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2024年河南中考最后一卷
数学
注意事项：
1．本试卷共有三个大题，分为单项选择题、填空题、解答题，满分120分，考试时间100分钟。
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效。
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．下列各数中，最小的数是（ ）
A．0 B．3 C． D．
2．《清朝野史大观·清代述异》称：“中国讲求烹茶，以闽之汀、漳、泉三府，粤之潮州府功夫茶为最．”如图为喝茶用的紫砂壶，其左视图是（ ）
A． B． C． D．
3．苏步青是国际公认的几何学家，中国著名教育家，中国科学院院士，是我国微分几何学派的创始人．为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约公里的行星命名为“苏步青星”．将数据用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，直线相交于点．过点作，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
5．计算的结果是（ ）
A．2 B． C．0 D．
6．如图，点在⊙上，，连结，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
8．不透明的袋子中有5个相同的小球，分别写有1，2，3，4，x五个数字，随机摸出一个小球，上面的数字是奇数的概率为，则x可以是（ ）
A．0 B．2
C．4 D．5
9．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图1， 点E在正方形的边上， 且 点P沿从点 B运动到点D，设B，P两点间的距离为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，若图象的最低点M的纵坐标为 则最高点N的纵坐标a的值为（ ）

A．6 B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．某学校在4月23 日“世界读书日”为全校个班购进m套精品图书，计划平均分到每个班，则每班可分到 套图书．
12．写出一个解为的二元一次方程组： ．
13．某农科所为了深入践行“绿水青山就是金山银山”的理念，大力开展对植物生长的研究，该农科所在相同条件下做某植物种子发芽率的试验，得到的结果如下表所示：
种子个数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 …
发芽种子个数 94 188 281 349 435 531 625 719 812 902 …
发芽种子频率（结果保留两位小数） 0.94 0.94 0.94 0.87 0.87 0.89 0.89 0.90 0.90 0.90 …
根据频率的稳定性，估计这种植物种子不发芽的有 颗．
14．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，连接OA，OP，AB，设OP与AB相交于点C，若∠APB=60°，OC=2cm，则PC= cm．
15．如图，在矩形中，连接，延长至点，使，连接，若，则的度数是 °．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16．（本题10分）计算：
(1)；
(2)．
17．（本题9分）随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间，不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势，某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：
配送速度和服务质量得分统计表：
项目 统计量 快递公司 配送速度得分 服务质量得分
平均数 中位数 平均数 方差
甲 7.8 m 7
乙 8 8 7
(1)补全频数分布直方图，扇形统计图中圆心角α的度数为______；
(2)表格中的____，_____（填“”“”或“”）；
(3)综合表中的统计量，你认为该农产品种植户应选择哪家公司？请说明理由．
18．（本题9分）已知如图，中．
(1)尺规作图：作的平分线交于点F，在上取点E，使得（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)在（1）的条件下，连接，证明：四边形是菱形．
19．（本题9分）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大意是：影像倒立，在光线交会处有一小孔；关于影像的大小，在于小孔相对物像的位置．图2是图1中小孔成像实验的示意图，在图2中，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：）的反比例函数，图象如图3所示，且当时，．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)若小孔到蜡烛的距离x为，求火焰的像高y；
