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压轴题型10 圆锥曲线压轴解答题的处理策略
命题预测 解析几何是高考数学的重要考查内容，常作为试卷的拔高与区分度大的试题，其思维要求高，计算量大．令同学们畏惧．通过对近几年高考试题与模拟试题的研究，分析归纳出以下考点： （1）解析几何通性通法研究； （2）圆锥曲线中最值、定点、定值问题； （3）解析几何中的常见模型； 解析几何的核心内容概括为八个字，就是“定义、方程、位置关系”．所有的解析几何试题都是围绕这八个字的内容与三大考向展开．
高频考法 （1）直线交点的轨迹问题 （2）向量搭桥进行翻译 （3）弦长、面积范围与最值问题 （4）斜率之和差商积问题 （5）定点定值问题
01 直线交点的轨迹问题
交轨法解决.
【典例1-1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知双曲线的左 右顶点分别是，直线与交于两点（不与重合），设直线的斜率分别为，且.
(1)判断直线是否过轴上的定点.若过，求出该定点；若不过，请说明理由.
(2)若分别在第一和第四象限内，证明：直线与的交点在定直线上.
【典例1-2】（2024·江苏苏州·模拟预测）已知点，，和动点满足是，的等差中项．
(1)求点的轨迹方程；
(2)设点的轨迹为曲线按向量平移后得到曲线，曲线上不同的两点M，N的连线交轴于点，如果（为坐标原点）为锐角，求实数的取值范围；
(3)在（2）的条件下，如果时，曲线在点和处的切线的交点为，求证：在一条定直线上．
【变式1-1】（2024·高三·全国·专题练习）已知椭圆：（）过点，且离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)记椭圆的上下顶点分别为，过点斜率为的直线与椭圆交于两点，证明：直线与的交点在定直线上，并求出该定直线的方程.
【变式1-2】（2024·全国·模拟预测）已知双曲线C的中心为坐标原点O，C的一个焦点坐标为，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)设C的上、下顶点分别为，，若直线l交C于，，且点N在第一象限，，直线与直线的交点P在直线上，证明：直线MN过定点．
02 向量搭桥进行翻译
将向量转化为韦达定理形式求解.
【典例2-1】（2024·上海普陀·二模）设椭圆，的离心率是短轴长的倍，直线交于、两点，是上异于、的一点，是坐标原点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线过的右焦点，且，，求的值；
(3)设直线的方程为，且，求的取值范围.
【典例2-2】（2024·贵州安顺·一模）已知双曲线的一条渐近线方程为，右焦点到渐近线的距离为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点的直线与双曲线交于两点，．求的值．
【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）如图，已知抛物线，其焦点为，其准线与轴交于点，以为直径的圆交抛物线于点，连接并延长交抛物线于点，且．
(1)求的方程．
(2)过点作轴的垂线与抛物线在第一象限交于点，若抛物线上存在点，，使得．求证：直线过定点．
【变式2-2】（2024·山东聊城·二模）已知椭圆的短轴长为2，离心率为.
(1)求的方程；
(2)直线与交于两点，与轴交于点，与轴交于点，且.
（ⅰ）当时，求的值；
（ⅱ）当时，求点到的距离的最大值.
03 弦长、面积范围与最值问题
1、建立目标函数，使用函数的最值或取值范围求参数范围． 2、建立目标函数，使用基本不等式求最值．
【典例3-1】（2024·浙江台州·二模）已知椭圆：，直线：交椭圆于M，N两点，T为椭圆的右顶点，的内切圆为圆Q.
(1)求椭圆的焦点坐标；
(2)求圆Q的方程；
(3)设点，过P作圆Q的两条切线分别交椭圆C于点A，B，求的周长.
【典例3-2】（2024·高三·浙江金华·阶段练习）设抛物线，直线是抛物线C的准线，且与x轴交于点B，过点B的直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，是不在直线l上的一点，直线，分别与准线交于P，Q两点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)证明：：
(3)记，的面积分别为，，若，求直线l的方程．
【变式3-1】（2024·上海闵行·二模）如图，已知椭圆和抛物线，的焦点是的上顶点，过的直线交于、两点，连接、并延长之，分别交于、两点，连接，设、的面积分别为、．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的取值范围.
【变式3-2】（2024·辽宁·二模）已知点P为双曲线上任意一点，过点的切线交双曲线的渐近线于两点．
(1)证明：恰为的中点；
(2)过点分别作渐近线的平行线，与OA、OB分别交于M、N两点，判断PMON的面积是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由；
04 斜率之和差商积问题
1、已知是椭圆上的定点，直线（不过点）与椭圆交于，两点，且，则直线斜率为定值． 2、已知是双曲线上的定点，直线（不过点）与双曲线交于，两点，且，直线斜率为定值． 3、已知是抛物线上的定点，直线（不过点）与抛物线交于，两点，若，则直线斜率为定值． 4、为椭圆上一定点，过点作斜率为，的两条直线分别与椭圆交于两点． （1）若，则直线过定点； （2）若，则直线过定点． 5、设是直角坐标平面内不同于原点的一定点，过作两条直线，交椭圆于、、、，直线，的斜率分别为，，弦，的中点记为，． （1）若，则直线过定点； （2）若，则直线过定点． 6、过抛物线上任一点引两条弦，，直线，斜率存在，分别记为，即，则直线经过定点．
【典例4-1】（2024·上海徐汇·二模）已知椭圆，分别为椭圆的左、右顶点，分别为左、右焦点，直线交椭圆于两点（不过点）.
(1)若为椭圆上（除外）任意一点，求直线和的斜率之积；
(2)若，求直线的方程；
(3)若直线与直线的斜率分别是，且，求证：直线过定点.
【典例4-2】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的左、右顶点分别为，直线的斜率为，直线与椭圆交于另一点，且点到轴的距离为．
(1)求椭圆的方程．
(2)若点是上与点不重合的任意一点，直线与轴分别交于点．
①设直线的斜率分别为，求的取值范围．
②判断是否为定值．若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由．
【变式4-1】（2024·高三·上海闵行·期中）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若，试问：是否存在直线，使得点M在以为直径的圆上 请说明理由．
(3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值．
【变式4-2】（2024·全国·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，从下面3个条件中选出2个作为已知条件，并回答下面的问题：
①点在双曲线上；②点在双曲线上，，且；③双曲线的一条渐近线与直线垂直.
(1)求双曲线的方程；
(2)设分别为双曲线的左、右顶点，过点的直线与双曲线交于两点，若，求直线的斜率.
05 定点定值问题
1、定值问题 解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下： （1）变量----选择适当的量为变量． （2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数． （3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值． 2、求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值． 3、求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明． 一般解题步骤： ①斜截式设直线方程：，此时引入了两个参数，需要消掉一个． ②找关系：找到和的关系：，等式带入消参，消掉． ③参数无关找定点：找到和没有关系的点．
【典例5-1】（2024·全国·模拟预测）已知离心率为的椭圆的左、右顶点分别为，点为椭圆上的动点，且面积的最大值为．直线与椭圆交于两点，点，直线分别交椭圆于两点，过点作直线的垂线，垂足为．
(1)求椭圆的方程．
(2)记直线的斜率为，证明：为定值．
(3)试问：是否存在定点，使为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由．
【典例5-2】（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知双曲线的焦距为，点在上.
