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情境创设的可行性思考

新一轮课程改革以来，初中数学难以把握、争议较多的一个问题是课程的“情境创设”问题。数学课程标准明确指出，中学阶段的数学教学应结合具体的数学内容采用“问题情境——建立模型——解释、应用与拓展”的模式展开，其中问题情境放在首位，要求教师用情节真实的故事呈现问题，营造问题探究的情境，以引领学生在探究问题的过程中活化知识，帮助学生基于自己与世界相互作用的独特经验去建构自己的知识，为学生发现新知识创造一个最佳的心理环境和认识知识的理想阶梯。
一、对数学情境的认识
什么是“情境”呢？《辞海》认为，情境是一个人在进行某种行动时所处的特定背景。心理学将情境界定为，在特定的环境背景下，个体行为活动的即时条件，包括个体既成的人格倾向、当时的认知、情绪、意向特点等主体条件，也包括当时周围的环境，尤其是进入个体意识范围的环境。建构主义认为情境就是一个能提供与学生日后所遇到的环境相似，让学生通过在其中的同伴协作和交流、体验，构建知识和培养能力的平台。荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔认为，情境是现实中某个微小而孤立的片断……它表示对局部的具体环境进行数学化。
上述有关“情境”的说法，虽然强调的方面或者问题领域不同，但却具有某些共性，其中之一是它们都将“情境”与“环境”相连，把情境界定为具体的环境，尤其是具体的社会环境。对于引入数学课堂中的情境，我认为建构主义的情境定义更符合数学情境的内涵，即与学生的生活环境、知识背景密切相关，并且是学生感兴趣的，有利于学生发现数学知识和通过自主探究的活动来学习数学的“数学情境”。
二、初中数学课堂教学情境必须每课一创吗
通过创设情境，将数学与学生周围的现实生活、其他学科知识、科学现象建立联系，使数学不再成为“孤零零”的、“与现实应用的背景脱离”的知识，让学生在嵌入了数学知识的社会或自然情境中寻找知识，通过学生主动地参与实践，通过与他人、环境等相互作用来建构数学知识，体验数学的意义。那么，在数学课堂教学中情境真的必须“每课一创”吗？下面几个案例或许能说明一些道理。
案例1（2007年嵊州市公开课——浙教版八年级上册《认识函数》）
设计1：如图1，请观察加油机为汽车加油过程中能给我们哪些信息。
加油站里加油，学生似乎司空见惯，没想到数学与生活如此接近，学生的兴趣一下子被提起来了，（多媒体演示加油时加油量、金额跳动的情景）
设计2：在此次加油过程中，加油量确定时，金额能确定吗？
设计3：观察加油机为汽车加油过程中金额y（元）和加油量x（升）的变化，并填写下表。
加油量x(升)
2
5
10
…
金额y(元)
…
设计4：你能用含x的代数式来表示y的值吗？
数学教学的目标之一，是要把数学知识的学术形态转化为教育形态，这就要求数学教师能返璞归真，将数学的形式化逻辑链条恢复其活生生的知识背景，在数学课堂教学中，教师通过创设恰当的情境，将与学生学习相关的知识镶嵌在真实的情境中，使抽象的数学知识学习变成一种活动，让学生根据自身实际，运用已有经验，在情境中主动发现、提出问题，建构假想或猜测，寻求证据等，经过学生自己的主动发现和探究，改变了知识的呈现形式，改变了学生被动接受的传统学习方式，使数学走出“抽象与玄妙”，从而更好地架设了“学校数学”与“社区数学”间的桥梁，并最终能使数学学习实现从学校情境到社会情境、从虚拟情境到真实情境迁移。
案例2 （2006年校本培训—— 华师大版八年级上《代数恒等式》）
给你足够多的纸片，形状如图所示（教师先示范解释(2b)2=4b2），问：你还可以用图形面积来解释哪些代数恒等式？
学生兴趣浓厚地拼接手里的纸片，写出许多结论:

(a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)2－(a－b)2=4ab (a+b)(a+2b)=a2+3ab+2b2
