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(共30张PPT)
第二章
直线和圆的方程
2.2　直线的方程
2.2.2　直线的两点式方程
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1. 掌握直线的两点式(截距式)方程，了解截距式是两点式的特殊情况．
2. 能够根据条件选择适当的方程形式求直线的方程．
活 动 方 案
活动一　探究直线的两点式方程
1. 巩固直线的点斜式(斜截式)方程：
【解析】 直线的点斜式方程为y－y0＝k(x－x0)(直线的斜截式方程为y＝kx＋b)．
练习　已知直线l经过两点P1(1,2)，P2(3，5)，求直线l的方程．
思考1
已知直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2.因为两点确定一条直线，所以直线l是唯一确定的．也就是说，对于直线l上的任意一点P(x，y)，它的坐标与点P1，P2的坐标之间具有唯一确定的关系，这一关系是什么呢？
结论：
直线的两点式方程：
【解析】 若x1＝x2或y1＝y2，则直线P1P2没有两点式方程．
当x1＝x2时，这两点的直线方程为x＝x1；
当y1＝y2时，这两点的直线方程为y＝y1.
思考2
若点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)中有x1＝x2或y1＝y2，此时这两点的直线方程是什么？
【解析】 表示曲线上的点在运动时，动点和一个定点的连线的斜率始终等于两定点连线的斜率，它表示的图形是一条直线(不包含点(x1，y1))．
思考3
【解析】 不是．后者表示的图形是经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线，前者为这条直线除去点P1.
(3) 直线的两点式方程能否表示所有的直线？是否可以通过适当变形适合所有直线呢？
【解析】 两点式不适用于与两坐标轴垂直的直线．变形之后可以适合所有直线．
活动二　根据直线的两点式方程求直线方程
例1　已知直线l经过两点A(a,0)，B(0，b)，其中ab≠0，求直线l的方程．
【解析】 适合已知截距a(与x轴的交点(a,0))及截距b(与y轴的交点(0，b))，不适合过原点的直线．
思考4
直线的截距式方程适用的范围是什么？
例2　已知三角形的顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，试求这个三角形三边所在的直线方程．
【解析】 略
思考5
根据已知条件，如何选择恰当的形式求直线的方程？
活动三　截距概念的辨析
例3　求过点P(3,2)，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.
变式　把“截距相等”改为“截距的绝对值相等”，结果如何？
检 测 反 馈
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【解析】 由M，N两点的坐标可知，直线与x轴平行，所以直线的方程为y＝2.
1. 经过M(3,2)与N(6,2)两点的直线的方程为(　　)
A. x＝2 B. y＝2
C. x＝3 D. x＝6
【答案】 B
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A. 6 B. 6或－6
C. －6 D. 2或12
【答案】 B
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3. (多选)(2024舟山期末)下列说法中，正确的是(　　)
B. 直线x－y－2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是2
C. 过点(1,4)的直线在两坐标轴上的截距之和为0，则该直线方程为x－y＋3＝0
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【答案】 AB
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4. 过点A(5,6)和B(－1,2)的直线的两点式方程是________________.
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5. (2023东莞中学阶段练习)在△ABC中，已知点A(4,0)，B(－3,4)，C(1,2)．
(1) 求线段BC的垂直平分线所在直线l的方程．
(2) 已知直线l2过点B，且l2在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，求直线l2的方程．
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谢谢观看
Thank you for watching2．2.2　直线的两点式方程
1. 掌握直线的两点式(截距式)方程，了解截距式是两点式的特殊情况．
2. 能够根据条件选择适当的方程形式求直线的方程．
活动一　探究直线的两点式方程　
1. 巩固直线的点斜式(斜截式)方程：
练习　已知直线l经过两点P1(1，2)，P2(3，5)，求直线l的方程．
思考1
已知直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2.因为两点确定一条直线，所以直线l是唯一确定的．也就是说，对于直线l上的任意一点P(x，y)，它的坐标与点P1，P2的坐标之间具有唯一确定的关系，这一关系是什么呢？
结论：
直线的两点式方程：
思考2
若点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)中有x1＝x2或y1＝y2，此时这两点的直线方程是什么？
思考3
(1) 方程＝(其中x1≠x2)的左、右两边各具有怎样的几何意义？它表示什么图形？
(2) 方程＝(其中x1≠x2)和方程＝(其中x1≠x2，y1≠y2)表示同一个图形吗？
(3) 直线的两点式方程能否表示所有的直线？是否可以通过适当变形适合所有直线呢？
活动二　根据直线的两点式方程求直线方程　
例1　已知直线l经过两点A(a，0)，B(0，b)，其中ab≠0，求直线l的方程．
定义：由直线l在两条坐标轴上的截距a，b确定的方程＋＝1叫做直线的截距式方程，简称截距式．
思考4
直线的截距式方程适用的范围是什么？
例2　已知三角形的顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，试求这个三角形三边所在的直线方程．
思考5
根据已知条件，如何选择恰当的形式求直线的方程？
活动三　截距概念的辨析　
例3　求过点P(3，2)，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.
直线在两坐标轴上截距相等，直接考虑截距式方程＋＝1，也可以由图形性质，得到k＝－1时截距相等，从而选用点斜式．解题时特别要注意截距都是0的情况，这时选用方程y＝kx.
