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安徽省县中联盟2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号框。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将答题卡交回。
一、选择题:本大题共8个题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足（其中是虚数单位）,则（ ）
A.1 B. C. D.2
2.函数的部分图象如图所示,则的值为（ ）
A.-4 B.4 C.-8 D.8
3.已知某圆台体积为,其上下底面圆半径分别为2和5,则其母线长为（ ）
A. B.4 C.5 D.
4.在中,,则中最小的边长为（ ）
A. B. C. D.
5.已知向量满足,则向量的夹角为（ ）
A.0 B. C.0或 D.0或
6.学校组织学生去工厂参加社会实践活动,任务是利用一块正方形的铁皮制作簸箕,方法如下:取正方形ABCD边AB的中点,沿MC、MD折叠,将MA、MB用胶水粘起来,使得点A、B重合于点,这样就做成了一个簸箕,如果这个簸箕的容量为,则原正方形铁皮的边长是多少（ ）
A. B. C. D.
7.如图,是边长为2的正三角形,直线围成一个正三角形DEF,且,则（ ）
A. B. C. D.
8.已知正方体的体对角线垂直于平面,直线与平面所成角为,在正方体绕体对角线旋转的过程中,记BC与直线所成的最小角为,则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题:本大题共3个题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题自要求,全部选对得6分,部分选对的得部分分,有选错得0分。
9.在下列各组向量中;可以作为基底的是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知复数,下列叙述中错误的是（ ）
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
11.正三棱柱中,为棱的中点,为线段(不包括端点)上一动点,M,N分别为棱AB,AC上靠近点的三等分点,过BC作三棱柱的截面,使得垂直于AP且交AP于点,下列结论正确的是（ ）
A.截面 B.存在点使得平面截面
C.当时,截面的面积为 D.三棱锥体积的最大值为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.已知关于的实系数二次方程的一根为(其中是虚数单位),则_________.
13.已知在中,为AC中点,且,则_________.
14.在棱长为4的正四面体中,,过点作平行于平面ABC的平面与棱PB、PC分别交于点E、F,过点作平行于平面PBC的平面与棱AB、AC分别交于点G、H,记分别为三棱锥的外接球球心,则_________.
四、解答题：本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)
已知在平面直角坐标系中,其中为坐标原点.
(1)求在方向上的投影向量;
(2)证明三点共线,并求的最小值.
16.(15分)
几何体ABCDEF中,平面ADE、平面BCF和平面ACFE均与平面ABCD垂直,且.
(1)证明:;
(2)求四棱锥与四棱锥公共部分的体积.
17.(15分)
锐角中,角所对的边分别为且.
(1)证明:;
(2)求的周长的取值范围.
18.（17分）
如图,圆柱的高为1,底面半径长为2,它的一个轴截面为,点为底面圆的圆周上一点,且.
(1)已知点是底面圆的直径上靠近的一个四等分点,若经过点在底面圆上作一条直线与CE垂直且与圆交于M、N两点,求线段MN的长;
(2)求平面与平面ACB的夹角.
19.（17分）
已知在任意一个三角形的三条边上分别向外做出三个等边三角形,则这三个等边三角形的中心也构成一个等边三角形;我们称由这三个等边三角形中心构成的三角形为其外拿破仑三角形.在锐角中,角所对的边分别为且,以的边分别向外作的三个等边三角形的中心分别记为,且的面积为,记为的外接圆半径.
（1）若,求;
（2）若,求面积的取值范围.
2024年“江南十校”高一阶段联考数学参考答案
一、选择题:本大题共8个题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D C C A B A B
二、选择题：本大题共3个题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对得6分,部分选对的得部分分,有选错得0分。
题号 9 10 11
答案 BC ABD ACD
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.0 13. 14.
四、解答题：本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)
【解析】(1)在方向上的投影向量为:
.……………………………………………………5分
（2）因为,则,
即,又AC与AB有公共点,所以A、B、C三点共线;……………………………………9分
当时,的最小值为.……………………………………………………………………13分
16.(15分)
【解析】(1)在平面ABCD内取点,作交AD于点,作交AC于点,作交BC于点,
因为平面平面ABCD,平面平面,
所以半面ADE,所以,………………………………………………………………4分
同理平面平面BCF,
所以
又,所以平面ABCD,
同理平面ABCD,故.…………………………………………………………………8分
(2)连接EC,AF交于点,则四棱锥与的公共部分为四棱锥,
作,则平面ABCD,因为,所以,
即,又四边形ABCD的面积为,
故.……………………………………………………………………………15分
17.(15分)
【解析】(1)因为,
则;……………………………………6分
（2）由,得:,
故,……………………10分
因为为锐角三角形,所以,即,所以,
则,所以周长的取值范围为.…………………………………………15分
18.(17分)
【解析】(1)在圆上取点使,则圆,
连接,因为,
所以半面,则,…………………………………………………………………3分
因为,所以,
又,则,
,…………………………………………………………………………5分
取MN中点,则,
所以,则.….....……………………9分
(2)取OA中点中点,连接,则,
记平面与平面ACB的公共交线为,
因为平面平面,
所以平面,则,
所以即平面与平面ACB的夹角,……………………………………………………14分
因为,所以,……………………………………………………17分
,即平面与平面ACB的夹角为.……………………………………………17分
19.(17分)
【解析】(1)由得,因为为锐角三角形,所以,
由题知,故,…………………………………………………2分
又,则,且,同理,
由得,
又,则,………………………………………………………6分
………………………………………9分
（2）因为即,
又,所以,则,
则,………………………………………………13分
由得,所以,
所以.……………………………………………………………………………17分

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