资源简介 (共33张PPT)第二章直线和圆的方程2.2 直线的方程2.2.1 直线的点斜式方程内容索引学习目标活动方案检测反馈学 习 目 标1. 掌握直线方程的点斜式和斜截式,并会用它们求直线的方程.2. 了解直线的斜截式方程与一次函数的关系.3. 会用直线的点斜式方程与斜截式方程解决直线的平行与垂直问题.活 动 方 案活动一 探究直线的点斜式方程知识回顾:(1) 直线倾斜角、斜率的定义:【解析】 略(2) 直线斜率与倾斜角的关系:【解析】 略(3) 直线斜率及倾斜角对直线方向变化的影响:【解析】 略探究:问题1:如果直线l经过点A(-1,3),斜率为-2,点P在直线l上运动,那么点P的坐标(x,y)满足什么条件?思考1 以所求方程的解为坐标的点是否都在直线l上?问题2:设直线l经过点P0(x0,y0),斜率为k,则直线l上不同于点P0的任意一点P(x,y)满足的方程是什么?思考2 以这个方程的解为坐标的点是否都在直线l上?【解析】 直线上的点的坐标都是某方程的解,该方程为直线的方程.结论:(1) 直线的方程:(2) 直线的点斜式方程:【解析】 y-y0=k(x-x0)【解析】 当直线l的倾斜角为0°时,tan 0°=0,即k=0,这时直线l与x轴平行或重合,直线l的方程是y-y0=0,即y=y0.当直线l的倾斜角为90°时,由于tan 90°无意义,直线没有斜率,这时直线l与y轴平行或重合,它的方程不能用点斜式表示.又因为这时直线l上每一点的横坐标都等于x0,所以它的方程是x-x0=0,即x=x0.思考3 (1) 当直线l的倾斜角为0°时,直线l的方程是什么?为什么?当直线l的倾斜角为90°时,直线l的方程如何表示?为什么?【解析】 不能,当斜率不存在时,无法使用点斜式表示.(2) 直线的点斜式方程y=k(x+1)+3能否表示经过点(-1,3)的所有直线呢?【解析】 不是,该方程可化为y-3=k(x-1),但x≠1,即该方程表示除点(1,3)外,斜率为k的直线部分.【解析】 直线l经过点P0(-2,3),斜率k=tan 45°=1,代入点斜式方程,得y-3=x+2.画图时,只需再找出直线l上的另一点P1(x1,y1),例如,取x1=-1,则y1=4,得点P1的坐标为(-1,4),过P0,P1两点的直线即为所求,如图所示.例1 直线l经过点P0(-2,3),且倾斜角α=45°,求直线l的点斜式方程,并画出直线l.【解析】 直线斜率存在,并且知道直线的倾斜角和直线上的一点.思考4 直线满足哪些条件时可直接利用点斜式写出直线方程?【解析】 y=kx+b例2 已知直线l的斜率为k,与y轴的交点是P(0,b),求直线l的方程.定义:(1) 直线l与x轴交于点(a,0),与y轴交于点(0,b),称横坐标a为直线l在x轴上的截距(横截距),称纵坐标b为直线l在y轴上的截距(纵截距).(2) 由直线l的斜率k和它在y轴上的截距b确定的方程y=kx+b,叫做直线的斜截式方程,简称斜截式.【解析】 “截距”的值有正、负、零,是实数,而“距离”一定是非负数.思考5 “截距”与“距离”有何区别?【解析】 方程y=kx+b与我们学过的一次函数表达式类似.思考6 (1) 观察方程y=kx+b,它的形式具有什么特点?(2) 你如何从直线方程的角度认识一次函数y=kx+b?一次函数中k和b的几何意义是什么?你能说出一次函数y=2x-1,y=3x,y=-x+3图象的特点吗?【解析】 一次函数y=kx+b,表示斜率为k,纵截距为b的直线.一次函数中k不能为0,b可取任何值.y=2x-1的图象与y轴交于点(0,-1),过第一、三、四象限;y=3x的图象过原点,过第一、三象限;y=-x+3的图象与y轴交于点(0,3),过第一、二、四象限.活动二 直线方程的简单应用例3 已知直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2.试讨论:(1) l1∥l2的条件是什么?(2) l1⊥l2的条件是什么?【解析】 (1) 若l1∥l2, 则k1=k2,此时l1,l2与y轴的交点不同, 即b1≠b2;反之,若k1=k2,且b1≠b2,则l1∥l2.(2) 若l1⊥l2,则k1k2=-1;反之,若k1k2=-1,则l1⊥l2.【解析】 图略.(1) 这些直线在y轴上的截距都为2,它们的图象经过同一点(0,2).(2) 这些直线的斜率都为2,它们的图象平行.例4 在同一平面直角坐标系中作出下列两组直线,分别说出这两组直线有什么共同特征?(1) y=2,y=x+2,y=-x+2,y=3x+2,y=-3x+2;(2) y=2x,y=2x+1,y=2x-1,y=2x+4,y=2x-4.