(1)求的方程;
(2)直线与的右支交于，两点，点与点关于轴对称，点在轴上的投影为点.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）求证：直线过点.
【变式5-1】（2024·陕西西安·一模）已知椭圆的左，右焦点分别为，，且，与短轴的一个端点构成一个等腰直角三角形，点在椭圆，过点作互相垂直且与轴不重合的两直线，分别交椭圆于，和点，，且点，分别是弦，的中点．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)若，求以为直径的圆的方程；
(3)直线是否过轴上的一个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由．
【变式5-2】（2024·浙江·二模）已知双曲线左右焦点分别为，，点在双曲线上，且点到双曲线两条渐近线的距离乘积为，过分别作两条斜率存在且互相垂直的直线，，已知与双曲线左支交于，两点，与左右两支分别交于，两点.
(1)求双曲线的方程；
(2)若线段，的中点分别为，，求证：直线恒过定点，并求出该定点坐标.
1．已知椭圆：的上顶点为，离心率，过点的直线与椭圆交于，两点，直线、分别与轴交于点、.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知命题“对任意直线，线段的中点为定点”为真命题，求的重心坐标；
(3)是否存在直线，使得？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由.（其中、分别表示、的面积）
2．如图，已知是中心在坐标原点、焦点在轴上的椭圆，是以的焦点为顶点的等轴双曲线，点是与的一个交点，动点在的右支上且异于顶点.
(1)求与的方程；
(2)若直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，求点的坐标；
(3)设直线的斜率分别为，直线与相交于点，直线与相交于点，，，求证：且存在常数使得.
3．如图所示，在圆锥内放入两个球，它们都与圆锥的侧面相切（即与圆锥的每条母线相切），且这两个球都与平面α相切，切点分别为 ，数学家丹德林利用这个模型证明了平面α与圆锥侧面的交线为椭圆，记为Γ，为椭圆Γ的两个焦点.设直线分别与该圆锥的母线交于A，B两点，过点A的母线分别与球相切于 C，D 两点，已知以直线为x轴，在平面α内，以线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系.
(1)求椭圆Γ的标准方程.
(2)点 T在直线上，过点T作椭圆Γ的两条切线，切点分别为M，N，A，B分别是椭圆Γ的左、右顶点，连接，设直线与交于点P.证明:点 P 在直线上.
4．已知椭圆，为的上顶点，是上不同于点的两点．
(1)求椭圆的离心率；
(2)若是椭圆的右焦点，是椭圆下顶点，是直线上一点.若有一个内角为，求点的坐标；
(3)作，垂足为．若直线与直线的斜率之和为，是否存在轴上的点，使得为定值？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
5．已知曲线与曲线关于直线对称．
(1)求曲线的方程．
(2)若过原点的两条直线分别交曲线于点，，，，且（为坐标原点），则四边形的面积是否为定值？若为定值，求四边形的面积；若不为定值，请说明理由．
6．已知抛物线：的焦点到准线的距离为2，过点作直线交于M，N两点，点，记直线，的斜率分别为，.
(1)求的方程；
(2)求的值；
(3)设直线交C于另一点Q，求点B到直线距离的最大值.
7．已知椭圆的离心率为分别是G的左、右顶点，F是G的右焦点.
(1)求m的值及点的坐标；
(2)设P是椭圆G上异于顶点的动点，点Q在直线上，且，直线与x轴交于点M.比较与的大小.
8．已知椭圆的离心率为，长轴长为4，是其左、右顶点，是其右焦点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设是椭圆上一点，的角平分线与直线交于点．
①求点的轨迹方程；
②若面积为，求．
9．已知椭圆的离心率为，且过点．
(1)求椭圆的标准方程．
(2)设过点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点．问：在轴上是否存在定点，使直线的斜率与的斜率的积为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由．
10．在平面直角坐标系中，点在双曲线上，渐近线方程为.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点作直线与双曲线交于两点，在轴上是否存在一定点，使得直线与的斜率之和为定值？若存在，请求出点的坐标及定值；若不存在，请说明理由.
11．已知P为椭圆上一点，过原点且斜率存在的直线与椭圆C相交于A，B两点，过原点且斜率存在的直线（与不重合）与椭圆C相交于M，N两点，且点P满足到直线和的距离都等于．
(1)求直线和的斜率之积；
(2)当点P在C上运动时，是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．
12．已知双曲线的渐近线为，左顶点为.
(1)求双曲线的方程；
(2)直线交轴于点，过点的直线交双曲线于，，直线，分别交于，，若，，，均在圆上，
①求的横坐标；
②求圆面积的取值范围.
13．已知动点到点的距离与到直线的距离相等，记动点的轨迹为．
(1)过点且斜率为的直线与交于两点，求的值；
(2)已知是上不同的三点，直线与以坐标原点为圆心的单位圆相切，切点分别为，若直线的倾斜角为，求点的坐标．
14．在平面直角坐标系中，动点在圆上，动点在直线上，过点作垂直于的直线与线段的垂直平分线交于点，且，记的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程.
(2)若直线与曲线交于两点，与曲线交于两点，其中，且同向，直线交于点.
（i）证明：点在一条确定的直线上，并求出该直线的方程；
（ii）当的面积等于时，试把表示成的函数.
15．已知椭圆：的离心率为，A，B分别是E的左、右顶点，P是E上异于A，B的点，的面积的最大值为.
(1)求E的方程；
(2)设O为原点，点N在直线上，N，P分别在x轴的两侧，且与的面积相等.
（i）求证：直线与直线的斜率之积为定值；
（ⅱ）是否存在点P使得，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由.
16．在平面直角坐标系xOy中，过点的直线与抛物线交于M，N两点在第一象限）.
(1)当时，求直线的方程;
(2)若三角形OMN的外接圆与曲线交于点（异于点O，M，N），
（i）证明:△MND的重心的纵坐标为定值，并求出此定值;
（ii）求凸四边形OMDN的面积的取值范围.
17．在平面直角坐标系中，已知曲线的方程为，右顶点为，倾斜角为的直线过点，且与曲线相交于两点.
(1)当时，求三角形的面积；
(2)在轴上是否存在定点，使直线与曲线的左支有两个交点的情况下，总有 如果存在，求出定点;如果不存在，请说明理由.
18．已知椭圆E：过点，且焦距为.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)过点作两条互相垂直的弦AB，CD，设弦AB，CD的中点分别为M，N.
①证明：直线MN必过定点；
②若弦AB，CD的斜率均存在，求面积的最大值.
19．设抛物线的焦点为，已知点到圆上一点的距离的最大值为6.
