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第二章
直线和圆的方程
2.1　直线的倾斜角与斜率
2.1.2　两条直线平行和垂直的判定
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1. 理解两条直线平行与垂直的条件．
2. 能根据斜率判定两条直线平行或垂直．
3. 能利用两直线平行或垂直的条件解决问题．
活 动 方 案
活动一　探究两条直线平行的条件
1. 知识回顾
(1) 直线斜率的定义：
【解析】 略
(2) 直线倾斜角的定义：
【解析】 略
(3) 直线的斜率k与倾斜角α的关系：
【解析】 略
2. 探究两直线平行的条件
我们知道，平面中两条直线有两种位置关系：相交、平行．当两条直线l1与l2平行时，它们的斜率k1与k2满足什么关系？
结论：对于斜率分别为k1，k2的两条直线l1，l2，有l1∥l2 k1＝k2.
【解析】 k1＝k2
思考1
这个结论成立的前提是什么？反之成立吗？
结论：对于斜率分别为k1，k2的两条直线l1，l2，有l1∥l2 k1＝k2.若没有特别说明，说“两条直线l1，l2”时，指两条不重合的直线．
【解析】 这个结论成立的前提是l1∥l2，且k1，k2存在，反之也成立．
【解析】 当两条直线的斜率不存在时，l1，l2与x轴垂直，此时l1∥l2.
思考2
如果两条直线的斜率有不存在的情形，如何判断这两条直线是否平行？
例1　已知A(2,3)，B(－4,0)，P(－3,1)，Q(－1，2)，试判断直线AB与PQ的位置关系，并证明你的结论．
若两直线斜率都存在，则求出斜率，利用l1∥l2 k1＝k2进行判断，若两直线斜率都不存在，可通过观察并结合图形得出结论．
已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0)，B(2，－1)，C(4,2)，D(2,3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明．
活动二　探究两直线垂直的条件
3. 探究两直线垂直的条件
显然，当两直线相交时，它们的斜率不相等；反之，当两条直线斜率不相等时，它们相交．在相交的位置关系中，垂直是最特殊的情形．当直线l1，l2垂直时，它们除了斜率不相等外，是否还有特殊的数量关系？
结论：两条直线都有斜率，其斜率分别为k1，k2，则有l1⊥l2 k1k2＝－1.
【解析】 设两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则直线l1，l2的方向向量分别是a＝(1，k1)，b＝(1，k2)，所以l1⊥l2 a⊥b a·b＝0 1×1＋k1k2＝0，即k1k2＝－1，也就是说l1⊥l2 k1k2＝－1.
【解析】 两条直线中，若一条直线的斜率不存在，则当另一条直线的斜率为0时，两直线垂直．
思考3
对直线斜率不存在的情形，如何判断两直线是否垂直？
例2　已知A(－6,0)，B(3,6)，P(0,3)，Q(6，－6)，试判断直线AB与PQ的位置关系．
两条直线垂直需判定k1k2＝－1，使用它的前提条件是两条直线斜率都存在，若其中一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为零，此时两直线也垂直．
(1) 已知四边形ABCD的四个顶点坐标分别为A(5，－1)，B(1,1)，C(2,3)，D(4,2)．试判断四边形ABCD的形状，并给出证明；
检 测 反 馈
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【解析】 由题意，设两条直线l1和l2的斜率分别为k1，k2，且为一元二次方程k2＋2 024k＝1的两个不等实数根，则k1·k2＝－1，所以l1⊥l2.
1. (2024新高考改革数学适应性练习)已知两条直线l1和l2，其斜率分别是一元二次方程k2＋2 024k＝1的两个不等实数根，则其位置关系是(　　)
A. 平行 B. 垂直
C. 重合 D. 异面
【答案】 B
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2. (2024武汉外国语学校期末)张老师不仅喜欢打羽毛球，还喜欢玩折纸游戏，他将一张画了直角坐标系(两坐标轴单位长度相同)的纸折叠一次，使点(2,0)与点(－2,4)重合，点(2 023,2 024)与点(a，b)重合，则a＋b等于(　　)
A. 4 046 B. 4 047
C. 4 048 D. 4 049
【答案】 B
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【解析】 当直线l1，l2的斜率k1，k2都存在且两直线不重合时，若k1＝k2，则l1∥l2，故A正确；当两条直线均与x轴垂直时，两直线平行，但斜率不存在，故B错误；若k1k2＝－1，则l1⊥l2，故C正确；当两条直线中的一条与x轴垂直，一条与y轴垂直时，两直线垂直，但与x轴垂直的直线斜率不存在，故D错误．故选AC.
