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第04讲 基本不等式及其应用
考点要求 考题统计 考情分析
1、掌握基本不等式的内容． 2、会用基本不等式解决常考的最大值或最小值问题． 3、会用基本不等式解决实际问题． 2022年II卷第12题，5分 2021年乙卷第8题，5分 2020年天津卷第14题，5分 高考对基本不等式的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，应适当关注利用基本不等式大小判断、求最值和求取值范围的问题．
考点分析
知识回顾：
如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号；
基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号．
注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致．
解题方法总结
1、几个重要的不等式
（1）
（2）基本不等式：如果，则（当且仅当“”时取“”）．
特例：（同号）．
（3）其他变形：
①（沟通两和与两平方和的不等关系式）
②（沟通两积与两平方和的不等关系式）
③（沟通两积与两和的不等关系式）
④重要不等式：
即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）．
2、均值定理
已知．
（1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”．
（2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”．
3、常见求最值模型
模型一：，当且仅当时等号成立.
模型二：，当且仅当时等号成立．
模型三：，当且仅当时等号成立.
模型四：，当且仅当时等号成立.
题型分析
题型一：基本不等式及其应用
【典例1-1】下列不等式证明过程正确的是（ ）
A．若，则 B．若x＞0，y＞0，则
C．若x＜0，则 D．若x＜0，则
【答案】D
【解析】∵可能为负数，如时，，∴A错误；
∵可能为负数，如时，，∴B错误；
∵，如时，，∴C错误；
∵，，，∴，当且仅当，即等号成立，∴D正确．故选：D．
【典例1-2】（2024·辽宁·二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由图知：，
在中，，
所以，即，故选：C
【变式1-1】下列结论正确的是（ ）
A．当时， B．当时，的最小值是
C．当时， D．当时，的最小值为1
【答案】C
【解析】对于A，当时，，故A错误，
对于B，当时，，当且仅当时等号成立，故B错误，
对于C，当时，，当且仅当即时等号成立，故C正确，
对于D，当时，，当且仅当即时等号成立，故D错误，
故选：C
【变式1-2】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知x，y都是正数，且，则下列选项不恒成立的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】D
【解析】x，y都是正数，由基本不等式，，，，这三个不等式都是当且仅当时等号成立，而题中，因此等号都取不到，所以ABC三个不等式恒成立；中当且仅当时取等号，如即可取等号，D中不等式不恒成立．故选：D．
【变式1-3】给出下面四个推导过程：
①∵a，b为正实数，∴；
②∵x，y为正实数，∴；
③∵，，∴；
④∵，，∴．
其中正确的推导为（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【答案】D
【解析】根据基本不等式的条件判断，①，∴，因此正确；
②时，若，则，不等式错误；
③时，不等式错误；
④，则，，因此不等式正确，从而不等式正确．故选：D．
题型二：直接法求最值
【典例2-1】若实数满足，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】,当且仅当，
即时取到等号.故答案：.
【典例2-2】（2024·湖北孝感·模拟预测）的最小值为 .
【答案】9
【解析】，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为9.故答案为：9
【变式2-1】（2024·上海崇明·二模）已知正实数a、b满足，则的最小值等于 ．
【答案】4
【解析】，当，即，时等号成立，
则的最小值为4．故答案为：4．
【变式2-2】（2024·天津南开·一模）已知实数，则的最小值为 .
【答案】
【解析】∵，，，
∴，当且仅当即时取等号.故答案为：.
题型三：常规凑配法求最值
【典例3-1】设，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】，则，
，
当且仅当时，等号成立，则.故选：D.
练习1．函数的最小值为 ．
【答案】
【详解】由，又，
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以原函数的最小值为.故答案为：
【典例3-2】．函数的值域是 ．
【答案】
【详解】当时，
当，.
若时，，当且仅当，即时等号成立，此时
，即.
若时，，当且仅当，即时等号成立，此时，即.综上所述，函数的值域为.故答案为：
【典例3-3】函数在上的最大值为 ．
【答案】
【详解】解：因为，，令，则，
则，
当且仅当，即时，等号成立．故的最大值为．故答案为：
【变式3-1】若，则的最小值为 .
【答案】0
【解析】由，得，所以，当且仅当即时等号成立.故答案为：0
【变式3-2】函数（）的最小值为 ．
【答案】/
【解析】因为，所以，
所以，
当且仅当时，即时，等号成立，故的最小值为.
故答案为：
【变式3-3】（2024·高三·天津河北·期末）已知，则的最小值为 .
【答案】
【解析】因为，所以
，当且仅当，即时，等号成立.
所以的最小值为.故答案为：.
