06.函数的概念及表示 学案--2025年高考数学一轮复习

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06.函数的概念及表示 学案--2025年高考数学一轮复习

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第06讲 函数的概念及其表示
1、考点透视
考点要求 考题统计 考情分析
(1)了解函数的含义,会求简单函数的定义域和值域. (2)在实际情景中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数. (3)了解简单的分段函数,并会简单的应用. 2023年北京卷第15题,5分 2022年浙江卷第14题,5分 2021年浙江卷第12题,5分 高考对函数的概念及其表示的考查相对稳定,考查内容、频率、题型、难度均变化不大.高考对本节的考查不会有大的变化,仍将以分段函数、定义域、值域及最值为主,综合考查不等式与函数的性质.
2、思维导图
3.考点突破,题型探究
知识点1:函数的概念
(1)一般地,给定非空数集,,按照某个对应法则,使得中任意元素,都有中唯一确定的与之对应,那么从集合到集合的这个对应,叫做从集合到集合的一个函数.记作:,.集合叫做函数的定义域,记为,集合,叫做值域,记为.
(2)函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射.
【诊断自测】下列图象中,y不是x的函数的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】任作一条垂直于x轴的直线,移动直线,根据函数的定义可知,此直线与函数图象至多有一个交点,结合选项可知D不满足要求,因此D中图象不表示函数关系.故选:D.
知识点2:函数的三要素
(1)函数的三要素:定义域、对应关系、值域.
(2)如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则这两个函数为同一个函数.
【诊断自测】下列四组函数:① ;② ;③; ④;其中表示同一函数的是( )
A.②④ B.②③ C.①③ D.③④
【答案】B
【解析】① ,两个函数对应法则不一样,不是同一函数;
②,两个函数定义域和对应法则一样,是同一函数;
③,两个函数定义域和对应法则一样,是同一函数;
④,两个函数定义域不一样,不是同一函数.故选:B.
练1(北师大必修1)下列各组中的两个函数是否为同一个函数
(1) ; (2) ;
(3) ; (4) .
解 (1) 因为 的定义域是 的定义域是 ,两个函数的定义域不同, 所以不是同一个函数;(2) 因为两个函数的对应关系不同, 所以不是同一个函数;
(3) 因为 的定义域是 的定义域是 ,两个函数的定义域不同,所 以不是同一个函数;
(4) 和 虽然表示自变量的字母不同,但它们的定义域及对应关系都相同,所以是同 一个函数.
知识点3:函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.
【诊断自测】已知函数,则( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】令,则,由于,则,
可得,所以.故选:B.
知识点4:分段函数
若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.
【诊断自测】(2024·吉林·模拟预测)已知若,则实数的值为( )
A.1 B.4 C.1或4 D.2
【答案】B
【解析】当时,,则,解得:(舍去);
当时,,则,解得:.
故选:B.
解题方法总结
1、基本的函数定义域限制
求解函数的定义域应注意:
(1)分式的分母不为零;
(2)偶次方根的被开方数大于或等于零:
(3)对数的真数大于零,底数大于零且不等于1;
(4)零次幂或负指数次幂的底数不为零;
(5)三角函数中的正切的定义域是且;
(6)已知的定义域求解的定义域,或已知的定义域求的定义域,遵循两点:①定义域是指自变量的取值范围;②在同一对应法则∫下,括号内式子的范围相同;
(7)对于实际问题中函数的定义域,还需根据实际意义再限制,从而得到实际问题函数的定义域.
2、基本初等函数的值域
(1)的值域是.
(2)的值域是:当时,值域为;当时,值域为.(3)的值域是.(4)且的值域是.
(5)且的值域是.
题型分类解 析
题型一:函数的概念
【典例1-1】下列对应是从集合A到集合B的函数的是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】对于A选项,对集合A中的任意一个数x,集合B中都有唯一的数y与之对应,是函数;
对于B选项,时,,有两个y与之对应,不是函数;
对于C选项,当时,不存在,不是函数;
对于D选项,集合A中的元素0在集合B中没有对应元素,不是函数.
故选:A
【典例1-2】已知是定义在有限实数集A上的函数,且,若函数的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合,则的值不可能是( )
A.0 B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意得到,问题相当于圆上由个点为一组,每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合,
我们可以通过代入和赋值的方法,
当时,此时得到的圆心角为,然而此时或者时,都有个与之对应,
而我们知道函数的定义就是要求一个只能对应一个,
因此只有当时旋转,此时满足一个只会对应一个.
故选.:C.
【变式1-1】(2024·高三·上海虹口·期中)若函数的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合,则在以下各项中,的定义域不可能是( )
A.B.C. D.R
【答案】B
【解析】对于函数图象上任一点逆时针旋转可得,
即也在函数图象上,
所以均在函数图象上,都在定义域内,
从而结合函数定义有,当时,有
若定义域为,则不存在满足题意的对应值,故B错误;
故选:B.
【变式1-2】将函数的图象绕着原点沿逆时针方向旋转角得到曲线,已知曲线始终保持为函数图象,则的最大值为( )
A. B. C.1 D.
【答案】B
【解析】由题设,在原点处的切线斜率,
所以切线方程为,设切线倾斜角为,则,
当绕着原点沿逆时针方向旋转时,始终保持为函数图象,
则,故,显然为锐角,
所以,故的最大值为.故选:B
【变式1-3】存在定义域为的函数,满足对任意,使得下列等式成立的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】对于A,因为有两个不相等的根和,所以当时,;
当,,与函数的定义不符,故A不成立;
对于B,令,则,令,则,与函数定义不符,故B不成立;对于C,令,则,令,则,与函数定义不符,故C不成立;
对于D,,,唯一确定,符合函数定义.故D成立,故选:D.
题型二:同一函数的判断
【典例2-1】下列各组函数相等的是( )
A., B.,
C., D.,
【答案】D
【解析】对于A中,函数的定义域为R,的定义域为,
所以定义域不同,不是相同的函数,故A错误;
对于B中,函数的定义域为R,的定义域为,
所以定义域不同,不是相同的函数,故B错误;
对于C中,函数的定义域为R,与的定义域为,
所以定义域不同,所以不是相同的函数,故C错误;
对于D中,函数与的定义域均为R,
可知两个函数的定义域相同,对应关系也相同,所以是相同的函数, 故D正确;
故选:D.
