资源简介

2024年九年级第二次质量检测
数学试题
注意事项
1．本试卷共6页，满分为140分，考试时间为120分钟．
2．答题前，请将姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在本试卷及答题卡指定位置．
3．答案全部涂、写在答题卡上，写在本卷上无效．考试结束后，只交答题卡．
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合题意，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置）
1. 2024的倒数是（ ）
A. B. C. 2024 D.
2. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C D.
4. 已知，两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
5. 某校组织学生体育锻炼，小明记录了他一周参加锻炼的时间，并绘制了如图所示的统计图．下列数据正确的是（ ）
A. 平均数为70 B. 众数为75 C. 中位数为70 D. 方差为0
6. 将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的表达式是（ ）
A. B.
C. D.
7. 在菱形中，于点，于点，连结．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，和是以点为直角顶点的等腰直角三角形，且，分别作射线、，它们交于点．以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转，若的长为2，则面积的最小值是（ ）
A. 4 B. 8 C. D.
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置）
9. 49的平方根是_____．
10. 芯片内部有数以亿计的晶体管．某品牌手机自主研发了新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为________．
11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是____________．
12. 小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知，，，则的度数是________．
13. 蜂巢是严格六角柱形体，如图，可从中抽象出正六边形．按图中所示方法，用若干个全等的正六边形排成圆环状，则需要正六边形的个数是________．
14. 关于的方程有实数根，则的取值范围为________．
15. 若圆锥的底面半径为3，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则这个圆锥的母线长是________．
16. 如图，是⊙O的直径，弦交于点，连接，，若，则的度数是________°．
17. 如图，矩形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，点在上，且，反比例函数的图象经过点及矩形的对称中心，顺次连接点，，．若的面积为4，则的值为________．
18. 如图，在长方形中，，，E、F分别是、上的一点，，将沿翻折得到，连接．若是以为腰的等腰三角形，则___．
三、解答题（本大题共有10小题，共86分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19 计算：
（1）；
（2）．
20. （1）解方程：；
（2）解不等式组：
21. 某数学社团以“舌尖上的徐州—我最喜爱的徐州小吃”为主题对所在学校的学生进行随机调查，并给出四种选择（每人只能从中选择且只能选择一种）“A：徐州把子肉”“B：徐州菜煎饼”“C：徐州胡辣汤”“D：八股油条”．该社团将调查得到的数据整理后，绘制成以下两幅不完整的统计图：
根据以上信息，解决下列问题：
（1）样本容量为 ；
（2）请补全条形统计图；
（3）扇形统计图中D对应圆心角的度数为 ；
（4）若该校共有1300名学生，请估计喜欢“C：徐州胡辣汤”的学生大约有多少人．
22. “二十四节气”是中国古代用来指导农事的历法，在国际气象界被誉为“中国的第五大发明”，位列联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．小明和小亮对二十四节气非常感兴趣，他们准备了印有“A：立春”“B：夏至”“C：立秋”“D：冬至”四张节气图案的卡片，这些卡片除图案外无其他差别．两人将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张．
（1）小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A：立春”的概率是 ；
（2）小明先从四张卡片中随机抽取一张，小亮再从剩下的卡片中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法，求两人都没有抽到“C：立秋”的概率．
23. 中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？
24. 如图，在⊙O中，是直径，点在⊙O上．在的延长线上取一点，连接，使．
（1）求证：直线是⊙O切线；
（2）若，，求的长．
25. 在综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点、、在同一水平线上．某学习小组在观景台处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为，求塔的高度（精确到）．（参考数据：，，，，）．
26. 如图，已知，请用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）在图1的边上作点，使；
（2）在图2的边上作点，使．
27. [阅读理解]如图1，在学习三角形的中位线时，我们发现三角形的三条中位线在三角形内部构成一个新的三角形，则其面积与原三角形面积的比是 ．
[探究思考]如图2，已知，，分别是三边的三等分点，且，依次连接、、，则与的面积比是定值吗？如果是，请求出该数值；如果不是，请说明理由．
[发现结论]如图3，已知，E，分别是三边的等分点，且，依次连接、、，则与的面积比是 ．
28. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴分别交于点、，顶点为，连接、．点在线段上，作射线，过点作射线，垂足为点，以点为旋转中心把按逆时针方向旋转到，连接．
