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专题02 平行线的判定与性质
【考点导航】
目录
【典型例题】 1
【考点一 平行线的判定】 1
【考点二 添加一条件使两条直线平行】 3
【考点三 平行线的性质】 4
【考点四 根据平行线的性质与判定求角度】 5
【考点五 平行线的性质在生活中的应用】 8
【考点六 平行线的性质与判定综合应用】 10
【考点七 命题的判定与逆命题】 12
【过关检测】 14
【典型例题】
【考点一 平行线的判定】
例题：（2022·山东泰安·七年级期末）如图，，，．请说明线段BE与DF的位置关系？为什么？
【变式训练】
1．（2022·云南·弥渡县弥城镇中心学校七年级期中）已知如图所示，，点、、在同一条直线上，，且平分，试说明的理由．
2．（2022·山东·聊城市东昌府区博雅学校七年级阶段练习）如图，射线BC平分∠ABD，且∠1=110°，∠2=70°．求证：AB∥CD．
【考点二 添加一条件使两条直线平行】
例题：（2022·江西赣州·七年级期中）如图，点E在AC的延长线上，若要使，则需添加条件_______（写出一种即可）
【变式训练】
1．（2022·甘肃·临泽县第三中学七年级期中）如图，填写一个能使ABCD的条件：_________．
2．（2022·吉林·公主岭市陶家中学七年级阶段练习）如图，要使，需补充一个条件，你认为这个条件应该是______（填一个条件即可）．
【考点三 平行线的性质】
例题：（2022·陕西·西安市铁一中学八年级阶段练习）如图，．，则的度数为（ ）
A．58° B．112° C．120° D．132°
【变式训练】
1．（2022·重庆市第七中学校九年级期中）如图，，，则的度数为（ ）
A．160 B．140 C．50 D．40
2．（2022·江西抚州·七年级期中）如图，直线，直线l与a，b分别相交于A，B两点，过点A作直线l的垂线交直线b与点C，若，则的度数为________．
【考点四 根据平行线的性质与判定求角度】
例题：（2021·四川省南充市高坪中学七年级阶段练习）如图，已知：，，
(1)说明：．
(2)求的度数．
【变式训练】
1．（2022·山东·宁津县德清中学七年级期中）如图，已知，，，求：
(1)
(2)的度数．
2．（2022·西藏·林芝市广东实验中学七年级期中）如图，点D，E在AC上，点F，G分别在BC，AB上，且，∠1＝∠2．
(1)求证：；
(2)若EF⊥AC，∠1＝50°，求∠ADG的度数．
【考点五 平行线的性质在生活中的应用】
例题：（2022·山东青岛·七年级期中）已知：某小区地下停车场的栏杆如图所示，当栏杆抬起到最大高度时∠ABC=150°，若此时CD平行地面AE，则_________度．
【变式训练】
1．（2022·山东·菏泽市牡丹区第二十二初级中学七年级期中）光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从空气射向水中时，会发生折射．如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且∠1＝132°，则∠2＝______．
2．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级期中）如图，汽车灯的剖面图，从位于点的灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线，都是水平线，若，，则的度数为______．
【考点六 平行线的性质与判定综合应用】
例题：（2021·浙江·绍兴市锡麟中学八年级阶段练习）探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使，且DE交BC于点P．∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？
(1)我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系：如图1与图2所示．
①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为 ；图2中∠ABC与∠DEF数量关系为 ；
请选择其中一种情况说明理由．
②由①得出一个真命题（用文字叙述）： ．
(2)应用②中的真命题，解决以下问题：
若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，请直接写出这两个角的度数．
【变式训练】
1．（2022·甘肃·金昌市第五中学七年级期中）如图，已知AMBN，∠A＝64°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
(1)∠ABN的度数是 ；
(2)求∠CBD的度数；
(3)当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量之比是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由：若变化，请写出变化规律．
【考点七 命题的判定与逆命题】
例题：（2022·福建省福州第十一中学七年级期中）下列命题是真命题的是（ ）
A．同位角相等 B．两个锐角的和是锐角
C．若两个角的和为，则这两个角互补 D．相等的角是对顶角
【变式训练】
