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(共31张PPT)
第三章
圆锥曲线的方程
3.2　双　曲　线
3.2.1　双曲线及其标准方程(2)
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1. 能根据已知条件求双曲线的标准方程．
2. 能根据双曲线的标准方程求解有关问题．
活 动 方 案
活动一　利用双曲线的定义求双曲线的方程
例1　(1) 若动圆M恒过定点B(－3,0)，且与定圆C：(x－3)2＋y2＝4外切，求动圆圆心M的轨迹方程；
【解析】 (1) 因为圆M与圆C外切，
所以MC＝MB＋2，即MC－MB＝2.
因为0所以由双曲线定义知，点M的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的左支，
其中a＝1，c＝3，所以b2＝c2－a2＝8，
(2) 以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，
因为2sin A＋sin C＝2sin B，
所以由正弦定理，得2BC＋AB＝2AC，
所以由双曲线的定义知，点C的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支(除去与x轴的交点)，
【解析】 设点A的坐标为(x，y)(y≠0)．
所以点M的轨迹是以原点为中心，焦点在x轴上的双曲线(不包括两个顶点)．
例3　已知A，B两地相距800 m．在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2 s，且声速为340 m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程．
【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，使A，B两点在x轴上，且原点O与线段AB的中点重合．
设炮弹爆炸点P的坐标为(x，y)，则
PA－PB＝340×2＝680，
所以2a＝680, a＝340.
又AB＝800，所以2c＝800，c＝400，b2＝c2－a2＝44 400.
因为PA－PB＝680>0，
所以点P的轨迹是双曲线的右支，
所以x≥340.
【解析】 需要三个观测点才能确定爆炸点的位置．
思考2
利用两个不同的观测点，可以确定爆炸点所在的曲线，但不能完全确定爆炸点的位置，要有几个观测点才能确定爆炸点的位置？
活动二　掌握双曲线定义的应用
【解析】 由题意，知a2＝64，b2＝36，则a＝8，c＝10.因为PF1＝17【答案】 33
【答案】 8　18
【解析】 根据双曲线的定义，得MF2－MF1＝2a，NF2－NF1＝2a，两式相加，得MF2＋NF2－MN＝4a＝8.△MNF2的周长为MF2＋NF2＋MN＝MF2＋NF2－MN＋2MN＝8＋10＝18.
活动三　掌握双曲线中与焦点三角形有关的基本运算
检 测 反 馈
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【答案】 B
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2. 已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在双曲线C上，若PF1＝2PF2，则cos∠F1PF2的值为(　　)
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【答案】 C
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3. (多选)(2024河北期末)圆O的半径为定长r，M是圆O所在平面内一个定点(点M与点O不重合)，P是圆O上任意一点，线段MP的垂直平分线与直线OP相交于点Q，当点P在圆O上运动时，下列说法中正确的是(　　)
A. 若点M在圆内，则点Q的轨迹是椭圆
B. 若点M在圆外，则点Q的轨迹是双曲线
C. 若点M在圆内，则点Q的轨迹是椭圆的一部分
D. 若点M在圆外，则点Q的轨迹是双曲线的一支
【答案】 AB
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【解析】 当点M在圆O内且不与点O重合时，由图1可知QM＋QO＝QP＋QO＝r，又OMr，所以由双曲线的定义可得点Q的轨迹是以O，M为焦点的双曲线，即点Q的轨迹是双曲线．故选AB.
图1　　　　　图2
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(1) 如图，以O为坐标原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，根据题设条件求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程；
(2) 若点C监测点信号失灵，现立即以监测点C为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r至少是多少千米？
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【解析】 (1) 设观察员可能出现的位置的所在点为P(x，y)．
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(2) 设轨迹上一点为P(x，y)，
谢谢观看
Thank you for watching【参考答案与解析】
3．2.1　双曲线及其标准方程(2)
【活动方案】
例1　(1) 因为圆M与圆C外切，
所以MC＝MB＋2，即MC－MB＝2.