(1)求抛物线的方程.
(2)设是坐标原点，点是抛物线上异于点的两点，直线与轴分别相交于两点（异于点），且是线段的中点，试判断直线是否经过定点.若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由.
20．曲线的曲率是描述几何弯曲程度的量，曲率越大，曲线的弯曲程度越大．曲线在点M处的曲率（其中表示函数在点M处的导数，表示导函数在点M处的导数）．在曲线上点M处的法线（过该点且垂直于该点处的切线的直线为曲线在此处的法线）指向曲线凹的一侧上取一点D,使得，则称以D为圆心，以为半径的圆为曲线在M处的曲率圆，因为此曲率圆与曲线弧度密切程度非常好，且再没有圆能介于此圆与曲线之间而与曲线相切，所以又称此圆为曲线在此处的密切圆．

(1)求出曲线在点处的曲率，并在曲线的图象上找一个点E，使曲线在点E处的曲率与曲线在点处的曲率相同；
(2)若要在曲线上支凹侧放置圆使其能在处与曲线相切且半径最大，求圆的方程；
(3)在（2）的条件下，在圆上任取一点P，曲线上任取关于原点对称的两点A，B，求的最大值．
21．已知椭圆的离心率为，点在上．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于P，Q两点，过点作垂直于轴的直线与直线AQ相交于点，证明：线段PM的中点在定直线上．
22．已知椭圆的离心率为，设的右焦点为，左顶点为，过的直线与于两点，当直线垂直于轴时，的面积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)连接和分别交圆于两点．
（ⅰ）当直线斜率存在时，设直线的斜率为，直线的斜率为，求；
（ⅱ）设的面积为的面积为，求的最大值．
23．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，直线与的左、右两支分别交于，两点，四边形为矩形，且面积为．
(1)求四边形的外接圆方程；
(2)设，为的左、右顶点，直线过点与交于，两点（异于，），直线与交于点，证明：点在定直线上．
24．已知O为坐标原点，点P到定点的距离和它到定直线的距离之比为，点P的轨迹为曲线．
(1)求的轨迹方程；
(2)过点作斜率分别为的直线，其中交于点C，D两点，交于点E，F两点，且M，N分别为的中点，直线与直线l交于点Q，若的斜率为，证明为定值，并求出该定值．
25．已知抛物线的焦点到轴的距离为1．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过焦点的直线交抛物线于两点，为抛物线上的点，且，求的面积．压轴题型10 圆锥曲线压轴解答题的处理策略
命题预测 解析几何是高考数学的重要考查内容，常作为试卷的拔高与区分度大的试题，其思维要求高，计算量大．令同学们畏惧．通过对近几年高考试题与模拟试题的研究，分析归纳出以下考点： （1）解析几何通性通法研究； （2）圆锥曲线中最值、定点、定值问题； （3）解析几何中的常见模型； 解析几何的核心内容概括为八个字，就是“定义、方程、位置关系”．所有的解析几何试题都是围绕这八个字的内容与三大考向展开．
高频考法 （1）直线交点的轨迹问题 （2）向量搭桥进行翻译 （3）弦长、面积范围与最值问题 （4）斜率之和差商积问题 （5）定点定值问题
01 直线交点的轨迹问题
交轨法解决.
【典例1-1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知双曲线的左 右顶点分别是，直线与交于两点（不与重合），设直线的斜率分别为，且.
(1)判断直线是否过轴上的定点.若过，求出该定点；若不过，请说明理由.
(2)若分别在第一和第四象限内，证明：直线与的交点在定直线上.
【解析】（1）由题意可知，设直线的方程为.
由消去，可得，
则，，即，
.
因为
，
所以，
故直线的方程为，恒过点.
（2）由题可知，直线的方程为，直线的方程为，
因为
所以，故点在定直线上.
【典例1-2】（2024·江苏苏州·模拟预测）已知点，，和动点满足是，的等差中项．
(1)求点的轨迹方程；
(2)设点的轨迹为曲线按向量平移后得到曲线，曲线上不同的两点M，N的连线交轴于点，如果（为坐标原点）为锐角，求实数的取值范围；
(3)在（2）的条件下，如果时，曲线在点和处的切线的交点为，求证：在一条定直线上．
【解析】（1）由题意可得，，，
则，
，
又是，的等差中项，
，
整理得点的轨迹方程为．
（2）
由（1）知，
又，平移公式为即，
代入曲线的方程得到曲线的方程为：，
即．
曲线的方程为．
如图由题意可设M，N所在的直线方程为，
由消去得，
令，，则，
，，
又为锐角，，即，
，又，
，得或．
（3）当时，由（2）可得，对求导可得，
抛物线在点，
，处的切线的斜率分别为，
，
在点M，N处的切线方程分别为，，
由，解得交点的坐标．
满足即，点在定直线上．
【变式1-1】（2024·高三·全国·专题练习）已知椭圆：（）过点，且离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)记椭圆的上下顶点分别为，过点斜率为的直线与椭圆交于两点，证明：直线与的交点在定直线上，并求出该定直线的方程.
【解析】（1）由椭圆过点，且离心率为，所以，
解得，
故所求的椭圆方程为．
（2）由题意得，，
直线的方程，设，
联立，整理得，
由，即，
所以，.
由求根公式可知，不妨设，，
直线的方程为，直线的方程为，
联立，得，
代入，得，
解得，即直线与的交点在定直线上.
【变式1-2】（2024·全国·模拟预测）已知双曲线C的中心为坐标原点O，C的一个焦点坐标为，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)设C的上、下顶点分别为，，若直线l交C于，，且点N在第一象限，，直线与直线的交点P在直线上，证明：直线MN过定点．
【解析】（1）由题意得，，则，所以，
故C的方程为；
（2）证明：由已知条件得直线MN的斜率存在，设直线MN：，
联立，消去y整理得，，
由题设条件得，，
则，．
由（1）得，，
则直线：，直线：，
两式相除得．
因为直线与直线的交点P在直线上，所以．
因为，所以，即，
所以．
又，
，
所以，解得，
所以直线MN过定点．
02 向量搭桥进行翻译
将向量转化为韦达定理形式求解.
【典例2-1】（2024·上海普陀·二模）设椭圆，的离心率是短轴长的倍，直线交于、两点，是上异于、的一点，是坐标原点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线过的右焦点，且，，求的值；
(3)设直线的方程为，且，求的取值范围.
【解析】（1）由的离心率是短轴的长的倍，得
，即，
又，则，
故椭圆的方程为.
（2）设的左焦点为，连接，
因为，所以点、关于点对称，
又，则，
由椭圆的对称性可得，
，且三角形与三角形全等，
则，
又，化简整理得，
，则.
（3）设，，，
又 ，则，，
由得，，
，
由韦达定理得，，，
又，
则，，
因为点在椭圆上，所以，
化简整理得，，
此时，，
则
，
令，即，
则，
则的取值范围是.