题型四：化为单变量法
【典例4-1】（2024·高三·上海·竞赛）若正实数满足，则的最小值是 .
【答案】9
【解析】解析一:，则，等号成立时.所以的最小值是9.
解析二:，
则，
等号成立时所以的最小值是9.故答案为：9.
题型五：利用基本不等式证明不等式
【典例8-1】（2024·陕西西安·二模）已知函数的最小值是.
(1)求的值；
(2)若，，且，证明：.
【解析】（1）当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，
此时；综上所述，函数的最小值是2，即.
（2）要证，即证，
即证，因为，，且，
故只需证，由基本不等式可知，，
当且仅当时，等号成立，故命题得证.
【链接教材】（1）设且．证明：；
（2）已知为正数，且满足．证明：
【解析】（1）因为，
所以，
因为，所以，，都不为，则，
所以.
（2）因为a，b，c为正数，，
所以，
所以，
因为，所以，当且仅当时取等号，
即
题型九：利用基本不等式解决实际问题
（教材选题）【典例9-1】 两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.哪种购物方式比较经济？你能把所得结论作一些推广吗？
【详解】解：按第一种策略购物，设第一次购物时的价格为，购，第二次购物时的价格为元/kg，仍购，两次购物的平均价格为；
若按第二种策略购物，第一次花m元钱，能购物品，第二次仍花m元钱，能购物品，两次购物的平均价格为.
比较两次购的平均价格：.
所以第一种策略的平均价格高于第二种策略的平均价格，因而用第二种策略比较经济，一般地，如果是多次购买同一种物品，用第二种策略购买比较经济.
（教材选题）【变式9-1】一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好.
（1）若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？
（2）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了？
【答案】（1）20平方米 （2）变好了
解：（1）设公寓窗户面积与地板面积分别为，则，所以，所以，所以.所以这所公寓的窗户面积至少为20平方米.
（2）设a和b分别表示公寓原来窗户面积和地板面积，m表示窗户和地板所增加的面积（面积单位都相同），由题意得：，则.
因为，所以.又因为，所以.
因此，即.
所以窗户和地板同时增加相等的面积，住宅的采光条件变好了.
题型十：与 a+b、平方和、 ab有关问题的最值
【典例10-1】（多选题）（2024·湖南·模拟预测）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】解析：对于A和B，因为，所以，当且仅当时，等号成立，，则，当且仅当时，等号成立，故A错误，B正确；
对于C，若，则，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，故C错误；
对于D，若，则，
所以，
由及，可知，则当，
即时，取得最小值，故D正确．
故选：BD．
【典例10-2】（多选题）（2024·高三·海南·期末）已知，且，则（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】BD
【解析】对于A，，
因为，，
令，得，解得或，即或，
当且仅当或时，等号成立，故A错误；
对于B，，解得或，
当且仅当或时，等号成立，故B正确；
对于C，，
所以，
当且仅当或时，等号成立，故C错误；
对于D，，由选项B知，或，所以或，
则或，故D正确.故选：BD.
【变式10-1】（多选题）若，，，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】对于A，，，，则，
当且仅当，即时取等号，A正确；
对于B，，，，
又，则，当且仅当时取等号，B错误；
对于C，，，则，
当且仅当时取等号，C正确；
对于D，，，，则
，当且仅当，即时取等号，D正确，
故选：ACD
【变式10-2】（多选题）已知正数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】对于A：因为，所以，当且仅当时取等号，所以不恒成立，故错误；
对于B：因为且，所以，
所以，当且仅当时取等号，故正确；
对于C：因为，所以，
所以，所以，当且仅当时取等号，故正确；
对于D：由C可知错误；故选：BC.
1．（1）已知，求的最小值；
（2）求的最大值.
【解析】（1），，，
当且仅当时，即当时等号成立，的最小值为；
（2）由知.
当或时，；
当时，，由基本不等式可得.
当且仅当，即当时等号成立.
综上，的最大值为.
2．某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为元，房屋侧面每平方米的造价为元，屋顶的造价为元，如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用，那么怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？
【解析】设房屋的正面边长为，侧面边长为，总造价为元，则，即，
.
当时，即当时，有最小值，最低总造价为元.
答：当房屋的正面边长为，侧面边长为时，房屋总造价最低，为元.
3．已知、、都是正数，求证：.
【解析】，，，由基本不等式可得，，，
由不等式的性质可得，
当且仅当时等号成立.
4．设矩形ABCD（AB>AD）的周长为24，把△ABC沿AC向△ADC折叠，AB折过去后交DC于点P，设AB=x，求△ADP的最大面积及相应x的值.
