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第二章
直线和圆的方程
2.5　直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.3　圆的综合应用
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1. 理解圆的方程，掌握圆的几何性质的应用．
2. 理解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系及其综合应用．
3. 体会数形结合、曲线与方程思想的综合应用．
活 动 方 案
活动一　与圆有关的最值问题
例1　已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3.求：
(2) y－x的最大值和最小值；
(3) x2＋y2的最大值和最小值．
已知圆C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)为圆C上任意一点．求：
例2　若P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，PA，PB与圆x2＋y2＝4分别相切于A，B两点，则四边形PAOB面积的最小值为________.
【答案】 8
求面积的最值问题往往转化为距离的最值问题．
已知P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则实数k的值为________.
【答案】 2
活动二　直线与圆的方程的实际应用
例3　设有半径长为3 km的圆形村落，甲、乙两人同时从村落中心出发，甲向东前进而乙向北前进，甲离开村落后不久，改变前进方向，斜着沿切于村落边界的方向前进，后来恰好与乙相遇．设甲、乙两人的速度都一定，且其速度比为3∶1，问：甲、乙两人在何处相遇？
坐标法是研究与平面图形有关的实际问题的有效手段，因此要建立适当的平面直角坐标系，用直线与圆的方程解决问题．建立平面直角坐标系时要尽可能有利于简化运算．
为适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B，从基地中心O向北走 8 km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由点D通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离．
活动三　过交点的圆系方程
例4　求过直线x＋3y－7＝0与圆x2＋y2＋2x－2y－3＝0的交点且在两坐标轴上的四个截距之和为－8的圆的方程．
【解析】 设过直线与圆的交点的圆的方程为(x2＋y2＋2x－2y－3)＋λ(x＋3y－7)＝0，
即x2＋y2＋(2＋λ)x＋(3λ－2)y－3－7λ＝0.
令y＝0，得x2＋(2＋λ)x－3－7λ＝0，
所以圆在x轴上的两个截距之和为－2－λ.
令x＝0，得y2＋(3λ－2)y－3－7λ＝0，
所以圆在y轴上的两个截距之和为2－3λ.
由题意，得－2－λ＋2－3λ＝－8，解得λ＝2.
故所求圆的方程为x2＋y2＋4x＋4y－17＝0.
利用圆系方程求解有关圆的问题的基本思路：设所求圆的方程为圆系方程，根据已知条件建立关于参数λ的方程f(λ)＝0，根据题意解出λ并代入圆系方程即可(从实质上讲这是待定系数法)．利用圆系方程的优点是避免解方程组求交点的麻烦，能简化运算，但要注意不要多解或漏解．
对于任意实数λ，曲线(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2＋(6－4λ)x－16－6λ＝0恒过定点________.
【答案】 (1,3)和(1，－3)
检 测 反 馈
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1. 已知实数x，y满足x2＋y2＋4x－2y－4＝0，则x2＋y2的最大值为(　　)
【答案】 C
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2. (2024大庆铁人中学期末)已知圆M：(x＋4)2＋y2＝4与直线l：x＋y－2＝0，点P在直线l上运动，直线PA，PB分别与圆M相切于点A，B，则下列说法中正确的是(　　)
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【答案】 B
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3. (多选)(2024广州阶段练习)已知点P在圆(x－1)2＋y2＝1上，点 A(－2,0)，B(0,2)，则下列结论中正确的是(　　)
A. △ABP的面积大于1
B. △ABP的面积小于4
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【答案】 ACD
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Thank you for watching2．5.3　圆的综合应用
1. 理解圆的方程，掌握圆的几何性质的应用．
2. 理解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系及其综合应用．
3. 体会数形结合、曲线与方程思想的综合应用．
活动一 与圆有关的最值问题
例1　已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3.求：
(1) 的最大值和最小值；
(2) y－x的最大值和最小值；
(3) x2＋y2的最大值和最小值．
与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：
(1) 形如u＝的最值问题，可转化为过点(x，y)和点(a，b)的动直线斜率的最值问题．
(2) 形如l＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线y＝－x＋截距的最值问题．
(3) 形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题．
　已知圆C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)为圆C上任意一点．求：
(1) 的最大值与最小值；
(2) x－2y的最大值与最小值．
例2　若P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，PA，PB与圆x2＋y2＝4分别相切于A，B两点，则四边形PAOB面积的最小值为________．
求面积的最值问题往往转化为距离的最值问题．
　已知P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则实数k的值为________．
活动二 直线与圆的方程的实际应用
例3　设有半径长为3 km的圆形村落，甲、乙两人同时从村落中心出发，甲向东前进而乙向北前进，甲离开村落后不久，改变前进方向，斜着沿切于村落边界的方向前进，后来恰好与乙相遇．设甲、乙两人的速度都一定，且其速度比为3∶1，问：甲、乙两人在何处相遇？
坐标法是研究与平面图形有关的实际问题的有效手段，因此要建立适当的平面直角坐标系，用直线与圆的方程解决问题．建立平面直角坐标系时要尽可能有利于简化运算．
　为适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B，从基地中心O向北走8km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由点D通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离．
活动三　过交点的圆系方程　
例4　求过直线x＋3y－7＝0与圆x2＋y2＋2x－2y－3＝0的交点且在两坐标轴上的四个截距之和为－8的圆的方程．
利用圆系方程求解有关圆的问题的基本思路：设所求圆的方程为圆系方程，根据已知条件建立关于参数λ的方程f(λ)＝0，根据题意解出λ并代入圆系方程即可(从实质上讲这是待定系数法).利用圆系方程的优点是避免解方程组求交点的麻烦，能简化运算，但要注意不要多解或漏解．
　对于任意实数λ，曲线(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2＋(6－4λ)x－16－6λ＝0恒过定点________．
1. 已知实数x，y满足x2＋y2＋4x－2y－4＝0，则x2＋y2的最大值为(　　)
