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第一章
空间向量与立体几何
1.4　空间向量的应用
1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题(1)
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1. 能用向量语言表示点到直线、点到平面的距离和互相平行的直线、互相平行的平面之间的距离．
2. 能用向量方法解决点到直线、点到平面的距离和互相平行的直线、互相平行的平面之间的距离问题．
活 动 方 案
活动一　情境引入
如图，在蔬菜大棚基地有一条笔直的公路，某人要在点A处，修建一个蔬菜存储仓库．如何在公路上选择一个点，修一条公路到达点A，要想使这个路线长度理论上最短，应该如何设计？
【解析】 点到直线、点到平面、两条平行线及两个平行平面间的距离等．传统方法都是把这些距离归结到平面内解决．
思考1
空间中包括哪些距离？求解空间距离常用的方法有哪些？
思考2
能否用所学的空间向量来解决这些距离呢？
【解析】 可以
活动二　点到直线的距离、两条平行直线之间的距离的向量
表示
1. 点到直线的距离
思考3
已知直线l的单位方向向量为μ，A是直线l上的定点，P是直线l外一点．如何利用这些条件求点P到直线l的距离？
【解析】 求两条平行直线l，m之间的距离，可在其中一条直线l上任取一点P，则两条平行直线间的距离就等于点P到直线m的距离．
2. 两条平行直线之间的距离
思考4
类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？
例1　如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求点B到直线A1C1的距离．
用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点：
(1) 不必找点在直线上的垂足以及垂线段；
(2) 在直线上可以任意选点，但一般选较易求得坐标的特殊点；
(3) 直线的方向向量可以任取，但必须保证计算正确．
例1中的条件不变，若M，N分别是A1B1，AC的中点，试求点C1到直线MN的距离．
活动三　点到平面的距离、两个平行平面之间的距离的向量
表示
1. 点到平面的距离
2. 如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解．
2. 两个平行平面之间的距离
如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P，可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解．
【解析】 取AC的中点O，连接OS，OB.
因为SA＝SC，AB＝BC，
所以AC⊥SO，AC⊥BO.
因为平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC＝AC，SO 平面SAC，
所以SO⊥平面ABC.
又BO 平面ABC，所以SO⊥BO.
求点到平面的距离的主要方法：
(1) 作点到平面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离；
(2) 在三棱锥中用等体积法求解；
如图，已知在直三棱柱中，AA1＝AB＝BC＝3，AC＝2，D是AC的中点．
(1) 求证：B1C∥平面A1BD；
(2) 求直线B1C到平面A1BD的距离．
【解析】 (1) 连接AB1交A1B于点E，连接DE.由题意，得四边形ABB1A1为正方形，
所以E为AB1的中点．
因为D为AC的中点，所以DE∥B1C.
因为DE 平面A1BD，B1C 平面A1BD，
所以B1C∥平面A1BD.
例3　如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点．
(1) 求点B到直线AC1的距离；
(2) 求直线FC到平面AEC1的距离．
活动四　灵活应用向量法求空间距离
已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是菱形，AB＝4，∠ABC＝60°，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝4，E是PA的中点，求PC到平面BED的距离，并说明直线PC上各点到平面BED的距离间的关系．
检 测 反 馈
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1. 已知A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，则点A到直线BC的距离为(　　)
【答案】 A
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2. 如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是(　　)
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【答案】 A
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3. (多选)(2023沧州阶段练习)如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，则下列结论中正确的是(　　)
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【答案】 ABD
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4. (2023天水武山县第一高级中学二模)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为________.
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5. (2023连云港海州高级中学阶段调研)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，BC＝2，∠ABC＝60°，四边形ACEF为正方形，且平面ABCD⊥平面ACEF.
