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(共39张PPT)
第三章
圆锥曲线的方程
3.3　抛　物　线
3.3.1　抛物线及其标准方程
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1. 掌握抛物线的定义、焦点及准线的概念．
2. 类比椭圆、双曲线的研究过程和方法，研究抛物线，掌握抛物线的标准方程及其推导过程．
3. 明确p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题．
4. 掌握抛物线的简单应用．
活 动 方 案
活动一　掌握抛物线的定义、标准方程、焦点坐标和准线方程
1. 问题导入
我们已经学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线，今天我们类比椭圆、双曲线的研究过程与方法，研究另一种圆锥曲线——抛物线．
探究一：
如图，把一根直尺固定在画图板内，直线l的位置上，一块直角三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘，把一根绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A处，截取绳子的长等于点A到直线l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F，用一支铅笔的笔尖紧靠着直角三角板的边AC，并把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直角尺上下滑动，这样铅笔就画出了一条曲线．
探究二：
利用信息技术作图．如图，F是定点，l是不经过点F的定直线，H是直线l上的任意一点，过点H作MH⊥l，线段FH的垂直平分线m交MH于点M.拖动点H，点M随之运动，你能发现点M满足的几何条件吗？它的轨迹是什么形状？
【解析】 可以发现，在点M随着点H运动的过程中，始终有MF＝MH，即点M与定点F的距离等于它到定直线l的距离，点M的轨迹形状与二次函数的图象相似.
2. 抛物线的定义：
【解析】 我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．
3. 抛物线的标准方程
思考1
设抛物线的焦点F到准线l的距离为p，类比椭圆和双曲线，如何建立直角坐标系，可能使所求抛物线的方程形式简单？
【解析】 根据抛物线的几何特征，取经过点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合，建立平面直角坐标系.
结论：
抛物线的标准方程为：_____________________；
焦点坐标为F___________；
准线方程为l：_____________.
y2＝2px(p>0)
思考2
抛物线标准方程还有哪些形式？
【解析】 y2＝－2px(p>0)　x2＝2py(p>0)　x2＝－2py(p>0)
【解析】 填表略
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
焦点坐标
准线方程
开口方向
思考3
抛物线的四种标准方程之间有哪些联系和区别？
【解析】 共同点：左边都是二次式，且系数为1，右边都是一次式.
区别：开口方向、焦点所在位置不同．
思考4
确定抛物线标准方程的关键是什么？如何“定位置”？如何 “定量”？
【解析】 考虑其开口方向、焦点位置，利用开口方向定位置，焦点位置定量．
活动二　掌握抛物线的标准方程的求法及简单应用
例1　(1) 已知抛物线的标准方程是y2＝6x，求它的焦点坐标和准线方程；
(2) 已知抛物线的焦点是F(0，－2)，求它的标准方程．
反思与感悟
1. 用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：
2. 求抛物线的标准方程时需注意的三个问题：
(1) 把握开口方向与方程一次项系数的对应关系；
(2) 当抛物线的位置没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论不同情况的次数；
　　　　　　根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：
(2) 焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5；
(3) 经过点(－3，－1)；
(4) 焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点．
(2) 因为抛物线的焦点在y轴上，所以可设方程为 x2＝2my(m≠0).由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，则m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y.
(3) 因为点(－3，－1)在第三象限，
所以设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)．
(4) 对于直线方程3x－4y－12＝0，
令x＝0，得y＝－3；
令y＝0，得x＝4，
所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．
此时抛物线的标准方程为y2＝16x，
所以所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x.
例2　一种卫星接收天线如图1，其曲面与轴截面的交线为抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，如图2.已知接收天线的口径(直径)为4.8 m，深度为1 m．试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标．
图1　　　　　　　图2
【解析】 如图，在接收天线的轴截面所在平面内建立平面直角坐标系，使接收天线的顶点与原点重合，焦点在x轴上．
设抛物线的标准方程是y2＝2px(p>0)．
由已知条件，得点A的坐标是(1,2.4)，
代入方程，得2.42＝2p×1，
解得p＝2.88，
所以所求抛物线的标准方程是y2＝5.76x，焦点坐标是(1.44,0)．
反思与感悟
求解抛物线实际应用题的步骤：
　　　　　　一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图所示．已知拱口宽AB恰好是拱高OD的4倍．若拱口宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值．
【解析】 如图，以拱顶O为原点，拱高OD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．
设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．
因为AB是OD的4倍，且AB＝a，
所以抛物线方程为x2＝－ay.
设E(0.8，y0)为抛物线上的一点，
代入方程x2＝－ay，得0.82＝－ay0，
所以a的最小整数值为13.
检 测 反 馈
2
4
5
1
3
【解析】 由抛物线定义可知MF等于点M到准线的距离，故点M到x轴的距离为MF－1＝3－1＝2.