3. (多选)下列命题中，正确的是(　　)
A. 若两条不重合的直线的斜率相等，则这两条直线平行
B. 若两条直线平行，则这两条直线的斜率相等
C. 若两条直线的斜率之积为－1，则它们垂直
D. 若两条直线垂直，则它们的斜率之积为－1
【答案】 AC
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4. 已知△ABC的三个顶点分别是A(2,2)，B(0,1)，C(4,3)，点D(m,1)在边BC的高所在的直线上，则实数m的值为________.
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5. 已知△ABC的三个顶点坐标为A(1,3)，B(－2，－3)，C(3,2)．求：
(1) AB所在直线的斜率；
(2) AB边上的高所在直线的斜率．
谢谢观看
Thank you for watching2．1.2　两条直线平行和垂直的判定
1. 理解两条直线平行与垂直的条件．
2. 能根据斜率判定两条直线平行或垂直．
3. 能利用两直线平行或垂直的条件解决问题．
活动一 探究两条直线平行的条件
1. 知识回顾
(1) 直线斜率的定义：
(2) 直线倾斜角的定义：
(3) 直线的斜率k与倾斜角α的关系：
2. 探究两直线平行的条件
我们知道，平面中两条直线有两种位置关系：相交、平行．当两条直线l1与l2平行时，它们的斜率k1与k2满足什么关系？
结论：对于斜率分别为k1，k2的两条直线l1，l2，有l1∥l2 k1＝k2.
思考1
这个结论成立的前提是什么？反之成立吗？
结论：对于斜率分别为k1，k2的两条直线l1，l2，有l1∥l2 k1＝k2.若没有特别说明，说“两条直线l1，l2”时，指两条不重合的直线．
思考2
如果两条直线的斜率有不存在的情形，如何判断这两条直线是否平行？
例1　已知A(2，3)，B(－4，0)，P(－3，1)，Q(－1，2)，试判断直线AB与PQ的位置关系，并证明你的结论．
若两直线斜率都存在，则求出斜率，利用l1∥l2 k1＝k2进行判断，若两直线斜率都不存在，可通过观察并结合图形得出结论．
　已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0，0)，B(2，－1)，C(4，2)，D(2，3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明．
活动二　探究两直线垂直的条件　
3. 探究两直线垂直的条件
显然，当两直线相交时，它们的斜率不相等；反之，当两条直线斜率不相等时，它们相交．在相交的位置关系中，垂直是最特殊的情形．当直线l1，l2垂直时，它们除了斜率不相等外，是否还有特殊的数量关系？
结论：两条直线都有斜率，其斜率分别为k1，k2，则有l1⊥l2 k1k2＝－1.
思考3
对直线斜率不存在的情形，如何判断两直线是否垂直？
例2　已知A(－6，0)，B(3，6)，P(0，3)，Q(6，－6)，试判断直线AB与PQ的位置关系．
两条直线垂直需判定k1k2＝－1，使用它的前提条件是两条直线斜率都存在，若其中一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为零，此时两直线也垂直．
　(1) 已知四边形ABCD的四个顶点坐标分别为A(5，－1)，B(1，1)，C(2，3)，D(4，2).试判断四边形ABCD的形状，并给出证明；
(2) 已知直线l1的斜率为k1＝，直线l2经过点A(3a，－2)，B(0，a2＋1)，且l1⊥l2，求实数a的值．
1. (2024新高考改革数学适应性练习)已知两条直线l1和l2，其斜率分别是一元二次方程k2＋2 024k＝1的两个不等实数根，则其位置关系是(　　)
A. 平行 B. 垂直 C. 重合 D. 异面
2. (2024武汉外国语学校期末)张老师不仅喜欢打羽毛球，还喜欢玩折纸游戏，他将一张画了直角坐标系(两坐标轴单位长度相同)的纸折叠一次，使点(2，0)与点(－2，4)重合，点(2 023，2 024)与点(a，b)重合，则a＋b等于(　　)
A. 4 046 B. 4 047 C. 4 048 D. 4 049
3. (多选)下列命题中，正确的是(　　)
A. 若两条不重合的直线的斜率相等，则这两条直线平行
B. 若两条直线平行，则这两条直线的斜率相等
C. 若两条直线的斜率之积为－1，则它们垂直
D. 若两条直线垂直，则它们的斜率之积为－1
4. 已知△ABC的三个顶点分别是A(2，2)，B(0，1)，C(4，3)，点D(m，1)在边BC的高所在的直线上，则实数m的值为________．
5. 已知△ABC的三个顶点坐标为A(1，3)，B(－2，－3)，C(3，2).求：
(1) AB所在直线的斜率；
(2) AB边上的高所在直线的斜率．
【参考答案与解析】
2．1.2　两条直线平行和垂直的判定
【活动方案】
1. 略
2. k1＝k2
思考1：这个结论成立的前提是l1∥l2，且k1，k2存在，反之也成立．
思考2：当两条直线的斜率不存在时，l1，l2与x轴垂直，此时l1∥l2.
