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2024年江西中考最后一卷
数学
一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．下列各数是负整数的是（　　）
A．﹣1 B．2 C．5 D．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．二次根式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≤﹣3 B．x≥3 C．x≥﹣3 D．x≤3
5．中国古代大建筑群平面中统率全局的轴线称为“中轴线”，北京中轴线是古代中国独特城市规划理论的产物，故宫是北京中轴线的重要组成部分．故宫中也有一条中轴线，北起神武门经乾清宫、保和殿、太和殿、南到午门，这条中轴线同时也在北京城的中轴线上．图中是故宫博物院的主要建筑分布图．其中，点A表示养心殿所在位置，点O表示太和殿所在位置，点B表示文渊阁所在位置．已知养心殿位于太和殿北偏西方向上，文渊阁位于太和殿南偏东方向上，则∠AOB的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．单项式的次数为 ．
8．2024年4月18日，国务院新闻办举行2024年一季度工业和信息化发展情况新闻发布会，会议公布：一季度，电信业务收入达到4437亿元，同比增长，总体保持稳步增长，为全年工作奠定了良好开局．将4437亿元用科学记数法表示为 元．
9．已知则 ．
10．如图，直线，点A、B位于直线上，点C、D位于直线b上，且，若的面积为5，则的面积为 ．

11．如图，同一时刻在阳光照射下，树的影子，小明的影子，已知小明的身高，则树高 ．
12．如图，在中，，，在内有一点，连接，，，若的最小值为，则的值为 ．

三、解答题（本题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（本题6分）（1）计算：；
（2）求式中x的值：．
14．（本题6分）化简．下面是小红和小莉两位同学的部分运算过程：
小红的解法：解：原式
小莉的解法：解：原式
(1)小红的解法依据是______；小莉的解法依据是______．（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法交换律；④乘法分配律．
(2)若，请任选一种解法，求出代数式的值．
15．（本题6分）一个不透明的盒子里装有3枚黑棋子，2枚白棋子，这些棋子除颜色外都相同．小华和小溪利用这些棋子做游戏，他们设计的游戏规则为：将棋子搅匀，小华先从盒子里随机摸出1枚棋子，记下颜色，放回搅匀，小溪再从盒子里随机摸出1枚棋子，记下颜色．摸出黑棋子得1分，摸出白棋子得2分．若他们的得分之和为2，则小华胜，若他们的得分之和为3，则小溪胜，其他情况视为平局．

(1)从盒子中随机摸出1枚棋子，则摸出的这枚棋子是______棋子的可能性较小；（填“黑”或“白”）
(2)这个游戏规则对小华和小溪双方公平吗？请利用画树状图法或列表法说明理由．
16．（本题6分）如图，在的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求在方格纸上画格点三角形（各顶点都在格点上）．

(1)在图1中画出，使它由绕着点B旋转得到；
(2)在图2中找到格点M，N，使得与相似，且相似比为．
17．（本题6分）如图，一次函数y1＝x+b的图象与与反比例函数y2＝（k≠0，x＜0）的图象交于点A（﹣2，1），B两点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积．
四、解答题（本题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（本题8分）如图是某种云梯车的示意图，云梯升起时，与底盘夹角为，液压杆与底盘夹角为．已知液压杆米，，当，时．（结果精确到0.01米）（参考数据：，，，，，）
(1)求液压杆顶端到底盘的距离的长；
(2)求的长．
19．（本题8分）某同学从数学角度观察现实世界的意识与习惯非常好，可以从现实世界的客观现象中发现数量关系与空间形式．该同学某一天在超市看到售货员将形状、大小都相同的塑料凳子整齐叠放在一起成为一列，发现叠起来的凳子的总高度（单位：厘米）与凳子的数量（单位：个）存在的函数关系如下表：
凳子的数量 1 2 3 4 …
总高度 45 50 55 60 …
(1)求与的函数解析式（也称关系式）；
(2)若超市放置凳子的货架高度是98厘米，则放置在货架上的一列凳子最多可放多少个？如果超市有45个凳子要放置在货架上，最少需要放多少列？
20．（本题8分）为了解中学生的视力情况，卫健部门决定随机抽取部分初、高中学生进行调查，并对他们的视力数据进行整理，得到如下统计表和统计图．
初中学生视力情况统计表
视力 人数 百分比
及以下 8 4%
16 8%
28 14%
34 17%
m 34%
1．1及以上 46 23%
合计 200 100%
(1) _；
(2)被调查的高中学生视力情况的样本容量为 ___________；
(3)分析处理：
①初中生的视力水平与高中生的相比，哪个更好？请作出判断并说明理由；
②约定：视力未达到为视力不良．若该区有26000名中学生，估计该区有多少名中学生视力不良．
五、解答题（本题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（本题9分）如图1，是内接三角形，．点是弧上一点（不与重合），连结，过点作平行线交延长线于点，请完成以下几个问题：