【典例2-2】(多选题)下列各项不能表示同一个函数的是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
【答案】ABD
【解析】对于A:定义域为,定义域为,A不能表示同一个函数,A选项正确;
对于B:与解析式不同,B不能表示同一个函数,B选项正确;
对于C:解析式及定义域都相同,C选项是同一函数,C选项不正确;
对于D:定义域为,定义域为,D不能表示同一个函数,D选项正确;
故选:ABD.
【方法技巧】
当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时,才表示同一函数,否则表示不同的函数.
【变式2-1】(多选题)下列各组函数表示的是不同函数的是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
【答案】ACD
【解析】A. 的定义域为,且,的定义域为,解析式不同,所以不是同一函数,故错误;
B. 的定义域为R,定义域为R,且解析式相同,所以是同一函数,故正确;
C. 的定义域为R,的定义域为,所以不是同一函数,故错误;
D.,由得,所以的定义域为,由,得 或 ,
所以函数的定义域为或 ,所以不是同一函数,故错误;
故选:ACD
【变式2-2】以下四组函数中,表示同一个函数的是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
【答案】B
【解析】从定义域,对应关系,值域是否相同,逐项判断即可.
对于A:的值域为,的值域为,所以A错误;
对于B:的定义域需满足,即为,
的定义域满足,即为,且,
所以和是同一个函数,B正确;
对于C:的定义域为,的定义域为,所以C错误;
对于D:的定义域满足,即为,
的定义域需满足,即为,所以D错误,
故选:B
【变式2-3】(多选题)(2024·高三·浙江金华·期末)已知函数,.( )
A.若,则 B.若,则
C.对于,若,则 D.对于,若,则
【答案】CD
【解析】对A:若,则,,故A错误;
对B:若,则,,
,故B错误;
对C:若,则,,
又,故,故,即,
即恒成立,故,故C正确;
对D:若,则,
,又,故恒成立,
即,故,
即恒成立,故,即,故D正确.故选:CD.
题型三:给出函数解析式求解定义域
【典例3-1】(2024·北京通州·二模)已知函数的定义域为 .
【答案】
【解析】根据题意可得,解得故定义域为.故答案为:
【典例3-2】已知等腰三角形的周长为,底边长是腰长的函数,则函数的定义域为(
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题设有,由得,故选A.
【变式3-1】函数的定义域是 .
【答案】
【解析】由的解析式可得,解得;所以其定义域为.故答案为:
【变式3-2】(2024·北京怀柔·模拟预测)函数的定义域是 .
【答案】
【解析】函数有意义,则,解得或,
所以函数的定义域是.
故答案为:
【变式3-3】(2024·北京平谷·模拟预测)函数的定义域是
【答案】
【解析】函数有意义的条件是,解得且,
所以函数定义域为.
故答案为:.
题型四:抽象函数定义域
【典例4-1】已知函数的定义域是,则函数的定义域为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为函数的定义域是,所以,所以,所以函数的定义域为,所以要使函数有意义,则有,解得,
所以函数的定义域为.故选:A.
【典例4-2】已知的定义域为,则的定义域为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为定义域为,所以的定义域为,解得,
由分母不为,得,即,所以函数定义域为:.故选:.
【变式4-1】(2024·高三·河北邢台·期末)若函数的定义域为,则函数的定义域为 .
【答案】
【解析】因为,所以,所以的定义域为,
要使有意义,需满足,解得,
所以函数的定义域为.
故答案为:.
【变式4-2】已知函数的定义域为,求的定义域 .
【答案】
【解析】∵的定义域为,即,∴,故需,∴.
∴的定义域为.故答案为:
【变式4-3】(1)已知函数的定义域为,则函数的定义域为 .
(2)已知函数的定义域为,则函数的定义域为 .
【答案】
【解析】(1)令,则,
因为函数的定义域为,所以,
所以函数的定义域为.
(2)令,,则,.
因为函数的定义域为,所以,
所以函数的定义域为,
所以,所以,
所以函数的定义域为.
故答案为:;
题型五:函数定义域的综合应用
【典例5-1】已知函数的定义域为R,则实数a的取值范围为( )
A. B.或
C. D.或
【答案】C
【解析】由函数的定义域为R,得,恒成立.
当时,恒成立;当时,,解得.
综上所述,实数a的取值范围为.故选:C.
【典例5-2】若函数的定义域为,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为,的定义域为,
所以首先满足恒成立,,
再者满足,变形得到
,最终得到.
故选:B.
变式5-1】(2024·高三·上海嘉定·期中)已知函数的定义域为,则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】函数的定义域为,
得恒成立,
当时,恒成立;
当时,,得,
综上,实数的取值范围是.
故答案为:
【变式5-2】若函数的定义域为,则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】由题意得,在R上恒成立,
当时,,成立;
当时,,即,解得;
综上所述,.故答案为:.
【变式5-3】当时,函数和有意义,则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题意知,当时,不等式组成立.
对于,整理得,令,则,
当时,单调递增;时,单调递减,所以,则,解得;对于,整理得,由于在上的最小值为2,所以,解得.综上可得.故答案为:.
题型六:待定系数法求解析式
【典例6-1】一次函数在上单调递增,且,则 .
【答案】
【解析】设,则,

则.又在上单调递增,即,
所以,,则.故答案为:
【典例6-2】已知二次函数满足,,则不等式的解集为 .
【答案】.
【解析】由二次函数满足,
设的表达式为(,为常数),
则;

根据,得,解得,
所以,令,则,解得,
所以的解集为.故答案为:.
【变式6-1】已知函数是一次函数,且,则的解析式为 .
【答案】或
【解析】设(),
则,
则,解得,,或,,
故或.
故答案为:或.
【变式6-2】已知二次函数,其图象过点,且满足,则的解析式为 .
【答案】
【解析】根据题意可知,
又恒相等,
化简得到恒相等,
所以,故,,,
所以的解析式为.故答案为:.
题型七:换元法求解析式
【典例7-1】已知f(x+)=x2+,则函数f(x)= .