【解析】由题意可知，矩形的周长为24，
，即，设，则，而为直角三角形，
∴，∴，∴，
∴
.
当且仅当，即时，此时，满足，
即时，取最大面积为.
5（苏教版必修一） 设 ,利用直角三角形三边关系,证明 .
证明 如图,在 Rt 中, , .
. 又 ,当且仅当 时,等 号成立, .
即 ,又 , .
6. 已知、，求证：.
【详解】，，即.
7.若,且,求的取值范围.
【详解】由于，所以有，即，所以.
8、如图,居民小区要建一座八边形的休闲场所,它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛,造价为4200元;在四个相同的矩形(图中阴影部分)上铺花岗岩地坪,造价为210元;再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪,造价为80元.设总造价为(单位:元),长为(单位:).当为何值时,最小 并求出这个最小值.
解：由题意，有，又，有.
当且仅当，即时取“=”.
∴当时，S最小且元.
9.（教材深挖）《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理 定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字”证明.如图，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点(不同于A，B，O)，点D在半圆O上，且CD⊥AB，CE⊥OD于E.设AC=a，BC=b，则该图形可以完成的“无字”证明为（ ）
A．(a>0，b>0)
B．(a>0，b>0，a≠b)
C．(a>0，b>0)
D．(a>0，b>0，a≠b)
【答案】D
【详解】由AC=a，BC=b，可得半圆O的半径DO=，因为是直径，所以.
易得DC=，所以DE=，∵DE0，b>0，a≠b).故选：D.
10.(苏教版必修一）某种产品的两种原料相继提价, 产品生产者决定根据这两种原料提价的百 分比, 对产品分两次提价, 现在有三种提价方案:
方案甲: 第一次提价 ,第二次提价 ;
方案乙: 第一次提价 ,第二次提价 ;
方案丙: 第一次提价 ,第二次提价 .
其中 ,比较上述三种方案,哪一种提价少 哪一种提价多
解: 设该产品原来的价格为 .
方案甲: 两次提价后该产品的价格为 ,提价 ,
方案乙: 两次提价后该产品的价格为 ,提价 ,
方案丙: 两次提价后该产品的价格为 ,提 价 ,
,
方案甲和方案乙提价一样且最少, 方案丙提价最多.
易错点：忽视基本不等式应用条件 （选讲）
易错分析： 基本不等式取等号的条件是“一正，二定，三相等”．在解题过程中，一定要先检查取等的三个条件是否成立．常见的技巧是①如果积或和不是定值，则构造“定值”；②若是不能保证，可构造“正数”；③若等号不能成立，可根据“对勾函数”图象，利用函数的单调性求解．
答题模板：利用基本不等式求最值（和定或积定）
1、模板解决思路
在求代数式的最值，特别是求代数式的和或积的最值时，通常根据已知条件和所求问题凑配出和或积为定值的两个形式，然后利用基本不等式求解．利用基本不等式求最值需注意“一正、二定、三相等”．
2、模板解决步骤
第一步：将所求代数式凑配出两个代数式的和（或积）形式，且两个代数式的积（或和）为定值．
第二步：验证两个代数式均为正数．
第三步：应用基本不等式将变形后的代数式进行放缩．
第四步：验证取等的条件．
【易错题1】已知实数满足，则（ ）
A．有最大值B．有最小值C．有最小值6 D．有最大值6
【答案】C
【解析】，(当且仅当，即时，取等号）故选:C.
【易错题2】下列命题中错误的是（ ）
A．当时， B．当时，的最小值为2
C．当时， D．当时，
【答案】B
【解析】利用基本不等式可判断选项A；利用对勾函数的性质可判断选项B；利用基本不等式可判断选项C；利用基本不等式可判断选项D．对于A，当时，，当且仅当时取等号，正确；对于B，当时，，错误；对于C，当时，，当且仅当，即时取等号，正确；对于D，当时，，，当且仅当时取等号，正确；故选：B
【易错题3】函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，令，由，
则，当且仅当时取等号，所以，
二次函数的图象开口向上，对称轴，所以函数在上单调递减，
所以.故选：B.
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第04讲 基本不等式及其应用
考点要求 考题统计 考情分析
1、掌握基本不等式的内容． 2、会用基本不等式解决常考的最大值或最小值问题． 3、会用基本不等式解决实际问题． 2022年II卷第12题，5分 2021年乙卷第8题，5分 2020年天津卷第14题，5分 高考对基本不等式的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，应适当关注利用基本不等式大小判断、求最值和求取值范围的问题．
考点分析
知识回顾：
如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号；
基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号．
注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致．
解题方法总结
1、几个重要的不等式
（1）
（2）基本不等式：如果，则（当且仅当“”时取“”）．
特例：（同号）．
（3）其他变形：
①（沟通两和与两平方和的不等关系式）
②（沟通两积与两平方和的不等关系式）
③（沟通两积与两和的不等关系式）
④重要不等式：
即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）．
2、均值定理
已知．
（1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”．
（2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”．
3、常见求最值模型
模型一：，当且仅当时等号成立.