(1)求证：；
(2)若，
①求的半径；
②当是等腰三角形时，求．
22．（本题9分）综合与探究
如图1，在中，，，，点D在射线上，点E在射线上，动点P在射线上，沿方向，以每秒1个单位的速度匀速运动，到达点E时停止．以为边作正方形．设点P的运动时间为t秒，以正方形的面积为S，探究S与t的关系．
(1)如图1，当点P由点B运动到点D时．
①当时，__________．
②S关于t的函数解析式为__________．
(2)如图2，当点P由点D运动到点E时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图3所示的图案．请根据图案信息，求S关于t的函数解析式及线段的长．
(3)若存在4个时刻，，，，对应的正方形的面积均相等，则__________．
六、解答题（本大题共12分）
23．（本题12分）【探究证明】折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘．
【动手操作】如图1，将矩形纸片对折，使与重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B落在上，并使折痕经过点A，得到折痕，点B，E的对应点分别为，展平纸片，连接．
请完成：（1）观察图1中，和，试猜想这三个角的大小关系；
（2）证明（1）中的猜想；
【类比操作】如图2，N为矩形纸片的边上的一点，连接，在上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B，P分别落在上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为，展平纸片，连接．
请完成：
（3）是的一条________等分线．

答案第1页，共2页
答案第1页，共2页2024年江西中考最后一卷
解析及参考答案
一、单选题
1．A
【分析】直接利用负整数的定义进而分析得出答案．
【详解】解：负整数是﹣1，
故选A．
【点睛】本题考查负整数，正确把握负整数的定义是解题关键．
2．A
【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选A．
3．D
【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，合并同类项和幂的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选；D．
4．D
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求解即可.
【详解】依题意得，
解得：
故选：D.
【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟记性质是解题关键，二次根式的被开方数是非负数是常考点，需重点掌握.
5．B
【分析】由图知，∠AOB=180° +，从而可求得结果．
【详解】∠AOB=180° +=180°－37°=143°
故选：B
【点睛】本题考查了方位角及角的和差运算，掌握角的和差运算是关键．
6．B
【分析】本题主要考查了确定圆的条件，根据不共线的三点可以确定一个圆进行求解即可．
【详解】解：∵不共线的三点可以确定一个圆，
∴取点P，再取A、B、C中的任意两点，都可以确定一个圆，
∴最多可以确定3个圆（过P、A、B三点，过P、A、C三点，过P、B、C三点），
故选B．
二、填空题
7．5
【分析】本题考查单项式，解题的关键是正确理解单项式的有关概念，本题属于基础题型．
根据单项式的次数的定义进行解答．
【详解】单项式的次数为5，
故答案为：5．
8．
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．对于较大的数,科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为正整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．由此进行求解即可得到答案．
【详解】4437亿．
故答案为：．
9．23
【分析】将完全平方公式进行变换，即可求解．
【详解】∵，
∴=，
故答案为：23.
【点睛】此题主要考查代数式求值，解题的关键是对完全平方公式变换的运用．
10．10
【分析】由已知得：和的高相等，面积之比就是他们的底边之比．
【详解】解：根据题意和的高相同，可设为h，
则，
又因为，
则．
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查平行线间的距离相等，即和的高相等是解答本题的关键．
11．
【分析】本题考查相似三角形的应用，掌握同一时刻物体与影长成正比例是解题的关键．
【详解】解：设树高是x米，则，
解得：．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了图形的变换，勾股定理，最短路径的计算方法，掌握图象旋转的性质，勾股定理，最短路径的计算方法是解题的关键．
根据题意，将绕点逆时针旋转并放大倍，得，连接，根据边的关系可得，，由此可得，作直角，根据可得的长，在中，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，将绕点逆时针旋转并放大倍，得，连接，

