2024年江西中考数学最后一卷(含解析)

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2024年江西中考数学最后一卷(含解析)

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2024年江西中考最后一卷
数学
一、单选题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
1.下列各数是负整数的是(  )
A.﹣1 B.2 C.5 D.
2.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )
A. B. C. D.
3.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
4.二次根式有意义,则x的取值范围是(  )
A.x≤﹣3 B.x≥3 C.x≥﹣3 D.x≤3
5.中国古代大建筑群平面中统率全局的轴线称为“中轴线”,北京中轴线是古代中国独特城市规划理论的产物,故宫是北京中轴线的重要组成部分.故宫中也有一条中轴线,北起神武门经乾清宫、保和殿、太和殿、南到午门,这条中轴线同时也在北京城的中轴线上.图中是故宫博物院的主要建筑分布图.其中,点A表示养心殿所在位置,点O表示太和殿所在位置,点B表示文渊阁所在位置.已知养心殿位于太和殿北偏西方向上,文渊阁位于太和殿南偏东方向上,则∠AOB的度数是( )
A. B. C. D.
6.如图,点A,B,C均在直线l上,点P在直线l外,则经过其中任意三个点,最多可画出圆的个数为( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
7.单项式的次数为 .
8.2024年4月18日,国务院新闻办举行2024年一季度工业和信息化发展情况新闻发布会,会议公布:一季度,电信业务收入达到4437亿元,同比增长,总体保持稳步增长,为全年工作奠定了良好开局.将4437亿元用科学记数法表示为 元.
9.已知则 .
10.如图,直线,点A、B位于直线上,点C、D位于直线b上,且,若的面积为5,则的面积为 .

11.如图,同一时刻在阳光照射下,树的影子,小明的影子,已知小明的身高,则树高 .
12.如图,在中,,,在内有一点,连接,,,若的最小值为,则的值为 .

三、解答题(本题共5小题,每小题6分,共30分)
13.(本题6分)(1)计算:;
(2)求式中x的值:.
14.(本题6分)化简.下面是小红和小莉两位同学的部分运算过程:
小红的解法:解:原式
小莉的解法:解:原式
(1)小红的解法依据是______;小莉的解法依据是______.(填序号)
①等式的基本性质;②分式的基本性质;③乘法交换律;④乘法分配律.
(2)若,请任选一种解法,求出代数式的值.
15.(本题6分)一个不透明的盒子里装有3枚黑棋子,2枚白棋子,这些棋子除颜色外都相同.小华和小溪利用这些棋子做游戏,他们设计的游戏规则为:将棋子搅匀,小华先从盒子里随机摸出1枚棋子,记下颜色,放回搅匀,小溪再从盒子里随机摸出1枚棋子,记下颜色.摸出黑棋子得1分,摸出白棋子得2分.若他们的得分之和为2,则小华胜,若他们的得分之和为3,则小溪胜,其他情况视为平局.

(1)从盒子中随机摸出1枚棋子,则摸出的这枚棋子是______棋子的可能性较小;(填“黑”或“白”)
(2)这个游戏规则对小华和小溪双方公平吗?请利用画树状图法或列表法说明理由.
16.(本题6分)如图,在的网格中,的三个顶点均在格点上,请按要求在方格纸上画格点三角形(各顶点都在格点上).

(1)在图1中画出,使它由绕着点B旋转得到;
(2)在图2中找到格点M,N,使得与相似,且相似比为.
17.(本题6分)如图,一次函数y1=x+b的图象与与反比例函数y2=(k≠0,x<0)的图象交于点A(﹣2,1),B两点.
(1)求一次函数与反比例函数的表达式;
(2)求△AOB的面积.
四、解答题(本题共3小题,每小题8分,共24分)
18.(本题8分)如图是某种云梯车的示意图,云梯升起时,与底盘夹角为,液压杆与底盘夹角为.已知液压杆米,,当,时.(结果精确到0.01米)(参考数据:,,,,,)
(1)求液压杆顶端到底盘的距离的长;
(2)求的长.
19.(本题8分)某同学从数学角度观察现实世界的意识与习惯非常好,可以从现实世界的客观现象中发现数量关系与空间形式.该同学某一天在超市看到售货员将形状、大小都相同的塑料凳子整齐叠放在一起成为一列,发现叠起来的凳子的总高度(单位:厘米)与凳子的数量(单位:个)存在的函数关系如下表:
凳子的数量 1 2 3 4 …
总高度 45 50 55 60 …
(1)求与的函数解析式(也称关系式);
(2)若超市放置凳子的货架高度是98厘米,则放置在货架上的一列凳子最多可放多少个?如果超市有45个凳子要放置在货架上,最少需要放多少列?
20.(本题8分)为了解中学生的视力情况,卫健部门决定随机抽取部分初、高中学生进行调查,并对他们的视力数据进行整理,得到如下统计表和统计图.
初中学生视力情况统计表
视力 人数 百分比
及以下 8 4%
16 8%
28 14%
34 17%
m 34%
1.1及以上 46 23%
合计 200 100%
(1) _;
(2)被调查的高中学生视力情况的样本容量为 ___________;
(3)分析处理:
①初中生的视力水平与高中生的相比,哪个更好?请作出判断并说明理由;
②约定:视力未达到为视力不良.若该区有26000名中学生,估计该区有多少名中学生视力不良.
五、解答题(本题共2小题,每小题9分,共18分)
21.(本题9分)如图1,是内接三角形,.点是弧上一点(不与重合),连结,过点作平行线交延长线于点,请完成以下几个问题:

