数，则（ ）
A．的值域为
B．直线是曲线的一条切线
C．图象的对称中心为
D．方程有三个实数根
4．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数，，则（ ）
A．恒成立的充要条件是
B．当时，两个函数图象有两条公切线
C．当时，直线是两个函数图象的一条公切线
D．若两个函数图象有两条公切线，以四个切点为顶点的凸四边形的周长为，则
三、填空题
5．（2024·辽宁·二模）已知函数的图象与函数且的图象在公共点处有相同的切线，则 ，切线方程为 .
6．（2022·全国·模拟预测）曲线在处的切线与直线平行，则 .
参考答案：
1．A
【分析】设直线的方程为，先根据直线和圆相切算出，在根据导数的几何意义算.
【详解】依题意得，设直线的方程为，
由直线和圆相切可得，，解得，
当时，和相切，
设切点为，根据导数的几何意义，，
又切点同时在直线和曲线上，即，解得，
即和相切，此时将直线和曲线同时向右平移两个单位，
和仍会保持相切状态，即时，，
综上所述，或.
故选：A
2．D
【分析】求得，求得切线方程,结合题意，转化为方程有2个不等实根，根据二次函数的性质，即可求解.
【详解】设过点的直线与曲线相切于点，
由，可得，所以切线的斜率，
整理得，
因为切线有2条，所以切点有2个，即方程有2个不等实根，
则，解得或，
所以的取值范围是．
故选：D．
3．BD
【分析】A.分两种情况求函数的值域；B.利用导数求函数的切线，判断选项；C.利用平移判断函数的对称中心；D.首先求的值，再求解方程的实数根.
【详解】A.时，，当时等号成立，
当时，，当时等号成立，故A错误；
B.令，得，，所以图象在点处的切线方程是，得，，所以图象在点处的切线方程是，得，故B正确；
C. 的对称中心是，所以的对称中心是，向右平移1个单位得，对称中心是，故C错误；
D. ，解得：或，
当，得，，1个实根，当时，得或，2个实根，所以共3个实根，故D正确.
故选：BD
4．ACD
【分析】根据导数求解恒成立即可求解A，根据导数求解切线方程，根据公切线的性质即可结合选项求解BCD.
【详解】对于A，若恒成立，即恒成立，
而恒成立，所以，解得，故A正确；
对于B，设切点,，,，，，
有，
①代入②，可得，
当时，代入方程解得：，
，方程无解，即两个函数图象无公切线，故B错误；
对于C，当时，代入方程得：，
，故，，
所以函数与的一条公切线为：，故C正确；
对于D，如图，不妨设切线与切于，与切于，
设,，,，,，,，，，
故
所以，，
，同理，
则中点即可中点，
所以四边形是平行四边形，
由处的切线方程为，
处的切线方程为，
得，即，结合可知， 是方程的根，
由C选项可知：是的两个切点，所以，也是方程的根，
所以,且,故，
则，，
，
，
令，则，
故，故D正确．
故选：ACD．
【点睛】关键点点睛：本题BC选项的关键是设切点，根据导数含义和斜率定义得到，再整理化简代入值即可判断.
5．
【分析】设公共点为，即可得到，再由导数的几何意义得到，从而求出，即可求出切点坐标，从而求出，再求出切线方程.
【详解】设公共点为，则，即，所以，
所以，
由，，所以，，
又在公共点处有相同的切线，所以，即，所以，则，，
则，
则，所以切线方程为，即.
故答案为：；
6．
【分析】求得，得到，根据题意得到，即可求解.
【详解】由题意，函数，可得，
可得，，
因为曲线在处的切线与直线平行，
可得，所以.
故答案为：
反思提升：
1.处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上，故满足切线方程；(3)切点在曲线上，故满足曲线方程.
2.利用导数的几何意义求参数问题时，注意利用数形结合，化归与转化的思想方法.
