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广东省揭阳市普宁市2023-2024学年八年级下学期第二次月考数学试卷【北师大版】
（考试时间：120分钟；试卷满分：120分）
考卷信息：
本卷试卷共26题，单选12题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对较高，覆盖面题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一、单选题（本题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 满足最大整数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 观察下列图形，是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
3. 如图，将线段绕一个点顺时针旋转得到线段，点与点，点与点是对应点，则这个点是（ ）
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
4. 若有意义，则实数的取值范围是（ ）
A. 且 B. 且 C. 且 D. 且
5. 已知，则值是（ ）
A. B. C. D.
6. 若不等式的解集为，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7. 下列智能手机的功能图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
8. 如图，将绕顶点C逆时针旋转得到，且点B恰落在上，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图A，B的坐标分别为，．若将线段AB平移至，，的坐标分别为，，则的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10. 直线y=x-1与坐标轴交于A、B两点，点C在坐标轴上，△ABC为等腰三角形，则满足条件点C最多有（ ）个
A 4 B. 5 C. 6 D. 7
11. 若整数a使关于x的不等式组有解，且最多有2个整数解，且使关于y的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A. B. 4 C. D. 2
12. 如图，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，把直线绕点B顺时针旋转交x轴于点C，则线段长为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分）
13. 多项式与多项式的公因式分别是______.
14. 把多项式2a3﹣2a分解因式的结果是___．
15. 给出下列分式：①、②、③、④，其中最简分式是 ___（填序号）．
16. 若分式□运算结果为x，则在“□”中添加的运算符号为_____．（请从“+、﹣、×、÷”中选择填写）
17. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AC=3，AD=4，则点D到直线AB的距离是____．
18. 如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，斜边AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC的延长线于点E，连接BE．则BE的长为 ____．
三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 先化简，再求值：，其中．
20. 如图所示，在平面直角坐标系中，，，．
（1）先将向左平移2个单位长度得到，再作关于轴对称的图形；
（2）写出点的坐标．
21. 某商场购进一批甲、乙两种玩具共50件，且总费用不超过1000元，已知每件甲种玩具的进价为15元，每件乙种玩具的进价为25元，则甲种玩具至少要购买多少件？
22. （1）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
（2）2024年是中国农历甲辰龙年．某商场用3000元购进了一批“小金龙”布偶玩具，面市后供不应求，商场又用6600元购进了第二批这种玩具，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每件的进价贵了3元，求商场购进第一批“小金龙”每件的进价．
23. 某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同．
（1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？
（2）若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，则商场最多购进乙商品多少个？
24. 如图，在中，交于点D，点E是的中点，交的延长线于点F，交于点G，．求证：为的角平分线．
25. 在平面直角坐标系中，点A坐标是，点B的坐标是，点C是x轴上一点，于D交y轴于点E，
（1）如图1，图中与全等的三角形是__________；
（2）如图1，小明过点O作于M，于N，证明了平分，请写出证明过程；
（3）如图2，若点C在线段上，过点B作，使，连接交y轴于点G，若点G的坐标为，请直接写出的长．
26. 解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来．广东省揭阳市普宁市2023-2024学年八年级下学期第二次月考数学试卷【北师大版】
（考试时间：120分钟；试卷满分：120分）
考卷信息：
本卷试卷共26题，单选12题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对较高，覆盖面题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一、单选题（本题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 满足的最大整数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】逐项分析，求出满足题意的最大整数即可．
【详解】A选项，，但不是满足的最大整数，故该选项不符合题意，
B选项，，但不是满足的最大整数，故该选项不符合题意，
C选项，，满足的最大整数，故该选项符合题意，
D选项，，不满足，故该选项不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题较为简单，主要是对不等式的理解和最大整数的理解．
2. 观察下列图形，是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的概念：图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，掌握中心对称图形的概念是解题的关键．
根据中心对称图形的概念“中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合”判断即可．
【详解】解：选项A、B、D的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
选项C图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意．
故选：C．
3. 如图，将线段绕一个点顺时针旋转得到线段，点与点，点与点是对应点，则这个点是（ ）
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
【答案】A
【解析】
【分析】连接、，作和的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为所求．
【详解】解：连接、，
作和的垂直平分线，
由图形可知，两条垂直平分线交于点,
即点为旋转中心，
故选A．
【点睛】本题考查了旋转中心的确定，解题关键是掌握确定旋转中心的方法：分别作两组对应点所连线段的垂直平分线，其交点就为旋转中心．
4. 若有意义，则实数的取值范围是（ ）
A. 且 B. 且 C. 且 D. 且
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键．
详解】解：∵有意义，
∴，
∴且，
故选：B．
5. 已知，则的值是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对进行等价变形得到，再整体代入待求的代数式中计算即可．
详解】解：∵，
∴．
∴．
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确进行变形是解题关键．
6. 若不等式的解集为，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知解集得到为负数，即可确定出的范围．
【详解】解：∵的解集为，
∴，解得：
故选：A．
【点睛】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．
7. 下列智能手机的功能图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】A、图形既不是轴对称图形是中心对称图形，
B、图形是轴对称图形，
C、图形是轴对称图形，也是中心对称轴图形，
D、图形是轴对称图形.