1．（2022·上海市民办立达中学八年级阶段练习）下列命题中，其逆命题是假命题的是（ ）
A．同旁内角互补，两直线平行 B．若，则
C．锐角与钝角互为补角 D．相等的角是对顶角
2．（2022·上海·八年级专题练习）下列命题的逆命题正确的是( )
A．对顶角相等 B．直角三角形两锐角互余
C．全等三角形的对应角相等 D．全等三角形的面积相等
【过关检测】
一、选择题
1．（2022秋·浙江杭州·八年级校联考期中）下列定理中，下面语句是命题的是（ ）
A．是有理数 B．已知，求
C．作的角平分线 D．正数大于一切负数吗？
2．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，直线，于点C，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
3．（2023春·七年级单元测试）下列说法：
（1）经过两点有且只有一条直线；
（2）点到直线的距离就是指这点到这条直线的垂线段；
（3）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
（4）垂直于同一条直线的两条直线平行；
（5）周角是一条射线，平角是一条直线．
其中正确的个数为（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
4．（2022秋·辽宁鞍山·八年级统考期中）将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，，，交于点，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．（2023秋·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，下列说法中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
二、填空题
6．（2022春·北京·七年级统考期末）如图，要使CDBE，需要添加的一个条件为：__________．
7．（2021秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考期中）如图，直线a，b被直线l所截，如果，，那么___________度．
8．（2023春·七年级单元测试）如图，直线，平分，若，则度数是_________．
9．（2021秋·河北衡水·八年级校考阶段练习）下列命题中：①若，则；②两直线平行，同位角相等：③对顶角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行；不是真命题的是______（填写所有不是真命题的序号）．
10．（2023春·七年级单元测试）如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．，CD与AB在直线EF异侧．若，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，当时间t的值为______时，CD与AB平行．
三、解答题
11．（2022春·上海·七年级阶段练习）如图：已知∠1＝120°，∠2＝60°，那么图中哪两条直线平行？为什么？
解：∵∠1＝∠3（　　），∠1＝120°（已知）
∴∠3＝　　（　　）
∵∠2＝60°（已知）
∴∠3+∠2＝180°（　　）
∴　　∥　　（　　）
12．（2022春·上海·七年级专题练习）如图，∠1＝120°，∠BCD＝60°，AD与BC为什么是平行的？（填空回答问题）
将∠1的　 　角记为∠2
∵∠1+∠2＝　 　，且∠1＝120°（ 已知）
∴∠2＝　 　．
∵∠BCD＝60°，（　 　）
∴∠BCD＝∠　 　．
∴AD//BC（　 　）
13．（2022秋·山西临汾·七年级统考期末）阅读下面的解答过程，并填空．
如图，，平分，平分，．求证：．
证明：∵平分，平分，（已知）
∴__________，_________．（角平分线的定义）
又∵，（已知）
∴∠____________=∠____________．（等量代换）
又∵，（已知）
∴∠____________∠____________．（等量代换）
∴．（____________）
14．（2022春·广东江门·七年级江门市怡福中学校考阶段练习）如图，的延长线与的延长线交于点，，，．
(1)求的度数；
(2)求证：．
15．（2022秋·福建福州·七年级校考期末）如图，已知：平分，平分，且．
(1)试判断与的位置关系，并说明理由；
(2)求证：．
16．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
17．（2021春·辽宁沈阳·七年级校考期中）如图，已知，E是直线上的一点，平分，射线，．
(1)求的度数．
(2)若，判断和的位置关系，说明理由．
18．（2022春·广东汕尾·七年级校考期中）如图，直线EF交直线AB、CD与点M、N，NP平分∠ENC交直线AB于点P．
已知∠EMB=112°，∠PNC=34°．
(1)求证：AB∥CD；
(2)若PQ将分∠APN成两部分，且∠APQ：∠QPN=1：3，求∠PQD的度数．
专题02 平行线的判定与性质
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【典型例题】 1
【考点一 平行线的判定】 1
【考点二 添加一条件使两条直线平行】 3