【基础篇】
一、单选题
1．（2023·吉林长春·模拟预测）利用导数的定义计算值为（ ）
A．1 B． C．0 D．2
2．（2024·全国·模拟预测）已知曲线在点处的切线为，则在轴上的截距为（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·黑龙江·二模）函数在处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
5．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知函数，为的导函数，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·浙江金华·模拟预测）（多选题）已知函数，则（ ）
A．函数在区间上单调递减
B．函数在区间上的最大值为1
C．函数在点处的切线方程为
D．若关于的方程在区间上有两解，则
7．（22-23高二下·江苏苏州·阶段练习）为了评估某治疗新冠肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．已知该药物在人体血管中药物浓度随时间的变化而变化，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如图所示．则下列结论正确的是（ ）

A．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同
B．在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同
C．在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同
D．在和两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同
三、填空题
8．（2022·全国·模拟预测）过原点作曲线的切线l，并与曲线交于，两点，若，则 ．
9．（2023·重庆·模拟预测）已知函数，若这两个函数的图象在公共点处有相同的切线，则 ．
10．（2024·广西贺州·一模）已知直线与曲线的某条切线平行，则该切线方程为
四、解答题
11．（2024·湖北·模拟预测）已知函数，其中为常数.
(1)过原点作图象的切线，求直线的方程；
(2)若，使成立，求的最小值.
12．（2024·四川成都·一模）设函数，
(1)求、的值；
(2)求在上的最值．
参考答案：
1．B
【分析】根据给定条件，求出函数的导数，再利用导数的定义直接计算作答.
【详解】依题意，令函数，求导得，
所以.
故选：B
2．B
【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，代入点斜式得直线方程，令即可求解.
【详解】由得，所以直线的斜率，
又，所以直线的方程为，令，得，即在轴上的截距为.
故选：B
3．A
【分析】先由导数求切线的斜率，再求出切点，结合点斜式方程写出即可.
【详解】由，得，
所以，又，
故曲线在点处的切线的方程为，即.
故选：A.
4．D
【分析】当时，利用导数的几何意义求出切线的斜率，再由点斜式求出切线方程.
【详解】因为，则，
当时，则，所以，
所以切点为，切线的斜率为，
所以切线方程为，即.
故选：D
5．ABD
【分析】根据已知函数，求出导函数，依次代入验证各选项的正确性即可.
【详解】由已知得
，故A正确：
，故B正确；
，而，所以不成立，故C错误；
，故D正确：
故选：ABD
6．AC
【分析】利用导数分析函数的单调性，进而判断AB选项；结合导数的几何意义可判断C选项；画出函数大致图象，结合图象即可判断D选项.
【详解】因为，，
所以，
令，即；令，即，
所以函数在区间上单调递减，在上单调递增，故A正确；
因为，，
所以函数在区间上的最大值为4，故B错误；
因为，，
所以函数在点处的切线方程为，
即，故C正确；
因为，函数大致图象如图，
要使方程在区间上有两解，
则，故D错误.
故选：AC.
7．AC
【分析】利用图象可判断A选项；利用导数的几何意义可判断B选项；利用平均变化率的概念可判断C选项；利用平均变化率的概念可判断D选项.
【详解】选项A，在时刻，两图象相交，说明甲、乙两人血管中的药物浓度相同，即选项A正确；
选项B，在时刻，两图象的切线斜率不相等，即两人的不相等，
说明甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，即选项B错误；
选项C，由平均变化率公式知，甲、乙两人在内，
血管中药物浓度的平均变化率均为，即选项C正确；
选项D，在和两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率分别为
和，显然不相同，即选项D不正确．
故选：AC.
8．
【分析】首先求切线的方程，再利用点三点共线，利用斜率公式，转化为方程，即可求解.
【详解】，设切线与曲线相切于点，
则，切线过点，代入解得，
易知切线l的方程为，所以，由，解得，所以，即．
故答案为：
9．/
【分析】先根据和在公共点处有相同的切线得出在处两函数的导数相等,再由在上,列方程组求解即可.
【详解】因为，
所以，，
因为在公共点处有相同的切线，
所以即，
所以
故答案为：
10．
【分析】先求出切点，再根据导数的几何意义即可得解.
【详解】，设切点为，则，解得，所以切点为，
故切线方程为，即.
故答案为：.
11．(1)
(2).
【分析】（1）设切点，求导得出切线方程，代入原点，求出参数即得切线方程；
（2）由题意，将其等价转化为在有解，即只需求在上的最小值，利用导数分析推理即得的最小值.
【详解】（1）
设切点坐标为，则切线方程为，
因为切线经过原点，所以，解得，
所以切线的斜率为，所以的方程为.
（2），，即成立，
则得在有解，
故有时，.
令，，，
令得；令得，
故在单调递减，单调递增，
所以，
则，故的最小值为.