(1)求证:;
(2)若,
①求的半径;
②当是等腰三角形时,求.
22.(本题9分)综合与探究
如图1,在中,,,,点D在射线上,点E在射线上,动点P在射线上,沿方向,以每秒1个单位的速度匀速运动,到达点E时停止.以为边作正方形.设点P的运动时间为t秒,以正方形的面积为S,探究S与t的关系.
(1)如图1,当点P由点B运动到点D时.
①当时,__________.
②S关于t的函数解析式为__________.
(2)如图2,当点P由点D运动到点E时,经探究发现S是关于t的二次函数,并绘制成如图3所示的图案.请根据图案信息,求S关于t的函数解析式及线段的长.
(3)若存在4个时刻,,,,对应的正方形的面积均相等,则__________.
六、解答题(本大题共12分)
23.(本题12分)【探究证明】折纸,操作简单,富有数学趣味,我们可以通过折纸开展数学探究,探索数学奥秘.
【动手操作】如图1,将矩形纸片对折,使与重合,展平纸片,得到折痕;折叠纸片,使点B落在上,并使折痕经过点A,得到折痕,点B,E的对应点分别为,展平纸片,连接.
请完成:(1)观察图1中,和,试猜想这三个角的大小关系;
(2)证明(1)中的猜想;
【类比操作】如图2,N为矩形纸片的边上的一点,连接,在上取一点P,折叠纸片,使B,P两点重合,展平纸片,得到折痕;折叠纸片,使点B,P分别落在上,得到折痕l,点B,P的对应点分别为,展平纸片,连接.
请完成:
(3)是的一条________等分线.

答案第1页,共2页
答案第1页,共2页2024年江西中考最后一卷
解析及参考答案
一、单选题
1.A
【分析】直接利用负整数的定义进而分析得出答案.
【详解】解:负整数是﹣1,
故选A.
【点睛】本题考查负整数,正确把握负整数的定义是解题关键.
2.A
【详解】解:A、既是轴对称图形,也是中心对称图形,故此选项符合题意;
B、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项不符合题意;
C、不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项不符合题意;
D、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项不符合题意;
故选A.
3.D
【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算,合并同类项和幂的乘方计算,熟知相关计算法则是解题的关键.
【详解】解:A、,原式计算错误,不符合题意;
B、,原式计算错误,不符合题意;
C、与不是同类项,不能合并,原式计算错误,不符合题意;
D、,原式计算正确,符合题意;
故选;D.
4.D
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求解即可.
【详解】依题意得,
解得:
故选:D.
【点睛】本题考查了二次根式的性质,熟记性质是解题关键,二次根式的被开方数是非负数是常考点,需重点掌握.
5.B
【分析】由图知,∠AOB=180° +,从而可求得结果.
【详解】∠AOB=180° +=180°-37°=143°
故选:B
【点睛】本题考查了方位角及角的和差运算,掌握角的和差运算是关键.
6.B
【分析】本题主要考查了确定圆的条件,根据不共线的三点可以确定一个圆进行求解即可.
【详解】解:∵不共线的三点可以确定一个圆,
∴取点P,再取A、B、C中的任意两点,都可以确定一个圆,
∴最多可以确定3个圆(过P、A、B三点,过P、A、C三点,过P、B、C三点),
故选B.
二、填空题
7.5
【分析】本题考查单项式,解题的关键是正确理解单项式的有关概念,本题属于基础题型.
根据单项式的次数的定义进行解答.
【详解】单项式的次数为5,
故答案为:5.
8.
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.对于较大的数,科学记数法的表示形式为的形式,其中,n为正整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.由此进行求解即可得到答案.
【详解】4437亿.
故答案为:.
9.23
【分析】将完全平方公式进行变换,即可求解.
【详解】∵,
∴=,
故答案为:23.
【点睛】此题主要考查代数式求值,解题的关键是对完全平方公式变换的运用.
10.10
【分析】由已知得:和的高相等,面积之比就是他们的底边之比.
【详解】解:根据题意和的高相同,可设为h,
则,
又因为,
则.
故答案为:10.
【点睛】本题主要考查平行线间的距离相等,即和的高相等是解答本题的关键.
11.
【分析】本题考查相似三角形的应用,掌握同一时刻物体与影长成正比例是解题的关键.
【详解】解:设树高是x米,则,
解得:.
故答案为:.
12.
【分析】本题考查了图形的变换,勾股定理,最短路径的计算方法,掌握图象旋转的性质,勾股定理,最短路径的计算方法是解题的关键.
根据题意,将绕点逆时针旋转并放大倍,得,连接,根据边的关系可得,,由此可得,作直角,根据可得的长,在中,根据勾股定理即可求解.
【详解】解:如图所示,将绕点逆时针旋转并放大倍,得,连接,

