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2024年湖南省岳阳市中考数学二模试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的相反数是( )
A. B. C. D.
2.下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
3.下列漂亮的图案中似乎包含了一些曲线，其实它们这种神韵是由多条线段呈现出来的，这些图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
4.一副三角板如图所示摆放．若，则的度数是( )
A. B. C. D.
5.要使式子有意义，则的取值范围是( )
A. B. C. 且 D. 且
6.如图，在中，，由图中的尺规作图痕迹得到的射线与交于点，点为的中点，连接，若，则的周长为( )
A.
B.
C.
D.
7.下列命题为真命题的是( )
A. 三角形的外心是三条角平分线的交点
B. 圆锥的三视图是两个等腰三角形和一个圆
C. “长度分别是，，的三根木条首尾相接，组成一个三角形”是必然事件
D. 已知点在平面直角坐标系的第四象限，则的取值范围是：
8.如图，在矩形中，，，动点沿折线运动到点，同时动点沿折线运动到点，点，在矩形边上的运动速度为每秒个单位长度，点，在矩形对角线上的运动速度为每秒个单位长度设运动时间为秒，的面积为，则下列图象能大致反映与之间函数关系的是( )
A. B.
C. D.
9.按一定规律排列的单项式：，，，，，，第个单项式是( )
A. B. C. D.
10.有一个数值转换器，原理如下：当输入的为时，输出的是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.据统计，年泪罗市累计全年筹措专项教育基金超过万元，用科学记数法表示为______元
12.中国象棋文化历史久远在图中所示的部分棋盘中，“馬”的位置在“---”图中虚线的下方，“馬”移动一次能够到达的所有位置已用“”标记，则“馬”随机移动一次，到达的位置在“---”上方的概率是______．
13.分解因式： ．
14.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是______．
15.已知，求的值为______．
16.若，则以的值为边数的多边形的内角和为______．
17.九章算术是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系其中卷八方程七中记载：“今有牛五、羊二，直金十两牛二、羊五，直金八两牛、羊各一只直金几何？”题目大意是：头牛、只羊共值金两，头牛、只羊共值金两头牛和只羊值金多少两？请列出方程组______．
18.如图，，分别是反比例函数和在第一象限内的图象，点在上，线段交于点，作轴于点，交于点，延长交于点，作轴于点，下列结论：
；
；
；
．
其中正确的是______填序号
三、解答题：本题共7小题，共57分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
计算题：计算：．
20.本小题分
如图，四边形中，，将对角线向两端分别延长至点，，使连接，，若证明：四边形是平行四边形．
21.本小题分
如图，点在反比例函数的图象上，轴，且交轴于点，交反比例函数于点，已知．
求直线的解析式；
求反比例函数的解析式；
点为反比例函数上一动点，连接交轴于点，当为中点时，求的面积．
22.本小题分
某学校为了了解本校名学生的课外阅读的情况，现从各年级随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行了调查，并绘制出如下的统计图和图，根据相关信息，解答下列问题：
Ⅰ本次接受随机抽样调查的学生人数为______，图中的值为______．
Ⅱ求本次调查获取的样本数据的众数、中位数和平均数．
Ⅲ根据样本数据，估计该校学生一周的课外阅读时间大于的学生人数．
23.本小题分
如图，在中，，以为直径的交于点，连接，过点作，垂足为，、的延长线交于点．
求证：是的切线；
求证：；
若，，求的长．
24.本小题分
已知正方形中，点、分别为边、上的点，连接、相交于点，．
如图，求证：；
如图，连接，取的中点，连接、、，求证：为等腰直角三角形
如图，在的条件下，将和分别沿、翻折到和的位置，连接、、，若，，求的长．
25.本小题分
已知：、是方程的两个实数根，且，抛物线的图象经过点、．
求这个抛物线的解析式；
设中抛物线与轴的另一交点为，抛物线的顶点为，试求出点、的坐标和的面积．
是线段上的一点，过点作轴，与抛物线交于点，若直线把分成面积之比为的两部分，请求出点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
的相反数是．
故选：．
根据“只有符号不同的两个数叫做互为相反数”解答．
本题考查了相反数，掌握相反数的定义是关键．
2.【答案】
【解析】解：，故A选项错误，不符合题意；
B.，故B选项正确，符合题意；
C.，故C选项错误，不符合题意；
D.，故D选项错误，不符合题意．
故选：．
根据分式的乘除法，算术平方根，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，进行计算即可进行判断．
本题考查了分式的乘除法，算术平方根，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，解决本题的关键是掌握以上知识熟练进行计算．
3.【答案】
【解析】解：既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