(3)根据反比例函数的图象分析，若火焰的像高y不超过时，求小孔到蜡烛的距离x至少是多少厘米？
20．（本题9分）泰州溱湖（姜堰溱湖旅游景区），位于江苏中部里下河地区，是江苏省三大锅底洼之一，溱湖的主体湖泊是喜鹊湖，在喜鹊湖上有诸多小岛．如图，小明在湖面上划船游玩，在A处观测到小岛C在其东北方向，向正东方向航行546m后到达B处，发现小岛C在其北偏西30°方向，借助三角板在图中标出点B，连结，并求AC的距离．（结果精确到，参考数据：，）

21．（本题9分）小明分三次和家人、朋友一起参观某科技馆，只有一次恰逢科技馆成人票和学生票都打折，其余两次均按标准票价购买门票（无任何优惠）．三次参观科技馆时，购买成人票和学生票的数量和费用如表所示：
购买门票的数量（张 购买总费用（元
成人票 学生票
第一次购物 5 2 380
第二次购物 3 4 340
第三次购物 7 5 310
(1)小明以折扣价购买门票是第 　　次参观；
(2)求出每张成人票和每张学生票的标准票价；
(3)如果成人票和学生票的折扣相同，问：当购买成人票和学生票共15张，并且享受同样的折扣，购票总费用不超过320元时，有几种购票方案？（要求必需购买成人票）
22．（本题10分）某校课外科技活动兴趣小组研制了一种航模飞机，这种航模飞机飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分．活动小组在水平安全线上设置一个高度可以变化的发射平台，当发射平台的高度变化时，飞机飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到．如图所示，以水平安全线上发射平台所在位置A为坐标原点，以水平安全线为x轴，建立平面直角坐标系．
通过实验，在A处发射飞机，收集到飞机相对于出发点的飞行水平距离x（单位：）与飞行高度y（单位：）的部分对应数值如表．
飞行水平距离x/m 0 20 30 50 80 …
飞行高度y/m 0 40 54 70 64 …
03根据上面的信息，解决下列问题：
(1)当活动小组在A处发射飞机时，求飞机落到水平安全线时飞行水平距离；
(2)在水平安全线上设置回收区域，，，若飞机能落到回收区域内（不包括端点M，N），求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．
23．（本题10分）张老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是张老师在“矩形纸片的剪拼”主题下设计的问题，请你解答．

(1)观察发现
将为，为的矩形纸片沿对角线剪开，得到和．如图1，将以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转， ，得到，过点C作，交的延长线于点E，则四边形的形状是______．
(2)探究迁移
如图2，若将以点A为旋转中心逆时针旋转，得到的，若B，A，三点在同一条直线上，连接，取的中点F，连接AF并延长至点G，使，连接CG，，得到四边形，请你判断四边形的形状，并加以证明．
(3)拓展应用
如图3，在（2）的条件下，将沿着方向平移，使点B与点A重合，此时A点平移至点，与相交于点H，连接，求的值．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页2024年河南中考最后一卷
数学参考答案
一、单选题
1．C
【分析】本题考查无理数估算及实数比较大小，根据选项中所给四个数，运用实数比较大小的方法求解即可得到答案，熟记实数比较大小的方法是解决问题的关键．
【详解】解：，
，即选项中最小的数是，
故选：C．
2．B
【分析】此题主要考查了简单几何体的三视图，掌握三视图的概念是解题关键．
【详解】解：紫砂壶的左视图是：
故选B．
3．B
【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．
科学记数法的表现形式为，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正整数，当原数绝对值小于时，是负整数，表示时关键是要正确确定及的值．
【详解】解：数据用科学记数法表示为，
故选：B．
4．C
【分析】本题考查了邻补角的性质、垂直的定义、对顶角的性质，由，，可得，即可得，又，由角的和差关系即可求出的大小，利用邻补角的性质求出是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
5．B
【分析】此题考查了分式的加法，先利用分式的性质把原式变为同分母分式减法，再进行运算即可．
【详解】解：
故选：B．
6．C
【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
故选：．
7．A
【分析】本题考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与有如下关系：
①当时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当时，方程有两个相等的两个实数根；
③当时，方程无实数根．
判断出判别式的值，可得结论．
