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第06讲 函数的概念及其表示
1、考点透视
考点要求 考题统计 考情分析
（1）了解函数的含义，会求简单函数的定义域和值域． （2）在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数． （3）了解简单的分段函数，并会简单的应用． 2023年北京卷第15题，5分 2022年浙江卷第14题，5分 2021年浙江卷第12题，5分 高考对函数的概念及其表示的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．高考对本节的考查不会有大的变化，仍将以分段函数、定义域、值域及最值为主，综合考查不等式与函数的性质．
2、思维导图
3.考点突破，题型探究
知识点1：函数的概念
（1）一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数．记作：，．集合叫做函数的定义域，记为，集合，叫做值域，记为．
（2）函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射．
【诊断自测】下列图象中，y不是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】任作一条垂直于x轴的直线，移动直线，根据函数的定义可知，此直线与函数图象至多有一个交点，结合选项可知D不满足要求，因此D中图象不表示函数关系．故选：D.
知识点2：函数的三要素
（1）函数的三要素：定义域、对应关系、值域．
（2）如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数．
【诊断自测】下列四组函数：① ；② ；③； ④；其中表示同一函数的是（ ）
A．②④ B．②③ C．①③ D．③④
【答案】B
【解析】① ，两个函数对应法则不一样，不是同一函数；
②，两个函数定义域和对应法则一样，是同一函数；
③，两个函数定义域和对应法则一样，是同一函数；
④，两个函数定义域不一样，不是同一函数.故选：B.
练1（北师大必修1）下列各组中的两个函数是否为同一个函数
(1) ; (2) ;
(3) ; (4) .
解 (1) 因为 的定义域是 的定义域是 ,两个函数的定义域不同, 所以不是同一个函数;(2) 因为两个函数的对应关系不同, 所以不是同一个函数;
(3) 因为 的定义域是 的定义域是 ,两个函数的定义域不同,所 以不是同一个函数;
(4) 和 虽然表示自变量的字母不同,但它们的定义域及对应关系都相同,所以是同 一个函数.
知识点3：函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
【诊断自测】已知函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】令，则，由于，则，
可得，所以.故选：B.
知识点4：分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
【诊断自测】（2024·吉林·模拟预测）已知若，则实数的值为（ ）
A．1 B．4 C．1或4 D．2
【答案】B
【解析】当时，，则，解得：（舍去）；
当时，，则，解得：.
故选：B.
解题方法总结
1、基本的函数定义域限制
求解函数的定义域应注意：
（1）分式的分母不为零；
（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：
（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；
（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；
（5）三角函数中的正切的定义域是且；
（6）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；
（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域．
2、基本初等函数的值域
（1）的值域是．
（2）的值域是：当时，值域为；当时，值域为．（3）的值域是．（4）且的值域是．
（5）且的值域是．
题型分类解 析
题型一：函数的概念
【典例1-1】下列对应是从集合A到集合B的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】对于A选项，对集合A中的任意一个数x，集合B中都有唯一的数y与之对应，是函数；
对于B选项，时，，有两个y与之对应，不是函数；
对于C选项，当时，不存在，不是函数；
对于D选项，集合A中的元素0在集合B中没有对应元素，不是函数.
故选：A
【典例1-2】已知是定义在有限实数集A上的函数，且，若函数的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则的值不可能是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得到，问题相当于圆上由个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合，
我们可以通过代入和赋值的方法，
当时，此时得到的圆心角为，然而此时或者时，都有个与之对应，
而我们知道函数的定义就是要求一个只能对应一个，
因此只有当时旋转，此时满足一个只会对应一个.
故选.：C.
【变式1-1】（2024·高三·上海虹口·期中）若函数的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合，则在以下各项中，的定义域不可能是（ ）
A．B．C． D．R
【答案】B
【解析】对于函数图象上任一点逆时针旋转可得，
即也在函数图象上，
所以均在函数图象上，都在定义域内，
从而结合函数定义有，当时，有
若定义域为，则不存在满足题意的对应值，故B错误；
故选：B.
【变式1-2】将函数的图象绕着原点沿逆时针方向旋转角得到曲线，已知曲线始终保持为函数图象，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】由题设，在原点处的切线斜率，
所以切线方程为，设切线倾斜角为，则，
当绕着原点沿逆时针方向旋转时，始终保持为函数图象，
则，故，显然为锐角，
所以，故的最大值为．故选：B
【变式1-3】存在定义域为的函数，满足对任意，使得下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A，因为有两个不相等的根和，所以当时，；
当，，与函数的定义不符，故A不成立；
对于B，令，则，令，则，与函数定义不符，故B不成立；对于C，令，则，令，则，与函数定义不符，故C不成立；
对于D，，，唯一确定，符合函数定义.故D成立，故选：D.
题型二：同一函数的判断
【典例2-1】下列各组函数相等的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】对于A中，函数的定义域为R，的定义域为，
所以定义域不同，不是相同的函数，故A错误；
对于B中，函数的定义域为R，的定义域为，
所以定义域不同，不是相同的函数，故B错误；
对于C中，函数的定义域为R，与的定义域为，
所以定义域不同，所以不是相同的函数,故C错误；
对于D中，函数与的定义域均为R，
可知两个函数的定义域相同，对应关系也相同，所以是相同的函数, 故D正确；
故选：D.
【典例2-2】（多选题）下列各项不能表示同一个函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】ABD
【解析】对于A:定义域为，定义域为，A不能表示同一个函数,A选项正确；
对于B:与解析式不同，B不能表示同一个函数，B选项正确；
对于C:解析式及定义域都相同，C选项是同一函数，C选项不正确；
对于D:定义域为，定义域为，D不能表示同一个函数，D选项正确；
故选:ABD.