变式　把“截距相等”改为“截距的绝对值相等”，结果如何？
1. 经过M(3，2)与N(6，2)两点的直线的方程为(　　)
A. x＝2 B. y＝2 C. x＝3 D. x＝6
2. (2024全国专题练习)已知直线3x＋4y＝b与两坐标轴围成的三角形的面积为，则实数b的值为(　　)
A. 6 B. 6或－6 C. －6 D. 2或12
3. (多选)(2024舟山期末)下列说法中，正确的是(　　)
A. 直线x－y－2＝0的倾斜角为
B. 直线x－y－2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是2
C. 过点(1，4)的直线在两坐标轴上的截距之和为0，则该直线方程为x－y＋3＝0
D. 过(1，4)，(x0，y0)两点的直线方程为＝
4. 过点A(5，6)和B(－1，2)的直线的两点式方程是________________．
5. (2023东莞中学阶段练习)在△ABC中，已知点A(4，0)，B(－3，4)，C(1，2).
(1) 求线段BC的垂直平分线所在直线l的方程．
(2) 已知直线l2过点B，且l2在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，求直线l2的方程．
【参考答案与解析】
2．2.2　直线的两点式方程
【活动方案】
1. 直线的点斜式方程为y－y0＝k(x－x0)(直线的斜截式方程为y＝kx＋b).
练习：由题意，得y－2＝(x－1)，化简，得y＝x＋.故直线l的方程为y＝x＋.
思考1：因为x1≠x2，所以直线的斜率k＝，
由直线的点斜式方程，得y－y1＝(x－x1).
因为y1≠y2，所以方程可以写成＝.
故点P(x，y)的坐标与点P1，P2的坐标之间的关系是＝.　
结论：＝(其中x1≠x2，y1≠y2).
思考2：若x1＝x2或y1＝y2，则直线P1P2没有两点式方程．
当x1＝x2时，这两点的直线方程为x＝x1；
当y1＝y2时，这两点的直线方程为y＝y1.
思考3：(1) 表示曲线上的点在运动时，动点和一个定点的连线的斜率始终等于两定点连线的斜率，它表示的图形是一条直线(不包含点(x1，y1)).
(2) 不是．后者表示的图形是经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线，前者为这条直线除去点P1.
(3) 两点式不适用于与两坐标轴垂直的直线．变形之后可以适合所有直线．
例1　因为直线l经过两点A(a，0)，B(0，b)，
代入两点式，得＝，即＋＝1.
思考4：适合已知截距a(与x轴的交点(a，0))及截距b(与y轴的交点(0，b))，不适合过原点的直线．
例2　因为直线AB过A(－5，0)，B(3，－3)两点，由两点式，得＝，
整理，得直线AB的方程为3x＋8y＋15＝0.
因为直线BC过B(3，－3)，C(0，2)两点，斜率k＝＝－，由点斜式，得y－2＝－(x－0)，
整理，得直线BC的方程为5x＋3y－6＝0.
因为直线AC过A(－5，0)，C(0，2)两点，
由截距式，得＋＝1，
整理，得直线AC的方程为2x－5y＋10＝0.
思考5：略
例3　当在两坐标轴上的截距a＝b＝0时，
设所求直线的方程为y＝kx，
将点P(3，2)代入，得2＝3k，
解得k＝，所以所求直线的方程为y＝x；
当直线在两坐标轴上的截距a＝b≠0时，
设所求直线的方程为＋＝1，则
解得a＝b＝5，
所以所求直线的方程为＋＝1，即x＋y－5＝0.
综上，所求直线的方程为y＝x或x＋y－5＝0.
变式　所求直线的方程为y＝x或x－y－1＝0或x＋y－5＝0.
【检测反馈】
1. B　由M，N两点的坐标可知，直线与x轴平行，所以直线的方程为y＝2.
2. B　令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝，即直线在x轴上的截距为，在y轴上的截距为，故与坐标轴围成的三角形的面积为S＝××＝，解得b＝±6.
3. AB　对于A，直线x－y－2＝0的斜率为1，其倾斜角为，故A正确；对于B，直线x－y－2＝0分别交x轴，y轴于点(2，0)，(0，－2)，该直线与坐标轴围成的三角形的面积为S＝×2×2＝2，故B正确；对于C，过点(1，4)与原点(0，0)的直线y＝4x在两坐标轴上的截距都为0，符合题意，即过点(1，4)且在两坐标轴上的截距之和为0的直线可以是直线y＝4x，故C错误；对于D，当x0＝1，y0≠4时或当y0＝4，x0≠1时，直线方程不能用＝表示，故D错误．故选AB.
4. ＝　由题意，得AB不和坐标轴垂直，符合两点式方程的使用条件，当直线经过点(x1，y1)，(x2，y2)时，两点式方程为＝，所以直线AB的两点式方程为＝.
5. (1) 由题意，得点B(－3，4)，C(1，2)，
所以线段BC的中点D的坐标为(－1，3).
又线段BC所在直线的斜率为＝－，
所以线段BC的垂直平分线所在直线l的斜率为2，且过点D，
所以直线l的方程为y－3＝2(x＋1)，即y＝2x＋5.
(2) 当直线l2在x轴和y轴上的截距均为0时，设直线l2的方程为y＝kx，且直线过点B(－3，4)，则4＝－3k，解得k＝－，此时直线l2的方程为y＝－x；当直线l2在x 轴和 y 轴上的截距均不为 0时，
设直线l2的方程为＋＝1，
将点B(－3，4)代入，得＋＝1, 解得m＝－1，
此时直线l2的方程为＋＝1, 即y＝－2x－2.
综上，直线l2的方程为y＝－x或y＝－2x－2.

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