生1：老师，我有一个想法不知道可不可以提出来？
师：当然可以。
生1：课本上的一道题我有另外的解法。
原题（一部分）：一个正方形的边长增加3cm，它的面积增加了45cm2，求这个正方形原来的边长。
此题以前做过，当时的解法是：设原边长为xcm2，则(x+3)2=x2+45，当时学生认为较简单，无疑问，无异议，现在成绩平平的她提出新的见解，同学们都很好奇。
生1：走上讲台，画出示意图
生1：题意可理解为边长为x的小正方形外面拼上4个长为（x+1.5），宽为x的长方形，所以我列出等式：4×1.5×(x+1.5)=45。
教师和同学们都不约而同地热烈鼓掌，投给她赞许的目光。
形式化是数学的特征之一，正是由于数学表述的形式化，更突显了数学的另一特征——高度的抽象性，从而容易使学生误以为数学远离生活实际而对其望而生畏。同时，由于学生知识发展的局限性，对于某些抽象的数学知识，若按知识的内部体系展开教学、学生在理解上可能会有比较大的困难，在数学教学中，教师通过设置合理的情境，将数学知识嵌入具体的问题情境，使知识的强度和难度降低，给学生的学习搭建合适的“脚手架”，以达到引发学生的学习兴趣及降低学习负担的目的，帮助学生更好地学习。
案例3 （ 2007年嵊州市学区片公开课——浙教版八年级上册《探索确定位置的方法》）
播映每个初中生都熟悉的黑猫警长的故事：白鸽在侦察怪影巢穴时不幸被击伤，黑猫警长迅速发出带有具体方位的命令，与怪影展开了激烈的战斗……
师：黑猫警长为了及时营救白鸽，必须发出什么有效的攻击指令？
生1：在大桥（影片中特征比较明显的一个建筑物）的什么方向和距离大桥的长度。
生2：经度和纬度。
……
教师和学生一起探索有效的指令必须具备的条件。在课的结尾，和学生一起讨论生活中的应用问题：
生3：如果我爸爸开车来学校接我，我只要告诉爸爸我在学校大门的方向和距离，我老爸一定能找到我。
生4：（把手伸得老高老高）老师，老师，我知道了，我家小汽车上的导航仪肯定是利用经度和纬度来确定目的地的。
……
知识是在一定的情境中产生与发展的，又应用到一定的情境中去。教师在数学教学中创设合适的情境，不但激发学生的兴趣、愿望、好奇心及求知欲，促进学生数学情感的发展，而且维持，强化了学生学习的动力，促进学生主动学习，终身学习。
情境与课堂教学是有机结合的，只要是学生感兴趣的，有利于学生发现数学知识和通过自主探究的活动来学习数学的“数学情境”，可以每课一创、二创甚至三创，但如果与课堂教学无紧密联系，一堂数学课没有情境创设又有何妨！
三、数学情境创设的方法
数学情境创设的关键是选准新知识的切入点，设计问题要有梯度性、有连贯性，能引起学生的注意和良好的情感体验，下面结合实例从五个方面来谈数学情境创设的方法。
1、创设辅垫型情境，激发学生的学习兴趣
案例４（ 2007年嵊州市学区片公开课——浙教版八年级下册《直角三角形的性质》）
师生各准备一张长方形纸片ABCE，由教师指导学生做折纸试验。（1）将长方形纸片按对角线对折，两条折痕交于D点（如图1）。（2）提问对角线交点D到四个顶点的距离有何关系？（3）沿着一条折痕剪开，得到一个Rt△ABC(如图2)。教师提问：AC是Rt△ABC的什么边？BD是AC边上的什么线？斜边上的中线BD与斜边AC有什么关系？……这就是今天我们要学习的直角三角形的性质，让学生用自己的语言进行表达——“在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。”至此，学生兴趣倍增，跃跃欲试，思维很快进入最佳状态。
以学生认知结构范围内的富有启发性的常规问题或已知的数学事实为素材，创设铺垫情境。这种情境可为学生提出问题提供有效的启发，对培养学生思维的开放性有重要作用。它常用于新知识的引入。学生对于矩形纸片的折叠问题很感兴趣，通过学生的动手操作，使他们感受到数学是实实在在发生在现实生活中的，并且给他们留下了深刻印象：这个性质在任何直角三角形中都存在的。