【方法技巧】
当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才表示同一函数，否则表示不同的函数．
【变式2-1】（多选题）下列各组函数表示的是不同函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】ACD
【解析】A. 的定义域为，且，的定义域为，解析式不同，所以不是同一函数，故错误；
B. 的定义域为R，定义域为R，且解析式相同，所以是同一函数，故正确；
C. 的定义域为R，的定义域为，所以不是同一函数，故错误；
D.，由得，所以的定义域为，由，得 或 ，
所以函数的定义域为或 ，所以不是同一函数，故错误；
故选：ACD
【变式2-2】以下四组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】B
【解析】从定义域，对应关系，值域是否相同，逐项判断即可．
对于A：的值域为，的值域为，所以A错误；
对于B：的定义域需满足，即为，
的定义域满足，即为，且，
所以和是同一个函数，B正确；
对于C：的定义域为，的定义域为，所以C错误；
对于D：的定义域满足，即为，
的定义域需满足，即为，所以D错误，
故选：B
【变式2-3】（多选题）（2024·高三·浙江金华·期末）已知函数，．（ ）
A.若，则 B．若，则
C．对于，若，则 D．对于，若，则
【答案】CD
【解析】对A：若，则，，故A错误；
对B：若，则，，
，故B错误；
对C：若，则，，
又，故，故，即，
即恒成立，故，故C正确；
对D：若，则，
，又，故恒成立，
即，故，
即恒成立，故，即，故D正确.故选：CD.
题型三：给出函数解析式求解定义域
【典例3-1】（2024·北京通州·二模）已知函数的定义域为 ．
【答案】
【解析】根据题意可得,解得故定义域为.故答案为：
【典例3-2】已知等腰三角形的周长为，底边长是腰长的函数，则函数的定义域为(
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题设有，由得，故选A.
【变式3-1】函数的定义域是 .
【答案】
【解析】由的解析式可得，解得；所以其定义域为.故答案为：
【变式3-2】（2024·北京怀柔·模拟预测）函数的定义域是 .
【答案】
【解析】函数有意义，则，解得或，
所以函数的定义域是.
故答案为：
【变式3-3】（2024·北京平谷·模拟预测）函数的定义域是
【答案】
【解析】函数有意义的条件是，解得且，
所以函数定义域为.
故答案为：.
题型四：抽象函数定义域
【典例4-1】已知函数的定义域是，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数的定义域是，所以，所以，所以函数的定义域为，所以要使函数有意义，则有，解得，
所以函数的定义域为.故选：A.
【典例4-2】已知的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为定义域为，所以的定义域为，解得，
由分母不为，得，即，所以函数定义域为：.故选：.
【变式4-1】（2024·高三·河北邢台·期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
【答案】
【解析】因为，所以，所以的定义域为，
要使有意义，需满足，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
【变式4-2】已知函数的定义域为，求的定义域 .
【答案】
【解析】∵的定义域为，即，∴，故需，∴．
∴的定义域为．故答案为：
【变式4-3】（1）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
（2）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
【答案】
【解析】（1）令，则，
因为函数的定义域为，所以，
所以函数的定义域为．
（2）令，，则，．
因为函数的定义域为，所以，
所以函数的定义域为，
所以，所以，
所以函数的定义域为．
故答案为：；
题型五：函数定义域的综合应用
【典例5-1】已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】C
【解析】由函数的定义域为R，得，恒成立.
当时，恒成立；当时，，解得.
综上所述，实数a的取值范围为.故选：C.
【典例5-2】若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，的定义域为，
所以首先满足恒成立，，
再者满足，变形得到
，最终得到.
故选：B.
变式5-1】（2024·高三·上海嘉定·期中）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】函数的定义域为，
得恒成立，
当时，恒成立；
当时，，得，
综上，实数的取值范围是.
故答案为：
【变式5-2】若函数的定义域为，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由题意得，在R上恒成立，
当时，，成立；
当时，，即，解得；
综上所述，.故答案为：.
【变式5-3】当时，函数和有意义，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题意知，当时，不等式组成立.
对于，整理得，令，则，
当时，单调递增;时，单调递减，所以，则，解得；对于，整理得，由于在上的最小值为2，所以，解得.综上可得.故答案为：.
题型六：待定系数法求解析式
【典例6-1】一次函数在上单调递增，且，则 .
【答案】
【解析】设，则，
，
则.又在上单调递增，即，
所以，，则.故答案为：
【典例6-2】已知二次函数满足，，则不等式的解集为 ．
【答案】．
【解析】由二次函数满足，
设的表达式为（，为常数），
则；
，
根据，得，解得，
所以，令，则，解得，
所以的解集为．故答案为：．
【变式6-1】已知函数是一次函数，且，则的解析式为 .
【答案】或
【解析】设()，
则，
则，解得，，或，，
故或.
故答案为：或.
【变式6-2】已知二次函数，其图象过点，且满足，则的解析式为 .
【答案】
【解析】根据题意可知，
又恒相等，
化简得到恒相等，
所以，故，，，
所以的解析式为.故答案为：.
题型七：换元法求解析式
【典例7-1】已知f(x＋)＝x2＋，则函数f(x)＝ ．
【答案】x2－2(|x|≥2)
【解析】配凑法. f(x＋)＝x2＋＝(x2＋2＋)－2＝(x＋)2－2，所以f(x)＝x2－2(|x|≥2).
【典例7-2】已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】令，，则，，所以，所以的解析式为：故选：B.
【变式7-1】设是定义在上的函数，且有唯一解或无解，且对任意，均有，请写出一个符合条件的 .
【答案】或（答案不唯一）
【解析】当时，，
所以；或者，当时，
，所以.