【答案】x2-2(|x|≥2)
【解析】配凑法. f(x+)=x2+=(x2+2+)-2=(x+)2-2,所以f(x)=x2-2(|x|≥2).
【典例7-2】已知,则( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】令,,则,,所以,所以的解析式为:故选:B.
【变式7-1】设是定义在上的函数,且有唯一解或无解,且对任意,均有,请写出一个符合条件的 .
【答案】或(答案不唯一)
【解析】当时,,
所以;或者,当时,
,所以.
故答案为:或(答案不唯一).
【变式7-2】若是定义域为上的单调函数,且对任意实数都有,其中是自然对数的底数,则 (  )
A.4 B. C. D.
【答案】B
【解析】∵是定义域为上的单调函数,且,
∴在上存在唯一一个实数使得,于是.令,得,即.画出与的图像如图所示:
由图像可知,与的图像在上只有1个交点,
且是方程的解,所以,故.
故选:B.
【变式7-3】(2024·高三·江西·期中)设是定义在上的单调函数,若,则不等式的解集为 .
【答案】
【解析】由,可得必为定值,
设,即,
由,解得,所以,
则不等式,即为,可得,解得,
所以不等式的解集为.故答案为:.
【变式7-4】设是定义在上的单调增函数,且满足,若对于任意非零实数都有,则 .
【答案】2021
【解析】令,则,
令,则,解得或.
而,则,故,因此.
则,
即.
因此或,
当时,,在上单调递减,不满足题意,舍去;
当时,满足题意.则.
故答案为:
题型八:方程组消元法求解析式
【典例8-1】已知为奇函数,为偶函数,且满足,则=( )
A. B.C. D.
【答案】D
【解析】由题意知,为奇函数,为偶函数,则,
所以,即,
解得.故选:D
【典例8-2】已知,那么 .
【答案】
【解析】∵,,∴.联立方程组,
解得.故答案为:.
【变式8-1】(2024·高三·辽宁丹东·期中)若,函数满足,则 .
【答案】/-0.5
【解析】由题意知:,,
所以得:,
解之得:,即,所以得:.
故答案为:
【变式8-2】已知满足,则 .
【答案】
【解析】因为,所以,
联立,解得.故答案为:.
【变式8-3】(2024·河南·模拟预测)已知函数对定义域内的任意实数满足,则 .
【答案】
【解析】由,得,即①,将换为,得②,由①+2②,得,故.
故答案为:.
题型九:赋值法求解析式
【典例9-1】已知函数的定义域为R,且,,请写出满足条件的一个 (答案不唯一).
【答案】1,(答案不唯一)
【解析】令,则,又,
所以,即,所以函数为偶函数,
不妨取偶函数,则,
也可取,则,满足题意.
故答案为:,(答案不唯一)
【典例9-2】已知函数,且 , ,则函数的一个解析式为 .
【答案】(不唯一)
【解析】由题意,,
累乘可得,即,
令,则,
所以,
故答案为:(不唯一)
【变式9-1】已知函数满足,则的解析式可以是 (写出满足条件的一个解析式即可).
【答案】(答案不唯一)
【解析】设,由,
代入可得,,解得,
.
故答案为:.(答案不唯一只要正确即可)
【变式9-2】(2024·高三·江苏扬州·开学考试)写出满足的函数的解析式 .
【答案】
【解析】中,令,得;
令得,故,
则.
故答案为:.
【变式9-3】对,函数都满足:①;②;③;则 .
【答案】
【解析】由题意,,
在中,
,,,
解: 由题意, 有, ,
∵,
∴,
∴有,
∵,
∴,
∴当, 即 ,
∵,
∴,
∴,.
故答案为: .
【变式9-4】设偶函数f(x)满足:,且当时时,,
则 .
【答案】
【解析】利用初始值和递推关系,逐渐求得,,,,,最后求得再利用偶函数的性质得出所求.,

,
,
,
,
∵f(x)是偶函数,

故答案为:.
题型十:求值域的7个基本方法
【典例10-1】求下列函数的值域:
(1);(2);(3);(4);(5);
(6);(7);(8);
【解析】(1)因为,
故的值域为;
(2)令,则,
而,则,
故,
即的值域为;
(3),
因为,故,
所以的值域为;
(4)令,则,
当时,取到最大值5,无最小值,
故的值域为;
(5)因为,令,
故,
由于,故,
即函数的值域为;
(6),
当时,;当时,;当时,,
故的值域为;
(7)因为恒成立,故,
则由可得,
当时,,适合题意;
当时,由于,故恒有实数根,
故,解得且,
故的值域为;
(8),
因为,故,
当且仅当,即时等号成立,
故,即函数值域为;
【典例10-2】求下列函数的值域.
(1);
(2);
(3);
(4);
(5)().
【解析】(1)因为,所以.故值域为.
(2)因为,且,所以,所以,故函数的值域为.
(3)令,则,且,
所以().故函数的值域.
(4),其中,,
当时,.
又因为,所以.
故函数的值域为.
(5)因为,所以,所以,
当且仅当,即时,取等号,即取得最小值8.
故函数的值域为.
【方法技巧】
函数值域的求法主要有以下几种
(1)观察法:根据最基本函数值域(如≥0,及函数的图像、性质、简单的计算、推理,凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域.
(2)配方法:对于形如的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点,结合二次函数的定义城求出函数的值域.
(3)图像法:根据所给数学式子的特征,构造合适的几何模型.
(4)基本不等式法:注意使用基本不等式的条件,即一正、二定、三相等.
(5)换元法:分为三角换元法与代数换元法,对于形的值城,可通过换元将原函数转化为二次型函数.
(6)分离常数法:对某些齐次分式型的函数进行常数化处理,使函数解析式简化内便于分析.
(7)单调性法:先确定函数在定义域(或它的子集)内的单调性,再求出值域.对于形如或的函数,当ac>0时可利用单调性法.
【变式10-1】求下列函数的值域.
(1)求函数的值域.
(2) 求函数的值域.
(3)求函数,的值域.
【解析】(1) .
当时,y取最小值,
所以函数值域是.
(2)由函数解析式得.
①当时,①式是关于x的方程有实根.
所以,解得.
又当时,存在使解析式成立,
所以函数值域为.
