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第二章
直线和圆的方程
2.4　圆的方程
2.4.2　圆的一般方程
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1. 理解圆的一般方程及其特点．
2. 掌握圆的一般方程和标准方程的互化．
3. 会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题．
活 动 方 案
活动一　探究圆的一般方程
1. 复习巩固：圆的标准方程是什么？
【解析】 圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．
思考1
将圆的标准方程展开，得到的是关于x，y的什么形式的方程？
【解析】 x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0.
思考2
形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程，它一定表示圆吗？
【解析】 表示的不一定是圆．
(1) 当D2＋E2－4F>0时，关于x，y的二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的点的轨迹是什么？
(2) 当D2＋E2－4F＝0时，关于x，y的二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的点的轨迹是什么？
(3) 当D2＋E2－4F<0时，关于x，y的二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的点的轨迹是什么？
【解析】 当D2＋E2－4F<0时，方程无实数解，不表示任何图形．
2. 圆的一般方程：
【解析】 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)
【解析】 略
思考3
圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？
活动二　巩固圆的一般方程，能由圆的一般方程确定圆心和半径
例1　下列方程是否表示圆？若表示圆，写出其圆心的坐标和半径．
(1) x2＋y2－4x＝0；
(2) x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；
(3) x2＋y2－4x－2y＋5＝0；
(4) 2x2＋2y2－4x＋6＝0.
【解析】 (1) 因为(－4)2＋0－4×0＝16>0，所以方程 x2＋y2－4x＝0表示一个圆，圆心为(2,0)，半径为2.
(2) 方程x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0不表示圆．
(3) 因为(－4)2＋(－2)2－4×5＝0，所以方程x2＋y2－4x－2y＋5＝0不表示圆．
(4) 2x2＋2y2－4x＋6＝0可化成x2＋y2－2x＋3＝0，因为(－2)2＋0－4×3<0，所以方程2x2＋2y2－4x＋6＝0不表示圆．
活动三　能根据已知条件求圆的方程
例2　求过三点O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径．
【解析】 确定一个圆的一般方程需要3个不在一条直线上的点．
思考4
确定一个圆的一般方程需要几个独立条件？
用待定系数法求圆的方程的步骤：
(1) 根据题意，选择标准方程或一般方程；
(2) 根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；
(3) 解出a，b，r或D，E，F，得到标准方程或一般方程．
思考5
点与圆的位置关系：
(1) 已知点A(m，n)，圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，如何判断点A与圆C的位置关系？
(2) 已知圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，如何判断点A(m，n)与圆的位置关系？
【解析】 (1) ①若(m－a)2＋(n－b)2>r2，则点A在圆外；
②若(m－a)2＋(n－b)2＝r2，则点A在圆上；
③若(m－a)2＋(n－b)2(2) ①若m2＋n2＋Dm＋En＋F>0，则点A在圆外；
②若m2＋n2＋Dm＋En＋F＝0，则点A在圆上；
③若m2＋n2＋Dm＋En＋F<0，则点A在圆内．
例3　已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程．
检 测 反 馈
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1. (2023全国联考期中)“实数m<2”是“方程x2＋y2－3x＋y＋m＝0表示圆”的(　　)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】 A
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2. (2024山西吕梁期末)已知圆O：x2＋y2－4x＋6y＋5＝0，则圆心O和半径r分别为(　　)
【答案】 B
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【解析】 圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，故a<5.又因为弦AB的中点为M(0,1)，故点M在圆内，所以(0＋1)2＋(1－2)2<5－a，解得a<3.综上，实数a的取值范围为(－∞，3)．故选AB.
3. (多选)已知直线l与圆C：x2＋y2＋2x－4y＋a＝0相交于A，B两点，弦AB的中点为M(0,1)，则实数a的取值可能为(　　)
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
【答案】 AB
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4. 若圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，则当圆的面积最大时，圆心的坐标为________.
【答案】 (0，－1)
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5. (2023安徽联考)一般地，平面内到两个定点P，Q的距离之比为常数λ(λ>0且λ≠1)的动点F的轨迹是圆，此圆便是数学史上著名的“阿波罗尼斯圆”．基于上述事实，完成如下问题：
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1. 理解圆的一般方程及其特点．
2. 掌握圆的一般方程和标准方程的互化．
3. 会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题．
活动一 探究圆的一般方程
1. 复习巩固：圆的标准方程是什么？
思考1
将圆的标准方程展开，得到的是关于x，y的什么形式的方程？
思考2
形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程，它一定表示圆吗？
(1) 当D2＋E2－4F>0时，关于x，y的二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的点的轨迹是什么？
(2) 当D2＋E2－4F＝0时，关于x，y的二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的点的轨迹是什么？
(3) 当D2＋E2－4F<0时，关于x，y的二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的点的轨迹是什么？
2. 圆的一般方程：
思考3
圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？
活动二　巩固圆的一般方程，能由圆的一般方程确定圆心和半径
例1　下列方程是否表示圆？若表示圆，写出其圆心的坐标和半径．
(1) x2＋y2－4x＝0；
(2) x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；
(3) x2＋y2－4x－2y＋5＝0；
(4) 2x2＋2y2－4x＋6＝0.