故答案为：或（答案不唯一）.
【变式7-2】若是定义域为上的单调函数，且对任意实数都有，其中是自然对数的底数，则 （　　）
A．4 B． C． D．
【答案】B
【解析】∵是定义域为上的单调函数，且，
∴在上存在唯一一个实数使得，于是.令，得，即.画出与的图像如图所示：
由图像可知，与的图像在上只有1个交点，
且是方程的解，所以，故.
故选:B.
【变式7-3】（2024·高三·江西·期中）设是定义在上的单调函数，若，则不等式的解集为 .
【答案】
【解析】由，可得必为定值，
设，即，
由，解得，所以，
则不等式，即为，可得，解得，
所以不等式的解集为.故答案为：.
【变式7-4】设是定义在上的单调增函数，且满足，若对于任意非零实数都有，则 .
【答案】2021
【解析】令，则，
令，则，解得或.
而，则，故，因此.
则，
即.
因此或，
当时，，在上单调递减，不满足题意，舍去；
当时，满足题意.则.
故答案为：
题型八：方程组消元法求解析式
【典例8-1】已知为奇函数，为偶函数，且满足，则=（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【解析】由题意知，为奇函数，为偶函数，则，
所以，即，
解得.故选：D
【典例8-2】已知，那么 ．
【答案】
【解析】∵，，∴．联立方程组，
解得．故答案为：.
【变式8-1】（2024·高三·辽宁丹东·期中）若，函数满足，则 ．
【答案】/-0.5
【解析】由题意知：，，
所以得：，
解之得：，即，所以得：．
故答案为：
【变式8-2】已知满足，则 ．
【答案】
【解析】因为，所以，
联立，解得.故答案为：.
【变式8-3】（2024·河南·模拟预测）已知函数对定义域内的任意实数满足，则 .
【答案】
【解析】由，得，即①，将换为，得②，由①+2②，得，故.
故答案为：.
题型九：赋值法求解析式
【典例9-1】已知函数的定义域为R，且，，请写出满足条件的一个 （答案不唯一）．
【答案】1,（答案不唯一）
【解析】令，则，又，
所以，即，所以函数为偶函数，
不妨取偶函数，则，
也可取，则，满足题意.
故答案为：,（答案不唯一）
【典例9-2】已知函数，且 ， ，则函数的一个解析式为 .
【答案】（不唯一）
【解析】由题意，，
累乘可得，即，
令，则，
所以，
故答案为：（不唯一）
【变式9-1】已知函数满足，则的解析式可以是 （写出满足条件的一个解析式即可）．
【答案】（答案不唯一）
【解析】设，由，
代入可得，，解得，
.
故答案为：.（答案不唯一只要正确即可）
【变式9-2】（2024·高三·江苏扬州·开学考试）写出满足的函数的解析式 ．
【答案】
【解析】中，令，得；
令得，故，
则．
故答案为：．
【变式9-3】对，函数都满足：①；②；③；则 ．
【答案】
【解析】由题意，，
在中，
，，，
解: 由题意, 有, ,
∵,
∴,
∴有,
∵,
∴,
∴当, 即 ,
∵,
∴,
∴，.
故答案为: .
【变式9-4】设偶函数f(x)满足：，且当时时，，
则 ．
【答案】
【解析】利用初始值和递推关系，逐渐求得，，，，，最后求得再利用偶函数的性质得出所求.，
，
,
,
,
,
∵f(x)是偶函数，
．
故答案为：．
题型十：求值域的7个基本方法
【典例10-1】求下列函数的值域：
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；
(6)；(7)；(8)；
【解析】（1）因为，
故的值域为；
（2）令，则，
而，则，
故，
即的值域为；
（3），
因为，故，
所以的值域为;
（4）令，则，
当时，取到最大值5，无最小值，
故的值域为；
（5）因为，令,
故，
由于，故，
即函数的值域为；
（6），
当时，；当时，；当时，，
故的值域为；
（7）因为恒成立，故,
则由可得，
当时，，适合题意；
当时，由于，故恒有实数根，
故，解得且，
故的值域为；
（8），
因为，故，
当且仅当，即时等号成立，
故，即函数值域为；
【典例10-2】求下列函数的值域．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)（）．
【解析】（1）因为，所以．故值域为．
（2）因为，且，所以，所以，故函数的值域为．
（3）令，则，且，
所以（）．故函数的值域．
（4），其中，，
当时，．
又因为，所以．
故函数的值域为．
（5）因为，所以，所以，
当且仅当，即时，取等号，即取得最小值8．
故函数的值域为．
【方法技巧】
函数值域的求法主要有以下几种
（1）观察法：根据最基本函数值域（如≥0，及函数的图像、性质、简单的计算、推理，凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域．
（2）配方法：对于形如的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义城求出函数的值域．
（3）图像法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型．
（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等．
（5）换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形的值城，可通过换元将原函数转化为二次型函数．
（6）分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化内便于分析．
（7）单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域．对于形如或的函数，当ac>0时可利用单调性法．
【变式10-1】求下列函数的值域．
（1）求函数的值域．
（2） 求函数的值域．
（3）求函数，的值域．
【解析】(1) .
当时，y取最小值，
所以函数值域是．
（2）由函数解析式得.
①当时，①式是关于x的方程有实根．
所以，解得.
又当时，存在使解析式成立，
所以函数值域为．
（3）令，
因为，所以，
所以，
所以，
所以．
所以该函数值域为．
【变式10-2】求下列函数的值域：
(1)；
(2)；
(3).
【解析】（1）令，则，，
所以，
所以的值域为.
（2），
由反比例函数性质可知，在上单调递增，
所以，即，
所以的值域为.