（1）求点、的坐标．
（2）随着点在线段上运动．
①连接，的大小是否发生变化？请说明理由；
②延长交于点，线段长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
（3）连接，当点在该抛物线的对称轴上时，的面积为 ．2024年九年级第二次质量检测
数学试题
注意事项
1．本试卷共6页，满分为140分，考试时间为120分钟．
2．答题前，请将姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在本试卷及答题卡指定位置．
3．答案全部涂、写在答题卡上，写在本卷上无效．考试结束后，只交答题卡．
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合题意，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置）
1. 2024的倒数是（ ）
A. B. C. 2024 D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解答本题的关键．根据乘积是1的两数互为倒数解答即可．
【详解】 ，
2024的倒数是．
故选：A．
2. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合，根据轴对称图形与中心对称图形的概念即可解答．
【详解】解：A选项既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；
B选项是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C选项既是轴对称图形也是中心对称图形，符合题意；
D选项中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
故选：C．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查整式的运算，熟练掌握合并同类项法则，积的乘方法则，单项式除单项式法则，幂的乘方法则，是解题的关键．根据合并同类项法则，积的乘方法则，单项式除单项式法则，幂的乘方法则，逐一判断各个选项，即可求解．
【详解】解：A． ，故该选项错误，
B． ，故该选项正确，
C． ，故该选项错误，
D． ，故该选项错误，
故选：B．
4. 已知，两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了实数与数轴，有理数的加减法，乘法，以及绝对值的性质，熟练掌握相关内容是解题的关键．根据数轴可知，，根据有理数的加减法、乘法规则和绝对值的几何意义，即可逐一判断．
【详解】解：A、 ，，
，结论正确，该选项不符合题意；
B、 ，
，结论错误，该选项符合题意；
C、 ，，
，结论正确，该选项不符合题意；
D、 ，
，结论正确，该选项不符合题意；
故选：B．
5. 某校组织学生体育锻炼，小明记录了他一周参加锻炼的时间，并绘制了如图所示的统计图．下列数据正确的是（ ）
A. 平均数为70 B. 众数为75 C. 中位数为70 D. 方差为0
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了平均数、众数、中位数、方差．分别求出平均数、众数、中位数、方差，即可进行判断．
【详解】解：7个数据按照从小到大排列为：，，，，，，，
中位数是70分钟，选项C符合题意；
67出现的次数最多，为2次，则众数为67分钟，选项B不符合题意；
平均数为（分钟），选项A不符合题意；
方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，所以当方差等于0时，这组7个数据应相同，选项D不符合题意；
故选：C．
6. 将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的表达式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二函数图象与几何变换，直接根据函数图象平移的法则解答即可．
【详解】解：将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的表达式是，即．
故选：D．
7. 在菱形中，于点，于点，连结．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题重点考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质．由菱形的性质得，而，即可根据“”证明，得，则，由，，得，则，求得，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵于点E，于点F，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
8. 如图，和是以点为直角顶点的等腰直角三角形，且，分别作射线、，它们交于点．以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转，若的长为2，则面积的最小值是（ ）
A. 4 B. 8 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、切线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键．
先证明，则，推出，由题意知，E在以A为圆心，2为半径的圆上运动，如图，当在下方且与相切时，线段最短，面积的最小；再证明四边形是正方形，则，由勾股定理得，，则，最后根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：∵和是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，且，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
如图：由题意知，E在以A为圆心，2为半径的圆上运动，
∵，
∴当在下方且与相切时，点M到距离最小，面积的最小
∵，
∴四边形是矩形，
∵
∴四边形是正方形，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
∴．
故选：A．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置）
9. 49的平方根是_____．
【答案】±7
【解析】
【分析】根据平方根的定义求解即可.