【考点三 平行线的性质】 4
【考点四 根据平行线的性质与判定求角度】 5
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【考点七 命题的判定与逆命题】 12
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【典型例题】
【考点一 平行线的判定】
例题：（2022·山东泰安·七年级期末）如图，，，．请说明线段BE与DF的位置关系？为什么？
【答案】BEDF，见解析
【分析】由已知推出∠3+∠4=90°，利用，，得到∠1=∠4，即可得到结论BEDF．
【详解】解：BEDF，
∵，
∴∠ABC=90°，
∴∠3+∠4=90°，
∵，，
∴∠1=∠4，
∴BEDF．
【点睛】此题考查了平行线的判定定理，熟记平行线的判定定理并熟练应用是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·云南·弥渡县弥城镇中心学校七年级期中）已知如图所示，，点、、在同一条直线上，，且平分，试说明的理由．
【答案】见解析
【分析】根据角平分线定义求出∠1＝∠EAC，根据已知求出∠C＝∠EAC，推出∠C＝∠1，根据平行线的判定得出结论．
【详解】理由：∵AD平分∠EAC，
∴∠1＝∠EAC，
∵∠EAC＝∠B＋∠C，∠B＝∠C，
∴∠C＝∠EAC，
∴∠C＝∠1，
∴ADBC．
【点睛】本题考查了角平分线定义和平行线的判定，关键是根据定理和已知推出∠1＝∠C，题目比较典型，难度不大．
2．（2022·山东·聊城市东昌府区博雅学校七年级阶段练习）如图，射线BC平分∠ABD，且∠1=110°，∠2=70°．求证：AB∥CD．
【答案】见解析
【分析】先根据角平分线的定义和对顶角相等可得出∠ABC=∠2=70°，再由对顶角相等可得出∠1=∠BCE=110°，则∠ABC+∠BCE=180°，由此可得出结论．
【详解】证明：∵射线BC平分∠ABD，
∴∠ABC=∠2，
∵∠1=110°，∠2=70°，∠1=∠BCE，
∴∠ABC=70°，∠BCE=110°，
∴∠ABC+∠BCE=180°，
∴AB∥CD．
【点睛】本题考查的是平行线的判定，用到的知识点为：同旁内角互补，两直线平行．
【考点二 添加一条件使两条直线平行】
例题：（2022·江西赣州·七年级期中）如图，点E在AC的延长线上，若要使，则需添加条件_______（写出一种即可）
【答案】∠1=∠2 等 （写出一种即可）
【分析】根据平行线的判定定理得出直接得出即可．
【详解】解：∵当∠1 =∠2时，（内错角相等，两直线平行）；
∴若要使，则需添加条件∠1 =∠2；
故答案为：∠1=∠2．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题关键．
【变式训练】
1．（2022·甘肃·临泽县第三中学七年级期中）如图，填写一个能使ABCD的条件：_________．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据平行线的判定定理进行解答即可．
【详解】解：填写的条件为：，
，
（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
2．（2022·吉林·公主岭市陶家中学七年级阶段练习）如图，要使，需补充一个条件，你认为这个条件应该是______（填一个条件即可）．
【答案】(答案不唯一）
【分析】利用两线平行的判定方法，找到一组同位角相等即可．
【详解】解：当时：，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查两直线平行的判定方法．利用同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，任选其一解题即可．
【考点三 平行线的性质】
例题：（2022·陕西·西安市铁一中学八年级阶段练习）如图，．，则的度数为（ ）
A．58° B．112° C．120° D．132°
【答案】A
【分析】根据平行线性质得出，根据对顶角相等即可得出答案．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
∴，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质和对顶角性质，解题的关键是熟练掌握：两直线平行，同位角相等．
【变式训练】
1．（2022·重庆市第七中学校九年级期中）如图，，，则的度数为（ ）
A．160 B．140 C．50 D．40
【答案】B
【分析】利用平行线的性质先求解，再利用邻补角的性质求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，邻补角的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
2．（2022·江西抚州·七年级期中）如图，直线，直线l与a，b分别相交于A，B两点，过点A作直线l的垂线交直线b与点C，若，则的度数为________．
【答案】##63度
【分析】根据，可得，即可求出的度数．
【详解】解：∵，，，
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补正确找出是解答本题的关键．
【考点四 根据平行线的性质与判定求角度】