(1) 求证：AB⊥CF；
(2) 求直线AC到平面BEF的距离；
(3) 求平面BEF与平面ADF夹角的正弦值．
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谢谢观看
Thank you for watching1．4.2　用空间向量研究距离、夹角问题(1)
1. 能用向量语言表示点到直线、点到平面的距离和互相平行的直线、互相平行的平面之间的距离．
2. 能用向量方法解决点到直线、点到平面的距离和互相平行的直线、互相平行的平面之间的距离问题．
活动一 情境引入
如图，在蔬菜大棚基地有一条笔直的公路，某人要在点A处，修建一个蔬菜存储仓库．如何在公路上选择一个点，修一条公路到达点A，要想使这个路线长度理论上最短，应该如何设计？
思考1
空间中包括哪些距离？求解空间距离常用的方法有哪些？
思考2
能否用所学的空间向量来解决这些距离呢？
活动二　点到直线的距离、两条平行直线之间的距离的向量表示　
1. 点到直线的距离
思考3
已知直线l的单位方向向量为μ，A是直线l上的定点，P是直线l外一点．如何利用这些条件求点P到直线l的距离？
2. 两条平行直线之间的距离
思考4
类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？
例1　如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求点B到直线A1C1的距离．
用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点：
(1) 不必找点在直线上的垂足以及垂线段；
(2) 在直线上可以任意选点，但一般选较易求得坐标的特殊点；
(3) 直线的方向向量可以任取，但必须保证计算正确．
　例1中的条件不变，若M，N分别是A1B1，AC的中点，试求点C1到直线MN的距离．
活动三 点到平面的距离、两个平行平面之间的距离的向量表示
1. 点到平面的距离
已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是 　在直线l上的投影向量 　的长度，即PQ＝.
1. 实质上，n是直线l的方向向量，点P到平面α的距离就是 　在直线l上的投影向量的长度．
2. 如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解．
2. 两个平行平面之间的距离
如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P，可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解．
例2　如图，在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝2，M，N分别为AB，SB的中点．求点B到平面CMN的距离．
求点到平面的距离的主要方法：
(1) 作点到平面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离；
(2) 在三棱锥中用等体积法求解；
(3) 向量法：d＝(n为平面的法向量，A为平面上一点，MA为过点A的斜线段).
　如图，已知在直三棱柱中，AA1＝AB＝BC＝3，AC＝2，D是AC的中点．
(1) 求证：B1C∥平面A1BD；
(2) 求直线B1C到平面A1BD的距离．
活动四　灵活应用向量法求空间距离　
例3　如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点．
(1) 求点B到直线AC1的距离；
(2) 求直线FC到平面AEC1的距离．
　已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，AB＝4，∠ABC＝60°，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝4，E是PA的中点，求PC到平面BED的距离，并说明直线PC上各点到平面BED的距离间的关系．
1. 已知A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，则点A到直线BC的距离为(　　)
A. B. 1 C. D. 2
2. 如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是(　　)
A. B. C. D.
(第2题)　 (第3题)　 (第4题)
3. (多选)(2023沧州阶段练习)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，则下列结论中正确的是(　　)
A. ＝－
B. 直线AE到平面CDD1C1的距离为2
C. 点B到直线AC1的距离为
D. 平面AEC1截正方体ABCD-A1B1C1D1的截面的面积为2
4. (2023天水武山县第一高级中学二模)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为________．
5. (2023连云港海州高级中学阶段调研)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，BC＝2，∠ABC＝60°，四边形ACEF为正方形，且平面ABCD⊥平面ACEF.
(1) 求证：AB⊥CF；
(2) 求直线AC到平面BEF的距离；
(3) 求平面BEF与平面ADF夹角的正弦值．
【参考答案与解析】
1．4.2　用空间向量研究距离、夹角问题(1)
【活动方案】
思考1：点到直线、点到平面、两条平行线及两个平行平面间的距离等．传统方法都是把这些距离归结到平面内解决．
思考2：可以
思考3：设 ＝a，则向量在直线l上的投影向量 ＝(a·μ)μ.点P到直线l的距离为 PQ＝.