2、创设认知冲突型情境，深化学生的认知结构
案例５ （2006年校本培训—— 华师大版八年级下《概率》）
在教学概率问题时，一位教师创设了这样一个故事情境：请两名学生上台，一个扮演街头摆设骗局的甲，另一个扮演过客乙，其余同学做看客。
甲为了招揽生意，向围观群众做宣传：“三枚硬币，同时掷下，如果同时正面朝上或正面朝下，你可获得10元，否则你给我5元，来试试，看看你的运气如何。”
过路人乙听了后念叨：“同时朝上或朝下，我们可获得10元，输了我只给对方5元，嘿，有门！”
这时下面同学有劝阻的，也有鼓励的，更有看热闹等着瞧的。
结果一连投了五次，乙赢了一次，输了四次，吓得他不敢再玩下去了，他禁不住问：“同学们，这个游戏公平吗？”
以富有趣味性、挑战性、探究性且处于学生认知结构的最近发展区的问题为事物，可创设认知冲突型教学情境，使学生处于心欲求而不得、口欲言而不能的“愤”、“悱”状态，引起认知冲突，从而激起学生强烈的探究欲望和学习动机。
3、创设过程性问题情境，注重知识的形成过程
案例６ 如图，石头A和石头B相距80cm，且关于竹竿l对称，一只电动青蛙在距竹竿30㎝，距石头A为60㎝的P1处，按如下顺序循环跳跃：

青蛙跳跃25次后停下，此时它与石头A相距 ㎝，与竹竿l相距 ㎝。
我在指导学生完成这道填空题时，发现好多学生咬着笔杆无从下手，有几位学生甚至看不懂题目。此时，我灵机一动，要求学生拿起铅笔画出青蛙跳跃的路径（画图工具不限）。这样一来，学生纷纷拿起笔来，一边画图，一边标上数据，从而找出规律，答案也就水到渠成。
传统的填空题、选择题、判断题只需要学生回答结果，难以有效暴露学生的思维过程与方法。因此在平时的练习中，可以设计成画图题、简答题等综合性更强的主观题。本题增加作图，不仅帮助学生认真审题，还考查了学生的动手操作能力、探究能力和阅读理解能力，从而进行有效的运算。在数学教学中，过于强调结论，只能促进学生单纯地模仿和记忆知识，但如果注重知识形成的过程，并引导学生积极参与其中，则能培养学生尊重客观事物的态度、科学探索知识的能力以及勇于创新的精神。
4、创设实践性问题情境，培养学生的应用意识
案例７ 《平行四边形》一章结束后，我设置了一次小制作活动：请你根据所学知识，设计一个测量工具或作图仪器，第二天一上课，同学们纷纷展示各自的研究成果，他们的小制作真是千姿百态。其中有一位学生的作品，既简单又具有多功能。他利用了四边形的不稳定性和菱形的性质，制作了一个作图仪器——菱形框架（如图），其功能为：
（1）作角的平分线；
（2）作直线的垂线；
（3）作一定范围内（小于该菱形边长的2倍）的垂直平分线。
实践性问题情境是指导学生从自然、社会文化和生活中根据自己的兴趣选择课题进行自主研究、写出报告或完成作品、进行交流的情境。这样，学科知识在探究实践中得到了综合和延伸。这次数学小制作活动，带给我这样一个思考：语文课能让学生体验创作的乐趣，历史课能让学生博古通今，徜徉华夏五千年，音乐、美术课能给学生美的享乐。那么数学课能够带给学生什么呢？如果一味地进行公式、定理的推导，习题的反复演练，数学课又怎能给人以美的体验呢？让生活走进数学课堂，把一个个鲜活的事例搬进课堂，从学生的实际出发，将学生的兴趣与知识点相结合，精心设计课堂，让学生通过来自生活实践中的真实问题，学会分析，认清蕴藏在数学形式符号之后的事物本质，才能使学生真切感受和理解数学的应用价值，体会数学的内在美，明白学习数学的必要性和迫切性，从而更加积极主动地学习数学。
5、创设试误型问题情境，促进学生思维的严密性
案例８ （2007年校本培训—— 浙教版七年级下《完全平方公式》）
师：(ab)n=anbn，同学们大胆猜想一下(a+b)2=?
生：(a+b)2=a2+b2．（学生充满自信并且几乎是异口同声地）
师：(a+b)2真的等于a2+b2吗？（不少学生开始怀疑）
师：当a=1, b=2时，大家计算一下，(a+b)2=？a2+b2=？
生：(a+b)2=(1+2)2=32=9，a2+b2=12+22=5.