∴，，，
∴在中，，
∴，
根据两点之间线段最短，
∴在中，，
∵的最小值为，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
延长，作点作，交于点，
∴，且，
在中，，
∴，，
∴，
∴在中，，
∴，
解得，，
故答案为： ．
三、解答题
13．（1）6；（2），
【分析】本题考查了实数的混合运算和利用平方根解方程，
（1）先计算二次根式、立方根和负整数指数幂，再进行加减运算即可；
（2）先将原方程整理成，再直接求解即可；
熟练掌握各个运算法则是解题的关键．
【详解】（1）原式
；
（2）∵，
∴，即，
∴，
∴，.
14．(1)②；④
(2)；
【分析】（1）根据分式的基本性质，乘法分配律计算即可．
（2）化简后，代入求值即可若，请任选一种解法，求出代数式的值．
本题考查了分式的化简求值，分母有理化，正确理解运算的算理，化简是解题的关键．
【详解】（1）根据分式的基本性质，乘法分配律，
故答案为：②；④．
（2）方法1、
，
当时，
原式．
方法2、、
，
当时，
原式．
15．(1)白
(2)不公平，见解析
【分析】本题考查事件发生可能性大小的判断，用画树状图法或列表法说明游戏公平性．
（1）直接用概率公式求出其概率，比较即可；
（2）用画树状图法或列表法求出小华胜与小溪胜的概率，再比较即可得出结论．
【详解】（1）解：∵盒子里装有3枚黑棋子，2枚白棋子，
∴P（黑），P（白），
∵
∴从盒子中随机摸出1枚棋子，则摸出的这枚棋子是白棋子的可能性较小．
故答案为：白．
（2）解：画树状图如下．

由图可得，共有25种等可能的结果，其中得分之和为2的情况有9种，得分之和为3的情况有12种，
∴P（小华胜），P（小华胜 ），
∵，
∴这个游戏规则对小华和小溪双方不公平．
16．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图-相似变换，旋转变换等知识:
（1）根据要求作出图形；
（2）根据对应边的比为，构造相似三角形即可．
【详解】（1）解：如图，即为所作：

（2）解：如图，即为所作：

17．（1）一次函数的表达式是y1＝x+3，反比例函数的表达式y2＝﹣；（2）
【分析】（1）分别把A点坐标代入y1=x+b和y2=（k≠0，x＜0）中计算出b和k的值即可；
（2）先确定B点坐标，然后设直线y=x+3与x轴的交点为C，求得C的坐标，再根据三角形面积公式求解．
【详解】解：（1）把A（﹣2，1）代入y1＝x+b得﹣2+b＝1，解得b＝3；
把A（﹣2，1）代入y2＝（k≠0，x＜0）得k＝﹣2×1＝﹣2，
∴一次函数的表达式是y1＝x+3，反比例函数的表达式y2＝；
（2）由，解得或，
∴B点坐标为（﹣1，2），
设直线y＝x+3与x轴的交点为C，
把y＝0代入求得x＝﹣3，
∴C（﹣3，0），
∴△AOB的面积＝△BOC的面积﹣△AOC的面积＝＝．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．
四、解答题
18．(1)米
(2)米
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，
（1）根据即可求解；
（2）利用，先求出，再利用，求出，问题随之得解．
【详解】（1）在中，，．
，
，
即的长为米；
（2）在中，，，
，
，
，
，
，
（米），
即的长为米．
19．(1)
(2)11个，5列
【分析】本题考查一次函数的应用，不等式的应用．
（1）由表格数据判断，与是一次函数的关系，设与的函数解析式为：，再由表格数据用待定系数法求即可；
（2）由题意得：解出的范围再判定即可．
【详解】（1）解：由表格数据判断，与是一次函数的关系，设与的函数解析式为：，根据表格数据得
，
解得，
与的函数解析式为：；
（2）由题意得：，解得：
是整数，
一列凳子最多可放11个，
，
最少需要放5列．
答：放置在货架上的一列凳子最多可放11个，放置45个凳子最少需要放5列．
20．(1)68
(2)320
(3)①初中生的视力水平比高中生的好，理由见解答；②14300
【分析】本题考查了频率与频数，样本容量，利用中位数做决策，利用样本估计总体，根据题意找出所需数据是解题关键．
（1）用初中生抽查总人数乘以视力为的人数占比，即可求出 的值；
（2）将被调查的高中学生视力每部分人数相加，即可得到样本容量；
（3）①分别找出初中生和高中生视力的中位数，比较分析即可；②用该区初高中生总人数乘以样本中视力不良学生的占比，即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，，
故答案为：68；
（2）解：被调查的高中学生视力情况的样本容量为，
故答案为：320；
（3）解：①初中生的视力水平比高中生的好，理由如下：
初中生调查人数为200人，
初中生视力的中位数为第100和101个数据的平均数，
，，
初中生视力的中位数落在这一组，
高中生调查人数为320人，
高中生视力的中位数为第160和161个数据的平均数，
，，
初中生视力的中位数落在这一组，
，
初中学生的视力水平比高中学生的好，小胡的说法正确；
②（名），
答：估计该区有14300名中学生视力不良．
五、解答题
21．(1)证明见详解
(2)①的半径是；②的长为或
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，根据平行线的性质可得，由此即可求解；
（2）①如图所示，连接，并延长交于点，连接，设，根据等腰三角形的性质，勾股定理即可求解；
②分类讨论：当时；当时，如图所示，连接交于点，连接，运用全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：①如图所示，连接，并延长交于点，连接，设，