∴,,,
∴在中,,
∴,
根据两点之间线段最短,
∴在中,,
∵的最小值为,,
∴,
在中,,
∴,
∵,
∴,
延长,作点作,交于点,
∴,且,
在中,,
∴,,
∴,
∴在中,,
∴,
解得,,
故答案为: .
三、解答题
13.(1)6;(2),
【分析】本题考查了实数的混合运算和利用平方根解方程,
(1)先计算二次根式、立方根和负整数指数幂,再进行加减运算即可;
(2)先将原方程整理成,再直接求解即可;
熟练掌握各个运算法则是解题的关键.
【详解】(1)原式

(2)∵,
∴,即,
∴,
∴,.
14.(1)②;④
(2);
【分析】(1)根据分式的基本性质,乘法分配律计算即可.
(2)化简后,代入求值即可若,请任选一种解法,求出代数式的值.
本题考查了分式的化简求值,分母有理化,正确理解运算的算理,化简是解题的关键.
【详解】(1)根据分式的基本性质,乘法分配律,
故答案为:②;④.
(2)方法1、

当时,
原式.
方法2、、

当时,
原式.
15.(1)白
(2)不公平,见解析
【分析】本题考查事件发生可能性大小的判断,用画树状图法或列表法说明游戏公平性.
(1)直接用概率公式求出其概率,比较即可;
(2)用画树状图法或列表法求出小华胜与小溪胜的概率,再比较即可得出结论.
【详解】(1)解:∵盒子里装有3枚黑棋子,2枚白棋子,
∴P(黑),P(白),

∴从盒子中随机摸出1枚棋子,则摸出的这枚棋子是白棋子的可能性较小.
故答案为:白.
(2)解:画树状图如下.

由图可得,共有25种等可能的结果,其中得分之和为2的情况有9种,得分之和为3的情况有12种,
∴P(小华胜),P(小华胜 ),
∵,
∴这个游戏规则对小华和小溪双方不公平.
16.(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图-相似变换,旋转变换等知识:
(1)根据要求作出图形;
(2)根据对应边的比为,构造相似三角形即可.
【详解】(1)解:如图,即为所作:

(2)解:如图,即为所作:

17.(1)一次函数的表达式是y1=x+3,反比例函数的表达式y2=﹣;(2)
【分析】(1)分别把A点坐标代入y1=x+b和y2=(k≠0,x<0)中计算出b和k的值即可;
(2)先确定B点坐标,然后设直线y=x+3与x轴的交点为C,求得C的坐标,再根据三角形面积公式求解.
【详解】解:(1)把A(﹣2,1)代入y1=x+b得﹣2+b=1,解得b=3;
把A(﹣2,1)代入y2=(k≠0,x<0)得k=﹣2×1=﹣2,
∴一次函数的表达式是y1=x+3,反比例函数的表达式y2=;
(2)由,解得或,
∴B点坐标为(﹣1,2),
设直线y=x+3与x轴的交点为C,
把y=0代入求得x=﹣3,
∴C(﹣3,0),
∴△AOB的面积=△BOC的面积﹣△AOC的面积==.
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题:反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式.
四、解答题
18.(1)米
(2)米
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用,
(1)根据即可求解;
(2)利用,先求出,再利用,求出,问题随之得解.
【详解】(1)在中,,.