（3）,
令，则，
由对勾函数性质可知，在上单调递增，所以，
由反比例函数性质可知，在单调递减，
所以，即的值域为.
【变式10-3】求下列函数的值域
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）
（9）；
（10）.
【解析】（1）分式函数，
定义域为，故，所有，
故值域为；
（2）函数中，分母，
则，故值域为；
（3）函数中，令得，
易见函数和都是减函数，
故函数在时是递减的，故时，
故值域为；
（4），
故值域为且；
（5），
而，，
，，
即，故值域为；
（6）函数，定义域为，令，
所以，所以，对称轴方程为，
所以时，函数，故值域为；
（7）由题意得，解得，
则，
故，，，
由y的非负性知，，故函数的值域为；
（8）函数，定义域为，，故，即值域为；
（9）函数，定义域为，
故，所有，故值域为；
（10）函数，
令，则由知，，，
根据对勾函数在递减，在递增,
可知时，，故值域为.
题型十一：数形结合求值域
【典例11-1】函数的值域为
【答案】
【解析】表示点与点连线的斜率，
的轨迹为圆，
表示圆上的点与点连线的斜率，
由图象可知：过作圆的切线，斜率必然存在，
则设过的圆的切线方程为，即，
圆心到切线的距离，解得：，
结合图象可知：圆上的点与点连线的斜率的取值范围为，
即的值域为.
故答案为：.
【典例11-2】函数的值域为 .
【答案】
【解析】原式为，即可看作是动点到定点的距离之和，
设关于轴的对称点为，连接交轴于 ，此时最小，且最小值为，故函数的值域为，
故答案为：
【变式11-1】函数的值域是 ．
【答案】
【解析】设函数，令，则点位于一个单位圆x轴的上半部分，如图所示．
将函数改写为，则表示定点与点所连直线的斜率．
当直线与上半单位圆相切时，在直角三角形中，，所以．又，所以．即函数的值域为．
【变式11-2】函数的值域是 ．
【答案】
【解析】，
由，解得，
令，即，
将函数的值域转化为与有交点时的t的取值范围，
在同一坐标系中作函数与的图象如图所示：
由图象知：当直线与半圆相切时，t最小，
此时，解得，由图象知，
当直线过点时，t最大，此时，
所以，即的值域是，
故答案为：
【变式11-3】函数的值域为 .
【答案】
【解析】由题设，
所以所求值域化为求轴上点到与距离差的范围，如下图示，
由图知：，即，
当三点共线且在之间时，左侧等号成立；
当三点共线且在之间时，右侧等号成立，显然不存在此情况；
所以，即，
所以函数值域为.
故答案为：
【变式11-4】函数的值域为 .
【答案】
【解析】设，则有，，
其几何意义为半圆上一动点到定点的连线的斜率．
如图：,则，
设过点A的直线为，
整理为，由点到直线的距离公式可得
，化简得或（舍），
所以，
故答案为:
题型十二：值域与求参问题
【典例12-1】若函数的值域为，则的值为 .
【答案】
【解析】设，可得，
由题意可知，关于的方程在上有解，
若，可得，则；
若，则，即，
由题意可知，关于的二次方程的两根为、，
由韦达定理可得，解得.
综上所述，.
故答案为：.
【典例12-2】若函数的值域为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当时，，即值域为，满足题意；
若，设，则需的值域包含，
，解得：；
综上所述：的取值范围为.
故选：C.
【变式12-1】已知函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得在，上单调递减，
因为函数的值域为，，
所以，
，
，，，，
，
，，结合可得：，，
，．
故选：．
【变式12-2】定义若函数，则的最大值为 ；若在区间上的值域为，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】当时，解得或，
所以，
作出的图象如下图所示：
由图象可知：当时，有最大值，所以；
当时，解得或或；
当时，或，
由图象可知：当，时，的值域为，此时的最大值为；
当时，的值域为，此时，
由上可知，的最大值为，
故答案为：；.
【变式12-3】（2024·上海青浦·一模）已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】当时，，此时，
当且时，，
此时，且，所以不满足；
当且时，，
由对勾函数单调性可知在上单调递增，在上单调递减，
所以，此时，
若要满足的值域为，只需要，解得；
当且时，因为均在上单调递增，
所以在上单调递增，且时，，时，，
所以此时，此时显然能满足的值域为；
综上可知，的取值范围是，
故答案为：.
题型十三：判别式法求值域
【典例13-1】函数，的值域为 ．
【答案】
【解析】因为，整理得，
可知关于x的方程有正根，
若，则，解得，符合题意；
若，则，
可得或，
解得或且，则或或；
综上所述：或，
即函数，的值域为.
故答案为：.
【典例13-2】函数的值域是 ．
【答案】
【解析】由题知函数的定义域为，
所以，将整理得，
所以，当时，；
当时，，解得，
所以，，即函数的值域是
故答案为：
【方法技巧】
判别式法：把函数解析式化为关于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判别式求值域，一般地，形如，或的函数值域问题可运用判别式法（注意x的取值范围必须为实数集R）．
【变式13-1】已知，且，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为，所以.
又因为，
所以，解得.
故答案为：.
【变式13-2】已知，函数的最大值为，则实数的值为 .
【答案】1
【解析】，
，
两边平方得：，
即，
再平方得：，
化简得：，
当，即时，，
此时最大值为，不符题意.
所以.
因为方程有解，所以，
即，
化简得：，因为，所以，
又因为的最大值为，所以，
所以.
故答案为：.
【变式13-3】函数的值域是 .
【答案】
【解析】，
因为
所以函数的定义域为
令，整理得方程：
当时，方程无解；
当时，
不等式整理得：
解得：
所以函数的值域为.
故答案为：
题型十四：三角换元法求值域
【典例14-1】求函数的值域.