【详解】解：对于一元二次方程，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
8．D
【分析】本题考查了概率，根据奇数的概率为，可以算出奇数个数，即可得答案，熟练用概率求数量是解题的关键．
【详解】解：根据上面的数字是奇数的概率为，
可得奇数的个数为个，
1，2，3，4中为奇数，有两个，
为奇数，
选项中只有D选项符合，
故选：D．
9．A
【分析】本题考查二次函数和一次函数的图像与性质，解决问题的关键是数形结合．根据图象判断出两个函数的系数的符号，即可求解．
【详解】解：A、由二次函数知、，由一次函数知、，故该选项正确；
B、由二次函数知、，由一次函数知、，故该选项错误；
C、由二次函数知、，由一次函数知、，故该选项错误；
D、由二次函数知、，由一次函数知、，故该选项错误；
故选：A．
10．C
【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定、三角形三边之间的关系、勾股定理等，解题的关键是准确分析图1与图2的对应变化关系．
根据正方形的对角线的轴对称性得到，则得到y的最小值是AE，对应到图2中的最低点M的纵坐标，结合之间的关系及勾股定理可求得的长，再观察到当点P运动到D点时，y达到最大值a，勾股定理求得长，则可求得a的值．
【详解】连接，

∵四边形是正方形，是其对角线，
∴，
又，
∴，
∴，
，
连接交于点，
（三角形两边之和大于第三边）．
当点P运动到时，
，
解得，
．
连接，则．
在图1中，当P运动到D点时，对应图2中最高点N，此时y取最大值a，，
故选：C．
二、填空题
11．
【分析】本题考查了列代数式，根据每班可分到的图书图书总数班级总数，即可求解．
【详解】解：由题意得每班可分到的图书为
故答案为：
12．（答案不唯一）
【分析】方程组的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．在求解时，应先围绕列一组算式，如，，然后用，代换，可得方程组．
【详解】解：先围绕列一组算式，
如：，，然后用，代换，
可得等．答案不唯一，符合题意即可．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，此题是开放性题目，答案不唯一．掌握二元一次方程组解的意义是解题的关键．
13．
【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，熟记大量反复试验下频率稳定值即概率．由表格可知发芽种子频率的稳定值为，所以发芽种子概率，不发芽种子概率，即可求解．
【详解】解：由题可知：发芽种子概率，
所以不发芽种子概率，
故这种植物种子不发芽的有颗．
故答案为：．
14．6
【分析】由切线长定理可知PA=PB，由垂径定理可知OP垂直平分AB，所以OP平分，可得,利用直角三角形30度角的性质可得OA、OP的长，即可.
【详解】解：PA，PB是⊙O的两条切线
，
由垂径定理可知OP垂直平分AB，
OP平分，
在中，
在中，
故答案为：6
【点睛】本题主要考查了圆的性质与三角形的性质，涉及的知识点主要有切线长定理、垂径定理、等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质，灵活的将圆与三角形相结合是解题的关键.
15．
【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角求角度；连接，根据矩形的性质可得，则，根据，则，，根据三角形的外角的性质，得出，进而可得．
【详解】解：连接，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
三、解答题
16．(1)3
(2)1
【分析】本题主要考查实数的混合运算和整式的四则运算：
（1）原式先化简，，，然后再计算加减法即可；
（2）原式根据完全平方公式和单项式乘以多项式运算法则将括号展开，合并即可
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
17．(1)图见解析，
(2)7.5，
(3)选择乙公司，理由见解析．
【分析】本题主要考查了频数分布直方图，方差的意义，求中位数，扇形统计图，解题的关键是熟练掌握扇形统计图的特点．
（1）求出甲公司配送速度得分为9分的频数，补全频数分布直方图即可；用乘以扇形统计图中“7分”的百分比，即可得扇形统计图中圆心角α的度数．
（2）根据中位数的定义可得m的值；根据方差的意义可得答案．
（3）根据配送速度和服务质量得分统计表分析即可．
【详解】（1）解：甲公司配送速度得分为9分的频数为．
补全频数分布直方图如图所示．
扇形统计图中圆心角α的度数为．
（2）解：由频数分布直方图可得，．
由甲、乙快递公司配送服务质量得分折线统计图知，甲公司的得分数据比乙公司的得分数据波动小，
∴．
故答案为：；＜．
（3）解：选择乙公司．
理由：乙公司配送速度得分的平均数和中位数都高于甲公司，说明乙公司的整体配送速度较快（答案不唯一，合理即可）．
18．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图可得；以点为圆心，的长为半径画弧，与的交点即为点．
（2）根据平行四边形的性质得出，再结合角平分线的定义得出、根据菱形的判定，即可证明．