故选C．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
8. 如图，将绕顶点C逆时针旋转得到，且点B恰落在上，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据旋转的性质可得，利用三角形外角的性质求出，再根据等腰三角形的性质和旋转的性质求出，进而可得的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边对等角，熟知旋转前后的对应边和对应角都相等是解题的关键．
9. 如图A，B的坐标分别为，．若将线段AB平移至，，的坐标分别为，，则的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】由已知得出线段向右平移了3个单位，向上平移了2个单位，即可得出、的值，从而得出答案．
【详解】解：由的对应点的坐标为知，线段向上平移了2个单位，
由的对应点的坐标为知，线段向右平移了3个单位，
则，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
10. 直线y=x-1与坐标轴交于A、B两点，点C在坐标轴上，△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C最多有（ ）个
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】D
【解析】
【分析】结合函数图象，运用分类讨论即可
【详解】解：求直线y=x+1与x轴、y轴交点坐标为A（-1，0），B（0，1）；
当点A为等腰三角形顶角的顶点时，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，
则与x轴有两个交点，与y轴有一个交点（点B除外）；
当点B为等腰三角形顶角的顶点时，以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，
则与x轴有一个交点（点A除外），与y轴有两个交点；
当C为等腰三角形顶角的顶点时，以AB为底，作AB的垂直平分线，与坐标轴交于原点O，
综上所述，满足条件的点C最多有7个，
故选D．
11. 若整数a使关于x的不等式组有解，且最多有2个整数解，且使关于y的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A. B. 4 C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意先解不等式，确定的范围，进而根据分式方程的解为整数，确定的值，再求其和即可．
【详解】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
不等式组有解，则
且最多有2个整数解，则
解得
分式方程去分母得：
解得
分式方程的解为整数，
是整数，且
即符合条件的所有整数的和为2，
故选D
【点睛】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12. 如图，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，把直线绕点B顺时针旋转交x轴于点C，则线段长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一次函数表达式求出点A和点B坐标，得到△OAB为等腰直角三角形和AB的长，过点C作CD⊥AB，垂足为D，证明△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，结合旋转的度数，用两种方法表示出BD，得到关于x的方程，解之即可．
【详解】解：∵一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，
令x=0，则y=，令y=0，则x=，
则A（，0），B（0，），
则△OAB为等腰直角三角形，∠ABO=45°，
∴AB==2，
过点C作CD⊥AB，垂足为D，
∵∠CAD=∠OAB=45°，
∴△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，
∴AC==x，
∵旋转，
∴∠ABC=30°，
∴BC=2CD=2x，
∴BD==x，
又BD=AB+AD=2+x，
∴2+x=x，
解得：x=+1，
∴AC=x=（+1）=，
故选A．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三角形．
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分）
13. 多项式与多项式的公因式分别是______.
【答案】x-1
【解析】
【分析】分别对2个多项式因式分解，再取公因式.