【解析】，可设，
则.
设，则，从而.
（其中，），，
，，且..
故函数的值域为.
【典例14-2】（2024·高三·河南·期中）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意且，所以函数的定义域为.
设，，则，，其几何含义表示点与的斜率，为圆弧上一动点，
如图，当为圆弧为右端点时，斜率最小，最小值为，
当与圆弧相切时，直线的斜率存在且最大，设，即，
则圆心到直线的距离，即，如图，显然，所以.
所以函数的值域为.
故选：C.
【变式14-1】（2024·上海徐汇·模拟预测）函数的值域为 .
【答案】
【解析】.
令 且θ∈[0，π]
∴
=，表示两点（﹣3，﹣3）和（cosθ，sinθ）的斜率，，故点在单位圆的上半部分.
如图，斜率最小为，斜率最大值为直线与半圆相切时的斜率，，化简得，由，解得 ，故切线的斜率为.所以斜率的取值范围，也即函数的值域为.
故答案为：
题型十五：分段函数求值、求参数问题
【典例15-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数，则（ ）
A． B．0 C． D．1
【答案】D
【解析】由题意知．
故选：D．
【典例15-2】已知函数，若，则（ ）
A．0 B．2 C． D．2或3
【答案】B
【解析】当时，则，解得：或（舍去）
当时，则，解得：（舍去）
综上所述：
故选：B.
【变式15-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数，若，则的值为（ ）
A．2或 B．2或 C．或 D．1或
【答案】A
【解析】当时，，解得，
当时，，得，
所以的值是2或．
故选：
【变式15-2】（2024·全国·模拟预测）设，若，则（ ）
A．14 B．16 C．2 D．6
【答案】A
【解析】因为的定义域为，则，解得，
若，则，可得，不合题意；
若，则，可得，解得；
综上所述：.
所以.
故选：A.
【变式15-3】（2024·江苏南通·二模）已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为
由于，则．
故选：B
题型十六：分段函数与方程、不等式
【典例16-1】已知函数若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由，
若，则，即，解得，所以
若，则，即，解得，所以，
综上，不等式的解为.
故选：D
【典例16-2】（2024·福建福州·模拟预测）已知函数，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】当时，由得，两边取以e为底的对数得：，
当时，由得，解得，
综上或.
故选：A.
【变式16-1】（2024·湖北·一模）已知函数，则关于x的不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】当时，得，
当时，，得，所以，
综上：的解集为，
故答案为：.
【变式16-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数，则不等式的解集是 .
【答案】
【解析】当时，由得，解得，此时，；
当时，由得，即，解得，此时，.
综上所述，不等式的解集是.
故答案为：.
1．（2023年北京高考数学真题）已知函数，则 ．
【答案】1
【解析】函数，所以.
故答案为：1
2．（2022年新高考北京数学高考真题）函数的定义域是 ．
【答案】
【解析】因为，所以，解得且，
故函数的定义域为；
故答案为：
3．（2021年浙江省高考数学试题）已知，函数若，则 .
【答案】2
【解析】，故，
故答案为：2.
2．(链接苏教必修一P115T4)在下列图形中，能表示函数关系y＝f(x)的是(　　)
答案：D
3．[多选题](链接人A必修一P67T3)下列各组函数是同一个函数的是(　　)
A．f(x)＝x2－2x－1与g(s)＝s2－2s－1
B．f(x)＝与g(x)＝x
C．f(x)＝与g(x)＝
D．f(x)＝x与g(x)＝
答案：AC
解析：f(x)＝与g(x)＝x的值域不同；f(x)＝x与g(x)＝＝|x|的对应关系不同，故BD错误，AC正确．
4.（苏教版必修一）判断下列各组函数是否是同一个函数, 并说明理由:
(1) ; (2) ;
(3) ; (4) .
解： (1) 不是. 函数 的定义域为 ,而函数 的定义域为 , 故不是同一个函数.
(2) 不是. 定义域不同.
(3) 是. 定义域和对应关系都相同
(4) 是. 定义域和对应关系都相同.
4．(链接人A必修一P65例2)已知函数f(x)＝x＋，则f(x)的定义域为________；若f(a)＝2，则a的值为________．
答案：(－∞，0)∪(0，＋∞)　1
解析：要使函数f(x)有意义，必须使x≠0，故f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．由f(a)＝2得a＋＝2，解得a＝1.
1．（人教版必修1）若，且，，求的值.
【解析】因为,且,
则,解方程组可得
则
所以
2．（人教版必修1）已知函数，，．

（1）在图中画出函数，的图象；
（2）定义：，用表示，中的较小者，记为，请分别用图象法和解析式法表示函数．（注：图象法请在图中表示，本题中的单位长度请自己定义且标明）
【解析】（1），的图象如下图所示：
（2）当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
综上所述：.
图象如下图所示：
3．（人教版必修1）函数的图象如图所示，曲线l与直线m无限接近，但永不相交．
（1）函数的定义域、值域各是什么？
（2）r取何值时，只有唯一的值与之对应？
【解析】（1）由图可知，函数的定义域为，值域为；
（2）由图可知，当或时，只有唯一的值与之对应，故.
（北师大版必修1）设集合 ,函数 已知 ,且 ,求实数 的取值范围.
解：因为 ,
所以 . ,
所以 ,
解得 .
所以实数 的取值范围是 .
4．（人教版必修1）画出定义域为，且，值域为的一个函数的图象.
（1）将你的图象和其他同学的相比较，有什么差别吗？
（2）如果平面直角坐标系中点的坐标满足，那么其中哪些点不能在图象上？
【解析】1）由题意可知：定义域为，且，值域为，图象可以是如下图所示：
（2）由题意可知中：线段，和线段上的点不在图象上如下图所示：
5．（人教版必修1）如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点P的距离是2km，从点P沿海岸正东处有一个城镇.
