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第二章
直线和圆的方程
2.3　直线的交点坐标与距离公式
2.3.1　两条直线的交点坐标
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1. 会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．
2. 会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系．
3. 通过两直线交点和二元一次方程组的联系，认识事物之间的内在的联系．
活 动 方 案
活动一　情境导学
在平面几何中，我们对直线作了定性研究．引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式．这样，我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点坐标，平面内与点、直线相关的距离问题等.
活动二　探究二元一次方程组解的情况与两方程所表示的两
条直线的位置之间的对应关系
问题1：判断直线x＋y＝2与直线x－y＝0的位置关系，若不平行，求出其交点坐标．
【解析】 先判断两直线的位置关系，若两直线不平行，则解相应的直线方程所组成的二元一次方程组，方程组的解即为交点的坐标．
思考1
如何求两相交直线的交点坐标？
【解析】 不是，当且仅当这个二元一次方程组只有一个解时，以这个解为坐标的点是直线l1和l2的交点．
思考2
如果直线l1和l2相交，那么交点的坐标是这两个方程组成的方程组的解，反之，以两个二元一次方程组成的方程组的解为坐标的点是否为两直线的交点？
【解析】 如果方程组只有一组解，那么对应的两条直线相交；如果方程组无解，那么对应的两条直线平行；如果方程组有无数组解，那么对应的两条直线重合．
1. 利用求交点坐标的方法(即解方程组)可以判断两直线的位置关系．
2. 两个二元一次方程所组成的方程组解的情况与两方程所表示的两条直线的位置之间的对应关系：
【解析】 略
活动三　判断两直线的位置关系及求两直线的交点坐标
例1　求下列两条直线的交点坐标，并画出图形．
l1：3x＋4y－2＝0，
l2：2x＋y＋2＝0.
例2　判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标：
(1) l1：x－y＝0，l2：3x＋3y－10＝0；
(2) l1：3x－y＋4＝0，l2：6x－2y－1＝0；
(3) l1：3x＋4y－5＝0，l2：6x＋8y－10＝0.
【解析】 略
思考3
你能用直线的斜率判断上述各对直线的位置关系吗？比较用斜率判断和解方程组判断这两种方法，你有什么体会？
【解析】 (1) m＝－1
(2) m＝3
(3) m≠－1且 m≠3
例3　已知两条直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m为何值时，直线l1与l2满足下列位置关系：
(1) 平行；(2) 重合；(3) 相交．
两条直线的位置关系
【解析】 略
活动四　求直线的方程
例4　已知直线l经过原点，且经过另外两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，求直线l的方程．
【解析】 略
思考4
如何求直线的方程？需要哪些条件？
【解析】 无数条，它们的方程可表示为2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0(λ为任意实数)．
设例4中经过两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0交点的直线方程为(2x＋3y＋8)＋λ(x－y－1)＝0.
又直线l经过原点，将点(0,0)代入，得8＋λ×(－1)＝0，解得λ＝8，所以直线l的方程为(2x＋3y＋8)＋8(x－y－1)＝0，即2x－y＝0.
思考5
经过两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点的直线有多少条？它们的方程有什么共同特征？例4还有其他解法吗？
已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，那么过两直线的交点的直线方程可设为(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)(不包括直线l2)．
检 测 反 馈
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1. 过直线x－2y＋3＝0，x＋2y－9＝0的交点和原点的直线方程为(　　)
A. y＝2x B. y＝－x
C. y＝－3x D. y＝x
【答案】 D
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2. 过两直线3x＋y－1＝0与x＋2y－7＝0的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是(　　)
A. x－3y＋7＝0 B. x－3y＋13＝0
C. x－3y＋6＝0 D. x－3y＋5＝0
【答案】 B
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3. (多选)(2023商丘第二高级中学阶段练面上有三条直线2x－y＋5＝0，x＋y＋1＝0，x－ky＝0，将平面划分为六个部分，则实数k的所有可能取值为(　　)
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【答案】 ABC
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4. (2023鸡西实验中学阶段练习)已知△ABC的三个顶点是A(2,2)，B(－5,1)，C(3，－5)，则它的外心坐标是________.
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【答案】 (－1，－2)
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【解析】 (1) 由l1⊥l2以及直线l1的方程，可设直线l2的方程为x－2y＋λ＝0.