4.【答案】
【解析】解：如图，，，
，
，
故选：．
根据直角三角形的性质求出，根据三角形的外角性质求出，根据对顶角相等求出，再根据三角形的外角性质计算，得到答案．
本题考查的是三角形的外角性质、直角三角形的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，属于基础题．
根据分式有意义，分母不为，二次根式的被开方数是非负数，可以求出的范围．
【解答】
解：根据题意得：
解得：且．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：由图中的尺规作图得：是的平分线，
，
，，
，
，
点为的中点，
，
的周长，
故选：．
由题意得是的平分线，再由等腰三角形的性质得，，由勾股定理得，然后由直角三角形斜边上的中线性质得，求解即可．
本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、尺规作图等知识；熟练掌握尺规作图和等腰三角形的性质，证出是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，三条角平分线的交点是三角形的内心，原命题是假命题，故本选项不符合题意；
B.正立的圆锥的三视图是两个等腰三角形和一个圆带圆心，原命题是假命题，故本选项不符合题意；
C.，
“长度分别是，，的三根木条首尾相接，组成一个三角形”是必然事件，是真命题，故本选项符合题意；
D.已知点在平面直角坐标系的第四象限，则的取值范围是：，原命题是假命题，故本选项不符合题意．
故选：．
选项A根据三角形的外心的定义判断即可；选项B根据圆锥的三视图判断即可；选项C根据三角形的三边关系判断即可；选项D根据第四象限的点的特点判断即可．
此题主要考查了简单几何体的三视图，随机事件，三角形的外接圆与外心以及命题与定理．掌握相关定义是解答本题的关键．
8.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，
，，，
，
，
，
当点在上时，，
当点在线段上时，，
观察图象可知，选项D满足条件，
故选：．
分别求出点在，上，利用三角形面积公式构建关系式，可得结论．
本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围．
9.【答案】
【解析】解：单项式：，，，，，，
第个单项式为，
故选：．
根据题目中的单项式，可以发现系数是一些连续的奇数，的指数是一些连续的整数，从而可以写出第个单项式．
解答本题的关键是明确题意，发现单项式系数和字母指数的变化特点．
10.【答案】
【解析】解：将输入，由于其平方根是，
为有理数，需要再次输入，
得到，为．
故选：．
按照图中的方法计算，当将输入，由于其平方根是，为有理数，故要重新计算，直至为无理数．
本题考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．要注意当得到的数是有理数时，要再次输入，直到出现无理数为止．
11.【答案】
【解析】解：万元万元元，
故答案为：．
将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：观察“馬”移动一次能够到达的所有位置，即用“”标记的有处，
位于“---”图中虚线的上方的有处，
所以“馬”随机移动一次，到达的位置在“---”上方的概率是，
故答案为：．
用“---”图中虚线的上方的黑点个数除以所有黑点的个数即可求得答案．
本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率，难度适中．
13.【答案】
【解析】解：，
，
．
先提取公因数，再利用完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：．
本题主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于需要进行二次分解因式．
14.【答案】且
【解析】解：由题意得：，
，
整理得：．
又，
实数的取值范是且．
故答案是：且．
由题意可得且，然后解不等式即可．
本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．
15.【答案】
【解析】解：当时，
原式
故答案为：
根据整式的运算法则即可求出答案．
本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
16.【答案】
【解析】解：，，，
，，
，，
，
以的值为边数的多边形的内角和为：，
故答案为：．
根据绝对值、算术平方根的非负性求出，的值，再根据多边形的内角和公式求解即可．
此题考查了多边形的内角和及绝对值、算术平方根的非负性，根据绝对值、算术平方根的非负性求出，的值是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：设头牛值金两，只羊值金两．
头牛、只羊共值金两，
；
头牛、只羊共值金两，
．
根据题意可列出方程组．
故答案为：．
设头牛值金两，只羊值金两，根据“头牛、只羊共值金两；头牛、只羊共值金两”，即可列出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：点，点在反比例函数的图象上，
，
；故正确；
如图，过点作于，
，
∽，
，
，
，
同理可证：，
，
又，
∽，
，，故错误，
，故正确；
设点，则点，点，
，，
，
，
∽，
，
，
，故正确；
故答案为：．