12．(1)，
(2)，
【分析】（1）求出函数的导函数，令求出，再令求出；
（2）由（1）可得，利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的极值，再由区间端点的函数值，即可得解.
【详解】（1）因为，
所以，取，则有，即；
所以，取，则有，即．
故，．
（2）由（1）知，，
则，
所以、与，的关系如下表：
0 1 2
0
单调递增 极大值 单调递减
故，．
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·内蒙古·三模）若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
2．（2024·河北保定·二模）已知定义域为的函数满足，则（ ）
A．
B．
C．是奇函数
D．存在函数以及，使得的值为
三、填空题
3．（2024·河南·二模）若两个函数和存在过点的公切线，设切点坐标分别为，则 .
四、解答题
4．（2024·山东威海·二模）已知函数．
(1)求的极值；
(2)证明：．
参考答案：
1．C
【分析】设出切点，求导，利用导数几何意义求出切线方程，代入，得到，构造，求导，得到函数单调性，从而得到，结合当时，，当时，，从而得到答案.
【详解】在曲线上任取一点，对函数求导，得，
所以曲线在点处的切线方程为.
由题意可知，点在直线上，可得.
令，则.
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以，且当时，，当时，，
又直线与曲线的图象有两个交点，
所以的取值范围为.
故选：C
2．ACD
【分析】根据题意，利用赋值法对选项逐一分析，即可判断A,B,C,D.
【详解】由，取，得，A正确．
取，得，解得．
取，得，
所以，B错误．
取，得，
所以是奇函数，C正确．
当时，在两边同时除以，
得，
令，则，
当时，，
所以，
所以，D正确．
故选：ACD
3．9
【分析】分别求出两个函数的导函数，根据导函数的几何意义求出斜率，由求出切点坐标得，利用斜率相等得，代入原式即得
【详解】，设切点坐标为，切线斜率为，
切线方程为，将代入得，
即.
，设切点坐标为，切线斜率为，
切线方程为，将代入得，
即，
又因为，可得，即，
，
所以.
故答案为：9
4．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数，利用导数与函数单调性以及极值的关系，即可求得答案；
（2）根据要证明的不等式的结构特点，设，求出其导数，利用导数判断其单调性，结合其最值，即可证明结论.
【详解】（1）由题意得的定义域为，
则，
当时，，在上单调递增，无极值；
当时，令，则，令，则，
即在上单调递增，在上单调递减，
故为函数的极大值点，函数极大值为，无极小值；
（2）证明：设，
，令，
则，即在上单调递增，
，
故，使得，即，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
故
即，即，则.
【培优篇】
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知过点的直线与函数的图象有三个交点，则该直线的斜率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（2024·河南·二模）已知函数为定义在上的函数的导函数，为奇函数，为偶函数，且，则下列说法正确的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
3．（2024·江西南昌·二模）如图，有一张较大的矩形纸片分别为AB，CD的中点，点在上，.将矩形按图示方式折叠，使直线AB（被折起的部分）经过P点，记AB上与点重合的点为，折痕为.过点再折一条与BC平行的折痕，并与折痕交于点，按上述方法多次折叠，点的轨迹形成曲线.曲线在点处的切线与AB交于点，则的面积的最小值为 .
参考答案：
1．C
【分析】方法一：问题转化为方程有三个不等的实数根.分离参数后构造函数，求导分析单调性后求出参数的范围；方法二：分离函数，令，则方程变为，分别构造函数，求导分析的单调性和极值，再讨论当时图象的情况和当时设切点，利用导数的意义求出切线的斜率，再由点在直线上和点斜式方程写出切线方程，求出斜率，最后综合以上求出斜率范围.
【详解】问题转化为方程有三个不等的实数根．
方法一：分离参数
因为，所以方程
有三个不等的实根等价于方程有两个不等的实根．
令，
则．
令，则，即单调递增．
又，所以当时，单调递减，且；
当时，单调递增，
且．
又因为当时，；当时，；当时，，
所以实数k的取值范围是．
故选：C．
方法二：分离函数
令，则，所以．
令，则，解得，
令，得；令，得；
所以在上单调递减，在上单调递增，有极小值；
而且，
所以方程有一解．
①当时，过一、三象限，两图象有两个交点，不合题意；
②当时，过原点O作的切线，
设切点，则，
所以．
又，得，
所以，
所以．
故选：C．
【点睛】关键点点睛：方法一关键是能够把问题转化为方程有三个不等的实数根，再分离参数后由导数确定单调性和特殊值分析函数的最值情况.