【典例2-2】（2024·贵州安顺·一模）已知双曲线的一条渐近线方程为，右焦点到渐近线的距离为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点的直线与双曲线交于两点，．求的值．
【解析】（1）由双曲线的渐近线方程为，可得，
又由焦点到渐近线的距离为，可得，可得，
又因为，可得，所以双曲线的方程为.
（2）由（1）知，可得，
当直线的斜率不存在时，即，将代入，可得或，
不妨设，
又由，可得，
所以；
当直线的斜率存在时，即，
联立方程组，整理得，
设，则，
且，
则，
且，
则
，
综上可得：.
【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）如图，已知抛物线，其焦点为，其准线与轴交于点，以为直径的圆交抛物线于点，连接并延长交抛物线于点，且．
(1)求的方程．
(2)过点作轴的垂线与抛物线在第一象限交于点，若抛物线上存在点，，使得．求证：直线过定点．
【解析】（1）根据抛物线的性质可知．
设直线的倾斜角为，则在中，．
由抛物线的定义知，，
所以，，所以．
所以．
由，
得，解得．
所以的方程为．
（2）由（1）知．设直线的方程为，，．
联立抛物线方程，得代入并整理，得．
则，，且．
由，得，
则，
得，
所以．整理得．
当，即时，直线的方程为，则直线恒过定点，不符合题意．
当，即时，直线的方程为，则直线恒过定点．
【变式2-2】（2024·山东聊城·二模）已知椭圆的短轴长为2，离心率为.
(1)求的方程；
(2)直线与交于两点，与轴交于点，与轴交于点，且.
（ⅰ）当时，求的值；
（ⅱ）当时，求点到的距离的最大值.
【解析】（1）由题意得，解得，
所以的方程为．
（2）（ⅰ）由题意得，
由，得，即，
由，得，即，
将的坐标分别代入的方程，得和，
解得，又，所以.
（ⅱ）由消去，得，
其中，
设，则，
由，
得，
所以，
由，得，
即，
所以，
因此，又，所以.
所以的方程为，即过定点，
所以点到的最大距离为点与点的距离，
即点到的距离的最大值为2.
03 弦长、面积范围与最值问题
1、建立目标函数，使用函数的最值或取值范围求参数范围． 2、建立目标函数，使用基本不等式求最值．
【典例3-1】（2024·浙江台州·二模）已知椭圆：，直线：交椭圆于M，N两点，T为椭圆的右顶点，的内切圆为圆Q.
(1)求椭圆的焦点坐标；
(2)求圆Q的方程；
(3)设点，过P作圆Q的两条切线分别交椭圆C于点A，B，求的周长.
【解析】（1）椭圆的标准方程为，因为，所以焦点坐标为.
（2）将代入椭圆方程得，由对称性不妨设，，
直线的方程为，即，
设圆Q方程为，由于内切圆Q在的内部，所以，
则Q到直线和直线的距离相等，即，解得，，
所以圆方程为.
（3）显然直线和直线的斜率均存在，
设过P作圆Q的切线方程为，
其中k有两个不同的取值和分别为直线和的斜率.
由圆Q与直线相切得：，化简得：，
则，
由得，
可得，
所以
.
同理，，所以直线的方程为，
所以与圆Q相切，将代入得，
所以，又点P到直线的距离为，
设的周长为，则的面积，
解得.所以的周长为.
【典例3-2】（2024·高三·浙江金华·阶段练习）设抛物线，直线是抛物线C的准线，且与x轴交于点B，过点B的直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，是不在直线l上的一点，直线，分别与准线交于P，Q两点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)证明：：
(3)记，的面积分别为，，若，求直线l的方程．
【解析】（1）因为为抛物线的准线，
所以，即，
故抛物线C的方程为
（2）如图，
设l：，，
联立，消去x得，
则，且，
又AM：，令得，
同理可得，
所以
，
，
故.
（3）由（2）可得：，
，
由，得：，解得，
所以直线l的方程为．
【变式3-1】（2024·上海闵行·二模）如图，已知椭圆和抛物线，的焦点是的上顶点，过的直线交于、两点，连接、并延长之，分别交于、两点，连接，设、的面积分别为、．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的取值范围.
【解析】（1）椭圆的上顶点坐标为，
则抛物线的焦点为，故.
（2）若直线与轴重合，则该直线与抛物线只有一个公共点，不符合题意，
所以直线的斜率存在，设直线的方程为，点、，
联立可得，恒成立，则，
.
（3）设直线、的斜率分别为、，其中，，
联立可得，解得，
点在第三象限，则，
点在第四象限，同理可得，
且

，
当且仅当时，等号成立.
的取值范围为.
【变式3-2】（2024·辽宁·二模）已知点P为双曲线上任意一点，过点的切线交双曲线的渐近线于两点．
(1)证明：恰为的中点；
(2)过点分别作渐近线的平行线，与OA、OB分别交于M、N两点，判断PMON的面积是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由；
【解析】（1）由切线不可能平行于轴，即切线的斜率不可能为0，
设切线方程为，
联立方程组，整理得，
所以，可得，即，
所以，即，所以，则，
所以点，
又由双曲线的渐近线方程为，
联立方程组，可得，即，
联立方程组，可得，即，
所以
，所以的中点坐标为
又因为，所以，所以点与的中点重合.
（2）由，，
可得，，
所以，即，
又由，可得，
所以，
所以，
因为为的中点，所以，
所以四边形的面积为定值.
04 斜率之和差商积问题
1、已知是椭圆上的定点，直线（不过点）与椭圆交于，两点，且，则直线斜率为定值． 2、已知是双曲线上的定点，直线（不过点）与双曲线交于，两点，且，直线斜率为定值． 3、已知是抛物线上的定点，直线（不过点）与抛物线交于，两点，若，则直线斜率为定值． 4、为椭圆上一定点，过点作斜率为，的两条直线分别与椭圆交于两点． （1）若，则直线过定点； （2）若，则直线过定点． 5、设是直角坐标平面内不同于原点的一定点，过作两条直线，交椭圆于、、、，直线，的斜率分别为，，弦，的中点记为，． （1）若，则直线过定点； （2）若，则直线过定点． 6、过抛物线上任一点引两条弦，，直线，斜率存在，分别记为，即，则直线经过定点．
【典例4-1】（2024·上海徐汇·二模）已知椭圆，分别为椭圆的左、右顶点，分别为左、右焦点，直线交椭圆于两点（不过点）.
(1)若为椭圆上（除外）任意一点，求直线和的斜率之积；
(2)若，求直线的方程；
(3)若直线与直线的斜率分别是，且，求证：直线过定点.
【解析】（1）在椭圆 中，左、右顶点分别为，
设点，则 .
（2）设，由已知可得，，
由得，化简得
代入可得，
联立解得
由得直线过点，，
所以，所求直线方程为.
（3）设，易知直线的斜率不为，设其方程为（），
联立，可得，
由，得.
由韦达定理，得.，.