1. (2023咸阳实验中学阶段练习)已知抛物线x2＝4y的焦点为F，点M在抛物线上，且MF＝3，则点M到x轴的距离为(　　)
C. 2 D. 3
【答案】 C
2
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1
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A. x＝－1 B. x＝－2
C. x＝－3 D. x＝－4
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【答案】 D
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1
3. (多选)已知F是抛物线C：y2＝16x的焦点，M是抛物线C上的一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则下列说法中正确的是(　　)
A. 抛物线C的准线方程为x＝－4
B. 点F的坐标为(0,4)
C. FN＝12
2
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1
【答案】 ACD
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1
4. (2024北京西城期末)已知抛物线C：y2＝8x，则抛物线C的准线方程为________；设抛物线C的顶点为O，焦点为F.点P在抛物线C上，点Q与点P关于y轴对称．若QF平分∠PFO，则点P的横坐标为________.
2
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1
【答案】 x＝－2　2
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1
5. 根据下列条件分别求抛物线的标准方程：
(1) 抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；
(2) 抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，AF＝5.
2
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1
所以p＝6，所以抛物线的方程为y2＝－12x.
(2) 设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2＝2nx(n≠0)，A(m, －3).
又(－3)2＝2nm，所以n＝±1或n＝±9，
故所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±18x.
谢谢观看
Thank you for watching【参考答案与解析】
3．3　抛　物　线
3.3.1　抛物线及其标准方程
【活动方案】
探究二：可以发现，在点M随着点H运动的过程中，始终有MF＝MH，即点M与定点F的距离等于它到定直线l的距离，点M的轨迹形状与二次函数的图象相似.
2. 我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．
思考1：根据抛物线的几何特征，取经过点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合，建立平面直角坐标系．
结论：y2＝2px(p>0)　　x＝－
思考2：y2＝－2px(p>0)　x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
填表略
思考3：共同点：左边都是二次式，且系数为1，右边都是一次式．
区别：开口方向、焦点所在位置不同．
思考4：考虑其开口方向、焦点位置，利用开口方向定位置，焦点位置定量．
例1　(1) 由题意，得p＝3，抛物线的焦点在x轴正半轴上，所以它的焦点坐标是，准线方程是x＝－.
(2) 因为抛物线的焦点在y轴负半轴上，且＝2，则p＝4，所以抛物线的标准方程是x2＝－8y.
跟踪训练　(1) 因为抛物线的准线交y轴于正半轴，且＝，所以p＝，所以所求抛物线的标准方程为x2＝－y.
(2) 因为抛物线的焦点在y轴上，所以可设方程为 x2＝2my(m≠0).由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，则m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y.
(3) 因为点(－3，－1)在第三象限，
所以设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0).
若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，则由(－1)2＝－2p×(－3)，解得p＝；
若抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，则由(－3)2＝－2p×(－1)，解得p＝，
所以所求抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝－9y.
(4) 对于直线方程3x－4y－12＝0，
令x＝0，得y＝－3；
令y＝0，得x＝4，
所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4，0).
当焦点为(0，－3)时，＝3，所以p＝6，
此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；
当焦点为(4，0)时，＝4，所以p＝8，
此时抛物线的标准方程为y2＝16x，
所以所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x.
例2　如图，在接收天线的轴截面所在平面内建立平面直角坐标系，使接收天线的顶点与原点重合，焦点在x轴上．
设抛物线的标准方程是y2＝2px(p>0).
由已知条件，得点A的坐标是(1，2.4)，
代入方程，得2.42＝2p×1，
解得p＝2.88，
所以所求抛物线的标准方程是y2＝5.76x，焦点坐标是(1.44，0).
跟踪训练　如图，以拱顶O为原点，拱高OD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．
设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0).
因为AB是OD的4倍，且AB＝a，
所以点B的坐标为.
由点B在抛物线上，得＝－2p·，
所以p＝，
所以抛物线方程为x2＝－ay.
设E(0.8，y0)为抛物线上的一点，
代入方程x2＝－ay，得0.82＝－ay0，
所以y0＝－，
所以点E到拱底AB的距离h＝－|y0|＝－.　
令h＞3，则－＞3，
解得a＞6＋或a＜6－(舍去)，
所以a的最小整数值为13.
【检测反馈】
1. C　由抛物线定义可知MF等于点M到准线的距离，故点M到x轴的距离为MF－1＝3－1＝2.
2. D　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线l：y＝－，联立消去y并整理，得x2－3px＋＝0，则Δ>0，x1＋x2＝3p.又直线l经过抛物线C的焦点，则MN＝x1＋x2＋p＝3p＋p＝32，解得p＝8，故抛物线C的准线方程为x＝－4.