例题：（2021·四川省南充市高坪中学七年级阶段练习）如图，已知：，，
(1)说明：．
(2)求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据对顶角相等得到，再利用平行线的判定即可证明；
（2）根据平行线的性质求出即可．
（1）
解：∵，，
∴，
∴；
（2）
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
【变式训练】
1．（2022·山东·宁津县德清中学七年级期中）如图，已知，，，求：
(1)
(2)的度数．
【答案】(1)见解析；
(2)100°．
【分析】（1）根据平行线的性质和判定方法即可得到结论；
（2）根据两直线平行，同旁内角互补，即可求解．
（1）
解：∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
（2）
解：∵
∴．
∵，
∴
【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，熟练掌握两只线平行同旁内角互补是关键．
2．（2022·西藏·林芝市广东实验中学七年级期中）如图，点D，E在AC上，点F，G分别在BC，AB上，且，∠1＝∠2．
(1)求证：；
(2)若EF⊥AC，∠1＝50°，求∠ADG的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠ADG＝40°
【分析】（1）利用两直线平行，内错角相等，再根据同位角相等，两直线平行即可得证；
（2）先求出∠C，再根据两直线平行，同位角相等，即可得解．
（1）
证明：∵，
∴∠1＝∠DBC．
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠DBC，
∴．
（2）
∵EF⊥AC，
∴∠CEF＝90°．
∵∠2＝∠1＝50°，
∴∠C＝90°－50°＝40°．
∵，
∴∠ADG＝∠C＝40°．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质．熟练掌握平行线的性质和判定是解题的关键．
【考点五 平行线的性质在生活中的应用】
例题：（2022·山东青岛·七年级期中）已知：某小区地下停车场的栏杆如图所示，当栏杆抬起到最大高度时∠ABC=150°，若此时CD平行地面AE，则_________度．
【答案】120
【分析】过点B作BF∥CD，因为AB⊥AE，可得∠ABF=90°，即可得出∠FBC的度数，再由BF∥CD，可得∠FBC+∠BCD=180°，代入计算即可得出答案．
【详解】解：过点B作BF∥CD，如图，
由题意可知，∠ABF=90°，
∵∠ABC=150°，
∴∠FBC=∠ABC-∠ABF=150°-90°=60°，
∵BF∥CD，
∴∠FBC+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°-∠FBC=180°-60°=120°．
故答案为：120．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练应用平行线的性质进行求解是解决本题的关键．
【变式训练】
1．（2022·山东·菏泽市牡丹区第二十二初级中学七年级期中）光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从空气射向水中时，会发生折射．如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且∠1＝132°，则∠2＝______．
【答案】48°##48度
【分析】根据平行线的性质解答即可．
【详解】解：如图，∵水面和杯底互相平行，
∴∠1+∠3=180°，又∠1＝132°，
∴∠3=180°-∠1=48°，
∵水中的两条折射光线是平行的，
∴∠2=∠3=48°，
故答案为：48°．
【点睛】本题考查平行线的性质应用，熟练掌握平行线的性质是解答的关键．
2．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级期中）如图，汽车灯的剖面图，从位于点的灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线，都是水平线，若，，则的度数为______．
【答案】##60度
【分析】如图所示，过点O作，则，根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：如图所示，过点O作，
∵光线，都是水平线，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
【考点六 平行线的性质与判定综合应用】
例题：（2021·浙江·绍兴市锡麟中学八年级阶段练习）探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使，且DE交BC于点P．∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？
(1)我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系：如图1与图2所示．
①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为 ；图2中∠ABC与∠DEF数量关系为 ；
请选择其中一种情况说明理由．