(3)令,
因为,所以,
所以,
所以,
所以.
所以该函数值域为.
【变式10-2】求下列函数的值域:
(1);
(2);
(3).
【解析】(1)令,则,,
所以,
所以的值域为.
(2),
由反比例函数性质可知,在上单调递增,
所以,即,
所以的值域为.
(3),
令,则,
由对勾函数性质可知,在上单调递增,所以,
由反比例函数性质可知,在单调递减,
所以,即的值域为.
【变式10-3】求下列函数的值域
(1);
(2);
(3);
(4);
(5);
(6);
(7);
(8)
(9);
(10).
【解析】(1)分式函数,
定义域为,故,所有,
故值域为;
(2)函数中,分母,
则,故值域为;
(3)函数中,令得,
易见函数和都是减函数,
故函数在时是递减的,故时,
故值域为;
(4),
故值域为且;
(5),
而,,
,,
即,故值域为;
(6)函数,定义域为,令,
所以,所以,对称轴方程为,
所以时,函数,故值域为;
(7)由题意得,解得,
则,
故,,,
由y的非负性知,,故函数的值域为;
(8)函数,定义域为,,故,即值域为;
(9)函数,定义域为,
故,所有,故值域为;
(10)函数,
令,则由知,,,
根据对勾函数在递减,在递增,
可知时,,故值域为.
题型十一:数形结合求值域
【典例11-1】函数的值域为
【答案】
【解析】表示点与点连线的斜率,
的轨迹为圆,
表示圆上的点与点连线的斜率,
由图象可知:过作圆的切线,斜率必然存在,
则设过的圆的切线方程为,即,
圆心到切线的距离,解得:,
结合图象可知:圆上的点与点连线的斜率的取值范围为,
即的值域为.
故答案为:.
【典例11-2】函数的值域为 .
【答案】
【解析】原式为,即可看作是动点到定点的距离之和,
设关于轴的对称点为,连接交轴于 ,此时最小,且最小值为,故函数的值域为,
故答案为:
【变式11-1】函数的值域是 .
【答案】
【解析】设函数,令,则点位于一个单位圆x轴的上半部分,如图所示.
将函数改写为,则表示定点与点所连直线的斜率.
当直线与上半单位圆相切时,在直角三角形中,,所以.又,所以.即函数的值域为.
【变式11-2】函数的值域是 .
【答案】
【解析】,
由,解得,
令,即,
将函数的值域转化为与有交点时的t的取值范围,
在同一坐标系中作函数与的图象如图所示:
由图象知:当直线与半圆相切时,t最小,
此时,解得,由图象知,
当直线过点时,t最大,此时,
所以,即的值域是,
故答案为:
【变式11-3】函数的值域为 .
【答案】
【解析】由题设,
所以所求值域化为求轴上点到与距离差的范围,如下图示,
由图知:,即,
当三点共线且在之间时,左侧等号成立;
当三点共线且在之间时,右侧等号成立,显然不存在此情况;
所以,即,
所以函数值域为.
故答案为:
【变式11-4】函数的值域为 .
【答案】
【解析】设,则有,,
其几何意义为半圆上一动点到定点的连线的斜率.
如图:,则,
设过点A的直线为,
整理为,由点到直线的距离公式可得
,化简得或(舍),
所以,
故答案为:
题型十二:值域与求参问题
【典例12-1】若函数的值域为,则的值为 .
【答案】
【解析】设,可得,
由题意可知,关于的方程在上有解,
若,可得,则;
若,则,即,
由题意可知,关于的二次方程的两根为、,
由韦达定理可得,解得.
综上所述,.
故答案为:.
【典例12-2】若函数的值域为,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】当时,,即值域为,满足题意;
若,设,则需的值域包含,
,解得:;
综上所述:的取值范围为.
故选:C.
【变式12-1】已知函数的值域为,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意得在,上单调递减,
因为函数的值域为,,
所以,

,,,,

,,结合可得:,,
,.
故选:.
【变式12-2】定义若函数,则的最大值为 ;若在区间上的值域为,则的最大值为 .
【答案】
【解析】当时,解得或,
所以,
作出的图象如下图所示:
由图象可知:当时,有最大值,所以;
当时,解得或或;
当时,或,
由图象可知:当,时,的值域为,此时的最大值为;
当时,的值域为,此时,
由上可知,的最大值为,
故答案为:;.
【变式12-3】(2024·上海青浦·一模)已知函数的值域为,则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】当时,,此时,
当且时,,
此时,且,所以不满足;
当且时,,
由对勾函数单调性可知在上单调递增,在上单调递减,
所以,此时,
若要满足的值域为,只需要,解得;
当且时,因为均在上单调递增,
所以在上单调递增,且时,,时,,
所以此时,此时显然能满足的值域为;
综上可知,的取值范围是,
故答案为:.
题型十三:判别式法求值域
【典例13-1】函数,的值域为 .
【答案】
【解析】因为,整理得,
可知关于x的方程有正根,
若,则,解得,符合题意;
若,则,
可得或,
解得或且,则或或;
综上所述:或,
即函数,的值域为.
故答案为:.
【典例13-2】函数的值域是 .
【答案】
【解析】由题知函数的定义域为,
所以,将整理得,
所以,当时,;
当时,,解得,
所以,,即函数的值域是
故答案为:
【方法技巧】
判别式法:把函数解析式化为关于x的―元二次方程,利用一元二次方程的判别式求值域,一般地,形如,或的函数值域问题可运用判别式法(注意x的取值范围必须为实数集R).
【变式13-1】已知,且,则的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为,所以.
又因为,
所以,解得.
故答案为:.
【变式13-2】已知,函数的最大值为,则实数的值为 .
【答案】1
【解析】,

两边平方得:,
即,
再平方得:,
化简得:,
当,即时,,
此时最大值为,不符题意.
所以.
因为方程有解,所以,
即,
化简得:,因为,所以,
又因为的最大值为,所以,
所以.
故答案为:.
【变式13-3】函数的值域是 .
【答案】
【解析】,
因为
所以函数的定义域为
令,整理得方程:
当时,方程无解;
当时,
不等式整理得:
解得:
所以函数的值域为.
故答案为:
题型十四:三角换元法求值域
【典例14-1】求函数的值域.