A. 15 B. 14 C. 14＋6 D.
2. (2024大庆铁人中学期末)已知圆M：(x＋4)2＋y2＝4与直线l：x＋y－2＝0，点P在直线l上运动，直线PA，PB分别与圆M相切于点A，B，则下列说法中正确的是(　　)
A. 四边形PAMB面积的最小值为
B. 当PA最短时，弦AB的长为
C. 当PA最短时，弦AB的直线方程为3x＋3y－8＝0
D. 直线AB过定点
3. (多选)(2024广州阶段练习)已知点P在圆(x－1)2＋y2＝1上，点A(－2，0)，B(0，2)，则下列结论中正确的是(　　)
A. △ABP的面积大于1
B. △ABP的面积小于4
C. 当∠PBA最小时，sin ∠PBA＝
D. 当∠PBA最大时，sin ∠PBA＝
4. 已知圆C的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝1，过直线l：3x＋ay－5＝0(a>0)上任意一点作圆C的切线，若切线长的最小值为，则直线l的斜率为________．
5. (2024南京期末)已知圆C的圆心在直线y＝x上，且圆C经过点A(1，)与直线x＋y－2＝0相切．
(1) 求圆C的标准方程；
(2) 若直线l：y＝k(x＋3)与圆C相交于M，N两点，且满足________，求实数k的值．
在下面三个条件中任选一个，补充在上面横线中，并解答．
①·＝2；②△CMN为正三角形；③直线l将圆C分成的两段弧的弧长之比为1∶5.
【参考答案与解析】
2．5.3　圆的综合应用
【活动方案】
例1　原方程表示以点(2，0)为圆心，为半径的圆．
(1) 设＝k，即y＝kx，则当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取得最大值和最小值，此时＝，解得k＝±，故的最大值为，最小值为－.
(2) 设y－x＝b，即y＝x＋b，则当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时＝，即b＝－2±，故y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.
(3) x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在的直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为2，故(x2＋y2)max＝(2＋)2＝7＋4，(x2＋y2)min＝(2－)2＝7－4.
跟踪训练　(1) 由题意，得圆心C(－2，0)，半径r＝1.显然可以看作是点P(x，y)与点Q(1，2)连线的斜率，令k＝，如图所示，则其最大值、最小值分别是过点Q(1，2)的圆C的两条切线的斜率．将上式整理，得kx－y－k＋2＝0，所以＝1，解得k＝，故的最大值是，最小值是.
(2) 令u＝x－2y，则当直线与圆C相切时，u取得最大值和最小值．
由题意，得＝1，解得u＝－2±，
故x－2y的最大值是－2＋，最小值是 －2－.
例2　8　如图，因为S四边形PAOB＝2S△POA，又OA⊥AP，所以S四边形PAOB＝2××OA×PA＝OA×＝2.为使四边形PAOB的面积最小，当且仅当OP取到最小值，即点O到直线2x＋y＋10＝0的距离最小，因为OPmin＝＝2.故所求最小值为2＝8.
跟踪训练　2　圆C：x2＋y2－2y＝0的圆心为(0，1)，半径r＝1.由圆的性质知S四边形PACB＝2S△PBC.因为四边形PACB的最小面积是2，所以S△PBC的最小值为1，则×1×dmin＝1(d为切线长)，所以dmin＝2，所以PCmin＝.因为圆心到直线kx＋y＋4＝0(k>0)的距离就是PC的最小值，所以PCmin＝＝.因为k>0，所以k＝2.
例3　以村落中心为坐标原点，以东西方向为x轴，南北方向为y轴建立如图所示的平面直角坐标系．
设甲向东走到点D转向到点C恰好与乙相遇，CD所在直线的方程为＋＝1(a＞3，b＞3)，乙的速度为v，则甲的速度为3v.