根据等腰三角形的对称性得，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
在中，，
∴，解得，，
∴的半径是；
②当时，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
当时，如图所示，连接交于点，连接，

∴根据对称可知，，，
∴由勾股定理得：，则，
∴，
∵，，
∴，
∴，则，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的长为或．
【点睛】本题主要考查圆与几何的综合，掌握圆的基础知识，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识是解题的关键．
22．(1)①3；②或
(2)S关于t的函数解析式为，线段的长为
(3)8
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，勾股定理，正方形的性质，动点问题的函数图象：
（1）①当时，，即此时点P运动到点C的位置，则，即可得到；②求出，利用勾股定理即可得到；
（2）当点P运动到点D时，，，解方程得到，则；设，将代入，（得，解得，则S关于t的函数解析式为，由图像可知，当点P由运动到点E时，，则，解方程求出．则．则．
（3）根据（1）（2）画出S关于t的函数图象，根据函数图象求解即可．
【详解】（1）解：①当时，，即此时点P运动到点C的位置，
∴，
∴，
故答案为：3；
②当点P在上运动时，，则，
在中，由勾股定理得，
∴；
（2）解：由图像可知，当点P运动到点D时，，
∴，
解得：，（舍去），
∴，
∴，
∴当点P由D点运动到点E时，二次函数图像过点，
设，将代入，（得，解得，
∴S关于t的函数解析式为，
由图像可知，当点P运动到点E时，，
∴，
解得：，（舍去）．
∴．
在中，．
∵，
∴．
综上所述，S关于t的函数解析式为，线段的长为．
（3）解；由（1）（2）可知S关于t的函数图象如下，
∴由函数图象可知，若存在4个时刻，，，，对应的正方形的面积均相等，那么，
∵抛物线向右平移6个单位可以得到抛物线，
∴抛物线与抛物线关于直线对称，
∴点M和点Q关于直线对称，
∴，
故答案为：8．
六、解答题
23．（1）；（2）见解析；（3）三
【分析】（1）根据题意可进行求解；
（2）由折叠的性质可知，，然后可得，则有是等边三角形，进而问题可求证；
（3）连接，根据等腰三角形性质证明，根据平行线的性质证明，证明，得出，即可证明．
【详解】（1）解：由题意可知；
（2）证明：由折叠的性质可得：，，，，
∴，，
∴是等边三角形，
∵，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴；
（3）证明：连接，如图所示：

由折叠的性质可知：，，，
∵折痕，，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是的一条三等分线．
故答案为：三．
【点睛】本题主要考查折叠的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质与判定及矩形的性质，三角形全等的判定和性质，作出辅助线，熟练掌握折叠的性质，证明是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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