【详解】解：多项式＝a(x＋1)(x－1)
2x2－4x＋2＝2(x－1)2
所以两个多项式的公因式是x－1
【点睛】本题考查公因式相关，熟练掌握并利用求多项式公因式的方法进行分析是解题的关键.
14. 把多项式2a3﹣2a分解因式的结果是___．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用提取公因式法分解因式，进而利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：2a3﹣2a
=
=；
故答案为2a(a+1)(a-1)
【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
15. 给出下列分式：①、②、③、④，其中最简分式是 ___（填序号）．
【答案】②
【解析】
【分析】直接利用分式的性质分别化简，再结合最简分式的定义得出答案．
【详解】解：∵， ，
∴最简分式是，
故答案为：②．
【点睛】本题主要考查了分式的化简，平方差公式，熟悉掌握分式的性质是解题的关键．
16. 若分式□运算结果为x，则在“□”中添加的运算符号为_____．（请从“+、﹣、×、÷”中选择填写）
【答案】﹣或÷．
【解析】
【分析】分别用计+、﹣、×、÷计算出结果进行验证即可解答．
【详解】解：＝，
＝＝＝x，
＝，
＝＝x，
故答案为﹣或÷．
【点睛】本题考查了分式方程的加、减、乘、除运算法则，掌握并灵活运用运算法则是解答本题的关键．
17. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AC=3，AD=4，则点D到直线AB的距离是____．
【答案】
【解析】
【分析】作DE⊥AB于E，根据勾股定理求出CD的长，根据角平分线的性质解答即可
【详解】解：作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°，AC=3，AD=4，
∴CD=，
∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=DC=．
故答案为．
考点：角平分线的性质．
18. 如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，斜边AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC的延长线于点E，连接BE．则BE的长为 ____．
【答案】．
【解析】
【分析】设CE＝x，由题意可得BE＝AE＝AC+CE＝3+x，然后再在Rt△ACE中运用勾股定理求得x，进而求得BE．
【详解】解：设CE＝x，
∵DE是线段AB的垂直平分线且AC＝3，
∴BE＝AE＝AC+CE＝3+x，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE＝90°，
在Rt△ACE中，
∵BE ＝BC +CE ，
∴（3+x） ＝4 +x ，
解得：x＝，
∴BE＝3+＝，
故填．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质、勾股定理解直角三角形等知识点，掌握垂直平分线的性质并掌握运用勾股定理列方程的方法成为解答本题的关键．
三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【解析】
【分析】先根据分式运算法则和顺序进行化简，再代入数值计算即可．
【详解】解：
．
当时，原式＝．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则和二次根式运算法则进行计算．
20. 如图所示，在平面直角坐标系中，，，．
（1）先将向左平移2个单位长度得到，再作关于轴对称的图形；
（2）写出点的坐标．
【答案】（1）见解析 （2），，
【解析】
【分析】本题考查了作图—轴对称变换、平移变换，坐标与图形，熟练掌握平移和轴对称的性质是解答本题的关键．
（1）根据平移的性质作图可得，根据轴对称的性质作图可得；
（2）由图可得点的坐标．
【小问1详解】
解：，如图所示，
【小问2详解】
解：由图可得：，，．
21. 某商场购进一批甲、乙两种玩具共50件，且总费用不超过1000元，已知每件甲种玩具的进价为15元，每件乙种玩具的进价为25元，则甲种玩具至少要购买多少件？
【答案】25．
【解析】
【分析】设甲种玩具至少要购买x件，根据甲、乙两种玩具的进价表示出甲乙两种商品的进价之和不超过1000元建立不等式求出x的值即可求出结论．
【详解】解：设甲种玩具至少要购买x件，由题意，得
15x+25（50-x）≤1000，
解得：x≥25．
∴甲种玩具至少要购买25件．
故答案为25．
【点睛】本题考查一元一次不等式的运用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次不等式．
22. （1）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
（2）2024年是中国农历甲辰龙年．某商场用3000元购进了一批“小金龙”布偶玩具，面市后供不应求，商场又用6600元购进了第二批这种玩具，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每件的进价贵了3元，求商场购进第一批“小金龙”每件的进价．