思考4：求两条平行直线l，m之间的距离，可在其中一条直线l上任取一点P，则两条平行直线间的距离就等于点P到直线m的距离．
例1　以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(4，0，1)，C1(0，3，1)，
所以＝(－4，3，0)，＝(0，3，1)，
所以点B到直线A1C1的距离
＝＝.
跟踪训练　由例1，得M(2，0，1)，N，C1(0，3，1)，
所以＝，＝(－2，3，0)，
所以点C1到MN的距离
d＝＝.
例2　取AC的中点O，连接OS，OB.
因为SA＝SC，AB＝BC，所以AC⊥SO，AC⊥BO.
因为平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC＝AC，SO 平面SAC，
所以SO⊥平面ABC.
又BO 平面ABC，所以SO⊥BO.
以OA，OB，OS所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则 B(0，2，0)，C(－2，0，0)，S(0，0，2)，M(1，，0)，N(0，，)，
所以＝(3，，0)，＝(－1，0，)，＝(－1，，0).
设n＝(x，y，z)为平面CMN的法向量，
则
取z＝1，则x＝，y＝－，
所以n＝(，－，1)，
所以点B到平面CMN的距离d＝＝.　
跟踪训练　(1) 连接AB1交A1B于点E，连接DE.
由题意，得四边形ABB1A1为正方形，
所以E为AB1的中点．
因为D为AC的中点，所以DE∥B1C.
因为DE 平面A1BD，B1C 平面A1BD，
所以B1C∥平面A1BD.
(2) 因为B1C∥平面A1BD，
所以B1C到平面A1BD的距离就等于点B1到平面A1BD的距离．
建立如图所示的空间直角坐标系，则B1(0，2，3)，B(0，2，0)，A1(－1，0，3)，所以＝(0，2，3)，＝(0，2，0)，＝(－1，0，3).
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
所以
取z＝1，则x＝3，y＝0，
所以n＝(3，0，1)，
故所求距离为d＝＝.
例3　以D1为坐标原点，D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，1)，B(1，1，1)，C(0，1，1)，C1(0，1，0)，E，F，
所以＝(0，1，0)，＝(－1，1，－1)，＝，＝，＝(－1，，0)，＝.
(1) 取a＝＝(0，1，0)，μ＝＝(－1，1，－1)，
则a2＝1，a·μ＝，
所以点B到直线AC1的距离为＝＝.
(2) 因为＝＝，
所以FC∥EC1，
所以FC∥平面AEC1，
所以点F到平面AEC1的距离即为直线FC到平面AEC1的距离．
设平面AEC1的法向量为n＝(x，y，z)，
则所以所以
取z＝1，则x＝1，y＝2，
所以n＝(1，2，1)是平面AEC1的一个法向量．
因为＝，
所以点F到平面AEC1的距离为＝＝，
即直线FC到平面AEC1的距离为.
跟踪训练　以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，△ACD中CD边上的高AF所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则F为CD的中点，A(0，0，0)，B(4，0，0)，F(0，2，0)，C(2，2，0)，D(－2，2，0)，P(0，0，4)，E(0，0，2).
设平面BED的法向量为n＝(x，y，z)，
由＝(－4，0，2)，＝(2，－2，2)，
得所以
即取z＝2，则x＝1，y＝，
得n＝(1，，2).
因为＝(2，2，－4)，
所以n·＝2＋6－8＝0，
所以n⊥，故PC∥平面BED，
所以PC到平面BED的距离就是点P到平面BED的距离．
因为＝(0，0，2)，所以点P到平面BED的距离 d＝＝＝，
即PC到平面BED的距离为，且直线PC上各点到平面BED的距离都相等．
【检测反馈】
1. A　因为A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，所以＝(1，0，0)，＝(－1，2，－2)，所以点A到直线BC的距离d＝＝＝.
2. A　建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，M，B(a，a，0)，A1(a，0，a)，所以＝，＝(a，a，0)，＝(a，0，a).设平面MBD的法向量为n＝(x，y，z)，则即令x＝1，则y＝－1，z＝－2，可得n＝(1，－1，－2)，所以点A1到平面MBD的距离d＝＝＝.