（1）假设一个人驾驶的小船的平均速度为，步行的速度是，t（单位：h）表示他从小岛到城镇的时间，x（单位：km）表示此人将船停在海岸处距点P的距离，请将t表示为x的函数.
（2）如果将船停在距点P 4km处，那么从小岛到城镇要多长时间（精确到1h）？
【答案】（1）（2）.
【详解】解：（1）如图，此人坐船所用时间为，步行所用时间为.
（2）当时，.
2.（北师大版必修1） 画出函数 的图象.
解：
（人教版必修1）函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，.当时，写出函数的解析式，并画出函数的图象.
【详解】解：
函数图象如图所示：
易错点：错求抽象函数的定义域
易错分析： 定义域不是指的范围，而是指的范围.
答题模板：求抽象函数的定义域
1、模板解决思路
解决本模板问题的要点是知道函数中的范围，也就是函数中的范围，解不等式就可得到函数的定义域．
2、模板解决步骤
第一步：由函数的定义域，即的取值范围，求出的取值范围．
第二步：用集合或区间表示所求定义域．
【易错题1】函数的定义域为，则函数的定义域是 .
【答案】
【解析】根据抽象函数求定义域的基本原则可得出关于实数的不等式组，由此可解得原函数的定义域.函数定义域为，对于函数，有，
解得且
因此函数的定义域为.
故答案为：.
【易错题2】若函数的定义域为，则的定义域为 .
【答案】
【解析】先由函数的定义域求出的范围，进而可得，解不等式组可得函数的定义域．函数的定义域为，则，
可得
进而有，解得，故
则的定义域为
函数概念的起源
17 世纪早期, 由于天文学和航海事业的发展, 科学家以解释地球和天体运动作为 研究课题, 推动了函数概念的发展. 意大利科学家伽利略 (Galileo Galilei, 1564-1642) 第一个提出了函数或称为变量关系的这一概念. 1638 年, 伽利略积数十年之力在《关于 两个新科学的论述和数学演示》中以对话体裁和较朴素的文笔, 总结了他在材料力学和 动力学方面的研究成果, 以及对力学原理的思考, 讲述了几乎包括全部变量关系的这一概念, 用文字和比例的语言表达了函数的关系.
“function (函数)” 这个词作为数学术语, 最初是由微积分奠基人之一、德国哲学家、 数学家莱布尼茨 (Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716) 在 1673 年的手稿中首次使用 的. 莱布尼茨所指的函数是现在的可导函数. 1692 年, 莱布尼茨在《Acta Eruditorum(教 师学报)》发表的论文中正式使用函数来表示变量之间的依赖关系。我们可以把莱布尼 茨建立的概念看成是函数的第一个定义.
1859 年, 我国清代数学家李善兰 (1811-1882) 在翻译《代数学 (Elements of Alge- bra) 》时, 把 “function” 译为 “函数”, 他给出的理由是“凡此变数中函彼变数者, 则此为彼 之函数”, 即“函”为包含之意.
1905 年, 哥廷根数学学派的创始人、现代国际数学教育的奠基人、德国数学家克莱 因在为中学数学教学起草的《数学教学要目 (米兰大纲)》中明确提出: “应将养成函数思 想和空间观察能力作为数学教学的基础. "1908 年, 在巴黎国际数学家大会上, 他倡导 “函数的概念应该成为数学思维的心脏和灵魂, 渗透到数学课程的每一个部分”. 在名 著《高观点下的初等数学》中, 他进一步强调函数应该成为中学数学的“基石”, 应该把算 术、代数和几何方面的内容, 通过几何的形式用以函数为中心的观念综合起来.
我国基础教育真正意义上的函数教学起始于 1941 年颁布的《修正初级中学数学课 程标准》, 教学目标中明确规定要“培养学生分析能力、归纳方法、函数观念及探讨精 神”. 目前, 函数已经成为中学数学中最基本、最重要的内容.
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第06讲 函数的概念及其表示
1、考点透视
考点要求 考题统计 考情分析
（1）了解函数的含义，会求简单函数的定义域和值域． （2）在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数． （3）了解简单的分段函数，并会简单的应用． 2023年北京卷第15题，5分 2022年浙江卷第14题，5分 2021年浙江卷第12题，5分 高考对函数的概念及其表示的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．高考对本节的考查不会有大的变化，仍将以分段函数、定义域、值域及最值为主，综合考查不等式与函数的性质．
2、思维导图
3.考点突破，题型探究
知识点1：函数的概念
（1）一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数．记作：，．集合叫做函数的定义域，记为，集合，叫做值域，记为．
（2）函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射．
【诊断自测】下列图象中，y不是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
知识点2：函数的三要素
（1）函数的三要素：定义域、对应关系、值域．
（2）如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数．
【诊断自测】下列四组函数：① ；② ；③； ④；其中表示同一函数的是（ ）
A．②④ B．②③ C．①③ D．③④
练1（北师大必修1）下列各组中的两个函数是否为同一个函数
(1) ; (2) ;
(3) ; (4) .