②由①得出一个真命题（用文字叙述）： ．
(2)应用②中的真命题，解决以下问题：
若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，请直接写出这两个角的度数．
【答案】(1)①∠ABC+∠DEF＝180°，∠ABC＝∠DEF，理由见解析；②如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补
(2)30°，30°或70°和110°
【分析】（1）①根据平行线的性质，即可求解；②根据①写出结论，即可求解；
（2）设两个角分别为x和2x﹣30°，由（1）的结论可得x＝2x﹣30°或x+2x﹣30°＝180°，即可求解．
（1）
解：①如图1中，∠ABC+∠DEF＝180°．如图2中，∠ABC＝∠DEF，
故答案为：∠ABC+∠DEF＝180°，∠ABC＝∠DEF．
理由：如图1中，
∵，
∴∠DPB＝∠DEF，
∵，
∴∠ABC+∠DPB＝180°，
∴∠ABC+∠DEF＝180°．
如图2中，∵，
∴∠DPC＝∠DEF，
∵，
∴∠ABC＝∠DPC，
∴∠ABC＝∠DEF．
②结论：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．
故答案为：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．
（2）
解：设两个角分别为x和2x﹣30°，
由（1）得：x＝2x﹣30°或x+2x﹣30°＝180°，
解得x＝30°或x＝70°，
∴这两个角的度数为30°，30°或70°和110°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，理解如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补是解答关键．
【变式训练】
1．（2022·甘肃·金昌市第五中学七年级期中）如图，已知AMBN，∠A＝64°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
(1)∠ABN的度数是 ；
(2)求∠CBD的度数；
(3)当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量之比是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由：若变化，请写出变化规律．
【答案】(1)116°
(2)58°
(3)不变，∠APB＝2∠ADB，理由见解析
【分析】（1）根据两直线平行同旁内角互补即可求解；
（2）根据角平分线的定义，结合（1）的结论即可求解；
（3）由平行线的性质可得∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，根据角平分线的定义可得∠PBN＝2∠DBN，即可求解．
（1）
解：∵AMBN，∠A＝64°，
∴∠ABN＝180°﹣∠A＝116°，
故答案为116°；
（2）
∵AMBN，
∴∠ABN+∠A＝180°，
∴∠ABN＝180°﹣64°＝116°，
∴∠ABP+∠PBN＝116°，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，
∴2∠CBP+2∠DBP＝116°，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝58°；
（3）
不变，∠APB＝2∠ADB，理由如下：
∵AMBN，
∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN＝2∠DBN，
∴∠APB＝2∠ADB．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，数形结合是解题的关键．
【考点七 命题的判定与逆命题】
例题：（2022·福建省福州第十一中学七年级期中）下列命题是真命题的是（ ）
A．同位角相等 B．两个锐角的和是锐角
C．若两个角的和为，则这两个角互补 D．相等的角是对顶角
【答案】C
【分析】根据平行线的性质，补角的定义，锐角的定义，对顶角的定义逐项进行判断即可．
【详解】解：、两直线平行，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、两个锐角的和可能是锐角、钝角，也可能是直角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、若两个角的和为，则这两个角互补，正确，是真命题，符合题意；
D、相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了命题真假的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，补角的定义，锐角的定义，对顶角的定义．
【变式训练】
1．（2022·上海市民办立达中学八年级阶段练习）下列命题中，其逆命题是假命题的是（ ）
A．同旁内角互补，两直线平行 B．若，则
C．锐角与钝角互为补角 D．相等的角是对顶角
【答案】C
【分析】先写出各选项的逆命题，再逐个判断即可．
【详解】解：A、同旁内角互补，两直线平行的逆命题为两直线平行，同旁内角互补，为真命题，选项不符合题意；
B、若，则的逆命题为若，则，为真命题，选项不符合题意；