【详解】∵（±7）2=49，
∴49的平方根是±7．
故答案为：±7．
【点睛】如果个一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫做a的平方根．正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
10. 芯片内部有数以亿计的晶体管．某品牌手机自主研发了新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：，
故答案为：．
11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是____________．
【答案】x 5
【解析】
【分析】直接利用二次根式的概念，形如(a 0)的式子叫做二次根式，进而得出答案．
【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴x 5 0，
解得：x 5，
则实数x的取值范围是：x 5
故答案为：x 5．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
12. 小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知，，，则的度数是________．
【答案】##92度
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质以及三角形的外角性质；熟练掌握平行线的性质和三角形的外角性质是解题的关键．延长交于，由三角形的外角性质得，再由平行线的性质得出即可．
【详解】解：如图，延长交于，
，
．
，
，
故答案为：．
13. 蜂巢是严格的六角柱形体，如图，可从中抽象出正六边形．按图中所示方法，用若干个全等的正六边形排成圆环状，则需要正六边形的个数是________．
【答案】6
【解析】
【分析】本题主要考查了圆的基本性质，正多边形的外角，解题的关键是掌握正多边形的外角的求法．先求出正六边形的外角为，则，进而得出，即可求解．
【详解】解：如图所示，
正六边形的外角和为，
它的每一个外角都为，
，
为等边三角形，
，
共需要正六边形的个数为，
故答案为：6．
14. 关于的方程有实数根，则的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据根的判别式大于或等于零求解即可．
【详解】解：由题意得，，
．
故答案为：．
15. 若圆锥的底面半径为3，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则这个圆锥的母线长是________．
【答案】9
【解析】
【分析】本题考查了扇形的弧长的计算．设这个圆锥的母线长是，先求得扇形的弧长，再根据弧长公式即可求解，熟练掌握扇形的弧长公式是解题的关键．
【详解】解：设这个圆锥的母线长是，
依题意得：圆锥的底面周长为：，
则展开后扇形的弧长为，
即：，
解得：，
这个圆锥的母线长是9．
故答案为：9．
16. 如图，是⊙O的直径，弦交于点，连接，，若，则的度数是________°．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，正确求出，的度数是解题的关键．如图所示，连接，先由同弧所对的圆周角相等得到，再由直径所对的圆周角是直角得到，则．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
故答案为：．
17. 如图，矩形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，点在上，且，反比例函数的图象经过点及矩形的对称中心，顺次连接点，，．若的面积为4，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了矩形和反比例函数，利用分割法求面积是解题的关键．过点作于点，过点作于点，设，由于，故，，根据点在上，得到矩形的宽，再根据，列方程即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，
设，由于，故，，
点在上，
，
为矩形的对称中心，
，
，
即，
解得．
故答案为：．
18. 如图，在长方形中，，，E、F分别是、上的一点，，将沿翻折得到，连接．若是以为腰的等腰三角形，则___．
【答案】或
【解析】
【分析】设，则，由翻折得：．当时，由勾股定理得：；当时，作，由，平分，可证得，则，所以，由三线合一得，即，解方程即可．
【详解】解：设，则，
由翻折得：，当时，，
∵为矩形，
∴∠B＝，
由勾股定理得：，
解得：；
当时，如图，作，
∵，
∴，
∴，
∵沿翻折得到，
∴，
∴，
在和中，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
解得 ，
综上所述：或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，涉及到方程思想和分类讨论思想．当时如何列方程是解题的关键，有一定难度．
三、解答题（本大题共有10小题，共86分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查了实数的混合运算、分式的混合运算，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键．