知识点3：函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
【诊断自测】已知函数，则（ ）
A．B．C． D．
知识点4：分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
【诊断自测】（2024·吉林·模拟预测）已知若，则实数的值为（ ）
A．1 B．4 C．1或4 D．2
解题方法总结
1、基本的函数定义域限制
求解函数的定义域应注意：
（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：
（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；
（5）三角函数中的正切的定义域是且；
（6）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；
（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域．
2、基本初等函数的值域
（1）的值域是．
（2）的值域是：当时，值域为；当时，值域为．（3）的值域是．（4）且的值域是．
（5）且的值域是．
题型一：函数的概念
【典例1-1】下列对应是从集合A到集合B的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例1-2】已知是定义在有限实数集A上的函数，且，若函数的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则的值不可能是（ ）
A．0 B． C． D．
【变式1-1】（2024·高三·上海虹口·期中）若函数的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合，则在以下各项中，的定义域不可能是（ ）
A．B．C． D．R
【变式1-2】将函数的图象绕着原点沿逆时针方向旋转角得到曲线，已知曲线始终保持为函数图象，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
【变式1-3】存在定义域为的函数，满足对任意，使得下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
题型二：同一函数的判断
【典例2-1】下列各组函数相等的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【典例2-2】（多选题）下列各项不能表示同一个函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【变式2-1】（多选题）下列各组函数表示的是不同函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【变式2-2】以下四组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【变式2-3】（多选题）（2024·高三·浙江金华·期末）已知函数，．（ ）
A.若，则 B．若，则
C．对于，若，则 D．对于，若，则
题型三：给出函数解析式求解定义域
【典例3-1】（2024·北京通州·二模）已知函数的定义域为 ．
【典例3-2】已知等腰三角形的周长为，底边长是腰长的函数，则函数的定义域为(
A． B． C． D．
【变式3-1】函数的定义域是 .
【变式3-2】（2024·北京怀柔·模拟预测）函数的定义域是 .
【变式3-3】（2024·北京平谷·模拟预测）函数的定义域是
题型四：抽象函数定义域
【典例4-1】已知函数的定义域是，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【典例4-2】已知的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2024·高三·河北邢台·期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
【变式4-2】已知函数的定义域为，求的定义域 .
【变式4-3】（1）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
（2）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
题型五：函数定义域的综合应用
【典例5-1】已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．或C． D．或
【典例5-2】若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式5-1】（2024·高三·上海嘉定·期中）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 .
【变式5-2】若函数的定义域为，则实数的取值范围为 ．
【变式5-3】当时，函数和有意义，则实数的取值范围是 .
题型六：待定系数法求解析式
【典例6-1】一次函数在上单调递增，且，则 .
【典例6-2】已知二次函数满足，，则不等式的解集为 ．
【变式6-1】已知函数是一次函数，且，则的解析式为 .
【变式6-2】已知二次函数，其图象过点，且满足，则的解析式为 .
题型七：换元法求解析式
【典例7-1】已知f(x＋)＝x2＋，则函数f(x)＝ ．
【典例7-2】已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-1】设是定义在上的函数，且有唯一解或无解，且对任意，均有，请写出一个符合条件的 .
【变式7-2】若是定义域为上的单调函数，且对任意实数都有，其中是自然对数的底数，则 （　　）
A．4 B． C． D．
【变式7-3】（2024·高三·江西·期中）设是定义在上的单调函数，若，则不等式的解集为 .
【变式7-4】设是定义在上的单调增函数，且满足，若对于任意非零实数都有，则 .
题型八：方程组消元法求解析式
【典例8-1】已知为奇函数，为偶函数，且满足，则=（ ）
A． B．C． D．
【典例8-2】已知，那么 ．
【变式8-1】（2024·高三·辽宁丹东·期中）若，函数满足，则 ．
【变式8-2】已知满足，则 ．
【变式8-3】（2024·河南·模拟预测）已知函数对定义域内的任意实数满足，则 .
题型九：赋值法求解析式
【典例9-1】已知函数的定义域为R，且，，请写出满足条件的一个 （答案不唯一）．
【典例9-2】已知函数，且 ， ，则函数的一个解析式为 .
【变式9-1】已知函数满足，则的解析式可以是 （写出满足条件的一个解析式即可）．
【变式9-2】（2024·高三·江苏扬州·开学考试）写出满足的函数的解析式 ．
【变式9-3】对，函数都满足：①；②；③；则 ．
【变式9-4】设偶函数f(x)满足：，且当时时，，
则 ．
题型十：求值域的7个基本方法
【典例10-1】求下列函数的值域：
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；
(6)；(7)；(8)；
【典例10-2】求下列函数的值域．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)（）．
【变式10-1】求下列函数的值域．
（1）求函数的值域．
（2） 求函数的值域．
（3）求函数，的值域．
【变式10-2】求下列函数的值域：
(1)；
(2)；
(3).
【变式10-3】求下列函数的值域
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）
（9）；
（10）.
题型十一：数形结合求值域
【典例11-1】函数的值域为
【典例11-2】函数的值域为 .
【变式11-1】函数的值域是 ．
【变式11-2】函数的值域是 ．
题型十二：值域与求参问题
【典例12-1】若函数的值域为，则的值为 .
【典例12-2】若函数的值域为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式12-1】已知函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式12-2】定义若函数，则的最大值为 ；若在区间上的值域为，则的最大值为 ．
【变式12-3】（2024·上海青浦·一模）已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ．
题型十三：判别式法求值域
【典例13-1】函数，的值域为 ．
【典例13-2】函数的值域是 ．
【变式13-1】已知，且，则的取值范围是 .
【变式13-2】已知，函数的最大值为，则实数的值为 .
【变式13-3】函数的值域是 .
题型十四：三角换元法求值域
【典例14-1】求函数的值域.
【典例14-2】（2024·高三·河南·期中）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【变式14-1】（2024·上海徐汇·模拟预测）函数的值域为 .