可化为，
整理即得，
，由，
进一步得，化简可得，解得，
直线的方程为，恒过定点.
【典例4-2】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的左、右顶点分别为，直线的斜率为，直线与椭圆交于另一点，且点到轴的距离为．
(1)求椭圆的方程．
(2)若点是上与点不重合的任意一点，直线与轴分别交于点．
①设直线的斜率分别为，求的取值范围．
②判断是否为定值．若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由．
【解析】（1）由题意知，．
由直线的斜率为，得，
所以．
直线的方程为．
设，则．
由点到轴的距离为，得．
由点在直线上，得，所以．
由点在椭圆上，得，解得．
所以．
所以椭圆的方程为．
（2）
①设（或）．
由（1）知，，
则，
所以．
由或，
得或，
所以或．
故的取值范围是．
②由①知，即．
设．
因为三点共线，
所以，得．
因为三点共线，所以，
得．
所以．
故为定值16．
【变式4-1】（2024·高三·上海闵行·期中）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若，试问：是否存在直线，使得点M在以为直径的圆上 请说明理由．
(3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值．
【解析】（1）由双曲线的离心率为，且在双曲线上，
可得，解得，∴双曲线的方程为．
（2）双曲线的左焦点为，
当直线的斜率为0时，此时直线为，与双曲线左支只有一个交点，舍去；
当直线的斜率不为0时，设，
联立方程组，消得，易得，
设，则，可得，
∵，
则
，
即，可得与不垂直，
∴不存在直线，使得点在以为直径的圆上．
（3）由直线，得，
∴，又，
∴
，
∵，∴，且，
∴，即为定值．
【变式4-2】（2024·全国·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，从下面3个条件中选出2个作为已知条件，并回答下面的问题：
①点在双曲线上；②点在双曲线上，，且；③双曲线的一条渐近线与直线垂直.
(1)求双曲线的方程；
(2)设分别为双曲线的左、右顶点，过点的直线与双曲线交于两点，若，求直线的斜率.
【解析】（1）选①②，
因为点在双曲线上，所以，
由题意可设，
因为点在双曲线上，所以，所以，
又，所以，
联立，所以（负值舍去），
故双曲线的方程为；
选①③，
由①，得，由③，得，
联立，解得（负值舍去），
故双曲线的方程为，
选②③，
由题意可设，
因为点在双曲线上，所以，所以，
又，所以，
又由③，得，
联立，解得（负值舍去），
故双曲线的方程为.
（2）依题意可知，
易知直线的斜率存在，设直线的方程为，，
联立，消去并整理，得，
由，且，得且，
所以，
又，即，则，
所以
，
整理得，解得或（舍去），
故直线的斜率为.
05 定点定值问题
1、定值问题 解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下： （1）变量----选择适当的量为变量． （2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数． （3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值． 2、求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值． 3、求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明． 一般解题步骤： ①斜截式设直线方程：，此时引入了两个参数，需要消掉一个． ②找关系：找到和的关系：，等式带入消参，消掉． ③参数无关找定点：找到和没有关系的点．
【典例5-1】（2024·全国·模拟预测）已知离心率为的椭圆的左、右顶点分别为，点为椭圆上的动点，且面积的最大值为．直线与椭圆交于两点，点，直线分别交椭圆于两点，过点作直线的垂线，垂足为．
(1)求椭圆的方程．
(2)记直线的斜率为，证明：为定值．
(3)试问：是否存在定点，使为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由．
【解析】（1）由题意，得解得所以椭圆的方程为．
（2）
证明：设．
又，所以可设直线的方程为．
联立椭圆方程与直线的方程，得
消去，得．
又，所以，可得．
由根与系数的关系，得，则，
所以，同理，得．
从而直线的斜率．
又，
所以，即，为定值．
（3）由（2）可得直线的方程为．
由椭圆的对称性可知，若直线恒过定点，则此定点必在轴上，
所以令，得．
故直线恒过定点，且点的坐标为．
因为，垂足为，且，所以点在以为直径的圆上运动．
故存在点，使．
【典例5-2】（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知双曲线的焦距为，点在上.
(1)求的方程;
(2)直线与的右支交于，两点，点与点关于轴对称，点在轴上的投影为点.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）求证：直线过点.
【解析】（1）由已知得，解得，
所以的方程为.
（2）（i）设，，则，
联立，
消去得，
则，，
解得，且.
又与的右支交于，两点，的渐近线方程为，
则，即，
所以|的取值范围为.
（ii）由（i）得，，
又点在轴上的投影为，所以，，
所以，
，
所以，
又，有公共点，所以，，三点共线，所以直线过点.
【变式5-1】（2024·陕西西安·一模）已知椭圆的左，右焦点分别为，，且，与短轴的一个端点构成一个等腰直角三角形，点在椭圆，过点作互相垂直且与轴不重合的两直线，分别交椭圆于，和点，，且点，分别是弦，的中点．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)若，求以为直径的圆的方程；
(3)直线是否过轴上的一个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由．
【解析】（1）因为椭圆经过点，
且，与短轴的一个端点构成一个等腰直角三角形，
可得，则，所以，解得，
所以椭圆的标准分别为.
（2）由（1）得，所以直线的方程为，
联立方程组，解得或，所以，
则CD的中点为且，故以为直径的圆的方程为.
（3）设直线的方程为，且，则直线的方程为，
联立方程组，整理得，
设，则且，
所以，
由中点坐标公式得，
将的坐标中的用代换，可得的中点为，
所以，所以直线的方程为，
即，则直线过定点.
【变式5-2】（2024·浙江·二模）已知双曲线左右焦点分别为，，点在双曲线上，且点到双曲线两条渐近线的距离乘积为，过分别作两条斜率存在且互相垂直的直线，，已知与双曲线左支交于，两点，与左右两支分别交于，两点.
(1)求双曲线的方程；
(2)若线段，的中点分别为，，求证：直线恒过定点，并求出该定点坐标.
【解析】（1）设双曲线的两渐近线方程分别为，，
点到双曲线两渐近线的距离乘积为，
由题意可得：，解得，，
所以双曲线的方程为.
（2）设直线的方程为，
由，互相垂直得的方程，
联立方程得，消得，
成立，所以，，
所以点坐标为，
联立方程得，所以，，
所以点坐标为，
根据对称性判断知定点在轴上，
直线的方程为，
则当时，，
所以直线恒过定点，定点坐标为.
1．已知椭圆：的上顶点为，离心率，过点的直线与椭圆交于，两点，直线、分别与轴交于点、.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知命题“对任意直线，线段的中点为定点”为真命题，求的重心坐标；
(3)是否存在直线，使得？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由.（其中、分别表示、的面积）
【解析】（1）依题意，，又，
解得，所以椭圆的方程为；
（2）因为命题“对任意直线，线段的中点为定点”为真命题，
可以取直线为，由，解得或，
所以，，
则，所以，，所以，
设的重心为，则，，
所以，即的重心坐标为.