（1）先计算乘方、立方根、负整数指数幂后，再进行加减法即可；
（2）先计算括号内的加法，再进行除法运算即可．
【小问1详解】
【小问2详解】
20. （1）解方程：；
（2）解不等式组：
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程和一元一次不等式组，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
（1）方程两边同乘化为整式方程后求解，检验整式方程的根是否使得为零，即可得解；
（2）分别求解两个不等式，然后再求公共解集即可；
详解】（1），
，
，
，
检验，，
故原方程的解为：
（2）
由得，
，
，
解得，
由得，
，
，
解得，
故原不等式的解集为：．
21. 某数学社团以“舌尖上的徐州—我最喜爱的徐州小吃”为主题对所在学校的学生进行随机调查，并给出四种选择（每人只能从中选择且只能选择一种）“A：徐州把子肉”“B：徐州菜煎饼”“C：徐州胡辣汤”“D：八股油条”．该社团将调查得到的数据整理后，绘制成以下两幅不完整的统计图：
根据以上信息，解决下列问题：
（1）样本容量为 ；
（2）请补全条形统计图；
（3）扇形统计图中D对应圆心角的度数为 ；
（4）若该校共有1300名学生，请估计喜欢“C：徐州胡辣汤”的学生大约有多少人．
【答案】（1）50 （2）见解析
（3）
（4）520人
【解析】
【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
（1）根据选择A的人数才除以其所占的百分比即可求得样本容量；
（2）根据（1）中的结果和统计图中的数据，可以计算出选择B的人数，然后补全条形统计图即可；
（3）由乘以D所占比例即可解答；
（4）总人数乘以选择C的人数所占比例即可解答．
【小问1详解】
解：样本容量为．
故答案为：50．
【小问2详解】
解：选择B的人数有：（人）．
补全的条形统计图如图所示：
．
【小问3详解】
解：扇形统计图中D对应圆心角的度数为：．
故答案为：．
【小问4详解】
解：人，
答：估计喜欢“C：徐州胡辣汤”的学生大约有520人．
22. “二十四节气”是中国古代用来指导农事的历法，在国际气象界被誉为“中国的第五大发明”，位列联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．小明和小亮对二十四节气非常感兴趣，他们准备了印有“A：立春”“B：夏至”“C：立秋”“D：冬至”四张节气图案的卡片，这些卡片除图案外无其他差别．两人将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张．
（1）小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A：立春”的概率是 ；
（2）小明先从四张卡片中随机抽取一张，小亮再从剩下的卡片中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法，求两人都没有抽到“C：立秋”的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中两人都没有抽到“C：立秋”的有6种，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，共有4种等可能出现的结果，其中抽到“A．立春”的结果只有1种，
∴小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．立春”的概率是，
【小问2详解】
解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两人都没有抽到“C：立秋”的有6种，
∴两人都没有抽到“C：立秋”的概率为．
23. 中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？
【答案】宽24步，长36步
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设矩形的宽为x步，根据题意列方程求解，即可得到答案．
【详解】解：设矩形的宽为x步，则矩形的长为步，
依题意得：，
解得：或（舍去），
，
矩形的宽为24步，则长为36步，
答：宽24步，长36步．
24. 如图，在⊙O中，是直径，点在⊙O上．在的延长线上取一点，连接，使．
（1）求证：直线是⊙O的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，得到，圆周角定理得到，得到，进而得到，根据切线的判定即可证得结论；
（2）根据等腰三角形的和三角形外角定理证明，推出是等边三角形，得到，根据含直角三角形的性质求出，即可求出．
【小问1详解】
证明：连接，则，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线；
【小问2详解】
由（1）知，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定，含直角三角形的性质，综合运用这些知识是解决问题的关键．