因为0所以由双曲线定义知，点M的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的左支，
其中a＝1，c＝3，所以b2＝c2－a2＝8，
故所求轨迹方程为x2－＝1(x≤－1).
(2) 以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，
则A(－2，0)，B(2，0).
因为2sin A＋sin C＝2sin B，
所以由正弦定理，得2BC＋AB＝2AC，
所以AC－BC＝AB＝2所以由双曲线的定义知，点C的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支(除去与x轴的交点)，
所以a＝，c＝2，则b＝，
所以顶点C的轨迹方程为－＝1(x>).
例2　设点A的坐标为(x，y)(y≠0).
由题意，得kAB·kAC＝，即·＝，
化简，得－＝1(y≠0)，
所以顶点A的轨迹是双曲线(除去与x轴的交点)，轨迹方程为－＝1(y≠0).
思考1：设M(x，y)，则直线AM的斜率kAM＝(x≠－5)，
直线BM的斜率kBM＝(x≠5)，
所以kAM·kBM＝·＝＝(x≠±5)，
化简，得－＝1(x≠±5)，
即点M的轨迹方程是－＝1(x≠±5)，
所以点M的轨迹是以原点为中心，焦点在x轴上的双曲线(不包括两个顶点).
例3　建立如图所示的平面直角坐标系，使A，B两点在x轴上，且原点O与线段AB的中点重合．
设炮弹爆炸点P的坐标为(x，y)，则
PA－PB＝340×2＝680，
所以2a＝680, a＝340.
又AB＝800，所以2c＝800，c＝400，b2＝c2－a2＝44 400.
因为PA－PB＝680>0，
所以点P的轨迹是双曲线的右支，所以x≥340.
故炮弹爆炸点的轨迹方程为－＝1(x≥340).
思考2：需要三个观测点才能确定爆炸点的位置．
例4　(1) 33　由题意，知a2＝64，b2＝36，则a＝8，c＝10.因为PF1＝17(2) 8　18　根据双曲线的定义，得MF2－MF1＝2a，NF2－NF1＝2a，两式相加，得MF2＋NF2－MN＝4a＝8.△MNF2的周长为MF2＋NF2＋MN＝MF2＋NF2－MN＋2MN＝8＋10＝18.
例5　由余弦定理，得F1F＝PF＋PF－2PF1·PF2cos ，即PF＋PF－PF1·PF2＝100.
又|PF2－PF1|＝8，
所以PF＋PF＝64＋2PF1·PF2，
所以64＋PF1·PF2＝100，即PF1·PF2＝36，
所以S△F1PF2＝PF1·PF2sin ＝×36×＝9.
例6　2　由题意，得a＝1，b＝3，所以c＝，F1(－，0)，F2(，0).因为点P在双曲线上，·＝0，所以PF1⊥PF2，所以PF＋PF＝(2c)2＝40，所以|＋|＝＝＝2.
【检测反馈】
1. B　由题意，得a＝.由双曲线的定义，得|PF1－PF2|＝2a＝2.又F1为左焦点，P是双曲线C的左支上一点，所以PF12. C　x2－y2＝2可化为－＝1，则a＝，c2＝4，即c＝2，所以|PF1－PF2|＝2a＝2.又PF1＝2PF2，所以PF2＝2，则PF1＝4. 因为F1F2＝2c＝4，所以cos ∠F1PF2＝＝＝.
3. AB　当点M在圆O内且不与点O重合时，由图1可知QM＋QO＝QP＋QO＝r，又OMr，所以由双曲线的定义可得点Q的轨迹是以O，M为焦点的双曲线，即点Q的轨迹是双曲线．故选AB.
图1　 图2
4. 4＋2　在双曲线E：－y2＝1中，a＝2，b＝1，c＝＝，所以|PF1－PF2|＝2a＝4，F1F2＝2c＝2.由余弦定理，得cos ＝，所以PF1·PF2＝PF＋PF－F1F＝(PF1－PF2)2＋2PF1·PF2－F1F，所以PF1·PF2＝4，PF＋PF＝24，所以(PF1＋PF2)2＝32，所以PF1＋PF2＝4，所以△F1PF2的周长为PF1＋PF2＋F1F2＝4＋2.
