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2024年福建中考最后一卷
数学
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．下列各数中最大的数是（ ）
A． B． C． D．
2．某款沙发椅如图所示，它的左视图是（ ）

A． B．
C． D．
3．一个三角形的两边长分别为2和6，则第三边长可能是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．10
4．2024年一季度我国国民经济实现良好开局，一季度国内生产总值296299亿元，按不变价格计算，同比增长5.3%，比上年四季度环比增长1.6%．其中296299亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
5．下列运算中正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．劳动教育已被纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点A，交于点B，分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点C，画射线，过点C作于点D，且，点E是射线上一点，则的长度不可能是（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．5
8．某市从参加数学质量检测的全体学生中，随机抽取了部分学生的成绩作为研究对象，结果如表所示：
分数段 0~60 60~72 72~84 84~96 96~108 108~120
人数（人） 5 8 30 32 15
百分比
则被抽取的学生人数是（ ）
A．70人 B．105人 C．150人 D．200人
9．如图，是反比例函数图象上的任意一点，过点作轴于点为轴上一点，连接．若的面积为3，则的值为（ ）
A．6 B．3 C． D．
10．我国南朝的数学家祖冲之发展了刘徽的“割圆术”（即圆的内接正多边形边数不断增加，它的周长越来越接近圆的周长），在公元5世纪又进一步求得圆周率的值在3.1415926和3.1415927之间，是第一个将圆周率的计算精确到小数点后7位的人，使中国对圆周率的计算在世界上领先一千多年．依据“割圆术”，由圆内接正六边形算得的圆周率的近似值是( )
A．2.9 B．3 C．3.1 D．3.14
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．若钟表的分针沿顺时针方向转25度记作“度”，那么分针沿逆时针方向转30度记作“ ”．
12．如图，，．，，垂足分别是点、，，，则的长是 ．
13．如图，菱形中，，若对角线，则菱形的周长为 ．

14．人才是科技强国的第一生产力，某校拟引进急需人才一名，对甲、乙两名候选人进行了两项测试．两人的测试成绩如下表所示．根据实际需要，该校将笔试、面试的得分按的比例计算两人的总成绩后，引进总成绩高的，那么 （填“甲”或“乙”）将被引进．
测试项目 测试成绩
甲 乙
笔试 90 80
面试 70 95
15．已知a，b是一元二次方程两个实数根，则的值为 ．
16．点，都在二次函数的图象上.若，则的取值范围为 .
三、解答题：本题共9小题，共86分。解得应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本题8分）计算：．
18．（本题8分）解不等式组：
19．（本题8分）如图，平分，，，A，B为垂足，交于点N．求证：．
20．（本题8分）先化简，再求值：，其中
21．（本题8分）如图，是的直径，是的切线，切点为C，，垂足为E，连接.
（1）求证：平分；
（2）若，，求的长.
22．（本题10分）非物质文化遗产是中华民族古老生命记忆和活态的文化基因，陕西是非物质文化遗产的重要代表地区．某学校为让学生深入了解非物质文化遗产，决定邀请A秦腔，B陕北民歌，C民间面塑，D皮影制作的相关传承人（每项一人）进校园宣讲．
(1)若从以上非物质遗产中任选一个，则选中C民间面塑传承人的概率是____________．
(2)若该学校决定邀请两位非遗传承人进校园宣讲，请用画树状图或列表的方法，求选中B陕北民歌和D皮影制作传承人的概率．
23．（本题10分）如图1是光的反射规律示意图，是入射光线，是反射光线，法线平面镜，入射角等于反射角．
如图2，水平桌面上从左至右分别竖直放置了挡板、挡板、平面镜，在挡板的正上方有一可上下移动的挡板（挡板的厚度都忽略不计），已知厘米，当从点发出的光线经平面镜反射后恰好经过点时，测得入射角为.（参考数据：，，）
(1)点到平面镜的距离是______厘米．
(2)移动挡板，使空隙的长度是厘米，当从点发出的光线经平面镜反射后恰好经过点时，求入射角的度数．
(3)在（2）的条件下，如果从点发出的光线经平面镜反射后通过空隙落到挡板上的最高点为，最低点为，那么的长度是_____厘米．
24．（本题12分）如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点C，直线经过A、C两点，连接，，点D为x轴上一点，过点D作轴，交直线于点E，交抛物线于点P，连接
(1)确定直线和抛物线的表达式；
(2)当（点D不与点B重合）时，试判断的形状，并说明理由；
(3)当时，求点P的坐标．
25．（本题14分）如图，在中，，将绕着C点顺时针旋转α角度（这里）得到，连接，延长交于F．
(1)如图1，当E在上时，求证：；
(2)在旋转过程中，线段与有什么样的数量关系？利用图2证明你的结论；
(3)如图3，当时，若，求线段的长度．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页解析及参考答案
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．A
【分析】本题考查了实数的大小比较，根据实数大小比较的法则进行比较即可．
【详解】
最大的数是
故选：A．
2．B
【分析】此题考查了三视图，根据从左边看到的图形是左视图进行解答即可.