依题意，有解得
所以当乙向北前进3.75 km时，甲、乙两人相遇．
跟踪训练　以O为坐标原点，以OB，OC所在直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则圆O的方程为x2＋y2＝1.因为点B(8，0)，C(0，8)，所以直线BC的方程为＋＝1，即x＋y＝8.当O，D，E三点共线，且OE⊥BC时，DE最短，所以DE的最短距离为－1＝4－1(km).
例4　设过直线与圆的交点的圆的方程为
(x2＋y2＋2x－2y－3)＋λ(x＋3y－7)＝0，
即x2＋y2＋(2＋λ)x＋(3λ－2)y－3－7λ＝0.
令y＝0，得x2＋(2＋λ)x－3－7λ＝0，
所以圆在x轴上的两个截距之和为－2－λ.
令x＝0，得y2＋(3λ－2)y－3－7λ＝0，
所以圆在y轴上的两个截距之和为2－3λ.
由题意，得－2－λ＋2－3λ＝－8，解得λ＝2.
故所求圆的方程为x2＋y2＋4x＋4y－17＝0.
跟踪训练　(1，3)和(1，－3)　将(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2＋(6－4λ)x－16－6λ＝0变形为λ(x2＋y2－4x－6)＋(x2＋y2＋6x－16)＝0，则解得则曲线恒过定点(1，3)和(1，－3).
【检测反馈】
1. C　由题意知，圆(x＋2)2＋(y－1)2＝9的圆心为(－2，1)，半径r＝3.圆心(－2，1)到坐标原点(0，0)的距离为＝，故x2＋y2的最大值为(3＋)2＝14＋6.
2. B　对于A，四边形的面积可以看成两个直角三角形的面积之和，即S四边形PAMB＝S△MPA＋S△MPB＝2S△MPA＝2××PA×AM＝2PA＝2＝2，所以当MP最短时，△MPA的面积最小，故当MP⊥l时，MP最短，即MPmin＝＝3，所以S四边形PAMB＝2＝2，故A错误；由上述可知，当MP⊥l时，MP最短，故PA最小，且最小值为PA＝＝，所以AB＝2AM×sin ∠AMP＝2AM·＝2×2×＝，故B正确；当PA最短时，则MP⊥l，又MP⊥AB，所以l∥AB，kl＝－1，所以kAB＝－1，可设AB的直线方程为x＋y＋m＝0，所以圆心M(－4，0)到直线AB的距离d＝＝＝，解得m＝或m＝，由于直线AB在圆心M(－4，0)的右侧，且在直线l的左侧，所以－4<－m<2，即－23. ACD　由A(－2，0)，B(0，2)可得直线AB方程为y＝x＋2，故圆心(1，0)到直线AB的距离为d0＝，故圆上任意的一点到直线AB的距离d∈[d0－r，d0＋r]，即d∈[－1，＋1]，S△ABP＝AB·d＝×2d＝d∈[3－，3＋]，由于3－>1，3＋>4，故A正确，B错误；要使∠PBA取到最值，则PB与圆相切，故当PB无斜率时，点P与坐标原点O重合，此时∠PBA取到最小值，且∠PBA＝，所以sin ∠PBA＝，故C正确；当直线PB有斜率时，设直线的方程为y＝kx＋2，故＝1，解得k＝－.设直线PB的倾斜角为θ，θ∈[0，π)，则tan θ＝－，所以sin θ＝，cos θ＝－，且∠PBA＝θ－，故sin ∠PBA＝sin (θ－)＝(sin θ－cos θ)＝，故D正确．故选ACD.
4. －　因为圆C的圆心为(3，4)，半径为1，切线长的最小值为，所以圆心C到直线l：3x＋ay－5＝0(a>0)的距离d＝＝4，所以＝4，解得a＝4，所以直线l的斜率为－.
5. (1) 因为圆心在直线y＝x上，
所以设圆心C(a，a).
由题意，得＝，
解得a＝0，所以半径的长为＝2，
故圆C的标准方程为x2＋y2＝4.
(2) 若选①：
由(1)和已知条件，得||＝||＝2，
因为·＝2，所以||·||·cos ∠MCN＝4cos ∠MCN＝2，则cos ∠MCN＝.
又cos ∠MCN∈(0，π]，所以∠MCN＝，
所以弦心距d＝r·cos ＝2×＝，
所以圆心到直线的距离为＝，
解得k＝±.
若选②：
因为△CMN为正三角形，所以∠MCN＝，
所以弦心距d＝r·cos ＝2×＝，
所以圆心到直线的距离为＝，
解得k＝±.
若选③：
因为直线l将圆C分成的两段弧的弧长之比为1∶5，
所以∠MCN＝2π×＝，
所以弦心距d＝r·cos ＝2×＝，
所以圆心到直线的距离为＝，
解得k＝±.

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