检 测 反 馈2451324513【答案】 A245132. (2024大同期末质量监测)若直线l过点A(4,5),B(1,-1),则直线l在y轴上的截距是( )【答案】 D245313. (多选)(2024常德汉寿县第五中学期中)直线l1:y=ax+b,l2:y=-bx+a(ab≠0)的图象可能是( )2453124531【答案】 BC245314. (2024东莞实验中学月考)数学家欧拉于1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出:任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上,后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC的顶点分别为A(3,0),B(3,3),C(0,0),则△ABC的欧拉线方程是________.24531【答案】 y=-x+3245315. (2024益阳普通高中期末质量检测)已知两点A(3,-3)和B(-1,5).(1) 记点A关于x轴的对称点为C,求直线BC的方程;(2) 求线段AB的垂直平分线的方程.24531谢谢观看Thank you for watching2.2 直线的方程2.2.1 直线的点斜式方程1. 掌握直线方程的点斜式和斜截式,并会用它们求直线的方程.2. 了解直线的斜截式方程与一次函数的关系.3. 会用直线的点斜式方程与斜截式方程解决直线的平行与垂直问题.活动一 探究直线的点斜式方程知识回顾:(1) 直线倾斜角、斜率的定义:(2) 直线斜率与倾斜角的关系:(3) 直线斜率及倾斜角对直线方向变化的影响:探究:问题1:如果直线l经过点A(-1,3),斜率为-2,点P在直线l上运动,那么点P的坐标(x,y)满足什么条件?思考1 以所求方程的解为坐标的点是否都在直线l上?问题2:设直线l经过点P0(x0,y0),斜率为k,则直线l上不同于点P0的任意一点P(x,y)满足的方程是什么?思考2 以这个方程的解为坐标的点是否都在直线l上?结论:(1) 直线的方程:(2) 直线的点斜式方程:思考3 (1) 当直线l的倾斜角为0°时,直线l的方程是什么?为什么?当直线l的倾斜角为90°时,直线l的方程如何表示?为什么?(2) 直线的点斜式方程y=k(x+1)+3能否表示经过点(-1,3)的所有直线呢?(3) 方程=k表示的几何图形是整条直线吗?例1 直线l经过点P0(-2,3),且倾斜角α=45°,求直线l的点斜式方程,并画出直线l.思考4 直线满足哪些条件时可直接利用点斜式写出直线方程?例2 已知直线l的斜率为k,与y轴的交点是P(0,b),求直线l的方程.定义:(1) 直线l与x轴交于点(a,0),与y轴交于点(0,b),称横坐标a为直线l在x轴上的截距(横截距),称纵坐标b为直线l在y轴上的截距(纵截距).(2) 由直线l的斜率k和它在y轴上的截距b确定的方程y=kx+b,叫做直线的斜截式方程,简称斜截式.思考5 “截距”与“距离”有何区别?思考6 (1) 观察方程y=kx+b,它的形式具有什么特点?(2) 你如何从直线方程的角度认识一次函数y=kx+b?一次函数中k和b的几何意义是什么?你能说出一次函数y=2x-1,y=3x,y=-x+3图象的特点吗?活动二 直线方程的简单应用 例3 已知直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2.试讨论:(1) l1∥l2的条件是什么?(2) l1⊥l2的条件是什么?例4 在同一平面直角坐标系中作出下列两组直线,分别说出这两组直线有什么共同特征?(1) y=2,y=x+2,y=-x+2,y=3x+2,y=-3x+2;(2) y=2x,y=2x+1,y=2x-1,y=2x+4,y=2x-4.1. (2024山东联合质量检测)已知直线y=x的倾斜角是直线y=x+1的倾斜角的两倍,则实数m的值为( )A. -3 B. - C. D. 32. (2024大同期末质量监测)若直线l过点A(4,5),B(1,-1),则直线l在y轴上的截距是( )A. B. 3 C. - D. -33. (多选)(2024常德汉寿县第五中学期中)直线l1:y=ax+b,l2:y=-bx+a(ab≠0)的图象可能是( )A B C D4. (2024东莞实验中学月考)数学家欧拉于1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出:任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上,后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC的顶点分别为A(3,0),B(3,3),C(0,0),则△ABC的欧拉线方程是________.5. (2024益阳普通高中期末质量检测)已知两点A(3,-3)和B(-1,5).(1) 记点A关于x轴的对称点为C,求直线BC的方程;(2) 求线段AB的垂直平分线的方程.