（3）依题意可得直线的斜率存在、不为且斜率为负数，
设直线，，，
则直线：，令，得，同理可得：；
所以
设直线与轴交于点，则，所以，，，
因为，故得①，
由，
则，，
代入①得，解得，
所以，故直线的方程为.
2．如图，已知是中心在坐标原点、焦点在轴上的椭圆，是以的焦点为顶点的等轴双曲线，点是与的一个交点，动点在的右支上且异于顶点.
(1)求与的方程；
(2)若直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，求点的坐标；
(3)设直线的斜率分别为，直线与相交于点，直线与相交于点，，，求证：且存在常数使得.
【解析】（1）设的方程分别为与，
由，得，故的坐标分别为，
所以故，
故与的方程分别为与.
（2）当点在第四象限时，直线的倾斜角都为钝角，不适合题意；
当在第一象限时，由直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，
可知，故，
设点坐标为，可知且，
解得，故点的坐标为，
（3）设直线的斜率分别为，点P，A，B的坐标分别为，
则，
的方程为，
代入可得，
故，
所以，
同理可得，又，故，
故，
即，所以存在，使得.
3．如图所示，在圆锥内放入两个球，它们都与圆锥的侧面相切（即与圆锥的每条母线相切），且这两个球都与平面α相切，切点分别为 ，数学家丹德林利用这个模型证明了平面α与圆锥侧面的交线为椭圆，记为Γ，为椭圆Γ的两个焦点.设直线分别与该圆锥的母线交于A，B两点，过点A的母线分别与球相切于 C，D 两点，已知以直线为x轴，在平面α内，以线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系.
(1)求椭圆Γ的标准方程.
(2)点 T在直线上，过点T作椭圆Γ的两条切线，切点分别为M，N，A，B分别是椭圆Γ的左、右顶点，连接，设直线与交于点P.证明:点 P 在直线上.
【解析】（1）设椭圆Γ的标准方程为 ，
由切线长定理知，
则，解得.
由，解得 .
所以椭圆Γ的标准方程为
（2）
设,
已知，设，
联立方程组 ，
消去 y得 ，
显然，
由，可得 ，，
所以，
联立方程组，
消去 y得 ，
显然，
由，可得 ，，
同理
因为 M，N是切点，且，所以直线的方程为 ，即，
显然直线MN过定点，即M，D，N三点共线，则 ，
解得或（舍去），
联立方程组，解得 ，
即点 P 在直线上.
4．已知椭圆，为的上顶点，是上不同于点的两点．
(1)求椭圆的离心率；
(2)若是椭圆的右焦点，是椭圆下顶点，是直线上一点.若有一个内角为，求点的坐标；
(3)作，垂足为．若直线与直线的斜率之和为，是否存在轴上的点，使得为定值？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由题意，，所以离心率
（2）由题意，，，，所以直线的方程为：，
设，显然有或两种情况，
①当时，直线的倾斜角为，其与轴的交点为，则，
因为，
由，得：，解得（舍去）或，
所以，点的坐标是
②当时，此时， 则，
因为，
由，得：，
解得（舍去）或
综上所述，点的坐标是或
（3）假设存在定点满足题意，
当的斜率存在时，设直线的方程为，，
由得，
由题意，，即①．
，
，
所以，代入①，得：，
所以或，即存在直线使得直线与直线的斜率之和为2
直线的方程为，直线的方程为
由，得：，即
所以
所以当时，为定值，.
当直线斜率不存在时，设，，
则，，此时，满足题意．
所以存在定点，使得为定值且定值为．
5．已知曲线与曲线关于直线对称．
(1)求曲线的方程．
(2)若过原点的两条直线分别交曲线于点，，，，且（为坐标原点），则四边形的面积是否为定值？若为定值，求四边形的面积；若不为定值，请说明理由．
【解析】（1）设点为曲线上任一点，则点关于直线的对称点在曲线上．
根据对称性，得解得
将代入曲线并整理，得．故曲线的方程为．
（2）四边形的面积为定值．理由如下：
当直线的斜率不存在时，直线轴，则．
因为，所以不妨设，则，
此时取，，
根据对称性可知四边形为平行四边形，
则四边形的面积，为定值．
当直线的斜率存在时，设，且，．
联立得．
由，得，则
，，
则
．
因为，即，即，
所以
．
因为原点到直线的距离，
由于四边形为平行四边形，
所以四边形的面积．
综上，四边形的面积为定值．
6．已知抛物线：的焦点到准线的距离为2，过点作直线交于M，N两点，点，记直线，的斜率分别为，.
(1)求的方程；
(2)求的值；
(3)设直线交C于另一点Q，求点B到直线距离的最大值.
【解析】（1）因为焦点到准线的距离为2，所以，
所以抛物线的方程为.
（2）
如图，设，，直线的方程为，
由得，所以（*）
由
，将（*）代入整理得：
.
又
，将（*）代入整理得：
所以，.
（3）设，，，
则直线的斜率，
所以直线的方程为，
即.
同理，直线方程为，
直线方程为.
因为直线经过，所以，
解得，
因为直线经过，所以，
解得，
所以，整理得.
又因为直线的方程为，
所以直线经过定点，
所以，当时，点到直线距离取得最大值为.
7．已知椭圆的离心率为分别是G的左、右顶点，F是G的右焦点.
(1)求m的值及点的坐标；
(2)设P是椭圆G上异于顶点的动点，点Q在直线上，且，直线与x轴交于点M.比较与的大小.
【解析】（1）由，即，
由题意可得，故，解得，
故，则，故；
（2）设，，，有，
由，则有，即，
由，故有，
即有
，
由可得、，
则，
，
则，
由，故，
即.
8．已知椭圆的离心率为，长轴长为4，是其左、右顶点，是其右焦点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设是椭圆上一点，的角平分线与直线交于点．
①求点的轨迹方程；
②若面积为，求．
【解析】（1）由题意知，，解得，
所以椭圆的标准方程为；
（2）①：由（1）知，，设，则，
易知当时，，，此时，
由，解得，即；
当时，，，设直线的斜率为，
则，
所以直线方程为，又直线方程为，
由，得，即，
解得，
将代入直线方程，得，即，
又，所以，
故点的轨迹方程为；
②：由，得，
又，所以，得，
整理得，又，所以，
整理得，即，
由，解得.
9．已知椭圆的离心率为，且过点．
(1)求椭圆的标准方程．
(2)设过点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点．问：在轴上是否存在定点，使直线的斜率与的斜率的积为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）因为椭圆的离心率为，所以，即，
所以，所以椭圆的方程为，
因为椭圆过点，所以，解得，
故，，
所以椭圆的标准方程为；
（2）假设存在定点．设，，
易知直线的斜率显然存在，且不为0，设其方程为，
联立椭圆方程与直线方程，得，消去并整理，
得，
所以，，
由，解得，且，
所以
，
则当时，为定值，此时．
所以存在定点，使直线的斜率与的斜率的积为定值．
10．在平面直角坐标系中，点在双曲线上，渐近线方程为.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点作直线与双曲线交于两点，在轴上是否存在一定点，使得直线与的斜率之和为定值？若存在，请求出点的坐标及定值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由题意，得，解得，
双曲线的方程为；
（2）由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，
将点的坐标代入，得，设，
联立直线与双曲线的方程，得方程组，
消去并整理，得，
，且，
即，即，
则，
，
若存在定点，设，
则
，
要使为定值，只需上式中对应分子、分母对应项系数成比例，且分母中的系数为0，
即，解得，
此时分子、分母中的系数也为，
在轴上存在定点，使得为定值.