【解析】,可设,
则.
设,则,从而.
(其中,),,
,,且..
故函数的值域为.
【典例14-2】(2024·高三·河南·期中)函数的值域为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】依题意且,所以函数的定义域为.
设,,则,,其几何含义表示点与的斜率,为圆弧上一动点,
如图,当为圆弧为右端点时,斜率最小,最小值为,
当与圆弧相切时,直线的斜率存在且最大,设,即,
则圆心到直线的距离,即,如图,显然,所以.
所以函数的值域为.
故选:C.
【变式14-1】(2024·上海徐汇·模拟预测)函数的值域为 .
【答案】
【解析】.
令 且θ∈[0,π]

=,表示两点(﹣3,﹣3)和(cosθ,sinθ)的斜率,,故点在单位圆的上半部分.
如图,斜率最小为,斜率最大值为直线与半圆相切时的斜率,,化简得,由,解得 ,故切线的斜率为.所以斜率的取值范围,也即函数的值域为.
故答案为:
题型十五:分段函数求值、求参数问题
【典例15-1】(2024·全国·模拟预测)已知函数,则( )
A. B.0 C. D.1
【答案】D
【解析】由题意知.
故选:D.
【典例15-2】已知函数,若,则( )
A.0 B.2 C. D.2或3
【答案】B
【解析】当时,则,解得:或(舍去)
当时,则,解得:(舍去)
综上所述:
故选:B.
【变式15-1】(2024·全国·模拟预测)已知函数,若,则的值为( )
A.2或 B.2或 C.或 D.1或
【答案】A
【解析】当时,,解得,
当时,,得,
所以的值是2或.
故选:
【变式15-2】(2024·全国·模拟预测)设,若,则( )
A.14 B.16 C.2 D.6
【答案】A
【解析】因为的定义域为,则,解得,
若,则,可得,不合题意;
若,则,可得,解得;
综上所述:.
所以.
故选:A.
【变式15-3】(2024·江苏南通·二模)已知函数,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为
由于,则.
故选:B
题型十六:分段函数与方程、不等式
【典例16-1】已知函数若,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由,
若,则,即,解得,所以
若,则,即,解得,所以,
综上,不等式的解为.
故选:D
【典例16-2】(2024·福建福州·模拟预测)已知函数,则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】当时,由得,两边取以e为底的对数得:,
当时,由得,解得,
综上或.
故选:A.
【变式16-1】(2024·湖北·一模)已知函数,则关于x的不等式的解集为 .
【答案】
【解析】当时,得,
当时,,得,所以,
综上:的解集为,
故答案为:.
【变式16-2】(2024·全国·模拟预测)已知函数,则不等式的解集是 .
【答案】
【解析】当时,由得,解得,此时,;
当时,由得,即,解得,此时,.
综上所述,不等式的解集是.
故答案为:.
1.(2023年北京高考数学真题)已知函数,则 .
【答案】1
【解析】函数,所以.
故答案为:1
2.(2022年新高考北京数学高考真题)函数的定义域是 .
【答案】
【解析】因为,所以,解得且,
故函数的定义域为;
故答案为:
3.(2021年浙江省高考数学试题)已知,函数若,则 .
【答案】2
【解析】,故,
故答案为:2.
2.(链接苏教必修一P115T4)在下列图形中,能表示函数关系y=f(x)的是(  )
答案:D
3.[多选题](链接人A必修一P67T3)下列各组函数是同一个函数的是(  )
A.f(x)=x2-2x-1与g(s)=s2-2s-1
B.f(x)=与g(x)=x
C.f(x)=与g(x)=
D.f(x)=x与g(x)=
答案:AC
解析:f(x)=与g(x)=x的值域不同;f(x)=x与g(x)==|x|的对应关系不同,故BD错误,AC正确.
4.(苏教版必修一)判断下列各组函数是否是同一个函数, 并说明理由:
(1) ; (2) ;
(3) ; (4) .
解: (1) 不是. 函数 的定义域为 ,而函数 的定义域为 , 故不是同一个函数.
(2) 不是. 定义域不同.
(3) 是. 定义域和对应关系都相同
(4) 是. 定义域和对应关系都相同.
4.(链接人A必修一P65例2)已知函数f(x)=x+,则f(x)的定义域为________;若f(a)=2,则a的值为________.
答案:(-∞,0)∪(0,+∞) 1
解析:要使函数f(x)有意义,必须使x≠0,故f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).由f(a)=2得a+=2,解得a=1.
1.(人教版必修1)若,且,,求的值.
【解析】因为,且,
则,解方程组可得

所以
2.(人教版必修1)已知函数,,.

(1)在图中画出函数,的图象;
(2)定义:,用表示,中的较小者,记为,请分别用图象法和解析式法表示函数.(注:图象法请在图中表示,本题中的单位长度请自己定义且标明)
【解析】(1),的图象如下图所示:
(2)当时,,则;
当时,,则;
当时,,则;
综上所述:.
图象如下图所示:
3.(人教版必修1)函数的图象如图所示,曲线l与直线m无限接近,但永不相交.
(1)函数的定义域、值域各是什么?
(2)r取何值时,只有唯一的值与之对应?
【解析】(1)由图可知,函数的定义域为,值域为;
(2)由图可知,当或时,只有唯一的值与之对应,故.
(北师大版必修1)设集合 ,函数 已知 ,且 ,求实数 的取值范围.
解:因为 ,
所以 . ,
所以 ,
解得 .
所以实数 的取值范围是 .
4.(人教版必修1)画出定义域为,且,值域为的一个函数的图象.
(1)将你的图象和其他同学的相比较,有什么差别吗?
(2)如果平面直角坐标系中点的坐标满足,那么其中哪些点不能在图象上?
【解析】1)由题意可知:定义域为,且,值域为,图象可以是如下图所示:
(2)由题意可知中:线段,和线段上的点不在图象上如下图所示:
5.(人教版必修1)如图所示,一座小岛距离海岸线上最近的点P的距离是2km,从点P沿海岸正东处有一个城镇.
(1)假设一个人驾驶的小船的平均速度为,步行的速度是,t(单位:h)表示他从小岛到城镇的时间,x(单位:km)表示此人将船停在海岸处距点P的距离,请将t表示为x的函数.