C、锐角与钝角互为补角的逆命题为若两个角互补，则这两个角分别为锐角、钝角，为假命题，选项符合题意；
D、相等的角是对顶角的逆命题为对顶角相等，为真命题，选项不符合题意；
故选：C
【点睛】此题考查了命题的逆命题以及真假命题，解题的关键是正确写出命题的逆命题．
2．（2022·上海·八年级专题练习）下列命题的逆命题正确的是( )
A．对顶角相等 B．直角三角形两锐角互余
C．全等三角形的对应角相等 D．全等三角形的面积相等
【答案】B
【分析】先分别写出第个选项的逆命题，再判断其是否正确．
【详解】解：A的逆命题是：相等的角是对顶角，假命题；
B的逆命题是：两锐角互余的三角形是直角三角形，真命题；
C的逆命题是：对应角相等的三角形是全等三角形，假命题；
D的逆命题是：面积相等的三角形是全等三角形，假命题；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了学生对逆命题以及真假命题的定义的理解，要求学生对常用的基础知识牢固掌握，比较简单．
【过关检测】
一、选择题
1．（2022秋·浙江杭州·八年级校联考期中）下列定理中，下面语句是命题的是（ ）
A．是有理数 B．已知，求
C．作的角平分线 D．正数大于一切负数吗？
【答案】A
【分析】根据命题的定义逐一判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、对事情作出了判断，是命题，符合题意；
B、为陈述句，没有对问题作出判断，不是命题，不符合题意；
C、为陈述句，没有对问题作出判断，不是命题，不符合题意；
D、为疑问句，没有对问题作出判断，不是命题，不符合题意．
故选：A．
【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解命题是判断一件事情的句子，难度不大．
2．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，直线，于点C，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据垂线的性质可得，进而得出与互余，再根据平行线的性质可得答案．
【详解】解：于点C，
，
，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
3．（2023春·七年级单元测试）下列说法：
（1）经过两点有且只有一条直线；
（2）点到直线的距离就是指这点到这条直线的垂线段；
（3）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
（4）垂直于同一条直线的两条直线平行；
（5）周角是一条射线，平角是一条直线．
其中正确的个数为（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】B
【分析】利用平行公理以及其推论和垂线的定义、特殊角、点到直线的距离的定义分别分析求出即可.
【详解】解：（1）经过两点有且只有一条直线，说法正确；
（2）点到这条直线的垂线段的长度才是点到直线的距离，故（2）说法错误；
（3）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法正确；
（4）垂直于同一条直线的两条直线平行，要强调在同一平面内，故（4）说法错误；
（5）角是由一个公共端点发出的两条射线组成，即便两射线所在的直线重合，也不能认为是一条射线或直线，故（5）错误．
故选：B
【点睛】此题主要考查了平行公理以及其推论和垂线的定义、点到直线的距离的定义等，正确把握相关定义是解题关键.
4．（2022秋·辽宁鞍山·八年级统考期中）将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，，，交于点，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据可得，根据特殊直角三角形角的大小及关系计算可得，再根据直角三角形两个锐角互余即可．
【详解】，
又
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质及特殊直角三角形角的性质，关键是掌握平行线性质定理及直角三角形的角的性质，灵活运用角的和差运算．
5．（2023秋·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，下列说法中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】根据平行线的判定条件逐一判断即可得到答案．
【详解】解：A、，不能判断，选项错误；
B、，可以判断，不能判断，选项错误；
C、，可以判断，不能判断，选项错误；
D、，可以判断，选项正确，
故选D．
【点睛】本题考查了平行线的判定，解题关键是掌握平行线的判定条件：①内错角相等，两直线平行；②同位角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行．
二、填空题
6．（2022春·北京·七年级统考期末）如图，要使CDBE，需要添加的一个条件为：__________．
【答案】或，（答案不唯一）
【分析】根据平行线的判定定理添加条件即可求解．
【详解】解：添加，根据同位角相等，两直线平行，可得CDBE，
添加，根据内错角相等，两直线平行，可得CDBE，
添加，根据同旁内角互补，两直线平行，可得CDBE，
