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第二章
直线和圆的方程
2.2　直线的方程
2.2.4　直线的方程习题课
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1. 熟练掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式等形式的相互转化，及各种形式在解题中的灵活运用．
2. 了解直线的方程和直线之间的对应关系．
活 动 方 案
活动一　巩固直线方程的各种形式
直线方程的各种形式及适用范围
练习　
(1) 直线l经过两点(1，－2)，(－3,4)，则该直线的方程是_______；
【答案】 3x＋2y＋1＝0
(2) 从直线l上的一点A到另一点B的纵坐标增量是3，横坐标增量是－2，则该直线的斜率是________；　
(3) 过点A(1,2)，且横、纵截距的绝对值相等的直线方程为____________________；
【答案】 2x－y＝0或x－y＋1＝0或x＋y－3＝0
(4) 过点P(4,3)作直线l，它与两坐标轴相交且与两坐标轴围成的三角形面积为3，则直线l的方程为______________________________.
【答案】 3x－2y－6＝0或3x－8y＋12＝0
活动二　灵活运用直线方程的几种形式
例1　一条直线经过点M(2,1)，且在两坐标轴上的截距和是6，求该直线的方程．
例2　在△ABC中，已知点A(1，－4)，B(6，6)，C(－2,0)．
(1) 若AB，AC的中点分别为M，N，求直线MN的方程，并化为一般式方程；
(2) 求边BC上的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程．
例3　已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0(a∈R)．
(1) 求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
(2) 若使直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
活动三　直线方程的综合应用
例5　(1) 求经过点A(8，－2)，倾斜角为60°的直线的一般式方程；
(2) △ABC的三个顶点是A(4,0)，B(6,7)，C(0,3)，求边BC上的中线所在的直线方程．
例6　已知直线l的方程为(2＋m)x＋(1－2m)y＋(4－3m)＝0.
(1) 求证：不论m为何值，直线必过定点M；
(2) 过(1)中的点M引直线l1，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求直线l1的方程．
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【答案】 A
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2. 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(2，0)，B(1,2)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为(　　)
A. x－2y－4＝0 B. 2x＋y－4＝0
C. 4x＋2y＋1＝0 D. 2x－4y＋1＝0
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【答案】 D
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3. (多选)(2024泊头第一中学阶段练习)已知△ABC的三个顶点分别是A(3，a)，B(6,1)，C(3,4)，且边BC上的高所在的直线方程为l：y＝x＋3，则下列结论中正确的是(　　)
A. a＝±6
B. 边BC上的中线所在的直线方程为7x＋3y－39＝0
C. 过点A且平行于BC的直线方程为x＋y－9＝0
D. △ABC三边所在的直线中，直线AB的倾斜角最大
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【答案】 BC
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4. (2023无锡太湖高级中学期中)已知直线l1：x－2y－2＝0的倾斜角为θ，直线l2的倾斜角为2θ，且直线l2在y轴上的截距为3，则直线l2的一般式方程为________.
【答案】 4x－3y＋9＝0
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谢谢观看
Thank you for watching2．2.4　直线的方程习题课
1. 熟练掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式等形式的相互转化，及各种形式在解题中的灵活运用．
2. 了解直线的方程和直线之间的对应关系．
活动一 巩固直线方程的各种形式
直线方程的各种形式及适用范围
名称 方程 适用范围
点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0
斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线
两点式 ＝ (x1≠x2，y1≠y2) 不含与x轴或y轴垂直的直线
截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0 (A，B不同时为0) 平面直角坐标系内的直线都适用
练习　
(1) 直线l经过两点(1，－2)，(－3，4)，则该直线的方程是_______________
______________________________；
(2) 从直线l上的一点A到另一点B的纵坐标增量是3，横坐标增量是－2，则该直线的斜率是________；　
(3) 过点A(1，2)，且横、纵截距的绝对值相等的直线方程为________________
____；
(4) 过点P(4，3)作直线l，它与两坐标轴相交且与两坐标轴围成的三角形面积为3，则直线l的方程为_____________________________.
活动二 灵活运用直线方程的几种形式
例1　一条直线经过点M(2，1)，且在两坐标轴上的截距和是6，求该直线的方程．
例2　在△ABC中，已知点A(1，－4)，B(6，6)，C(－2，0).
(1) 若AB，AC的中点分别为M，N，求直线MN的方程，并化为一般式方程；
(2) 求边BC上的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程．
例3　已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0(a∈R).
(1) 求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
(2) 若使直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
例4　已知在△ABC中，A(1，1)，B(5，1)，∠A＝，∠B＝，且点C在第一象限．求：
(1) 线段AB的方程；
(2) 边AC和边BC所在直线的方程.
活动三 直线方程的综合应用
例5　(1) 求经过点A(8，－2)，倾斜角为60°的直线的一般式方程；
(2) △ABC的三个顶点是A(4，0)，B(6，7)，C(0，3)，求边BC上的中线所在的直线方程．
例6　已知直线l的方程为(2＋m)x＋(1－2m)y＋(4－3m)＝0.