活动三　能根据已知条件求圆的方程　
例2　求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径．
思考4
确定一个圆的一般方程需要几个独立条件？
用待定系数法求圆的方程的步骤：
(1) 根据题意，选择标准方程或一般方程；
(2) 根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；
(3) 解出a，b，r或D，E，F，得到标准方程或一般方程．
思考5
点与圆的位置关系：
(1) 已知点A(m，n)，圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，如何判断点A与圆C的位置关系？
(2) 已知圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，如何判断点A(m，n)与圆的位置关系？
例3　已知线段AB的端点B的坐标是(4，3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程．
1. (2023全国联考期中)“实数m<2”是“方程x2＋y2－3x＋y＋m＝0表示圆”的(　　)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. (2024山西吕梁期末)已知圆O：x2＋y2－4x＋6y＋5＝0，则圆心O和半径r分别为(　　)
A. O(－2，3)，r＝3 B. O(2，－3)，r＝2
C. O(－2，3)，r＝2 D. O(2，－3)，r＝3
3. (多选)已知直线l与圆C：x2＋y2＋2x－4y＋a＝0相交于A，B两点，弦AB的中点为M(0，1)，则实数a的取值可能为(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 若圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，则当圆的面积最大时，圆心的坐标为________.
5. (2023安徽联考)一般地，平面内到两个定点P，Q的距离之比为常数λ(λ>0且λ≠1)的动点F的轨迹是圆，此圆便是数学史上著名的“阿波罗尼斯圆”．基于上述事实，完成如下问题：
(1) 已知点A1(1，0)，A2(－2，0)，若＝，求动点M的轨迹方程；
(2) 已知点N在圆(x－3)2＋y2＝4上运动，点A3(－1，0)，探究：是否存在定点A4，使得＝2？若存在，求出定点A4的坐标；若不存在，请说明理由．
【参考答案与解析】
2．4.2　圆的一般方程
【活动方案】
1. 圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0).
思考1：x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0.
思考2：表示的不一定是圆．
(1) 当D2＋E2－4F>0时，方程表示以(－，－)为圆心，为半径的圆．
(2) 当D2＋E2－4F＝0时，方程只有实数解x＝－，y＝－，表示一个点.
(3) 当D2＋E2－4F<0时，方程无实数解，不表示任何图形．
2. x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)
思考3：略
例1　(1) 因为(－4)2＋0－4×0＝16>0，所以方程 x2＋y2－4x＝0表示一个圆，圆心为(2，0)，半径为2.
(2) 方程x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0不表示圆．
(3) 因为(－4)2＋(－2)2－4×5＝0，所以方程x2＋y2－4x－2y＋5＝0不表示圆．
(4) 2x2＋2y2－4x＋6＝0可化成x2＋y2－2x＋3＝0，因为(－2)2＋0－4×3<0，所以方程2x2＋2y2－4x＋6＝0不表示圆．
例2　设圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.①
因为O，M1，M2三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解．将它们的坐标依次代入方程①，得到关于D，E，F的一个三元一次方程组
解这个方程组，得
所以所求圆的方程是x2＋y2－8x＋6y＝0.
由前面的讨论可知，所求圆的圆心坐标是(4，－3)，半径r＝＝5.
思考4：确定一个圆的一般方程需要3个不在一条直线上的点．
思考5：(1) ①若(m－a)2＋(n－b)2>r2，则点A在圆外；
②若(m－a)2＋(n－b)2＝r2，则点A在圆上；
③若(m－a)2＋(n－b)2(2) ①若m2＋n2＋Dm＋En＋F>0，则点A在圆外；
②若m2＋n2＋Dm＋En＋F＝0，则点A在圆上；
③若m2＋n2＋Dm＋En＋F<0，则点A在圆内．
例3　设点M的坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0).由于点B的坐标是(4，3)，且M是线段AB的中点，
所以x＝，y＝，
所以x0＝2x－4，y0＝2y－3.①
因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，
所以点A的坐标满足圆的方程，
即(x0＋1)2＋y＝4.②
将①代入②，得(2x－4＋1)2＋(2y－3)2＝4，
整理，得＋＝1.
这就是点M的轨迹方程，它表示以为圆心，半径为1的圆．
【检测反馈】
1. A　若方程x2＋y2－3x＋y＋m＝0表示圆，则(－3)2＋12－4m＝10－4m>0，解得m<.因为{m|m<2}?，所以 “实数m<2”是“方程x2＋y2－3x＋y＋m＝0表示圆”的充分不必要条件．
2. B　圆O的方程x2＋y2－4x＋6y＋5＝0可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝8，所以圆心O的坐标为(2，－3)，半径为2.
3. AB　圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，故a<5.又因为弦AB的中点为M(0，1)，故点M在圆内，所以(0＋1)2＋(1－2)2<5－a，解得a<3.综上，实数a的取值范围为(－∞，3).故选AB.
4. (0，－1)　圆的标准方程为＋(y＋1)2＝－k2＋1，即r2＝1－k2>0，所以 rmax＝1，此时k＝0，所以圆心为(0，－1).
5. (1) 设M(x0，y0)，则MA1＝，MA2＝，
又＝＝，
故2(x0－1)2＋2y＝(x0＋2)2＋y，化简，得x＋y－8x0－2＝0，
故动点M的轨迹方程为x2＋y2－8x－2＝0.
(2) 设N(x0，y0)，A4(m，n)，
故NA3＝，NA4＝.
因为＝2，所以＝2，
即x＋y－·x0－·y0＋＝0.
因为点N在圆(x－3)2＋y2＝4上，即x＋y－6x0＋5＝0，
所以解得
故存在定点A4(2，0)，使得＝2.

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