模型二：，当且仅当时等号成立．
模型三：，当且仅当时等号成立.
模型四：，当且仅当时等号成立.
题型分析
题型一：基本不等式及其应用
【典例1-1】下列不等式证明过程正确的是（ ）
A．若，则 B．若x＞0，y＞0，则
C．若x＜0，则 D．若x＜0，则
【典例1-2】（2024·辽宁·二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（ ）．
A． B．
C． D．
【变式1-1】下列结论正确的是（ ）
A．当时， B．当时，的最小值是
C．当时， D．当时，的最小值为1
【变式1-2】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知x，y都是正数，且，则下列选项不恒成立的是（ ）
A．B．C． D．
【变式1-3】给出下面四个推导过程：
①∵a，b为正实数，∴；
②∵x，y为正实数，∴；
③∵，，∴；
④∵，，∴．
其中正确的推导为（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
题型二：直接法求最值
【典例2-1】若实数满足，则的最小值为 ．
【典例2-2】（2024·湖北孝感·模拟预测）的最小值为 .
【变式2-1】（2024·上海崇明·二模）已知正实数a、b满足，则的最小值等于 ．
【变式2-2】（2024·天津南开·一模）已知实数，则的最小值为 .
题型三：常规凑配法求最值
【典例3-1】1.设，则 （ ）
A． B．
C． D．
2.函数的最小值为 ．
【典例3-2】．函数的值域是 ．
【典例3-3】函数在上的最大值为 ．
【变式3-1】若，则的最小值为 .
【变式3-2】函数（）的最小值为 ．
【变式3-3】（2024·高三·天津河北·期末）已知，则的最小值为 .
题型四：化为单变量法
【典例4-1】（2024·高三·上海·竞赛）若正实数满足，则的最小值是 .
题型五：利用基本不等式证明不等式
【典例8-1】（2024·陕西西安·二模）已知函数的最小值是.
(1)求的值；
(2)若，，且，证明：.
【链接教材】（1）设且．证明：；
（2）已知为正数，且满足．证明：
题型九：利用基本不等式解决实际问题
（教材选题）【典例9-1】 两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.哪种购物方式比较经济？你能把所得结论作一些推广吗？
（教材选题）【变式9-1】一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好.
（1）若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？
（2）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了？
题型十：与 a+b、平方和、 ab有关问题的最值
【典例10-1】（多选题）（2024·湖南·模拟预测）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【典例10-2】（多选题）（2024·高三·海南·期末）已知，且，则（ ）
A． B．或
C． D．或
【变式10-1】（多选题）若，，，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式10-2】（多选题）已知正数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
1．（1）已知，求的最小值；
（2）求的最大值.
2．某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为元，房屋侧面每平方米的造价为元，屋顶的造价为元，如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用，那么怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？
3．已知、、都是正数，求证：.
4．设矩形ABCD（AB>AD）的周长为24，把△ABC沿AC向△ADC折叠，AB折过去后交DC于点P，设AB=x，求△ADP的最大面积及相应x的值.
5．（苏教版必修一） 设 ,利用直角三角形三边关系,证明 .
6. 已知、，求证：.
7.若,且,求的取值范围.
8、如图,居民小区要建一座八边形的休闲场所,它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛,造价为4200元;在四个相同的矩形(图中阴影部分)上铺花岗岩地坪,造价为210元;再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪,造价为80元.设总造价为(单位:元),长为(单位:).当为何值时,最小 并求出这个最小值.
9.（教材改编）《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理 定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字”证明.如图，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点(不同于A，B，O)，点D在半圆O上，且CD⊥AB，CE⊥OD于E.设AC=a，BC=b，则该图形可以完成的“无字”证明为（ ）
A．(a>0，b>0)B．(a>0，b>0，a≠b)
C．(a>0，b>0)D．(a>0，b>0，a≠b)
10.(苏教版必修一）某种产品的两种原料相继提价, 产品生产者决定根据这两种原料提价的百 分比, 对产品分两次提价, 现在有三种提价方案:
方案甲: 第一次提价 ,第二次提价 ;
方案乙: 第一次提价 ,第二次提价 ;
方案丙: 第一次提价 ,第二次提价 .
其中 ,比较上述三种方案,哪一种提价少 哪一种提价多
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