2．ABD
【分析】由为偶函数可知函数的图象关于对称可判断A；由由可得知函数的图象对称，可判断B，由8为函数的一个周期，可判断C；求出，可判断D.
【详解】由为奇函数，所以，
所以函数的图象关于对称，
由为偶函数，所以，
函数的图象关于对称，所以，故A正确；
由可得，
由可得，
所以函数的图象关于和对称，
所以，故B正确；
由可得：，
由可得：，所以，
即，所以，即，
由可得：，
由可得：，所以，
所以，即，即，
所以，
所以8为函数和的一个周期，，故错误；
，
，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：抽象函数的奇偶性、对称性、周期性常有以下结论
（1）关于轴对称，
（2）关于中心对称，
（3）的一个周期为，
（4）的一个周期为.
可以类比三角函数的性质记忆以上结论.
3．/
【分析】先根据题意得出Q的轨迹是以P为焦点、直线AB为准线的抛物线，进而得出曲线E的方程，然后建立坐标系求出点Q处的切线方程进而求出点N，从而求出，再利用导数工具研究其最值问题即可求解.
【详解】连接PQ，由题PQ与MQ关于对称，，
所以Q在以P为焦点、直线AB为准线的抛物线上，
如图，以PO中点G为原点，过G与AB平行的直线为轴，与AB垂直的直线为轴建立平面直角坐标系，
则，直线AB：，所以抛物线方程为：，即，
则，由上可设，则抛物线在Q点处切线斜率为，
所以抛物线在Q点处切线方程为，
则令，，
所以由题意，且
，
所以，
故对恒成立，
所以时单调递减，又当时，，
故时，；时，，
所以时，单调递增；时，单调递减，
所以，则，
所以的面积的最小值为，
故答案为：.
【点睛】关键点睛：将求面积转化成求面积是解决面积最值的关键.
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专题15 导数的概念及运算（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 3
【考点突破】 4
【考点1】导数的运算 4
【考点2】导数的几何意义 5
【考点3】导数几何意义的应用 6
【分层检测】 7
【基础篇】 7
【能力篇】 9
【培优篇】 10
考试要求：
1.通过实例分析，了解平均变化率、瞬时变化率，了解导数概念的实际背景.
2.通过函数图象，理解导数的几何意义.
3.了解利用导数定义求基本初等函数的导数.
4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.5.能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数.
1.导数的概念
(1)如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝.
(2)当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)，记为f′(x)(或y′)，即f′(x)＝y′＝
.
2.导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).
3.基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，α≠0) f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos__x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin__x
f(x)＝ax(a＞0且a≠1) f′(x)＝axln__a
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a＞0且a≠1) f′(x)＝
f(x)＝ln x f′(x)＝
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有：
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
′＝(g(x)≠0)；
[cf(x)]′＝cf′(x).
5.复合函数的定义及其导数
(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)).
(2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
1.f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，则(f(x0))′＝0.
2.′＝－(f(x)≠0).
3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.
4.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高考真题）当时，函数取得最大值，则（ ）
A． B． C． D．1
3．（2021·全国·高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
4．（2022·全国·高考真题）已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A．在区间单调递减
B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线的切线
5．（2022·全国·高考真题）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点 B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线
三、填空题
6．（2022·全国·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ．
7．（2022·全国·高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ．
8．（2022·全国·高考真题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是 ．
9．（2021·全国·高考真题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是 ．
10．（2021·全国·高考真题）曲线在点处的切线方程为 ．
【考点1】导数的运算
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数恰有一个零点，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·甘肃兰州·三模）函数，若在是减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·河南·模拟预测）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．点为图象的一个对称中心
C．若在上有两个实数根，则
D．若的导函数为，则函数的最大值为
4．（2024·甘肃陇南·一模）已知函数有3个不同的零点,且，则（ ）
A． B．的解集为
C．是曲线的切线 D．点是曲线的对称中心
三、填空题
5．（2024·辽宁·三模）已知抛物线，圆，直线与抛物线和圆分别切于、两点，则点的纵坐标为 .
6．（22-23高三下·上海黄浦·开学考试）已知函数，则 ．
反思提升：
1.求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.
2.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.