【答案】（1），解集在数轴上表示见详解；（2）30元
【解析】
【分析】本题考查一元一次不等式组的解法，分式方程的应用．
（1）先分别解出每个不等式，再取公共部分，最后画数轴表示解集；
（2）可设商场购进第一批玩具的进价为元，则购进第二批玩具的进价为元，根据第二次的数量是第一次的2倍作为等量关系，列出分式方程即可．
【详解】解（1）
解不等式①得，
解不等式②得，
原不等式组的解集为，
其解集再数轴上表示如下：
；
（2）设商场购进第一批玩具的进价为元，则购进第二批玩具的进价为元，依据题意得
解得，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
答：商场购进第一批玩具每件的进价为30元．
23. 某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同．
（1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？
（2）若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，则商场最多购进乙商品多少个？
【答案】（1）每件甲商品进价为8元，每件乙商品进价为10元
（2）商场最多购进乙商品25个
【解析】
【分析】（1）设每件乙种商品的进价为x元，则每件甲种商品的进价为（x﹣2）元，根据题意建立方程求出其解就可以了．
（2）本题中“根据进两种商品的总数量不超过95个”可得出不等式，求解即可．
【小问1详解】
解：设每件乙种商品的进价为x元，则每件甲种商品的进价为（x﹣2）元，
根据题意，得＝，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是原方程的根，
每件甲种商品的进价为：10﹣2＝8（元）．
答：每件甲种商品的进价为8元，每件乙种商品件的进价为10元．
【小问2详解】
解：设购进乙种商品y个，则购进甲种商品（3y﹣5）个．
由题意得：3y﹣5+y≤95．
解得y≤25．
答：商场最多购进乙商品25个．
【点睛】本题考查分式方程的应用及一元一次不等式的应用，找出等量关系与不等关系列出方程与不等式是解题关键．
24. 如图，在中，交于点D，点E是的中点，交的延长线于点F，交于点G，．求证：为的角平分线．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形中的倍长中线模型，延长到M，使，连接，证即可．
【详解】证明：如图，延长到M，使，连接
∵点E是的中点
∴
在和中
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
即为的角平分线
25. 在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，点C是x轴上一点，于D交y轴于点E，
（1）如图1，图中与全等的三角形是__________；
（2）如图1，小明过点O作于M，于N，证明了平分，请写出证明过程；
（3）如图2，若点C在线段上，过点B作，使，连接交y轴于点G，若点G的坐标为，请直接写出的长．
【答案】（1）△AOE，（2）证明见解析，（3）．
【解析】
【分析】（1）根据“角边角”判定；
（2）根据角平分线的判定证OM=ON即可；
（3）过点F作FH⊥y轴，垂足为H，证△FBH≌△CBO，△FHG≌△AOG，可求出OC．
【详解】解：（1）∵点A的坐标是，点B的坐标是，
∴OA=OB，
∵，
∴∠ADB=∠AOB=90°，
∵∠DEB=∠AEO，
∴∠OBC=∠OAE，
在△BOC和△AOE中，
,
∴，
故答案为：△AOE．
（2）由（1）可知，∠OBC=∠OAE，OA=OB，
∵，，
∴∠OMA=∠ONB=90°，
在△BON和△AOM中，
∴，
∴ON=OM,
∴DO平分∠ADC．
（3）过点F作FH⊥y轴，垂足为H，可得，∠FHB=90°，
∵，
∴∠CBF=90°，
∠CBO+∠FBG=90°，
∠HFB+∠FBG=90°，
∴∠CBO=∠HFB，
在△BOC和△FHB中，
,
∴，
∴FH=OB=OA，HB=OC，
在△AOG和△FHG中，
，
∴，
∴OG=GH=，
OH=，
OC=BH=OB-OH=5-=．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，坐标与图形，解题关键是把握已知条件，适当的作辅助线，构建全等三角形．
26. 解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】，详见解析
【解析】
【分析】先去括号、移项、合并同类项，然后把x的系数化为1得到不等式的解集，再用数轴表示解集．
【详解】，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
用数轴表示为：
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．

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