(2)如果将船停在距点P 4km处,那么从小岛到城镇要多长时间(精确到1h)?
【答案】(1)(2).
【详解】解:(1)如图,此人坐船所用时间为,步行所用时间为.
(2)当时,.
2.(北师大版必修1) 画出函数 的图象.
解:
(人教版必修1)函数的函数值表示不超过x的最大整数,例如,,.当时,写出函数的解析式,并画出函数的图象.
【详解】解:
函数图象如图所示:
易错点:错求抽象函数的定义域
易错分析: 定义域不是指的范围,而是指的范围.
答题模板:求抽象函数的定义域
1、模板解决思路
解决本模板问题的要点是知道函数中的范围,也就是函数中的范围,解不等式就可得到函数的定义域.
2、模板解决步骤
第一步:由函数的定义域,即的取值范围,求出的取值范围.
第二步:用集合或区间表示所求定义域.
【易错题1】函数的定义域为,则函数的定义域是 .
【答案】
【解析】根据抽象函数求定义域的基本原则可得出关于实数的不等式组,由此可解得原函数的定义域.函数定义域为,对于函数,有,
解得且
因此函数的定义域为.
故答案为:.
【易错题2】若函数的定义域为,则的定义域为 .
【答案】
【解析】先由函数的定义域求出的范围,进而可得,解不等式组可得函数的定义域.函数的定义域为,则,
可得
进而有,解得,故
则的定义域为
函数概念的起源
17 世纪早期, 由于天文学和航海事业的发展, 科学家以解释地球和天体运动作为 研究课题, 推动了函数概念的发展. 意大利科学家伽利略 (Galileo Galilei, 1564-1642) 第一个提出了函数或称为变量关系的这一概念. 1638 年, 伽利略积数十年之力在《关于 两个新科学的论述和数学演示》中以对话体裁和较朴素的文笔, 总结了他在材料力学和 动力学方面的研究成果, 以及对力学原理的思考, 讲述了几乎包括全部变量关系的这一概念, 用文字和比例的语言表达了函数的关系.
“function (函数)” 这个词作为数学术语, 最初是由微积分奠基人之一、德国哲学家、 数学家莱布尼茨 (Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716) 在 1673 年的手稿中首次使用 的. 莱布尼茨所指的函数是现在的可导函数. 1692 年, 莱布尼茨在《Acta Eruditorum(教 师学报)》发表的论文中正式使用函数来表示变量之间的依赖关系。我们可以把莱布尼 茨建立的概念看成是函数的第一个定义.
1859 年, 我国清代数学家李善兰 (1811-1882) 在翻译《代数学 (Elements of Alge- bra) 》时, 把 “function” 译为 “函数”, 他给出的理由是“凡此变数中函彼变数者, 则此为彼 之函数”, 即“函”为包含之意.
1905 年, 哥廷根数学学派的创始人、现代国际数学教育的奠基人、德国数学家克莱 因在为中学数学教学起草的《数学教学要目 (米兰大纲)》中明确提出: “应将养成函数思 想和空间观察能力作为数学教学的基础. "1908 年, 在巴黎国际数学家大会上, 他倡导 “函数的概念应该成为数学思维的心脏和灵魂, 渗透到数学课程的每一个部分”. 在名 著《高观点下的初等数学》中, 他进一步强调函数应该成为中学数学的“基石”, 应该把算 术、代数和几何方面的内容, 通过几何的形式用以函数为中心的观念综合起来.
我国基础教育真正意义上的函数教学起始于 1941 年颁布的《修正初级中学数学课 程标准》, 教学目标中明确规定要“培养学生分析能力、归纳方法、函数观念及探讨精 神”. 目前, 函数已经成为中学数学中最基本、最重要的内容.
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第06讲 函数的概念及其表示
1、考点透视
考点要求 考题统计 考情分析
(1)了解函数的含义,会求简单函数的定义域和值域. (2)在实际情景中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数. (3)了解简单的分段函数,并会简单的应用. 2023年北京卷第15题,5分 2022年浙江卷第14题,5分 2021年浙江卷第12题,5分 高考对函数的概念及其表示的考查相对稳定,考查内容、频率、题型、难度均变化不大.高考对本节的考查不会有大的变化,仍将以分段函数、定义域、值域及最值为主,综合考查不等式与函数的性质.
2、思维导图
3.考点突破,题型探究
知识点1:函数的概念
(1)一般地,给定非空数集,,按照某个对应法则,使得中任意元素,都有中唯一确定的与之对应,那么从集合到集合的这个对应,叫做从集合到集合的一个函数.记作:,.集合叫做函数的定义域,记为,集合,叫做值域,记为.
(2)函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射.
【诊断自测】下列图象中,y不是x的函数的是( )
A. B.
C. D.
知识点2:函数的三要素
(1)函数的三要素:定义域、对应关系、值域.
(2)如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则这两个函数为同一个函数.
【诊断自测】下列四组函数:① ;② ;③; ④;其中表示同一函数的是( )
A.②④ B.②③ C.①③ D.③④
练1(北师大必修1)下列各组中的两个函数是否为同一个函数
(1) ; (2) ;
(3) ; (4) .
知识点3:函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.
【诊断自测】已知函数,则( )
A.B.C. D.
知识点4:分段函数
若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.
【诊断自测】(2024·吉林·模拟预测)已知若,则实数的值为( )
A.1 B.4 C.1或4 D.2
解题方法总结
1、基本的函数定义域限制
求解函数的定义域应注意:
(1)分式的分母不为零;(2)偶次方根的被开方数大于或等于零:
(3)对数的真数大于零,底数大于零且不等于1;(4)零次幂或负指数次幂的底数不为零;
(5)三角函数中的正切的定义域是且;
(6)已知的定义域求解的定义域,或已知的定义域求的定义域,遵循两点:①定义域是指自变量的取值范围;②在同一对应法则∫下,括号内式子的范围相同;
(7)对于实际问题中函数的定义域,还需根据实际意义再限制,从而得到实际问题函数的定义域.
2、基本初等函数的值域
(1)的值域是.
(2)的值域是:当时,值域为;当时,值域为.(3)的值域是.(4)且的值域是.