又直线l2过点(－3,0)，所以－3－0＋λ＝0，
解得λ＝3，
所以直线l2的方程为x－2y＋3＝0.
5. (2023徐州期中)已知直线l1的方程为2x＋y－4＝0，若直线l2过点(－3,0)，且l1⊥l2.
(1) 求直线l2的方程；
(2) 已知直线m经过直线l1与直线l2的交点，且在y轴上截距是在x轴上截距的3倍，求直线m的方程．
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谢谢观看
Thank you for watching2．3　直线的交点坐标与距离公式
2.3.1　两条直线的交点坐标
1. 会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．
2. 会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系．
3. 通过两直线交点和二元一次方程组的联系，认识事物之间的内在的联系．
活动一 情境导学
在平面几何中，我们对直线作了定性研究．引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式．这样，我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点坐标，平面内与点、直线相关的距离问题等．
活动二　探究二元一次方程组解的情况与两方程所表示的两条直线的位置之间的对应关系　
问题1：判断直线x＋y＝2与直线x－y＝0的位置关系，若不平行，求出其交点坐标．
思考1
如何求两相交直线的交点坐标？
思考2
如果直线l1和l2相交，那么交点的坐标是这两个方程组成的方程组的解，反之，以两个二元一次方程组成的方程组的解为坐标的点是否为两直线的交点？
问题2：如果方程组只有一个公共解，那么对应的两条直线位置关系如何？如果方程组无解、有无数组解，两直线的位置关系又如何？
1. 利用求交点坐标的方法(即解方程组)可以判断两直线的位置关系．
2. 两个二元一次方程所组成的方程组解的情况与两方程所表示的两条直线的位置之间的对应关系：
方程组的解 一组 无数组 无解
直线l1，l2的公共点个数
直线l1，l2的位置关系
活动三　判断两直线的位置关系及求两直线的交点坐标　
例1　求下列两条直线的交点坐标，并画出图形．
l1：3x＋4y－2＝0，
l2：2x＋y＋2＝0.
例2　判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标：
(1) l1：x－y＝0，l2：3x＋3y－10＝0；
(2) l1：3x－y＋4＝0，l2：6x－2y－1＝0；
(3) l1：3x＋4y－5＝0，l2：6x＋8y－10＝0.
思考3
你能用直线的斜率判断上述各对直线的位置关系吗？比较用斜率判断和解方程组判断这两种方法，你有什么体会？
例3　已知两条直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m为何值时，直线l1与l2满足下列位置关系：
(1) 平行；(2) 重合；(3) 相交．
两条直线的位置关系
方程位置关系
平行
重合
相交 垂直
活动四 求直线的方程
例4　已知直线l经过原点，且经过另外两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，求直线l的方程．
思考4
如何求直线的方程？需要哪些条件？
思考5
经过两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点的直线有多少条？它们的方程有什么共同特征？例4还有其他解法吗？
已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，那么过两直线的交点的直线方程可设为(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)(不包括直线l2).
1. 过直线x－2y＋3＝0，x＋2y－9＝0的交点和原点的直线方程为(　　)
A. y＝2x B. y＝－x C. y＝－3x D. y＝x
2. 过两直线3x＋y－1＝0与x＋2y－7＝0的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是(　　)
A. x－3y＋7＝0 B. x－3y＋13＝0
C. x－3y＋6＝0 D. x－3y＋5＝0
3. (多选)(2023商丘第二高级中学阶段练面上有三条直线2x－y＋5＝0，x＋y＋1＝0，x－ky＝0，将平面划分为六个部分，则实数k的所有可能取值为(　　)
A. B. －1 C. －2 D. 1
4. (2023鸡西实验中学阶段练习)已知△ABC的三个顶点是A(2，2)，B(－5，1)，C(3，－5)，则它的外心坐标是________．
5. (2023徐州期中)已知直线l1的方程为2x＋y－4＝0，若直线l2过点(－3，0)，且l1⊥l2.
(1) 求直线l2的方程；
(2) 已知直线m经过直线l1与直线l2的交点，且在y轴上截距是在x轴上截距的3倍，求直线m的方程．
【参考答案与解析】
2．3　直线的交点坐标与距离公式
2.3.1　两条直线的交点坐标
【活动方案】
问题1：不平行，联立方程组解得所以其交点坐标为(1，1).