【详解】
解： 的左视图是 ，
故选：B
3．C
【分析】本题考查三角形三边关系定理，记住两边之和大于三边，两边之差小于第三边，属于基础题，中考常考题型．根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可判断．
【详解】解：设第三边为x，则
，
所以第三边长可能是6．
故选：B．
4．B
【分析】本题考查科学记数法，按照定义，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，按要求表示即可得到答案，确定与的值是解决问题的关键．
【详解】解： 亿有14个位数，根据科学记数法要求表示为，
故选：B．
5．D
【分析】此题考查了同底数幂的乘法、合并同类项、算术平方根、积的乘方，根据相应的运算法则计算，即可作出判断．
【详解】A．，故选项错误，不符合题意；
B．，故选项错误，不符合题意；
C．，故选项错误，不符合题意；
D．，故选项正确，符合题意．
故选：D．
6．D
【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为．根据作物的产量两年内从300千克增加到363千克，列出方程即可．
【详解】解：第一年的产量为，
第二年的产量在第一年产量的基础上增加x，为，
则列出的方程是．
故选：D．
7．A
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，根据角平分线上点到角两端的距离相等可得，由点为边上任意一点即可得出即可求解．
【详解】解：由尺规作图可知：为的平分线，过点作，
为的平分线且，，，
，
，点为边上任意一点，
，即，
的长度不可能为，
故选：A．
8．C
【分析】根据72～84分数段的人数和所占的百分比，列出算式计算即可．
【详解】解：∵72～84分数段有30人，所占的百分比是20%，
∴被抽取的学生人数是；30÷20%＝150（人），
故选：C．
【点睛】本题考查了统计表，关键是能从统计表中获取有关信息，列出算式，统计表可以将大量数据的分类结果清晰、一目了然地表达出来．
9．D
【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数中k的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．由于同底等高的两个三角形面积相等，所以的面积的面积，然后根据反比例函数中k的几何意义，知的面积，从而确定k的值，求出反比例函数的解析式．
【详解】解：设反比例函数的解析式为，
∵的面积的面积，的面积，
∴，
∴，
又∵反比例函数的图象的一支位于第二象限，
∴，
∴．
故选：D．
10．B
【分析】设半径为的圆内接正边形的周长为，圆的直径为，则，然后即可解决问题
【详解】解：由题意时，，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正多边形和圆以及解直角三角形的运用，把一个圆分成是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．度
【分析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．根据逆时针旋转为正，则顺时针旋转为负解答．
【详解】解：钟表的分针沿顺时针方向转25度记作度，
则逆时针方向转30度记作度，
故答案为：度．
12．2
【分析】根据条件可以得出，进而得出，就可以得出，就可以求出的值．
本题考查全等三角形的判定和性质、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
【详解】解：，，
，
．
，
．
在和中，
，
，
，．
故选答案为2．
13．12
【分析】利用菱形的性质及等边三角形的判定及性质可得，再利用菱形的周长计算公式即可求解．
【详解】解：四边形是菱形，
，，，
又，
，
解得：，
是等边三角形，
，
菱形的周长为：，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了菱形的性质和等边三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键．
14．乙
【分析】本题考查加权平均数的计算．根据题意，直接用加权平均数的计算方法代入数据计算即可．
【详解】解：根据表格数据，将笔试、面试的得分按的比例计算两人的总成绩，则
甲的成绩为：
乙的成绩为：
乙将被引进．
故答案为：乙．
15．7
【分析】利用根与系数的关系，可得出，，将其代入中，即可求出结论．
【详解】解：和是一元二次方程的两个实数根，
，，
．
故答案为：7．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
16．或
【分析】本题考查了二次函数的增减性和对称性，正确理解二次函数的增减性和对称性是解答本题的关键．当时，抛物线开口向上，，都在对称轴的右侧，根据二次函数的增减性，的取值范围；当时，抛物线开口向下，A，B两点在对称轴的两侧，根据来比较它们与对称轴的距离大小，即得答案．
【详解】二次函数的图象的对称轴为直线，
当时，抛物线开口向上，，都在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大，若，则若，解得；
当时，抛物线开口向下，，所以点在对称轴的右侧，点在对称轴的左侧，由离对称轴越近函数值越大，得：点B离对称轴更近，所以，解得，故m的取值范围为；
综上所述，的取值范围为或．
故答案为：或．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解得应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．
【分析】此题考查了实数的运算，第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用算术平方根定义计算，第三项利用立方根定义计算．
【详解】解：
．
18．