5. (1) 设观察员可能出现的位置的所在点为P(x，y).
因为点A接收到信号的时间比点B接收到信号的时间早 s，
所以PB－PA＝·V0＝40所以点P的坐标满足双曲线的定义．
设双曲线方程为－＝1(x<0).
由题意，得2a＝40，2c＝60，所以b2＝c2－a2＝500，
故点P的轨迹方程为－＝1(x<0).
(2) 设轨迹上一点为P(x，y)，
则PC＝＝.
又由－＝1，得x2＝y2＋400，
代入可得PC＝
＝≥＝20，
当且仅当y＝时，取得最小值20.
故扫描半径r至少是20 km.3．2.1　双曲线及其标准方程(2)
1. 能根据已知条件求双曲线的标准方程．
2. 能根据双曲线的标准方程求解有关问题．
活动一 利用双曲线的定义求双曲线的方程
例1　(1) 若动圆M恒过定点B(－3，0)，且与定圆C：(x－3)2＋y2＝4外切，求动圆圆心M的轨迹方程；
(2) 在△ABC中，已知AB＝4，且三内角满足2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．
例2　在△ABC中，B(－6，0)，C(6，0)，直线AB，AC的斜率乘积为，求顶点A的轨迹．
思考1
已知点A，B的坐标分别是(－5，0)，(5，0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程，并由点M的轨迹方程判断轨迹的形状．
例3　已知A，B两地相距800 m．在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2 s，且声速为340 m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程．
思考2
利用两个不同的观测点，可以确定爆炸点所在的曲线，但不能完全确定爆炸点的位置，要有几个观测点才能确定爆炸点的位置？
活动二 掌握双曲线定义的应用
例4　(1) 设F1，F2分别为双曲线－＝1的左、右焦点，点P在双曲线上，若点P到点F1的距离为17，则点P到点F2的距离是________；
(2) 过双曲线－＝1的左焦点F1的直线交双曲线的左支于M，N两点，F2为其右焦点，则MF2＋NF2－MN＝__________；若MN＝5，则△MNF2的周长为________．
活动三 掌握双曲线中与焦点三角形有关的基本运算
例5　已知F1，F2分别为双曲线－＝1的左、右焦点，P为双曲线上的任意一点，且∠F1PF2＝，求△F1PF2的面积．
例6　设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点．若点P在双曲线上，且·＝0，则|＋|＝__________．
1. (2024河源期末)已知双曲线C：－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线C的左支上一点，则PF1－PF2的值为(　　)
A. 2 B. －2 C. ± D. ±2
2. 已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在双曲线C上，若PF1＝2PF2，则cos ∠F1PF2的值为(　　)
A. B. C. D.
3. (多选)(2024河北期末)圆O的半径为定长r，M是圆O所在平面内一个定点(点M与点O不重合)，P是圆O上任意一点，线段MP的垂直平分线与直线OP相交于点Q，当点P在圆O上运动时，下列说法中正确的是(　　)
A. 若点M在圆内，则点Q的轨迹是椭圆
B. 若点M在圆外，则点Q的轨迹是双曲线
C. 若点M在圆内，则点Q的轨迹是椭圆的一部分
D. 若点M在圆外，则点Q的轨迹是双曲线的一支
4. (2024大同期末)已知F1，F2分别是双曲线E：－y2＝1的左、右焦点，点P在双曲线E上，且∠F1PF2＝，则△F1PF2的周长是________．
5. 如图，某野生保护区监测中心设置在点O处，正西、正东、正北处有三个监测点A，B，C，且OA＝OB＝OC＝30 km.一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，三个监测点均收到求救信号，点A接收到信号的时间比点B接收到信号的时间早 s(注：信号每秒传播V0 km).
(1) 如图，以O为坐标原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，根据题设条件求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程；
(2) 若点C监测点信号失灵，现立即以监测点C为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r至少是多少千米？

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