本题考查作图—复杂作图、角平分线的定义、平行四边形的性质、菱形的判定，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
【详解】（1）解：如图，和点即为所求．
（2）证明：四边形为平行四边形，
，
．
为的平分线，
，
，
．
，
，
四边形为平行四边形．
，
四边形为菱形．
19．(1)
(2)火焰的像高为
(3)若火焰的像高y不超过时，小孔到蜡烛的距离x至少是
【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握用待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键．
（1）根据题意可设，然后用待定系数法即可解答；
（2）把代入中，进行计算即可解答；
（3）利用（2）的结论进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：设，把，代入中，
解得．
y关于x的函数表达式为．
（2）把代入中，解得．
火焰的像高为．
（3）由（2）可得，当时，．
由的图象可得，当时，y随x的增大而减小，
若火焰的像高y不超过时，小孔到蜡烛的距离x至少是．
20．487.9m
【详解】解：作图如下
过C作，

∵在A处观测到小岛C在其东北方向，向正东方向航行546m后到达B处，发现小岛C在其北偏西方向，
∴
∵
∴
在中， ，
∴，
在中， ，
∴
∴，
∴
∴
在中， ，
∴
答：的距离约为
21．(1)三
(2)每张成人票的标准票价为60元，每张学生票的标准票价为40元
(3)有2种购票方案：①购买成人票1张，购买学生票14张；②购买成人票2张，则购买学生票13张
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
（1）由表中数据即可得出结论；
（2）设每张成人票的标准票价为元，每张学生票的标准票价为元，由表中数据列出二元一次方程组，解方程组即可；
（3）设每张成人票和学生票都打折，由购买成人票和学生票共15张，结合表中数据列出一元一次方程，解得，再设购买成人票张，则购买学生票张，由题意：购票总费用不超过320元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：由题意得：小明以折扣价购买门票是第三次参观，
故答案为：三；
（2）解：设每张成人票的标准票价为元，每张学生票的标准票价为元，
由题意得：，
解得：，
答：每张成人票的标准票价为60元，每张学生票的标准票价为40元；
（3）解：设每张成人票和学生票都打折，
由题意得：，
解得：，
即每张成人票和学生票都打5折，
设购买成人票张，则购买学生票张，
由题意得：，
解得：，
必需购买成人票，
或2，
有2种购票方案：①购买成人票1张，购买学生票14张；②购买成人票2张，则购买学生票13张．
22．(1)飞机落到水平安全线时飞行水平距离为
(2)发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于且小于
【分析】本题考查了二次函数的应用：
（1）设，利用待定系数法求得，当时，求得的值即可求解；
（2）设，根据题意得，将和将代入，求得即可求解；
熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：设，
将和代入
得：，
解得：，，
∴，
当时，，
解得：或，
答：飞机落到水平安全线时飞行水平距离为．
（2）设，
，
，
将代入得：；
将代入得：，
．
答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于且小于．
23．(1)菱形
(2)是正方形，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据矩形的性质可得，再由旋转的性质可得，然后由平行四边形的判定与性质及菱形的判定可得结论；
（2）由矩形的性质及旋转的性质可得，再根据菱形的判定与性质及正方形的判定即可得出结论；
（3）先判断出，进而求出，，即可求出．
【详解】（1）四边形是菱形，证明如下：
由图1可知，是矩形的对角线，，，
，
在图2中，由旋转知，，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
是菱形，
故答案为：菱形；
（2）是正方形，证明如下：
图1中，四边形是矩形，
，
，，
，
在图3中，由旋转知，，
，
，
点，，在同一条直线上，
，
由旋转知，，
点是的中点，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
是菱形，
又，
菱形是正方形；
（3）在中，，，
，，
由（2）结合平移知，，
在中，，
，
．
【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定和性质、正方形的判定、旋转的性质和平移的性质，是中考的压轴题，解题时需要抓住图形在变换中的性质，递进式的解答。
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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