思考1：先判断两直线的位置关系，若两直线不平行，则解相应的直线方程所组成的二元一次方程组，方程组的解即为交点的坐标．
思考2：不是，当且仅当这个二元一次方程组只有一个解时，以这个解为坐标的点是直线l1和l2的交点．
问题2：如果方程组只有一组解，那么对应的两条直线相交；如果方程组无解，那么对应的两条直线平行；如果方程组有无数组解，那么对应的两条直线重合．
小结　略
例1　解方程组得
所以l1与l2的交点是M(－2，2).图形如下：
例2　(1) 解方程组得
所以l1与l2相交，交点是M.
(2) 解方程组
由①×2－②，得9＝0，矛盾，这个方程组无解，
所以l1与l2无公共点，l1∥l2.
(3) 解方程组
由①×2，得6x＋8y－10＝0.
①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合．
思考3：略
例3　(1) m＝－1　(2) m＝3　(3) m≠－1且 m≠3
小结　略
例4　由两直线方程组成的方程组解得
所以交点坐标为(－1，－2).
又因为直线l过原点，
所以直线l的方程为y＝2x，即2x－y＝0.　
思考4：略
思考5：无数条，它们的方程可表示为2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0(λ为任意实数).
设例4中经过两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0交点的直线方程为(2x＋3y＋8)＋λ(x－y－1)＝0.
又直线l经过原点，将点(0，0)代入，得8＋λ×(－1)＝0，解得λ＝8，所以直线l的方程为(2x＋3y＋8)＋8(x－y－1)＝0，即2x－y＝0.
【检测反馈】
1. D　解方程组解得所以交点坐标为(3，3).设所求直线的方程为y＝kx＋b，代入点(3，3)，(0，0)，得k＝1，b＝0，所以所求直线的方程为y＝x.
2. B　由解得所以两直线的交点为(－1，4).与直线3x＋y－1＝0垂直直线的斜率为，由点斜式，得直线方程为y－4＝(x＋1)，即x－3y＋13＝0.
3. ABC　由解得设A(－2，1)，当k＝0时，直线x－ky＝0即x＝0，画出图象如图1所示，此时三条直线围成三角形，平面划分为7部分，不符合题意；当k≠0时，直线x－ky＝0的斜率为，当直线x－ky＝0过点A(－2，1)时，－2－k＝0，k＝－2，如图2所示，平面划分为6部分，符合题意；直线2x－y＋5＝0的斜率为2，直线x＋y＋1＝0的斜率为－1，当＝2，即k＝时，如图3所示，平面划分为6部分，符合题意；当＝－1，即k＝－1时，如图4所示，平面划分为6部分，符合题意；当k≠－1且k≠且k≠－2时，三条直线围成三角形，平面划分为7部分，不符合题意，故A，B，C正确，D错误．故选ABC.
图1 图2 图3 图4
4. (－1，－2)　由题意，得线段AB的中点为，直线AB的斜率为＝，因此线段AB的垂直平分线的方程为y－＝－7(x＋)，即7x＋y＋9＝0.因为线段BC的中点为(－1，－2)，直线BC的斜率为＝－，所以线段BC的垂直平分线的方程为y＋2＝(x＋1)，即4x－3y－2＝0.由解得所以△ABC的外心坐标是(－1，－2).
5. (1) 由l1⊥l2以及直线l1的方程，可设直线l2的方程为x－2y＋λ＝0.
又直线l2过点(－3，0)，所以－3－0＋λ＝0，
解得λ＝3，
所以直线l2的方程为x－2y＋3＝0.
(2) 联立解得
所以直线l1与直线l2的交点为(1，2).
当直线m过原点时，设直线m的方程为y＝kx，
代入点(1，2)，得k＝2，
所以直线m的方程为y＝2x，即2x－y＝0；
当直线m不过原点时，由题意，可设直线m的方程为＋＝1(μ≠0)，
代入点(1，2)，得＋＝1，解得μ＝，
代入直线方程，整理得3x＋y－5＝0.
综上，直线m的方程为2x－y＝0或3x＋y－5＝0.

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