即的长为米;
(2)在中,,,





(米),
即的长为米.
19.(1)
(2)11个,5列
【分析】本题考查一次函数的应用,不等式的应用.
(1)由表格数据判断,与是一次函数的关系,设与的函数解析式为:,再由表格数据用待定系数法求即可;
(2)由题意得:解出的范围再判定即可.
【详解】(1)解:由表格数据判断,与是一次函数的关系,设与的函数解析式为:,根据表格数据得

解得,
与的函数解析式为:;
(2)由题意得:,解得:
是整数,
一列凳子最多可放11个,

最少需要放5列.
答:放置在货架上的一列凳子最多可放11个,放置45个凳子最少需要放5列.
20.(1)68
(2)320
(3)①初中生的视力水平比高中生的好,理由见解答;②14300
【分析】本题考查了频率与频数,样本容量,利用中位数做决策,利用样本估计总体,根据题意找出所需数据是解题关键.
(1)用初中生抽查总人数乘以视力为的人数占比,即可求出 的值;
(2)将被调查的高中学生视力每部分人数相加,即可得到样本容量;
(3)①分别找出初中生和高中生视力的中位数,比较分析即可;②用该区初高中生总人数乘以样本中视力不良学生的占比,即可得到答案.
【详解】(1)解:由题意得,,
故答案为:68;
(2)解:被调查的高中学生视力情况的样本容量为,
故答案为:320;
(3)解:①初中生的视力水平比高中生的好,理由如下:
初中生调查人数为200人,
初中生视力的中位数为第100和101个数据的平均数,
,,
初中生视力的中位数落在这一组,
高中生调查人数为320人,
高中生视力的中位数为第160和161个数据的平均数,
,,
初中生视力的中位数落在这一组,

初中学生的视力水平比高中学生的好,小胡的说法正确;
②(名),
答:估计该区有14300名中学生视力不良.
五、解答题
21.(1)证明见详解
(2)①的半径是;②的长为或
【分析】(1)根据等腰三角形的性质可得,根据平行线的性质可得,由此即可求解;
(2)①如图所示,连接,并延长交于点,连接,设,根据等腰三角形的性质,勾股定理即可求解;
②分类讨论:当时;当时,如图所示,连接交于点,连接,运用全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质即可求解.
【详解】(1)证明:∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴.
(2)解:①如图所示,连接,并延长交于点,连接,设,

根据等腰三角形的对称性得,,
∴,
在中,由勾股定理得:,
在中,,
∴,解得,,
∴的半径是;
②当时,
∴,
∵,,
∴,,
∴,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∴,,
∴,
∴,
∴;
当时,如图所示,连接交于点,连接,

∴根据对称可知,,,
∴由勾股定理得:,则,
∴,
∵,,
∴,
∴,则,
∴,
∴,
∴;
综上所述,的长为或.
【点睛】本题主要考查圆与几何的综合,掌握圆的基础知识,等腰三角形的性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质等知识是解题的关键.
22.(1)①3;②或
(2)S关于t的函数解析式为,线段的长为
(3)8
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质,勾股定理,正方形的性质,动点问题的函数图象:
(1)①当时,,即此时点P运动到点C的位置,则,即可得到;②求出,利用勾股定理即可得到;
(2)当点P运动到点D时,,,解方程得到,则;设,将代入,(得,解得,则S关于t的函数解析式为,由图像可知,当点P由运动到点E时,,则,解方程求出.则.则.
(3)根据(1)(2)画出S关于t的函数图象,根据函数图象求解即可.
【详解】(1)解:①当时,,即此时点P运动到点C的位置,
∴,
∴,
故答案为:3;
②当点P在上运动时,,则,
在中,由勾股定理得,
∴;
(2)解:由图像可知,当点P运动到点D时,,
∴,
解得:,(舍去),
∴,
∴,
∴当点P由D点运动到点E时,二次函数图像过点,
设,将代入,(得,解得,
∴S关于t的函数解析式为,
由图像可知,当点P运动到点E时,,
∴,
解得:,(舍去).
∴.
在中,.
∵,
∴.
综上所述,S关于t的函数解析式为,线段的长为.
(3)解;由(1)(2)可知S关于t的函数图象如下,
∴由函数图象可知,若存在4个时刻,,,,对应的正方形的面积均相等,那么,
∵抛物线向右平移6个单位可以得到抛物线,
∴抛物线与抛物线关于直线对称,
∴点M和点Q关于直线对称,
∴,
故答案为:8.
六、解答题
23.(1);(2)见解析;(3)三
【分析】(1)根据题意可进行求解;
(2)由折叠的性质可知,,然后可得,则有是等边三角形,进而问题可求证;
(3)连接,根据等腰三角形性质证明,根据平行线的性质证明,证明,得出,即可证明.
【详解】(1)解:由题意可知;
(2)证明:由折叠的性质可得:,,,,
∴,,
∴是等边三角形,
∵,,
∴,
∵四边形是矩形,
∴,
∴,
∴;
(3)证明:连接,如图所示:

由折叠的性质可知:,,,
∵折痕,,
∴,
∵四边形为矩形,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵在和中,

∴,
∴,
∴,
∴,
∴是的一条三等分线.
故答案为:三.
【点睛】本题主要考查折叠的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质与判定及矩形的性质,三角形全等的判定和性质,作出辅助线,熟练掌握折叠的性质,证明是解题的关键.
答案第1页,共2页
答案第1页,共2页

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