师：(a+b)2等于a2+b2吗？
生：不相等！（学生恍然大悟，开始深思）
师：(a+b)2不等于a2+b2，那么它究竟等于什么呢？这就是我们要学习的问题——完全平方公式…
学生在理解、应用数学知识和方法的过程中，常因各种原因犯一些似是而非的错误，适当创设试误型教学情境，可为学生尝试错误提供时间和空间，并通过反思错误的原因，加深对知识、方法的理解和掌握，提高对错误的认识和警戒，培养思维的批判性和严谨性。经过教师D这样的情境探究处理，学生的印象深刻，大大降低了学生作业中的错误率。
四、数学情境创设应注意的几个问题
弗赖登塔尔认为，数学教育不能从那些现成的、完美的数学系统开始，不能采用向学生硬性灌输概念的方式进行，良好的数学情境是数学教学的前提。数学教学应发生在现实的情境之中，数学知识应在情境中通过学生的主动活动来建构，情境设计的恰当与否将影响到课堂教学的成败。因此，教师在创设情境时应注意以下几个问题，以提高情境创设的有效性。
1、注重情境的真实“度”
数学是所有学科中抽象程度相对较高的一门学科。一方面，中小学生的心理发展特点决定了其数学学习在很长一个时段需要相对具体形象的材料来支撑。因此，教师在结合相应课题设计情境时，应避免那些脱离现实的、人为编制的情境，创设的情境越真实，学生构建的知识就越可靠，且越容易向实际生活迁移。另一方面，教育的传承性、学校教育班级授课制，决定了我们不可能让学生在绝对真实的情境中进行所谓的自主学习。有鉴于此，我认为，教师应该运用自己学科上相对于学生而言的绝对优势，高屋建瓴地对教学内容进行优化设计，充当好学生数学学习的导师。课堂教学情境的创设，应舍弃与数学无关之真，力求凸显数学本质之实。用恰当的方式真实地展现情境是使所创设的教学情境高效发挥作用的基本前提。
2、注重情境的全程性
案例９ （2006年浙江省优质课评比活动——七年级浙教版《7.1分式（二）》）
多媒体播放杭州“世界休闲博览会”宣传短片，让学生欣赏杭州的“自然景色美”，然后让学生齐声朗读“数学因简约、对称、和谐而美”，过渡到数学的简约、对称、和谐美。紧接着出示从校园中拍摄的圆盘照片设计问题：校园里新建的圆盘（如图1）需要油漆，设圆盘的半径为R，这种油漆每千克可漆个面积单位，问漆好这个圆盘大约需要多少油漆？

图1 图2 图3
在得出答案后，让学生根据“简约、对称、和谐”这一“审美”标准来审视该分式的和谐性，从而引出用来“美化”这些分式的必需知识——分式的基本性质，揭示课题。
本节课一开始就设计了一个高层次的情感目标——欣赏数学的美，从而引导学生从数学简约、和谐美的角度审视分式，研究分式。虽然在实际问题中“设油漆每千克漆个面积单位”不实际，纯粹为得到繁分式而设，但与本节课内容比较贴切，反映本节课学习的目标——“美化”分式，让学生带着待解决的问题学习新的知识（“美化”分式的依据——分式的基本性质），使学习更有动力，能激发兴趣和求知欲，老师把数学教学过程组织成为提出问题、学习新知和解决问题的过程。
教师对这节课作了全程性情境设计，并已提高到创设思想情境这一认识高度，引发了观察摩教师的思考——分式课还可以这样上！从“数学美”的欣赏角度来学习分式的基本性质，从“美化”分式的角度来研究分式、化简分式。课一开始就定一基调——“数学因简约、对称、和谐而美”，潜意识中要求学生从“数学美”的角度来审视分式、改造分式，使学习成为学生主动的、自觉的行动。请看老师在分式的基本性质得出后运用分式基本性质的教学过程。
（1）“美化”分式方法之“化整”。
投影仪显示以下两个分式：
。
不给出题目的解答要求，请学生观察分式，根据“审美标准——简约、对称、和谐”，审视分式的欠美之处。在学生觉得分子、分母一些系数出现了分数和小数，缺乏简约、对称的和谐美之后，引导学生寻找“美化”的办法，给出要求“不改变分式的值，把分式的分子、分母中的系数都化为整数。”
（2）“美化”分式方法之“化正”。
投影仪显示以下分式：
。