3. ACD　如图，不妨设点M位于第一象限，抛物线的准线l与x轴交于点F′，作MB⊥l于点B，NA⊥l于点A.由抛物线的解析式，得抛物线的准线方程为x＝－4，点F的坐标为(4，0)，故A正确，B错误；在直角梯形ANFF′中，中位线BM＝＝＝6.由抛物线的定义有MF＝MB＝6.因为M为FN的中点，所以MN＝MF＝6，故FN＝FM＋NM＝6＋6＝12，则ON＝＝8，所以S△ONF＝×8×4＝16，故C，D正确．故选ACD.
4. x＝－2　2　由抛物线y2＝8x，得2p＝8，＝2，所以准线方程为x＝－2，焦点为F(2，0).设点P，则点Q.因为PQ∥x轴，QF平分∠PFO，所以∠PQF＝∠PFQ，所以PQ＝PF，即×2＝＋＝＋2，t2＝16，所以点P的横坐标为＝＝2.
5. (1) 双曲线方程可化为－＝1，则左顶点为(－3，0).
由题意可设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，且＝3，所以p＝6，所以抛物线的方程为y2＝－12x.
(2) 设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2＝2nx(n≠0)，A(m，－3).
由抛物线定义，得5＝AF＝|m＋|.
又(－3)2＝2nm，所以n＝±1或n＝±9，
故所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±18x.3．3　抛　物　线
3.3.1　抛物线及其标准方程
1. 掌握抛物线的定义、焦点及准线的概念．
2. 类比椭圆、双曲线的研究过程和方法，研究抛物线，掌握抛物线的标准方程及其推导过程．
3. 明确p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题．
4. 掌握抛物线的简单应用．
活动一 掌握抛物线的定义、标准方程、焦点坐标和准线方程
1. 问题导入
我们已经学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线，今天我们类比椭圆、双曲线的研究过程与方法，研究另一种圆锥曲线——抛物线．
探究一：
如图，把一根直尺固定在画图板内，直线l的位置上，一块直角三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘，把一根绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A处，截取绳子的长等于点A到直线l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F，用一支铅笔的笔尖紧靠着直角三角板的边AC，并把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直角尺上下滑动，这样铅笔就画出了一条曲线．
探究二：
利用信息技术作图．如图，F是定点，l是不经过点F的定直线，H是直线l上的任意一点，过点H作MH⊥l，线段FH的垂直平分线m交MH于点M.拖动点H，点M随之运动，你能发现点M满足的几何条件吗？它的轨迹是什么形状？
2. 抛物线的定义：
3. 抛物线的标准方程
思考1
设抛物线的焦点F到准线l的距离为p，类比椭圆和双曲线，如何建立直角坐标系，可能使所求抛物线的方程形式简单？
结论：
抛物线的标准方程为：______________；
焦点坐标为F____________；
准线方程为l：____________．
思考2
抛物线标准方程还有哪些形式？
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
焦点坐标
准线方程
开口方向
思考3
抛物线的四种标准方程之间有哪些联系和区别？
思考4
确定抛物线标准方程的关键是什么？如何“定位置”？如何 “定量”？
活动二 掌握抛物线的标准方程的求法及简单应用
例1　(1) 已知抛物线的标准方程是y2＝6x，求它的焦点坐标和准线方程；
(2) 已知抛物线的焦点是F(0，－2)，求它的标准方程．
1. 用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：
2. 求抛物线的标准方程时需注意的三个问题：
(1) 把握开口方向与方程一次项系数的对应关系；
(2) 当抛物线的位置没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论不同情况的次数；
(3) 注意p与的几何意义．
　根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：
(1) 准线方程为y＝；
(2) 焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5；
(3) 经过点(－3，－1)；
(4) 焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点．
例2　一种卫星接收天线如图1，其曲面与轴截面的交线为抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，如图2.已知接收天线的口径(直径)为4.8 m，深度为1 m．试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标．
图1 图2
求解抛物线实际应用题的步骤：
　一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图所示．已知拱口宽AB恰好是拱高OD的4倍．若拱口宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值．
1. (2023咸阳实验中学阶段练习)已知抛物线x2＝4y的焦点为F，点M在抛物线上，且MF＝3，则点M到x轴的距离为(　　)
A. 4 B. 2 C. 2 D. 3
2. (2024河南期末)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，过点且斜率为－1的直线l交抛物线C于M，N两点，且MN＝32，则抛物线C的准线方程为(　　)
A. x＝－1 B. x＝－2 C. x＝－3 D. x＝－4
3. (多选)已知F是抛物线C：y2＝16x的焦点，M是抛物线C上的一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则下列说法中正确的是(　　)
A. 抛物线C的准线方程为x＝－4
B. 点F的坐标为(0，4)
C. FN＝12
D. △ONF的面积为16(O为坐标原点)
4. (2024北京西城期末)已知抛物线C：y2＝8x，则抛物线C的准线方程为________；设抛物线C的顶点为O，焦点为F.点P在抛物线C上，点Q与点P关于y轴对称．若QF平分∠PFO，则点P的横坐标为________．
5. 根据下列条件分别求抛物线的标准方程：
(1) 抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；
(2) 抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，AF＝5.

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