由反比例函数的性质可得，可得；故正确；通过证明∽，可得，可证∽，可得，，可证，故正确；故错误；设点，则点，点，可求的值，由相似三角形的性质可求的长，即可判断正确，即可求解．
本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，相似三角形的判定和性质，利用参数表示线段的长是解题的关键．
19.【答案】解：原式
．
【解析】利用零指数幂，绝对值的性质，二次根式的性质，负整数指数幂，特殊锐角三角函数值计算即可．
本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
20.【答案】证明：，
，
，
在和中，
≌，
，
，
，
，
四边形是平行四边形．
【解析】先根据证出≌，从而得到，根据等角的补角相等可得，从而得到，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可求证四边形是平行四边形．
本题主要考查平行四边形的判定，解题的关键在于先通过全等三角形证出．
21.【答案】解：点在反比例函数的图象上，
，解得，
，
设直线解析式为，
则，解得，
直线解析式为；
由知：，
轴，且交轴于点，
，
，
，
，
把代入得：，
，
反比例函数的解析式为；
设，而，
中点，
而在轴上，
，解得，
，，
，
，
面积．
【解析】由点在反比例函数的图象上，得，即，设直线解析式为，即得，故直线解析式为；
由得，把代入反比例函数，即得解析式为；
设，而，故AD中点，即有，解得，可得，，从而可得，，即得面积．
本题考查反比例函数及应用，涉及待定系数法、图象上点坐标特征、三角形面积等知识，解题的关键是熟练运用待定系数法及根据是中点求出的坐标．
22.【答案】解：，；
这组样本数据中，出现了次，出现次数最多，
这组数据的众数为；
将这组数据从小到大排列，其中处于中间的两个数均为，有，
这组数据的中位数是；
由条形统计图可得
这组数据的平均数是．
答：本次调查获取的样本数据的众数是，中位数是，平均数是．
人．
答：估计该校一周的课外阅读时间大于的学生人数约为人．
【解析】【分析】本题考查的是扇形统计图与条形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
根据阅读时间为的人数及所占百分比可得，将时间为小时人数除以总人数可得；
根据众数、中位数、加权平均数的定义计算可得；
将样本中课外阅读时间大于的学生人数所占比例乘以总人数可得．
【解答】解：本次接受随机抽样调查的学生人数为：人，图中的值为；
故答案为：，；
见答案；
见答案．
23.【答案】证明：如图，连接，
是直径，
，
又，
，，
，，
，
，
，
又是半径，
是的切线；
，
，
，，
，
，
，
又，
∽，
，
；
，，
，
，
，
，
，
∽，
，
，，
，
，
，
．
【解析】如图，连接，由圆周角定理可得，由等腰三角形的性质可得，，由三角形中位线定理可得，可证，可得结论；
通过证明∽，可得，可得结论；
由等腰三角形的性质可得，由锐角三角函数可求，由勾股定理可求，由相似三角形的性质可得，即可求解．
本题是圆的综合题，考查了切线的判定和性质，三角形中位线定理，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质等知识，利用相似三角形的性质可求线段的长度是本题的关键．
24.【答案】解：如图中，
四边形是正方形，
，，
，
≌，
，，
，
，
，
．
如图中，连接．
，，，
，，
，
四边形是正方形，
，
，
，，
≌，
，，
，
是等腰直角三角形．
如图中，连接设，则，，，
，，，
，
，，，
≌，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
在中，，
负根已经舍弃，
，，，
∽，
，
，
，
．
【解析】如图中，证明≌，即可解决问题．
如图中，连接想办法证明≌，即可解决问题．
如图中，连接设，则，，，首先证明是等腰直角三角形，利用勾股定理求出即可解决问题．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
25.【答案】解：解方程，
得，，
由，有，，
所以点、的坐标分别为，．
将，的坐标分别代入．
得，
解这个方程组，得，
所以，抛物线的解析式为；
由，令，得，
解这个方程，得，，
所以点的坐标为．
由得点．
过作轴的垂线交轴于
则，
，
，
所以，．
答：点、的坐标和的面积分别是：、、；
设点的坐标为，
因为线段过、两点，
所以所在的直线方程为．
那么，与直线的交点坐标为，
与抛物线的交点坐标为．
由题意分两种情况讨论：
当时，
即，
解这个方程，得或舍去，
此时，点的坐标为；
当时，即，
解这个方程，得或舍去，
此时，点的坐标为；
综上，满足条件的点的坐标为或．
【解析】本题考查一元二次方程的解法，二次函数解析式的确定、图形的面积求法、函数图象交点等知识及综合应用知识、解决问题的能力．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．
通过解方程即可求出、的值，那么、两点的坐标就可求出．然后根据、两点的坐标即可求出抛物线的解析式．
根据得出的抛物线的解析式即可求出、两点的坐标．由于的面积无法直接求出，可用其他图形的面积的“和，差关系”来求出．过作轴于，那么的面积梯形的面积的面积的面积．由此可求出的面积．
设点的坐标为，由于被直线分成的两个小三角形等高，因此面积比就等于底边的比．如果设与的交点为，可根据直线的解析式设出点的坐标，然后表示出，的长．进而可分两种情况进行讨论：当时；当时，分别求出，也就求出了点的坐标．
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