题型十五：分段函数求值、求参数问题
【典例15-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数，则（ ）
A． B．0 C． D．1
【典例15-2】已知函数，若，则（ ）
A．0 B．2 C． D．2或3
【变式15-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数，若，则的值为（ ）
A．2或 B．2或 C．或 D．1或
【变式15-2】（2024·全国·模拟预测）设，若，则（ ）
A．14 B．16 C．2 D．6
【变式15-3】（2024·江苏南通·二模）已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
题型十六：分段函数与方程、不等式
【典例16-1】已知函数若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C． D．
【典例16-2】（2024·福建福州·模拟预测）已知函数，则不等式的解集是
A．B．C． D．
【变式16-1】（2024·湖北·一模）已知函数，则关于x的不等式的解集为 ．
【变式16-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数，则不等式的解集是 .
4.真题演练
1．（2023年北京高考数学真题）已知函数，则 ．
2．（2022年新高考北京数学高考真题）函数的定义域是 ．
3．（2021年浙江省高考数学试题）已知，函数若，则 .
1．(链接苏教必修一P115T4)在下列图形中，能表示函数关系y＝f(x)的是(　　)
2．[多选题](链接人A必修一P67T3)下列各组函数是同一个函数的是(　　)
A．f(x)＝x2－2x－1与g(s)＝s2－2s－1 B．f(x)＝与g(x)＝x
C．f(x)＝与g(x)＝ D．f(x)＝x与g(x)＝
3.（苏教版必修一）判断下列各组函数是否是同一个函数, 并说明理由:
(1) ; (2) ;(3) ; (4) .
4．(链接人A必修一P65例2)已知函数f(x)＝x＋，则f(x)的定义域为________；若f(a)＝2，则a的值为________．
5．（人教版必修1）若，且，，求的值.
6．（人教版必修1）已知函数，，．

（1）在图中画出函数，的图象；
（2）定义：，用表示，中的较小者，记为，请分别用图象法和解析式法表示函数．（注：图象法请在图中表示，本题中的单位长度请自己定义且标明）
7．（人教版必修1）函数的图象如图所示，曲线l与直线m无限接近，但永不相交．
（1）函数的定义域、值域各是什么？
（2）r取何值时，只有唯一的值与之对应？
8.（北师大版必修1）设集合 ,函数 已知 ,且 ,求实数 的取值范围.
9．（人教版必修1）画出定义域为，且，值域为的一个函数的图象.
（1）将你的图象和其他同学的相比较，有什么差别吗？
（2）如果平面直角坐标系中点的坐标满足，那么其中哪些点不能在图象上？
10．（人教版必修1）如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点P的距离是2km，从点P沿海岸正东处有一个城镇.
（1）假设一个人驾驶的小船的平均速度为，步行的速度是，t（单位：h）表示他从小岛到城镇的时间，x（单位：km）表示此人将船停在海岸处距点P的距离，请将t表示为x的函数.
（2）如果将船停在距点P 4km处，那么从小岛到城镇要多长时间（精确到1h）？
11.（北师大版必修1） 画出函数 的图象.
12.（人教版必修1）函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，.当时，写出函数的解析式，并画出函数的图象.
易错点：错求抽象函数的定义域
易错分析： 定义域不是指的范围，而是指的范围.
答题模板：求抽象函数的定义域
1、模板解决思路
解决本模板问题的要点是知道函数中的范围，也就是函数中的范围，解不等式就可得到函数的定义域．
2、模板解决步骤
第一步：由函数的定义域，即的取值范围，求出的取值范围．
第二步：用集合或区间表示所求定义域．
【易错题1】函数的定义域为，则函数的定义域是 .
【易错题2】若函数的定义域为，则的定义域为 .
函数概念的起源
17 世纪早期, 由于天文学和航海事业的发展, 科学家以解释地球和天体运动作为 研究课题, 推动了函数概念的发展. 意大利科学家伽利略 (Galileo Galilei, 1564-1642) 第一个提出了函数或称为变量关系的这一概念. 1638 年, 伽利略积数十年之力在《关于 两个新科学的论述和数学演示》中以对话体裁和较朴素的文笔, 总结了他在材料力学和 动力学方面的研究成果, 以及对力学原理的思考, 讲述了几乎包括全部变量关系的这一概念, 用文字和比例的语言表达了函数的关系.
“function (函数)” 这个词作为数学术语, 最初是由微积分奠基人之一、德国哲学家、 数学家莱布尼茨 (Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716) 在 1673 年的手稿中首次使用 的. 莱布尼茨所指的函数是现在的可导函数. 1692 年, 莱布尼茨在《Acta Eruditorum(教 师学报)》发表的论文中正式使用函数来表示变量之间的依赖关系。我们可以把莱布尼 茨建立的概念看成是函数的第一个定义.
1859 年, 我国清代数学家李善兰 (1811-1882) 在翻译《代数学 (Elements of Alge- bra) 》时, 把 “function” 译为 “函数”, 他给出的理由是“凡此变数中函彼变数者, 则此为彼 之函数”, 即“函”为包含之意.
1905 年, 哥廷根数学学派的创始人、现代国际数学教育的奠基人、德国数学家克莱 因在为中学数学教学起草的《数学教学要目 (米兰大纲)》中明确提出: “应将养成函数思 想和空间观察能力作为数学教学的基础. "1908 年, 在巴黎国际数学家大会上, 他倡导 “函数的概念应该成为数学思维的心脏和灵魂, 渗透到数学课程的每一个部分”. 在名 著《高观点下的初等数学》中, 他进一步强调函数应该成为中学数学的“基石”, 应该把算 术、代数和几何方面的内容, 通过几何的形式用以函数为中心的观念综合起来.
我国基础教育真正意义上的函数教学起始于 1941 年颁布的《修正初级中学数学课 程标准》, 教学目标中明确规定要“培养学生分析能力、归纳方法、函数观念及探讨精 神”. 目前, 函数已经成为中学数学中最基本、最重要的内容.
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