同样不给出题目的解答要求，请学生根据“审美标准”，审视这两个分式的欠美之处，在学生觉得分子、分母中含有负号，感觉不美时，寻找办法“不改变分式的值，把下列分式中分子、分母的负号去掉”。
在这个问题解决之后又用投影仪显示以下分式（不给出题目的解答要求）。
由学生自己根据“审美标准”，审视出这个分式的欠美之处：分子的多项式没有按x的次数递减排列，分子、分母的最高次项的系数为负。从而得到问题的解答要求“不改变分式的值，把分式的分子与分母中最高次项的系数都化为正数”。
（3）“美化”分式方法之约分。
投影仪显示分式：。
请学生根据“审美标准”，审视这个分式的欠美之处：分子、分母含有“重复”的因式，显得有些“臃肿”。然后引导学生与分数进行类比，得到“美化”的结果。
这一教学过程的设计有其独特的亮点和创新点，教师把思想情境设计贯穿课的始终，设问恰当、引导得当。这样的情境设计使学习成为学生自觉的行动，并且使他们在数学知识的学习过程中提高审美能力，在审美的过程中掌握数学知识、思想和方法。
五　一个好的数学问题，本身就是一个好的数学教学情境
案例１０（200７年浙江省第十届百课万人活动试教课《母子正方形初探》）
我有幸作为上课教师参加了200７年浙江省第十届百课万人活动，这是我正式上课前的一节试教课。如右图，把正方形ABCG绕点C逆时针旋转90°后，点B、C、D在同一直线上，你能求出吗？
我引导学生看了一遍，然后一声不吭的站在一边。
学生开始在草稿纸上探索。
几分钟过后。
“老师，我找到解法了。”一个学生涨红着脸，眼睛放出光芒，兴奋地说。他大步走上讲台，用三角板，“哧”！延长BA，EF交于点H.且听他的方法。
如图１，延长BA， EF 交于点H，则
S△ADF＝S矩形BDEH－S△ABD－S△DEF－S△AFH
“嘿，真有大局观！”我心里暗自叫道。看着同学们充满敬佩的目光，说明大家认同了他的思路。
“我觉得这张图中，用S梯形BDFH － S△ABD－S△AHF也可求得S△ADF。这样做不是更简单吗？”忽然，另一个学生插嘴道。（其实在我的课里，学生们都可以随意一些的）。
大家纷纷点头。
“我有一种解法根本不需要辅助线。”循声望去，是班里的文娱委员。我立刻请她上来。
“刷刷”，刚才第一位同学添的辅助线被她擦得干干净净。
“如图２，S△ADF＝S正方形ABCG+S正方形CDEF+S△AFG－S△ABD－S△DEF
第四位同学“腾”地站起来。“我来，我的方法更简单。”（经过前三位同学的“思维挑衅”，大家开始“头脑发热”。）
“如图３，延长BA，设它与EF延长线交于点H，与DF的延长线交于点I，易证ΔFHI是等腰直角三角形。IH＝HF＝AB＝１，AI=BH=３
∴ S△ADF＝S△AID—S△AIF＝.”
此时时间已经过去半节多课，可这节课还要讲四道题呀，要是任由学生信马由缰，那……但学生们如林的小手，已容不得我再思绪万千了。
“前面4种解法思路差不多，都用了面积割补的知识，不过方法都不同，4位同学的回答都很好。还有其它思路吗？”我问。
“我还有， 如图４，连结AC，由正方形性质得∠ACB=∠FDB=45°，易证四边形ACDF是梯形，它的高为， ∴S△ADF =S梯形ACDF-S△ACD= .”
看来是山穷水尽了，已经够丰富了，数一数，已经有五种解法了。
“哦，我又找到一种解法。”是平时数学成绩很一般的一个女同学。
“其实在图４中，所求△ADF的面积就等于ΔCDF的面积……”
她话音未落。也许是出于兴奋，旁边有人叫道：“它们同底等高。”
六种方法！
……
一个好的数学情境，要融情与境，踏雪无痕。一个好的数学问题，本身就是一个好的数学教学情境。
参考文献：
许芬英．怎样的课堂教学比较理想．《中国数学教育》2007．9
张祥淳．主题式教学情境设计的赏析与思考．《中学数学教学参考》2007．7
裘桢东．让生活走进数学课堂．《中学数学教育》2006．1—2

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