25. 在综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点、、在同一水平线上．某学习小组在观景台处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为，求塔的高度（精确到）．（参考数据：，，，，）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
过点作，垂足为，设，则，在中，，再利用三角函数列出方程求解即可．
【详解】解：如图，过点作，垂足为，
在中，，，
，，
，
四边形为矩形，
，
设，则，
，
，
，
在中，，
，
解得．
答：塔的高度为．
26. 如图，已知，请用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）在图1的边上作点，使；
（2）在图2的边上作点，使．
【答案】（1）画图见解析
（2）画图见解析
【解析】
【分析】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．
（1）在上截取线段，使得，连接即可；
（2）连接，作线段的垂直平分线交于点P，点P即为所求．
【小问1详解】
解：如图，点P即为所求；
证明：∵，
∴；
【小问2详解】
解：如图，点P即为所求．
证明：∵线段的垂直平分线交于点P，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
27. [阅读理解]如图1，在学习三角形的中位线时，我们发现三角形的三条中位线在三角形内部构成一个新的三角形，则其面积与原三角形面积的比是 ．
[探究思考]如图2，已知，，分别是三边的三等分点，且，依次连接、、，则与的面积比是定值吗？如果是，请求出该数值；如果不是，请说明理由．
[发现结论]如图3，已知，E，分别是三边的等分点，且，依次连接、、，则与的面积比是 ．
【答案】阅读理解：；探究思考：是定值，定值为；发现结论：
【解析】
【分析】本题考查三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，添加辅助线构造相似三角形是解题的关键．
阅读理解：由中位线可得，进而证明，，同理可证，，即可求解；
探究思考：取中点G，中点H，中点I，连接，，，先证，推出，根据等高三角形面积比等于底边长度之比，可得，同理推出，，即可求解；
发现结论：取G、H、I分别是三边的n等分点，且，先证，推出，根据等高三角形面积比等于底边长度之比，可得，同理可得，，即可求解．
【详解】解：阅读理解：
是的中位线，
，
又，
，
，即，
同理可证，，
，
，
故答案为：；
探究思考:
如图，取中点G，中点H，中点I，连接，，，
，
，，，
，
又，
，
，即，
，
，
同理可证，，
，
综上可知，与的面积比是定值，定值为；
发现结论：
如图，取G、H、I分别是三边的n等分点，且，
，
，，，
，，
，
，即，
，
，
同理可证，，
，
，
故答案为：．
28. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴分别交于点、，顶点为，连接、．点在线段上，作射线，过点作射线，垂足为点，以点为旋转中心把按逆时针方向旋转到，连接．
（1）求点、的坐标．
（2）随着点在线段上运动．
①连接，的大小是否发生变化？请说明理由；
②延长交于点，线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
（3）连接，当点在该抛物线的对称轴上时，的面积为 ．
【答案】（1）；
（2）①的大小不变，理由见解析；② 存在，最大值为4，理由见解析；
（3）或
【解析】
【分析】（1）将解析式化为顶点式即可求出顶点的坐标，令，即可求得的坐标；
（2）① 连接，和是等边三角形，证明，得到，由此可得大小不变；② 取中点，以为圆心，长为半径画圆，证明点在上，证明， 点为与的交点，即为定点，为的弦，根据圆中最长弦为直径，可得当为的直径时，取得最大值．
（3）设抛物线对称轴与轴交点为，与与轴交点为，连接，证明，可得，由此可求出，可证和是等腰直角三角形，设，，，，在中，利用勾股定理，可求出．作，，可得四边形是矩形，可求得，利用，即得解．
【小问1详解】
，
顶点的坐标为，
令，则，
解得，，
的坐标为．
【小问2详解】
①的大小不变，理由如下；
连接，如图所示，
，，
，
是等边三角形，
，
，
以点为旋转中心把按逆时针方向旋转到
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
是等边三角形，
，
，
的大小不变．
② 存在，
取中点，以为圆心，长为半径画圆，如图所示，
，
点在上，
设交轴于点，
是等边三角形，
，
，即，
，，，
，
点为与的交点，即为定点，
为的弦，
圆中最长弦为直径，
当为的直径时，取得最大值，
，
取得最大值为4．
【小问3详解】
如图，设抛物线对称轴与轴交点，与与轴交点为，连接，
为等边三角形，
，
，，
，，
，
，
，
，
又，，，
，即，
，
，，
和是等腰直角三角形，
设，，，，
在中，
，即，
整理得，即，
两边平方整理得：，
解得，
，
如图，作，，
，
四边形是矩形，
又 为等边三角形，
，，
，
，或，
综上所述，或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，圆的性质，矩形的性质以及解直角三角形，熟练掌握、灵活运用各知识点，作出合适的辅助线是解题的关键．

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