【参考答案与解析】2.2 直线的方程2.2.1 直线的点斜式方程【活动方案】知识回顾:略问题1:当点P(x,y)在直线l上运动时(除点A外),点P与定点A(-1,3)所确定的直线的斜率恒等于-2,所以由斜率公式,得k==-2,即点P的坐标(x,y)满足y=-2x+1.思考1:若点P′(x′,y′)的坐标满足方程y=-2x+1,即y′=-2x′+1.当x′=-1时,y′=3,此时点P′与点A重合,即点P′在直线l上;当x≠-1时,y′-3=-2[x′-(-1)],即=-2,这表明过点P′,A的直线l1的斜率为-2.因为直线l,l1的斜率都为-2,且都过点A,所以它们重合,从而点P′在直线l上,因此以方程y=-2x+1的解为坐标的点也都在直线l上.问题2:由斜率公式,得k=,即y-y0=k(x-x0).思考2:若点P1(x1,y1)的坐标x1,y1满足关系式y-y0=k(x-x0),则y1-y0=k(x1-x0).当x1=x0时,y1=y0,这时点P1与P0重合,显然有点P1在直线l上;当x1≠x0时,k=,这表明过点P1,P0的直线l1的斜率为k,因为直线l,l1的斜率都为k,且都过点P0,所以它们重合,所以点P1在直线l上,因此以方程y-y0=k(x-x0)的解为坐标的点也都在直线l上.结论:(1) 直线上的点的坐标都是某方程的解,该方程为直线的方程.(2) y-y0=k(x-x0)思考3:(1) 当直线l的倾斜角为0°时,tan 0°=0,即k=0,这时直线l与x轴平行或重合,直线l的方程是y-y0=0,即y=y0.当直线l的倾斜角为90°时,由于tan 90°无意义,直线没有斜率,这时直线l与y轴平行或重合,它的方程不能用点斜式表示.又因为这时直线l上每一点的横坐标都等于x0,所以它的方程是x-x0=0,即x=x0.(2) 不能,当斜率不存在时,无法使用点斜式表示.(3) 不是,该方程可化为y-3=k(x-1),但x≠1,即该方程表示除点(1,3)外,斜率为k的直线部分.例1 直线l经过点P0(-2,3),斜率k=tan 45°=1,代入点斜式方程,得y-3=x+2.画图时,只需再找出直线l上的另一点P1(x1,y1),例如,取x1=-1,则y1=4,得点P1的坐标为(-1,4),过P0,P1两点的直线即为所求,如图所示.思考4:直线斜率存在,并且知道直线的倾斜角和直线上的一点.例2 y=kx+b思考5:“截距”的值有正、负、零,是实数,而“距离”一定是非负数.思考6:(1) 方程y=kx+b与我们学过的一次函数表达式类似.(2) 一次函数y=kx+b,表示斜率为k,纵截距为b的直线.一次函数中k不能为0,b可取任何值.y=2x-1的图象与y轴交于点(0,-1),过第一、三、四象限;y=3x的图象过原点,过第一、三象限;y=-x+3的图象与y轴交于点(0,3),过第一、二、四象限.例3 (1) 若l1∥l2, 则k1=k2,此时l1,l2与y轴的交点不同, 即b1≠b2;反之,若k1=k2,且b1≠b2,则l1∥l2.(2) 若l1⊥l2,则k1k2=-1;反之,若k1k2=-1,则l1⊥l2.例4 图略.(1) 这些直线在y轴上的截距都为2,它们的图象经过同一点(0,2).(2) 这些直线的斜率都为2,它们的图象平行.【检测反馈】1. A 直线y=x+1的斜率为,则倾斜角为.因为直线y=x的倾斜角是直线y=x+1的倾斜角的两倍,所以直线y=x的倾斜角为,所以直线y=x的斜率为-=,解得m=-3.2. D 由题意,得直线l的斜率k==2,再由点斜式方程,得y-5=2(x-4),化简,得y=2x-3,令x=0,得直线l在y轴上的截距为-3.3. BC 由题意,得直线l1的斜率为a,该直线在y轴上的截距为b;直线l2的斜率为-b,该直线在y轴上的截距为a.对于A,由直线l1的图象,得由直线l2的图象,得即故A不满足条件;对于B,由直线l1的图象,得由直线l2的图象,得即故B满足条件;对于C,由直线l1的图象,得由直线l2的图象,得即故C满足条件;对于D,由直线l1的图象,得由直线l2的图象,得即故D不满足条件.故选BC.4. y=-x+3 如图,易得△ABC为等腰直角三角形,故其垂心为点A(3,0).设△ABC的外心为点M,则M为斜边BC的中点,即M.由题意,得△ABC的欧拉线即直线AM,其斜率为kAM==-1,故其方程为y=-(x-3),即y=-x+3.5. (1) 由题意,得点A(3,-3)关于x轴的对称点为C(3,3).又因为点B(-1,5),所以直线BC的斜率为k==-,所以直线BC的方程为y-3=-(x-3),即y=-x+.(2) 因为两点A(3,-3)和B(-1,5),所以其中点为D(1,1).又直线AB的斜率为k1==-2,所以线段AB的垂直平分线的斜率为k2=-=,所以线段AB的垂直平分线的方程为y-1=(x-1),即y=x+. 展开更多...... 收起↑ 资源列表 2.2.1 直线的点斜式方程 学案课件(共33张PPT).pptx 2.2.1 直线的点斜式方程 学案(含答案).docx