(5)且的值域是.
题型一:函数的概念
【典例1-1】下列对应是从集合A到集合B的函数的是( )
A. B.
C. D.
【典例1-2】已知是定义在有限实数集A上的函数,且,若函数的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合,则的值不可能是( )
A.0 B. C. D.
【变式1-1】(2024·高三·上海虹口·期中)若函数的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合,则在以下各项中,的定义域不可能是( )
A.B.C. D.R
【变式1-2】将函数的图象绕着原点沿逆时针方向旋转角得到曲线,已知曲线始终保持为函数图象,则的最大值为( )
A. B. C.1 D.
【变式1-3】存在定义域为的函数,满足对任意,使得下列等式成立的是( )
A. B. C. D.
题型二:同一函数的判断
【典例2-1】下列各组函数相等的是( )
A., B.,
C., D.,
【典例2-2】(多选题)下列各项不能表示同一个函数的是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
【变式2-1】(多选题)下列各组函数表示的是不同函数的是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
【变式2-2】以下四组函数中,表示同一个函数的是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
【变式2-3】(多选题)(2024·高三·浙江金华·期末)已知函数,.( )
A.若,则 B.若,则
C.对于,若,则 D.对于,若,则
题型三:给出函数解析式求解定义域
【典例3-1】(2024·北京通州·二模)已知函数的定义域为 .
【典例3-2】已知等腰三角形的周长为,底边长是腰长的函数,则函数的定义域为(
A. B. C. D.
【变式3-1】函数的定义域是 .
【变式3-2】(2024·北京怀柔·模拟预测)函数的定义域是 .
【变式3-3】(2024·北京平谷·模拟预测)函数的定义域是
题型四:抽象函数定义域
【典例4-1】已知函数的定义域是,则函数的定义域为( )
A. B. C. D.
【典例4-2】已知的定义域为,则的定义域为( )
A. B. C. D.
【变式4-1】(2024·高三·河北邢台·期末)若函数的定义域为,则函数的定义域为 .
【变式4-2】已知函数的定义域为,求的定义域 .
【变式4-3】(1)已知函数的定义域为,则函数的定义域为 .
(2)已知函数的定义域为,则函数的定义域为 .
题型五:函数定义域的综合应用
【典例5-1】已知函数的定义域为R,则实数a的取值范围为( )
A.B.或C. D.或
【典例5-2】若函数的定义域为,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
变式5-1】(2024·高三·上海嘉定·期中)已知函数的定义域为,则实数的取值范围是 .
【变式5-2】若函数的定义域为,则实数的取值范围为 .
【变式5-3】当时,函数和有意义,则实数的取值范围是 .
题型六:待定系数法求解析式
【典例6-1】一次函数在上单调递增,且,则 .
【典例6-2】已知二次函数满足,,则不等式的解集为 .
【变式6-1】已知函数是一次函数,且,则的解析式为 .
【变式6-2】已知二次函数,其图象过点,且满足,则的解析式为 .
题型七:换元法求解析式
【典例7-1】已知f(x+)=x2+,则函数f(x)= .
【典例7-2】已知,则( )
A. B.
C. D.
【变式7-1】设是定义在上的函数,且有唯一解或无解,且对任意,均有,请写出一个符合条件的 .
【变式7-2】若是定义域为上的单调函数,且对任意实数都有,其中是自然对数的底数,则 (  )
A.4 B. C. D.
【变式7-3】(2024·高三·江西·期中)设是定义在上的单调函数,若,则不等式的解集为 .
【变式7-4】设是定义在上的单调增函数,且满足,若对于任意非零实数都有,则 .
题型八:方程组消元法求解析式
【典例8-1】已知为奇函数,为偶函数,且满足,则=( )
A. B.C. D.
【典例8-2】已知,那么 .
【变式8-1】(2024·高三·辽宁丹东·期中)若,函数满足,则 .
【变式8-2】已知满足,则 .
【变式8-3】(2024·河南·模拟预测)已知函数对定义域内的任意实数满足,则 .
题型九:赋值法求解析式
【典例9-1】已知函数的定义域为R,且,,请写出满足条件的一个 (答案不唯一).
【典例9-2】已知函数,且 , ,则函数的一个解析式为 .
【变式9-1】已知函数满足,则的解析式可以是 (写出满足条件的一个解析式即可).
【变式9-2】(2024·高三·江苏扬州·开学考试)写出满足的函数的解析式 .
【变式9-3】对,函数都满足:①;②;③;则 .
【变式9-4】设偶函数f(x)满足:,且当时时,,
则 .
题型十:求值域的7个基本方法
【典例10-1】求下列函数的值域:
(1);(2);(3);(4);(5);
(6);(7);(8);
【典例10-2】求下列函数的值域.
(1);
(2);
(3);
(4);
(5)().
【变式10-1】求下列函数的值域.
(1)求函数的值域.
(2) 求函数的值域.
(3)求函数,的值域.
【变式10-2】求下列函数的值域:
(1);
(2);
(3).
【变式10-3】求下列函数的值域
(1);
(2);
(3);
(4);
(5);
(6);
(7);
(8)
(9);
(10).
题型十一:数形结合求值域
【典例11-1】函数的值域为
【典例11-2】函数的值域为 .
【变式11-1】函数的值域是 .
【变式11-2】函数的值域是 .
题型十二:值域与求参问题
【典例12-1】若函数的值域为,则的值为 .
【典例12-2】若函数的值域为,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
【变式12-1】已知函数的值域为,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【变式12-2】定义若函数,则的最大值为 ;若在区间上的值域为,则的最大值为 .
【变式12-3】(2024·上海青浦·一模)已知函数的值域为,则实数的取值范围为 .
题型十三:判别式法求值域
【典例13-1】函数,的值域为 .
【典例13-2】函数的值域是 .
【变式13-1】已知,且,则的取值范围是 .
【变式13-2】已知,函数的最大值为,则实数的值为 .
【变式13-3】函数的值域是 .
题型十四:三角换元法求值域
【典例14-1】求函数的值域.
【典例14-2】(2024·高三·河南·期中)函数的值域为( )
A. B. C. D.
【变式14-1】(2024·上海徐汇·模拟预测)函数的值域为 .