3.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
【考点2】导数的几何意义
一、单选题
1．（2024·重庆·模拟预测）（ ）
A．72 B．12 C．8 D．4
2．（2023·四川成都·一模）与曲线在某点处的切线垂直，且过该点的直线称为曲线在某点处的法线，若曲线的法线的纵截距存在，则其最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数的图象关于对称，则（ ）
A．函数为奇函数 B．在区间有两个极值点
C．是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线
4．（2023·海南海口·一模）直线是曲线的切线，则实数的值可以是（ ）
A．3π B．π C． D．
三、填空题
5．（2024·江西·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知曲线的一条切线与轴、轴分别交于，两点，则的面积的最大值为 ．
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数（是的导函数），则曲线在处的切线方程为 ．
反思提升：
1.求曲线在点P(x0，y0)处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程，若在该点P处的导数不存在，则切线垂直于x轴，切线方程为x＝x0.
2.求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.过点处的切点坐标不知道，要设出切点坐标，根据斜率相等建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键.
【考点3】导数几何意义的应用
一、单选题
1．（2024·辽宁大连·一模）斜率为的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
2．（2023·全国·模拟预测）若过点与曲线相切的直线只有2条，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
3．（2023·安徽淮南·一模）已知函数，则（ ）
A．的值域为
B．直线是曲线的一条切线
C．图象的对称中心为
D．方程有三个实数根
4．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数，，则（ ）
A．恒成立的充要条件是
B．当时，两个函数图象有两条公切线
C．当时，直线是两个函数图象的一条公切线
D．若两个函数图象有两条公切线，以四个切点为顶点的凸四边形的周长为，则
三、填空题
5．（2024·辽宁·二模）已知函数的图象与函数且的图象在公共点处有相同的切线，则 ，切线方程为 .
6．（2022·全国·模拟预测）曲线在处的切线与直线平行，则 .
反思提升：
1.处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上，故满足切线方程；(3)切点在曲线上，故满足曲线方程.
2.利用导数的几何意义求参数问题时，注意利用数形结合，化归与转化的思想方法.
【基础篇】
一、单选题
1．（2023·吉林长春·模拟预测）利用导数的定义计算值为（ ）
A．1 B． C．0 D．2
2．（2024·全国·模拟预测）已知曲线在点处的切线为，则在轴上的截距为（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·黑龙江·二模）函数在处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
5．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知函数，为的导函数，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·浙江金华·模拟预测）（多选题）已知函数，则（ ）
A．函数在区间上单调递减
B．函数在区间上的最大值为1
C．函数在点处的切线方程为
D．若关于的方程在区间上有两解，则
7．（22-23高二下·江苏苏州·阶段练习）为了评估某治疗新冠肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．已知该药物在人体血管中药物浓度随时间的变化而变化，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如图所示．则下列结论正确的是（ ）

A．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同
B．在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同
C．在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同
D．在和两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同
三、填空题
8．（2022·全国·模拟预测）过原点作曲线的切线l，并与曲线交于，两点，若，则 ．
9．（2023·重庆·模拟预测）已知函数，若这两个函数的图象在公共点处有相同的切线，则 ．
10．（2024·广西贺州·一模）已知直线与曲线的某条切线平行，则该切线方程为
四、解答题
11．（2024·湖北·模拟预测）已知函数，其中为常数.
(1)过原点作图象的切线，求直线的方程；
(2)若，使成立，求的最小值.
12．（2024·四川成都·一模）设函数，
(1)求、的值；
(2)求在上的最值．
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·内蒙古·三模）若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
2．（2024·河北保定·二模）已知定义域为的函数满足，则（ ）
A．
B．
C．是奇函数
D．存在函数以及，使得的值为
三、填空题
3．（2024·河南·二模）若两个函数和存在过点的公切线，设切点坐标分别为，则 .
四、解答题
4．（2024·山东威海·二模）已知函数．
(1)求的极值；
(2)证明：．
【培优篇】
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知过点的直线与函数的图象有三个交点，则该直线的斜率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（2024·河南·二模）已知函数为定义在上的函数的导函数，为奇函数，为偶函数，且，则下列说法正确的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
3．（2024·江西南昌·二模）如图，有一张较大的矩形纸片分别为AB，CD的中点，点在上，.将矩形按图示方式折叠，使直线AB（被折起的部分）经过P点，记AB上与点重合的点为，折痕为.过点再折一条与BC平行的折痕，并与折痕交于点，按上述方法多次折叠，点的轨迹形成曲线.曲线在点处的切线与AB交于点，则的面积的最小值为 .
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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