例1　如图，由已知，得
直线BA的斜率kBA＝＝，
直线PQ的斜率kPQ＝＝.
因为kBA＝kPQ，所以直线AB∥PQ.
跟踪训练　如图，由已知，得
AB边所在直线的斜率kAB＝－，
CD边所在直线的斜率kCD＝－，
BC边所在直线的斜率kBC＝，
DA边所在直线的斜率kDA＝.
因为kAB＝kCD，kBC＝kDA，
所以AB∥CD，BC∥DA，
所以四边形ABCD是平行四边形．
3. 设两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则直线l1，l2的方向向量分别是a＝(1，k1)，b＝(1，k2)，所以l1⊥l2 a⊥b a·b＝0 1×1＋k1k2＝0，即k1k2＝－1，也就是说l1⊥l2 k1k2＝－1.
思考3：两条直线中，若一条直线的斜率不存在，则当另一条直线的斜率为0时，两直线垂直．
例2　直线AB的斜率kAB＝，
直线PQ的斜率kPQ＝－.
因为kAB·kPQ＝×＝－1，
所以直线AB⊥PQ.
跟踪训练　(1) 由已知可判断四边形ABCD是直角梯形，证明如下：
因为A(5，－1)，B(1，1)，C(2，3)，D(4，2)，
所以kCD＝＝－，kAB＝＝－，kBC＝＝2，kAD＝＝－3，
所以kCD＝kAB，kBC≠kAD，即AB∥CD且BC不平行AD，
所以四边形ABCD是梯形．
因为kBC·kCD＝－1，所以BC⊥CD，
所以四边形ABCD是直角梯形．
(2) 由题意，得直线l2的斜率k2存在，因为l1⊥l2，所以k1k2＝－1，即×＝－1，解得a＝1或a＝3.
【检测反馈】
1. B　由题意，设两条直线l1和l2的斜率分别为k1，k2，且为一元二次方程k2＋2 024k＝1的两个不等实数根，则k1·k2＝－1，所以l1⊥l2.
2. B　设A(2，0)，B(－2，4)，则点A，B所在直线的斜率为kAB＝＝－1，由题意知，过点(2 023，2 024)，(a，b)的直线与直线AB平行，所以＝－1，整理，得a＋b＝2 023＋2 024＝4 047.
3. AC　当直线l1，l2的斜率k1，k2都存在且两直线不重合时，若k1＝k2，则l1∥l2，故A正确；当两条直线均与x轴垂直时，两直线平行，但斜率不存在，故B错误；若k1k2＝－1，则l1⊥l2，故C正确；当两条直线中的一条与x轴垂直，一条与y轴垂直时，两直线垂直，但与x轴垂直的直线斜率不存在，故D错误．故选AC.
4. 　设直线AD，BC的斜率分别为kAD，kBC.由题意，得AD⊥BC，则kAD·kBC＝－1，所以·＝－1，解得m＝.
5. (1) 依题意，得直线AB的斜率k＝＝2.
(2) 由(1)知，直线AB的斜率为2，
所以AB边上的高所在直线的斜率为－.

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