故答案为：或或（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了平行线的判定定理，掌握平行线的判定定理是解题的关键．
7．（2021秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考期中）如图，直线a，b被直线l所截，如果，，那么___________度．
【答案】60
【分析】根据两直线平行，同位角相等，即可得的度数，再利用邻补角的定义，即可求得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴．
故答案为：60．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及邻补角的定义．注意掌握两直线平行，同位角相等的应用是解题的关键．
8．（2023春·七年级单元测试）如图，直线，平分，若，则度数是_________．
【答案】##40度
【分析】根据邻补角的定义、角平分线的定义及平行线的性质求解即可．
【详解】解：，
，
平分，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟记平行线的性质定理是解题的关键．
9．（2021秋·河北衡水·八年级校考阶段练习）下列命题中：①若，则；②两直线平行，同位角相等：③对顶角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行；不是真命题的是______（填写所有不是真命题的序号）．
【答案】①③##③①
【分析】根据绝对值的性质，平行线的判定和性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：①若，则，故原命题是假命题；
②两直线平行，同位角相等，故原命题是真命题；
③对顶角相等，不能得到两直线平行，故原命题是假命题；
④内错角相等，两直线平行，故原命题是真命题；
所以不是真命题的是①③．
故答案为：①③．
【点睛】本题主要考查了判断命题的真假，绝对值的性质，平行线的判定和性质，熟练掌握绝对值的性质，平行线的判定和性质是解题的关键．
10．（2023春·七年级单元测试）如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．，CD与AB在直线EF异侧．若，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，当时间t的值为______时，CD与AB平行．
【答案】4秒或40秒
【分析】分①与在的两侧，分别表示出与，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；
②旋转到与都在的右侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；
③旋转到与都在的左侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解．
【详解】解：分三种情况：
如图①，与在的两侧时，
∵，，
∴，，
要使，则，
即，
解得t=4；
此时，
∴；
②旋转到与都在的右侧时，
∵，，
要使，则，
即，
解得，
此时，
∴；
③旋转到与都在的左侧时，
∴，，
要使，则，
即，
解得，
此时，
而，
∴此情况不存在．
综上所述，当时间t的值为4秒或40秒时，与平行．
故答案为：4秒或40秒．
【点睛】本题考查了平行线的判定，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，要注意分情况讨论．
三、解答题
11．（2022春·上海·七年级阶段练习）如图：已知∠1＝120°，∠2＝60°，那么图中哪两条直线平行？为什么？
解：∵∠1＝∠3（　　），∠1＝120°（已知）
∴∠3＝　　（　　）
∵∠2＝60°（已知）
∴∠3+∠2＝180°（　　）
∴　　∥　　（　　）
【答案】对顶角相等；120°；等量代换；等式的性质；AB；DE；同旁内角互补，两直线平行
【分析】根据等式的性质以及平行线的判定定理即可解答．
【详解】解：∵∠1＝∠3（对顶角相等），∠1＝120°（已知），
∴∠3＝120°（ 等量代换）
∵∠2＝60°（已知）
∴∠3+∠2＝180°（等式的性质）
∴AB∥DE（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：对顶角相等；120°；等量代换；等式的性质；AB；DE；同旁内角互补，两直线平行．
【点睛】本题考查了平行线的判定方法，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．
12．（2022春·上海·七年级专题练习）如图，∠1＝120°，∠BCD＝60°，AD与BC为什么是平行的？（填空回答问题）
将∠1的　 　角记为∠2
∵∠1+∠2＝　 　，且∠1＝120°（ 已知）
∴∠2＝　 　．
∵∠BCD＝60°，（　 　）
∴∠BCD＝∠　 　．
∴AD//BC（　 　）
【答案】邻补；180°；60°；已知；2；同位角相等，两直线平行
【分析】首先记∠1的邻补角为∠2，得出∠2=60°，再由∠BCD=60°，得出∠BCD=∠2，从而得出AD∥BC．
【详解】证明：将∠1的邻补角记为∠2．
∵∠1+∠2=180°，且∠1=120°（ 已知），