11．已知P为椭圆上一点，过原点且斜率存在的直线与椭圆C相交于A，B两点，过原点且斜率存在的直线（与不重合）与椭圆C相交于M，N两点，且点P满足到直线和的距离都等于．
(1)求直线和的斜率之积；
(2)当点P在C上运动时，是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．
【解析】（1）设直线的方程为，直线的方程为，，
则根据点到直线的距离公式可得，
化简得，
同理可得，
所以，是一元二次方程的两实数根，，
则有．
又因为点在C上，所以，即，
所以（定值）．
（2）是定值，且定值为12．
理由如下：
设，，
联立方程组，解得，
所以，
同理可得．
由椭圆的对称性知，，
所以．
由（1）知，
所以
（定值）．
12．已知双曲线的渐近线为，左顶点为.
(1)求双曲线的方程；
(2)直线交轴于点，过点的直线交双曲线于，，直线，分别交于，，若，，，均在圆上，
①求的横坐标；
②求圆面积的取值范围.
【解析】（1）因为双曲线的渐近线关于坐标轴及原点对称，又顶点在轴上，
可设双曲线的方程为（，），
从而渐近线方程为：，由题条件知：.
因为双曲线的左顶点为，
所以，，
所以双曲线的方程为：.
（2）如图，
①，设直线的方程为：，
将代入方程：，得，
当且时，
设，，则，.
设直线的倾斜角为，不妨设，则，
由于，，，四点共圆知：，
所以直线的倾斜角为，.
直线的方程为：，
令，则，从而，
所以，又，
得：，
又，代入上式得：
，
，
，
化简得：，解得：（舍）或.
故点的坐标为.
②直线的方程为，由①知：，
所以.
直线方程；，所以，
若，在轴上方时，在的上方，即时，；
若，在轴下方时，即时，，
所以或.
又直线与渐近线不平行，所以.
所以，或且.
因为，
设圆的半径为，面积为，则，
所以
，
当且仅当即时，上述不等式取等号，
或且.
所以且，从而且.
13．已知动点到点的距离与到直线的距离相等，记动点的轨迹为．
(1)过点且斜率为的直线与交于两点，求的值；
(2)已知是上不同的三点，直线与以坐标原点为圆心的单位圆相切，切点分别为，若直线的倾斜角为，求点的坐标．
【解析】（1）因为动点到点的距离与到直线的距离相等，
所以有，两边同时平方，化简得，
因为直线过点且斜率为，
所以直线的方程为，代入中，化简，得
，解得，或，
不妨令，
于是；
（2）设，
因为直线的倾斜角为，
所以直线的方程可设为：，代入中，
得，则有，
直线的斜率为，
因此直线的方程为：，
同理直线的方程为：，
因为直线与以坐标原点为圆心的单位圆相切，
所以，
由，
，
所以是方程的两个根，
因此，
所以有，而，
即，或
因此点的坐标为，或.
14．在平面直角坐标系中，动点在圆上，动点在直线上，过点作垂直于的直线与线段的垂直平分线交于点，且，记的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程.
(2)若直线与曲线交于两点，与曲线交于两点，其中，且同向，直线交于点.
（i）证明：点在一条确定的直线上，并求出该直线的方程；
（ii）当的面积等于时，试把表示成的函数.
【解析】（1）由题意得，，
设，则，化简整理得，
所以动点的轨迹的方程为；
（2）（i）设，
联立，整理得，
则，得，
且，同理，
设的中点分别为，则，
由题意可知存在实数，使，
所以三点共线，即点在定直线上；
（ii）由（i）得，
，
同理，设的底边上的高为，梯形的高为，
则由相似比得，
解得
，
所以的面积
，
又，所以
，
整理得，所以，
即.
15．已知椭圆：的离心率为，A，B分别是E的左、右顶点，P是E上异于A，B的点，的面积的最大值为.
(1)求E的方程；
(2)设O为原点，点N在直线上，N，P分别在x轴的两侧，且与的面积相等.
（i）求证：直线与直线的斜率之积为定值；
（ⅱ）是否存在点P使得，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由.
【解析】（1）当点是短轴端点时，的面积最大，面积的最大值为，
则，得，，
所以椭圆的方程为；
（2）（ⅰ）设， ，
，，
由题意可知，，，即，
所以；
（ⅱ）假设存在点，使得，
因为，，，
所以，，，
则，
由（ⅰ）可知，，又，所以三点共线，
如图，
则，所以，
则点与点重合，这与已知矛盾，
所以不存在点，使.
16．在平面直角坐标系xOy中，过点的直线与抛物线交于M，N两点在第一象限）.
(1)当时，求直线的方程;
(2)若三角形OMN的外接圆与曲线交于点（异于点O，M，N），
（i）证明:△MND的重心的纵坐标为定值，并求出此定值;
（ii）求凸四边形OMDN的面积的取值范围.
【解析】（1）解:设直线
联立，消去，得，
所以，
，则
，则，又由题意，
直线的方程是;
（2）（1）方法1:设
因为O，M，D，N四点共圆，设该圆的方程为，
联立，消去，得，
即，
所以即为关于的方程的3个根，
则，
因为，
由的系数对应相等得，，所以的重心的纵坐标为0.
方法2:设，则，
因为O，M，D，N四点共圆，所以当M，D在直线异侧时，，
即，
化简可得:；
当M，D在直线同侧时，，
即，
化简可得:；
综上可得的重心的纵坐标为0.
（2）记的面积分别为，由已知得直线MN的斜率不为0，设直线，联立，消去，得，所以，
所以，
由（1）得，，
所以，即，
因为，
点到直线MN的距离，
所以，
所以
在第一象限，即，
依次连接O，M，D，N构成凸四边形OMDN，所以，即，
又因为，即，即，
所以，即，即，
所以，
设，则，
令，则，
因为，所以，所以在区间上单调递增，所以，
所以的取值范围为.
17．在平面直角坐标系中，已知曲线的方程为，右顶点为，倾斜角为的直线过点，且与曲线相交于两点.
(1)当时，求三角形的面积；
(2)在轴上是否存在定点，使直线与曲线的左支有两个交点的情况下，总有 如果存在，求出定点;如果不存在，请说明理由.
【解析】（1）由题意可知，曲线为焦点在轴的双曲线，
当直线的倾斜角时，，
设，，其中，
联立解得，所以，，
又因为，所以，，.