3. ABD　建立如图所示的空间直角坐标系，则C1(0，2，0)，D(0，0，2)，A1(2，0，0)，B1(2，2，0)，C(0，2，2)，A(2，0，2)，E(2，1，0)，B(2，2，2).对于A，＝(0，－2，2)，＝(0，－2，0)，＝(0，0，－2)，则－＝(0，－2，2)＝，故A正确；对于B，易得平面CDD1C1的一个法向量为m＝(1，0，0)，又＝(0，1，－2)，所以·m＝0.因为AE 平面CDD1C1，所以AE∥平面CDD1C1，所以点A到平面CDD1C1的距离即为直线AE到平面CDD1C1的距离，即为AD＝2，故B正确；对于C，＝(－2，2，－2)，＝(0，2，0)，所以＝，则点B到直线AC1的距离为＝＝，故C错误；对于D，记CD的中点为F，连接AF，C1F，EF，则F(0，1，2)，所以＝(0，－1，2)，显然＝－，即C1F∥AE，C1F＝AE，所以A，E，C1，F四点共面，即平行四边形AEC1F为平面AEC1截正方体ABCD-A1B1C1D1的截面．由勾股定理易得AE＝EC1＝C1F＝AF＝，故平行四边形AEC1F是菱形．又＝(－2，0，2)，所以||＝2，||＝2，所以S菱形AEC1F＝×2×2＝2，故D正确．故选ABD.
4. 　建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(4，0，0)，M(2，0，4)，D(0，0，0)，B(4，4，0)，E(0，2，4)，F(2，4，4)，N(4，2，4)，所以＝(2，2，0)，＝(2，2，0)，＝(－2，0，4)，＝(－2，0，4)，所以＝，＝，所以EF∥MN，BF∥AM.又EF∩BF＝F，MN∩AM＝M，可得平面AMN∥平面EFBD，所以平面AMN到平面EFBD的距离就是点A到平面EFBD的距离．设n＝(x，y，z)是平面AMN的法向量，则解得取z＝1，则x＝2，y＝－2，得n＝(2，－2，1).因为＝(0，4，0)，所以平面AMN与平面EFBD间的距离d＝＝.
5. (1) 在 ABCD中，AB＝1，BC＝2，∠ABC＝60°，
由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos ∠ABC，得AC2＝12＋22－2×1×2cos 60°＝3，即AC＝，所以AC2＋AB2＝4＝BC2，
则∠BAC＝90°，即AB⊥AC，
由平面ABCD⊥平面ACEF，平面ABCD∩平面ACEF＝AC，AB 平面ABCD，
得AB⊥平面ACEF.
又CF 平面ACEF，所以AB⊥CF.
(2) 由四边形ACEF为正方形，得AF⊥AC，由(1)易知AB，AC，AF两两垂直，
如图，以A为坐标原点，AB，AC，AF所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，，0)，F(0，0，)，D(－1，，0)，E(0，，)，
所以＝(0，，0)，＝(－1，0，).
设平面BEF的法向量为n＝(x1，y1，z1)，
则
令z1＝1，得n＝(，0，1).
因为＝(－1，，0)，所以点C到平面BEF的距离d＝＝＝.
又AC∥EF，EF 平面BEF，AC 平面BEF，
所以AC∥平面BEF，
所以直线AC到平面BEF的距离等于点C到平面BEF的距离，距离为.
(3) 由(2)知，＝(0，0，)，＝(－1，，0)，
设平面ADF的一个法向量为m＝(x2，y2，z2)，
则
令y2＝1，得m＝(，1，0).
设平面BEF与平面ADF夹角为θ，
则cos θ＝|cos 〈m，n〉|＝＝＝，
所以sin θ＝＝，
所以平面BEF与平面ADF夹角的正弦值为.

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