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2024职教高考专题讲解
—集合
知识点一：集合及其运算
1．集合的有关概念
(1) 集合的概念：一般地，研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合．
(2)集合元素的特征：
①确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立．
② 互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素．
③无序性：集合中的元素的次序无先后之分．如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合．
(3)元素与集合的关系：
① 如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作aA
②如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作
(4)常见数集和数学符号
数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 或
2．集合的表示方法
(1) 列举法：把集合中的元素一一列举出来．
(2)描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内．具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
3．集合之间的关系
(1) 子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为B的子集．记作：，读作：A包含于B（或B包含A）．
图示：
（2）相等集合：如果两个集合所含的元素完全相同（），那么我们称这两个集合相等．记作：，读作：A等于B．
图示：
(3) 真子集：若集合，存在元素，则称集合A是集合B的真子集，记作：AB（或BA），
读作：A真包含于B（或B真包含A）
(4) 空集：不含有任何元素的集合称为空集，记作：，规定：空集是任何集合的子集．
重要结论：一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2n个，其真子集数为2n-1个，非空真子集数有2n-2个.
4．集合的运算
(1) 并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B读作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB}，Venn图表示：
(2) 交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：A∩B，读作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；交集的Venn图表示：
(3) 补集
全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．
补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作：，即补集的Venn图表示：
知识点二：充要条件
1．充要条件
(1) 充分条件、必要条件
若，称是的充分条件，是的必要条件．
(2) 充要条件
如果既有，又有，就记作，这时是的充分必要条件，称是的充要条件．
(3)命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系共有：
①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件；
②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件；
③若，且，即，则、互为充要条件；
④若，且，则是的既不充分也不必要条件．
2．子集与推出的关系
若p：x∈A，q：x∈B，
(1)若AB，则是的充分条件，是的必要条件；
(2)若A是B的真子集，则是的充分不必要条件；
(3)若A=B，则、互为充要条件；
(4)若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件．
考点一 集合的概念及表示方法
1．已知M是由1，2，3三个元素构成的集合，则集合M可表示为（ ）
A．{x|x=1} B．{x|x=2} C．{1，2} D．{1，2，3}
【答案】D
【解析】由于集合是由三个元素构成，所以，故选：D.
2．下列说法中，正确的个数是（ ）
①的近似值的全体构成一个集合
②自然数集N中最小的元素是0
③在整数集Z中，若，则
④一个集合中不可以有两个相同的元素
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】①的近似值的全体没有确定性，不能构成集合，错误；
②自然数集N中最小的元素是0，正确；
③在整数集Z中，若，则，整数的相反数还是整数，正确，
④一个集合中不可以有两个相同的元素，根据集合的定义知正确，
故选：C．
3．方程组的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由方程组，解得：，集合应是点集，正确的形式是，故选：D.
4． 已知集合，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】集合．对于不对．对于对；对于不对；
对于不对．故选：．
5．给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为（ ）
A．4 B．2 C．3 D．5
【答案】A
【解析】为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确；是无理数，所以，所以②错误；不是正整数，所以，所以③正确；，所以④正确；是无理数，所以，所以⑤正确；，所以⑥错误，故选:A.
6．设集合，若，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】B
【解析】因为，，所以，解得，所以1，故选：B.
7．集合，用列举法可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为，可得，所以，故选：C.
考点二 集合的关系及运算
8．已知集合，，则的子集的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．8个
【答案】C
【解析】集合，因为，所以，集合中共两个元素，
故子集有，，，共个，故选：C.
9．已知集合，则集合的真子集的个数为（ ）
A．7 B．8 C．15 D．16
【答案】A
【解析】由题意得：，其真子集有：，，，，，，，共7个，故选：A．
10．集合的子集个数为 ．
【答案】32
【解析】由题意得，则A的子集个数为，故答案为：32.
11．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以．故选：A
12．设全集U是实数集R，，都是U的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】题图中阴影部分表示集合，故选：B.
13．已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为，又，所以当时，，要使，则，即，故选：A．
14．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
，故选：C.
15．设全集，若，，则集合（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为全集，由，得，又，所以．故选：D．
16．已知集合，，或．
(1)若，求实数m的取值范围；
(2)若，求实数m的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】解：（1）∵，∴．在数轴上标出集合A，B，如图1所示，则由图1可知，解得．∴实数m的取值范围为．
（2）∵，∴．
当，即，即时，满足．
当，即时，在数轴上标出集合B，C，
若，则有两种情况，如图2、图3所示．
由图2可知，解得，又，
∴无解；由图3可知，解得．
综上，实数m的取值范围是．
考点三 充要条件
17．已知集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为,所以“” “”，但“”推不出“”，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A.
18．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时，成立，而当时，如时，，所以当时，不一定成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A.
19．已知，，则是的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分不必要条件
【答案】A
【解析】由，可得出，由，得不出，所以是的充分而不必要条件，故选：A.
20．若，则“”是“且”的 条件．
【答案】必要不充分
【解析】时，成立，是必要的，时，有，即时不一定有且．不充分，因此应是必要不充分条件，故答案为：必要不充分．
21．若“”是“”的充分不必要条件，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，“”是“”的充分不必要条件，故，故，故选：B.
22．已知，，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【解析】∵，是的必要不充分条件，所以由能推出，而由推不出，，，故选B.
23．已知都是的必要条件，是的充分条件，是的充分条件，则是的 条件，是的 条件.
【答案】充要；必要
【解析】由题意得，，所以，所以，又因为，所以是的充要条件；，不能得到，所以p是的必要条件，故答案为：充要；必要．
24．已知，，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为，，且是的必要不充分条件，所以是的真子集，且不是空集，所以或，解得，
所以实数的取值范围是，故答案为:．
25．已知，.
（1）是否存在实数，使是的充要条件？若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由；
（2）是否存在实数，使是的必要条件？若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）不存在实数，使是的充要条件（2）当实数时，是的必要条件
【解析】解：（1），要使是的充要条件，则，即 此方程组无解，则不存在实数，使是的充要条件；
（2）要使是的必要条件，则，当时，，解得； 当时，，解得，要使，则有，解得
26. 下列四个关系中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据元素与集合的关系，集合与集合的关系，即可选出正确答案.
【详解】元素与集合是属于关系，集合与集合是包含关系，所以，只有D选项正确.
故选：D
27. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由集合的定义直接判断即可.
【详解】集合,即集合.
故选：.
28. 已知集合满足，这样的集合有（ ）个
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】结合子集的定义列举出符合题意的集合即可得到结果.
【详解】已知集合满足，则集合可以为：，，，，
，，，，
符合题意的集合共有8个.
故选：D.
29.若，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别计算出集合和集合，然后根据交集定义求出结果.
【详解】已知集合，
解方程得，，
所以集合；集合，
解方程得，，所以集合；
则.
故选：A.
30. 设集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】运用集合并集直接可得结果.
【详解】集合，，则.
故选：C.
31. 用列举法表示集合__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意代入自然数求解，再用列举法表示即可.
【详解】因为，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
所以集合，
故答案为：
32. 设，，且，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据两集合相等，可求出a和b值，即可求解.
【详解】由题意可知，所以，
得，
当时，不满足元素的互异性，故，
则.
故答案为：.
33．若集合 ，，为 的子集，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为为 的子集，所以，，故选：A.

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