题型十五:分段函数求值、求参数问题
【典例15-1】(2024·全国·模拟预测)已知函数,则( )
A. B.0 C. D.1
【典例15-2】已知函数,若,则( )
A.0 B.2 C. D.2或3
【变式15-1】(2024·全国·模拟预测)已知函数,若,则的值为( )
A.2或 B.2或 C.或 D.1或
【变式15-2】(2024·全国·模拟预测)设,若,则( )
A.14 B.16 C.2 D.6
【变式15-3】(2024·江苏南通·二模)已知函数,则( )
A. B. C. D.
题型十六:分段函数与方程、不等式
【典例16-1】已知函数若,则实数的取值范围是( )
A.B.C. D.
【典例16-2】(2024·福建福州·模拟预测)已知函数,则不等式的解集是
A.B.C. D.
【变式16-1】(2024·湖北·一模)已知函数,则关于x的不等式的解集为 .
【变式16-2】(2024·全国·模拟预测)已知函数,则不等式的解集是 .
4.真题演练
1.(2023年北京高考数学真题)已知函数,则 .
2.(2022年新高考北京数学高考真题)函数的定义域是 .
3.(2021年浙江省高考数学试题)已知,函数若,则 .
1.(链接苏教必修一P115T4)在下列图形中,能表示函数关系y=f(x)的是(  )
2.[多选题](链接人A必修一P67T3)下列各组函数是同一个函数的是(  )
A.f(x)=x2-2x-1与g(s)=s2-2s-1 B.f(x)=与g(x)=x
C.f(x)=与g(x)= D.f(x)=x与g(x)=
3.(苏教版必修一)判断下列各组函数是否是同一个函数, 并说明理由:
(1) ; (2) ;(3) ; (4) .
4.(链接人A必修一P65例2)已知函数f(x)=x+,则f(x)的定义域为________;若f(a)=2,则a的值为________.
5.(人教版必修1)若,且,,求的值.
6.(人教版必修1)已知函数,,.

(1)在图中画出函数,的图象;
(2)定义:,用表示,中的较小者,记为,请分别用图象法和解析式法表示函数.(注:图象法请在图中表示,本题中的单位长度请自己定义且标明)
7.(人教版必修1)函数的图象如图所示,曲线l与直线m无限接近,但永不相交.
(1)函数的定义域、值域各是什么?
(2)r取何值时,只有唯一的值与之对应?
8.(北师大版必修1)设集合 ,函数 已知 ,且 ,求实数 的取值范围.
9.(人教版必修1)画出定义域为,且,值域为的一个函数的图象.
(1)将你的图象和其他同学的相比较,有什么差别吗?
(2)如果平面直角坐标系中点的坐标满足,那么其中哪些点不能在图象上?
10.(人教版必修1)如图所示,一座小岛距离海岸线上最近的点P的距离是2km,从点P沿海岸正东处有一个城镇.
(1)假设一个人驾驶的小船的平均速度为,步行的速度是,t(单位:h)表示他从小岛到城镇的时间,x(单位:km)表示此人将船停在海岸处距点P的距离,请将t表示为x的函数.
(2)如果将船停在距点P 4km处,那么从小岛到城镇要多长时间(精确到1h)?
11.(北师大版必修1) 画出函数 的图象.
12.(人教版必修1)函数的函数值表示不超过x的最大整数,例如,,.当时,写出函数的解析式,并画出函数的图象.
易错点:错求抽象函数的定义域
易错分析: 定义域不是指的范围,而是指的范围.
答题模板:求抽象函数的定义域
1、模板解决思路
解决本模板问题的要点是知道函数中的范围,也就是函数中的范围,解不等式就可得到函数的定义域.
2、模板解决步骤
第一步:由函数的定义域,即的取值范围,求出的取值范围.
第二步:用集合或区间表示所求定义域.
【易错题1】函数的定义域为,则函数的定义域是 .
【易错题2】若函数的定义域为,则的定义域为 .
函数概念的起源
17 世纪早期, 由于天文学和航海事业的发展, 科学家以解释地球和天体运动作为 研究课题, 推动了函数概念的发展. 意大利科学家伽利略 (Galileo Galilei, 1564-1642) 第一个提出了函数或称为变量关系的这一概念. 1638 年, 伽利略积数十年之力在《关于 两个新科学的论述和数学演示》中以对话体裁和较朴素的文笔, 总结了他在材料力学和 动力学方面的研究成果, 以及对力学原理的思考, 讲述了几乎包括全部变量关系的这一概念, 用文字和比例的语言表达了函数的关系.
“function (函数)” 这个词作为数学术语, 最初是由微积分奠基人之一、德国哲学家、 数学家莱布尼茨 (Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716) 在 1673 年的手稿中首次使用 的. 莱布尼茨所指的函数是现在的可导函数. 1692 年, 莱布尼茨在《Acta Eruditorum(教 师学报)》发表的论文中正式使用函数来表示变量之间的依赖关系。我们可以把莱布尼 茨建立的概念看成是函数的第一个定义.
1859 年, 我国清代数学家李善兰 (1811-1882) 在翻译《代数学 (Elements of Alge- bra) 》时, 把 “function” 译为 “函数”, 他给出的理由是“凡此变数中函彼变数者, 则此为彼 之函数”, 即“函”为包含之意.
1905 年, 哥廷根数学学派的创始人、现代国际数学教育的奠基人、德国数学家克莱 因在为中学数学教学起草的《数学教学要目 (米兰大纲)》中明确提出: “应将养成函数思 想和空间观察能力作为数学教学的基础. "1908 年, 在巴黎国际数学家大会上, 他倡导 “函数的概念应该成为数学思维的心脏和灵魂, 渗透到数学课程的每一个部分”. 在名 著《高观点下的初等数学》中, 他进一步强调函数应该成为中学数学的“基石”, 应该把算 术、代数和几何方面的内容, 通过几何的形式用以函数为中心的观念综合起来.
我国基础教育真正意义上的函数教学起始于 1941 年颁布的《修正初级中学数学课 程标准》, 教学目标中明确规定要“培养学生分析能力、归纳方法、函数观念及探讨精 神”. 目前, 函数已经成为中学数学中最基本、最重要的内容.
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