(1) 求证：不论m为何值，直线必过定点M；
(2) 过(1)中的点M引直线l1，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求直线l1的方程．
1. 已知直线m的倾斜角θ的余弦值等于，在y轴上的截距为－2，则直线m的方程为(　　)
A. y＝x－2 B. y＝x－2
C. y＝－x－2 D. y＝x＋2
2. 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(2，0)，B(1，2)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为(　　)
A. x－2y－4＝0 B. 2x＋y－4＝0
C. 4x＋2y＋1＝0 D. 2x－4y＋1＝0
3. (多选)(2024泊头第一中学阶段练习)已知△ABC的三个顶点分别是A(3，a)，B(6，1)，C(3，4)，且边BC上的高所在的直线方程为l：y＝x＋3，则下列结论中正确的是(　　)
A. a＝±6
B. 边BC上的中线所在的直线方程为7x＋3y－39＝0
C. 过点A且平行于BC的直线方程为x＋y－9＝0
D. △ABC三边所在的直线中，直线AB的倾斜角最大
4. (2023无锡太湖高级中学期中)已知直线l1：x－2y－2＝0的倾斜角为θ，直线l2的倾斜角为2θ，且直线l2在y轴上的截距为3，则直线l2的一般式方程为________．
5. 根据所给条件求直线的方程：
(1) 直线过点A(1，2)，倾斜角α的正弦值为；
(2) 直线过点A(1，3)，且在两坐标轴上的截距之和为8.
【参考答案与解析】
2．2.4　直线的方程习题课
【活动方案】
练习：(1) 3x＋2y＋1＝0
(2) －
(3) 2x－y＝0或x－y＋1＝0或x＋y－3＝0
(4) 3x－2y－6＝0或3x－8y＋12＝0
例1　设所求直线的方程为＋＝1(ab≠0).
由题意，得解得或
所以直线的方程为x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.
例2　(1) 由题意，得AB，AC的中点坐标分别为M(，1)，N，由两点式，得＝，所以直线的一般式方程为6x－8y－13＝0.
(2) 因为边BC的中点坐标为(2，3)，所以边BC上的中线所在直线的方程为＝，即7x－y－11＝0，化为截距式方程为＋＝1.
例3　(1) 将直线l的方程整理为y－＝a，
所以直线l的斜率为a，且过定点A.
因为点A在第一象限，
所以不论a为何值，直线l总经过第一象限．
(2) 由(1)，得直线OA的斜率为k＝＝3.
因为直线l不经过第二象限，所以a≥3，
故实数a的取值范围为[3，＋∞).
例4　(1) 线段AB的方程为y＝1(1≤x≤5).
(2) 边AC所在直线的方程为x－y－＋1＝0，边BC所在直线的方程为x＋y－6＝0.
例5　(1) 由倾斜角为60°，得直线斜率为k＝tan 60°＝，
将点A(8，－2)代入方程，得y＋2＝(x－8)，即x－y－8－2＝0.
(2) 设BC的中点为M(x0，y0)，根据中点坐标公式得M(3，5)，
所以中线AM所在直线的方程为＝，即5x＋y－20＝0.
例6　(1) 原直线方程整理，得(x－2y－3)m＋2x＋y＋4＝0，
所以解得
所以不论m为何值，直线必过定点M(－1，－2).
(2) 设直线l1的方程为y＝k(x＋1)－2，k<0.
令y＝0，则x＝；令x＝0，则y＝k－2，
所以三角形的面积为||·|k－2|＝.由对勾函数的单调性可知当k＝－2时，三角形面积取得最小值4，此时直线l1的方程为2x＋y＋4＝0.
【检测反馈】
1. A　因为cos θ＝，0≤θ＜π，所以k＝tan θ＝.又直线m在y轴上的截距为－2，故直线m的方程为y＝x－2.
2. D　因为AC＝BC，所以点C在线段AB的中垂线上，设该中垂线为直线l，取BC的中点D，连接AD，则AD与直线l的交点在直线l上，该交点即为△ABC的重心．过点A作AE⊥BC于点E，则AE与直线l的交点在直线l上，该交点即为△ABC的垂心．因为外心到△ABC的三个顶点的距离相等，所以外心也在直线l上，故△ABC的欧拉线就是直线l.由A(2，0)，B(1，2)，知AB的中点坐标为，直线AB的斜率为＝－2，所以直线l的斜率为，所以直线l的方程为y－1＝，即2x－4y＋1＝0.
3. BC　对于A，因为点A(3，a)在直线l上，所以a＝3＋3＝6，故A不正确；对于B，BC的中点为，因为A(3，6)，所以中线所在直线的斜率为＝－，则边BC上的中线所在直线的方程为y－6＝－(x－3)，即7x＋3y－39＝0，故B正确；对于C，kBC＝＝－1，所以所求直线的方程为y－6＝－(x－3)，整理，得x＋y－9＝0，故C正确；对于D，因为kAB＝＝－，kBC＝－1，因为－<－1，所以直线BC的倾斜角大于直线AB的倾斜角，故D不正确．故选BC.
4. 4x－3y＋9＝0　直线l1：x－2y－2＝0的倾斜角为θ，则tan θ＝，故tan 2θ＝＝，即直线l2的斜率为k＝，又直线l2在y轴上的截距为3，故直线l2的方程为y＝x＋3，即4x－3y＋9＝0.
5．(1) 因为sin α＝，且α∈[0，π)，
所以cos α＝±＝±，
故所求直线的斜率k＝tanα＝＝±，
则直线的方程为y－2＝±(x－1)，
即3x－4y＋5＝0或3x＋4y－11＝0.
(2) 由题意知，所求直线的横截距、纵截距均不为0，可设直线方程为＋＝1，
将点A(1，3)代入，得＋＝1，即m2－6m＋8＝0，解得m＝2或m＝4，
所以所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，
即3x＋y－6＝0或x＋y－4＝0.

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