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别解出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集即可，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键．
【详解】解：，
解不等式得，，
解不等式得，，
∴不等式组的解集为．
19．证明过程见详解．
【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质是解题的关键．
根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得即可得证．
【详解】证明：平分，
，
在和中，
，
．
20．，
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握知识点是解题的关键．
先化简括号内，在进行乘法运算，最后再代入求值．
【详解】解：原式
，
当，原式．
21．（1）详见解析；（2）
【分析】（1）利用切线的性质得OC⊥DE，再证明OC∥BE得到∠OCB＝∠CBE，加上∠OCB＝∠CBO，所以∠OBC＝∠CBE；
（2）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明△OAC等边三角形得到AC＝OA＝2，再利用勾股定理可计算出BC＝，然后在Rt△CBE中利用含30度的直角三角形三边的关系求CE的长．
【详解】（1）证明：∵是的切线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
即平分；
（2）解：∵为的直径，
∴，
∵，
∴是等边三角形，.
∴，
∴
∵，且，
∴.
∴
【点睛】本题考查了切线的性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；常常“遇到切点连圆心得半径”．
22．(1)
(2)
【分析】本题考查树状图或列表法求概率．
（1）直接利用概率公式进行求解即可；
（2）列表法求概率即可．
掌握列表法，概率公式，是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意，得：选中C民间面塑传承人的概率是；
故答案为：
（2）列表如下：
A B C D
A A，B A，C A，D
B B，A B，C B，D
C C，A C，B C，D
D D，A D，B D，C
共有12种等可能的结果，其中选中B陕北民歌和D皮影制作传承人的情况有2种，
∴．
23．(1)
(2)入射角的度数为
(3)
【分析】（1）作于点，且，得出，则，根据三线合一可得，进而解直角三角形，即可求解；
（2）作于，使得，得出是等腰直角三角形，进而即可求解；
（3）作关于的对称点，连接，并延长交分别为，得出，，根据相似三角形的性质，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，作于点，且，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：40；
（2）解：如图所示，作于，使得，
同理可得，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
则入射角为；
（3）解：如图所示，作关于的对称点，连接，并延长交分别为，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为：35．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，轴对称的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
24．(1)，
(2)是等腰三角形，理由见解析
(3)点P的坐标为：或
【分析】(1)用待定系数法即可求解；
(2)证明，即可求解；
(3)当点在线段上时，证明得到直线的表达式为: 进而求解；当点在直线上时，得到直线的表达式为： 进而求解．
【详解】（1）将点的坐标代入一次函数表达式得： 解得： ，∴一次函数表达式为：
令 则 , 即点, 则
在中, ，
∴
故点
将点的坐标代入二次函数表达式得:
解得：，
故二次函数表达式为：；
（2）等腰三角形，理由：
当(点不与点重合)时，则点,
当时, 即点,
当时, 即点,
，
即点在的中垂线上，故等腰三角形；
（3），
∴
在中,
当点在线段上时，如图，设直线交轴于点，
，
，
，
又 ，
，
，
故设直线的表达式为：
将点的坐标代入上式并解得：
∴直线的表达式为：，
联立和 并解得：(舍去)或 ，
故点；
当点在直线上时，
同理可得：直线 的表达式为：，
联立 和 并解得：(舍去)或,
故点
综上，点的坐标为：或
【点睛】此题是二次函数综合题，考查了二次函数的图像和性质，一次函数的解析式求法，解直角三角形等知识，掌握以上知识点是解题的关键．其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
25．(1)见解析
(2)，证明见解析
(3)
【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等：
（1）根据等边对等角得到，再由，即可证明结论；
（2）作于N，交的延长线于M．证明，得到，再证明，得到，据此可得结论；
（3）如图3，作于N，交的延长线于M．先利用勾股定理得到，，则，接着证明，得到，在中， ，则．
【详解】（1）证明：由旋转的性质可得，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：，证明如下：
如图2，作于N，交的延长线于M．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图3，作于N，交的延长线于M．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由旋转知，，
∴，
∴，
∴，
在中， ，
∴．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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