∴∠2=60°，
∵∠BCD=60°（ 已知），
∴∠BCD=∠2，
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）．
故答案分别为：邻补，180°，60°，已知，2，同位角相等，两直线平行．
【点睛】此题考查的知识点是平行线的判定，关键是先由邻补角得出∠2=60°，再由已知得出∠BCD=∠2，从而得出AD∥BC．
13．（2022秋·山西临汾·七年级统考期末）阅读下面的解答过程，并填空．
如图，，平分，平分，．求证：．
证明：∵平分，平分，（已知）
∴__________，_________．（角平分线的定义）
又∵，（已知）
∴∠____________=∠____________．（等量代换）
又∵，（已知）
∴∠____________∠____________．（等量代换）
∴．（____________）
【答案】；；；；；；同位角相等，两直线平行
【分析】根据角平分线的定义，等量代换，同位角相等两直线平行，联系证明过程，可推理出答案．
【详解】证明：∵平分，平分，（已知）
∴，．（角平分线的定义）
又∵，（已知）
∴．（等量代换）
又∵，（已知）
∴．（等量代换）
∴．（同位角相等，两直线平行）．
【点睛】本题考查了平行线的判定，角平分线的定义，解决本题的关键是熟悉相关的几何定理，联系证明过程进行推导．
14．（2022春·广东江门·七年级江门市怡福中学校考阶段练习）如图，的延长线与的延长线交于点，，，．
(1)求的度数；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据平行线的性质定理即可得到结论；
（2）根据平行线判定定理即可得到结论．
【详解】（1）解：
（2）证明：
即
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质定理，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键．
15．（2022秋·福建福州·七年级校考期末）如图，已知：平分，平分，且．
(1)试判断与的位置关系，并说明理由；
(2)求证：．
【答案】(1)，理由见解析
(2)见解析
【分析】（1）先求出，再根据角平分线的定义求出即可证明，则；
（2）过E作，则，由平行线的性质可知，再由角平分线的定义推出即可得到结论．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：过E作，如图：
由（1）得，，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．
16．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由已知条件可证得，从而有，则得，得证；
（2）由（1）得，利用两直线平行，同旁内角互补可求解．
【详解】（1）证明：，，
，
，
，
，
；
（2）解：，，
，，
，
，
．
【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是熟记平行线的判定条件与性质并灵活运用．
17．（2021春·辽宁沈阳·七年级校考期中）如图，已知，E是直线上的一点，平分，射线，．
(1)求的度数．
(2)若，判断和的位置关系，说明理由．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线定义即可得到结论；
（2）根据平行线的判定定理即可得到结论．
【详解】（1）解：，
，
平分，
；
（2）解：，理由如下：
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线定义，正确的识别图形是解题的关键．
18．（2022春·广东汕尾·七年级校考期中）如图，直线EF交直线AB、CD与点M、N，NP平分∠ENC交直线AB于点P．
已知∠EMB=112°，∠PNC=34°．
(1)求证：AB∥CD；
(2)若PQ将分∠APN成两部分，且∠APQ：∠QPN=1：3，求∠PQD的度数．
【答案】(1)见详解
(2)36.5°
【分析】（1）根据角平分线的性质，可得∠MNQ=2∠PNC=68°，再根据对顶角的定义∠PMN=∠EMN=112°，继而根据平行线的判定定理即可求证结论；
（2）根据∠APQ：∠QPN=1：3，可得∠QPN=3∠APQ，根据AB∥CD，可得∠MPN=∠PNC=34°，再根据平角定义可得∠APQ=32°，进而可得∠PQD的度数．
（1）
∵NP平分∠ENC，∠PNC=34°
∴∠MNQ=2∠PNC=68°，
又∠PMN=∠EMN=112°（对顶角相等），
∴∠PMN+∠MNQ=180°，
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
（2）
∵∠APQ：∠QPN=1：3，
∴∠QPN=3∠APQ，
∵AB∥CD，
∴∠MPN=∠PNC=34°，
∴∠APN=180°﹣∠MPN=146°，
∴∠APQ+∠QPN=146°，
∴4∠APQ=146°，
∴∠APQ=36.5°，
∴∠PQD=∠APQ=36.5°．
则∠PQD的度数为36.5°．
【点睛】本题考查了平行线的判定及其性质和角平分线的性质以及平角的定义，解决本题的关键是掌握平行线的性质．

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