（2）当直线斜率不存在时，由双曲线的对称性可知轴上的任意点满足，
当直线斜率存在时，设，
联立 得，
因为直线与曲线的左支有两个交点，
所以，解得或，
由轴上的点使可得轴平分，，
假设在轴上存在点，则，，
所以，即，
展开可得，
将，代入得，
因为，所以，即，
整理得，即，解得，
所以轴上存在定点，总有.
18．已知椭圆E：过点，且焦距为.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)过点作两条互相垂直的弦AB，CD，设弦AB，CD的中点分别为M，N.
①证明：直线MN必过定点；
②若弦AB，CD的斜率均存在，求面积的最大值.
【解析】（1）依题意有，，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）①设：，，，则：，
联立，故，，，
故，由代替m，得，
当，即时，：，过点.
当，即时，，：，
令，，直线MN恒过点.
当，经验证直线MN过点.
综上，直线MN恒过点.
②，
令，，
∵在上单调递减，
∴，当且仅当，时取等号.
故面积的最大值为.
19．设抛物线的焦点为，已知点到圆上一点的距离的最大值为6.
(1)求抛物线的方程.
(2)设是坐标原点，点是抛物线上异于点的两点，直线与轴分别相交于两点（异于点），且是线段的中点，试判断直线是否经过定点.若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由.
【解析】（1）点到圆上点的最大距离为，即，得,
故抛物线的方程为.
（2）设，则方程为，方程为,
联立与抛物线的方程可得，即,
因此点纵坐标为，代入抛物线方程可得点横坐标为，
则点坐标为,同理可得点坐标为,
因此直线的斜率为,
代入点坐标可以得到方程为,
整理可以得到,因此经过定点.
20．曲线的曲率是描述几何弯曲程度的量，曲率越大，曲线的弯曲程度越大．曲线在点M处的曲率（其中表示函数在点M处的导数，表示导函数在点M处的导数）．在曲线上点M处的法线（过该点且垂直于该点处的切线的直线为曲线在此处的法线）指向曲线凹的一侧上取一点D,使得，则称以D为圆心，以为半径的圆为曲线在M处的曲率圆，因为此曲率圆与曲线弧度密切程度非常好，且再没有圆能介于此圆与曲线之间而与曲线相切，所以又称此圆为曲线在此处的密切圆．

(1)求出曲线在点处的曲率，并在曲线的图象上找一个点E，使曲线在点E处的曲率与曲线在点处的曲率相同；
(2)若要在曲线上支凹侧放置圆使其能在处与曲线相切且半径最大，求圆的方程；
(3)在（2）的条件下，在圆上任取一点P，曲线上任取关于原点对称的两点A，B，求的最大值．
【解析】（1）曲线在点附近满足，进一步有，，故其曲率.
在处，，所以曲线在点处的曲率为.
考虑曲线上的点，曲线在该点附近满足，进一步有，，故其曲率.
在处，，所以曲线在点处的曲率亦为.
（2）设的方程为，，由条件知，由和组成的方程组只有一个解.
将其联立，得到，即，即.
若，则原方程组还有另一个解，矛盾.
而时，我们有，从而，，故，这表明原方程组只有一个解.
所以所求的半径最大的圆的方程为.
（3）首先有.
设，则我们又有，，故.
当，时，.
所以的最大值是.
21．已知椭圆的离心率为，点在上．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于P，Q两点，过点作垂直于轴的直线与直线AQ相交于点，证明：线段PM的中点在定直线上．
【解析】（1）由题意可得，解得，所以的方程为．
（2）
如图：设的中点，
则直线AQ方程为，所以，
于是，
由题可知直线PQ的斜率存在，设PQ的方程为，
联立，
解法一：消去得，
所以，，即．
则有，
又因为，
所以，
于是，
即，
即，即，
即点在直线上．
解法二：
，
，即
故点的纵坐标为：，
即，，
即，
又因为，
即，所以，
故，同理，所以即，
即点在直线上．
22．已知椭圆的离心率为，设的右焦点为，左顶点为，过的直线与于两点，当直线垂直于轴时，的面积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)连接和分别交圆于两点．
（ⅰ）当直线斜率存在时，设直线的斜率为，直线的斜率为，求；
（ⅱ）设的面积为的面积为，求的最大值．
【解析】（1）设椭圆的焦距为，将代入椭圆方程可得，，解得，
所以得面积为，又，
解得，
所以椭圆的标准方程为；
（2）（i）设，
则直线与联立，
可得，
解得，
带入可得，
所以，
同理可得，，
所以，
所以；
（ii）设直线，与椭圆方程联立，
可得，所以，
，
当且仅当时，等号成立，所以的最大值为.
23．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，直线与的左、右两支分别交于，两点，四边形为矩形，且面积为．
(1)求四边形的外接圆方程；
(2)设，为的左、右顶点，直线过点与交于，两点（异于，），直线与交于点，证明：点在定直线上．
【解析】（1）由双曲线的左、右焦点分别为，，
直线与的左、右两支分别交于，两点，且四边形为矩形，
所以，且，
由，解得或，
即，则，又，，
解得，，，
所以双曲线的方程为，
所以，，，，
所以的中点为，又，
所以矩形的外接圆的方程为.
（2）由（1）知，，
依题意知直线的斜率不为零，设直线为，，，
由，得.
当且，
所以，，
所以，
直线的方程为，直线的方程为，
联立两方程可得，所以，
，
所以，
解得，
故点在定直线上.
24．已知O为坐标原点，点P到定点的距离和它到定直线的距离之比为，点P的轨迹为曲线．
(1)求的轨迹方程；
(2)过点作斜率分别为的直线，其中交于点C，D两点，交于点E，F两点，且M，N分别为的中点，直线与直线l交于点Q，若的斜率为，证明为定值，并求出该定值．
【解析】（1）设点，根据题意，得到，化简得，
即的轨迹方程为.
（2）设，联立，
化简得，
设，依题意，
则，M为的中点，所以，
设，同理可得，
因为直线与直线l交于点Q，设，所以，
即，化简得，
，所以，所以，
故为定值，并该定值为.
25．已知抛物线的焦点到轴的距离为1．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过焦点的直线交抛物线于两点，为抛物线上的点，且，求的面积．
【解析】（1）因为抛物线的焦点为，
由题意得，解得，
故抛物线的标准方程为．
（2）由（1）知，由题意知直线的倾斜角不为0．
因为，所以直线直线．
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
得，，或，，
则，此时不满足，所以不满足题意，
所以直线的斜率存在．
设直线的方程为，则直线的方程为．
设，如图．
由消去得，，
则．
由消去得，，
所以①．
直线的斜率为，同理可得直线的斜率为，
因为，所以，
即②．
由①②得，代入①得，，
解得或．
当时，直线的方程为，
．
所以，
所以．
当时，直线的方程为，
所以，
所以．
综上，的面积为32．

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