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2024年宁夏中考最后一卷
数学
注意事项：
1．本试卷共有三个大题，分为单项选择题、填空题、解答题，满分120分，考试时间100分钟。
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效。
一、单选题（本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）
1．的相反数是（ ）
A．2024 B．－ C． D．
2．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（　　）
A．a2 a3＝a6 B．（a2）3＝a5
C．﹣a2 ab＝﹣a3b D．a5÷a3＝2
4．观察如图所示的频数分布直方图，其中组界为这一组的频数为（ ）
20名学生每分钟跳绳次数的频数直方图

A．5 B．6 C．7 D．8
5．估计的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间
C．4和5之间 D．5和6之间
6．一把直尺和一把含角的直角三角板按如图所示摆放，已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则下列说法错误的是（ ）
A．，
B．经过一、二、四象限的直线是
C．关于x、y的方程组的解为
D．关于的不等式的解集是
8．如图，正方形的边长为，是边上一点，连接，将绕着点逆时针旋转得到、交于，连接交于，连接，若，，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．4或6
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9．计算： ．
10．如图，已知小正方形的边长为a，大正方形的边长为6，则图中阴影部分面积为 ．（用含a的式子表示）

11．关于的方程有实数根，则的取值范围为 ．
12．七巧板是我国古代的一项发明，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形板、一块正方形板和一块平行四边形板组成．如图，在七巧板铺成的正方形地板上，一个小球自由滚动，则小球停留在阴影部分的概率为 ．
13．如图，四边形内接于，E为延长线上一点，，则的度数是 ．

14．如图，数轴上点，分别表示，2，若点在线段上，且点表示的是一个无理数，则可以是 ．（写出一个）
15．如图1是个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小王按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互不留空隙，那么小王用2024个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是 ．（结果用m，n表示）
16．在方格纸中，选择标有序号的一个小正方形涂黑，与图中阴影构成中心对称图形，涂黑的小正方形序号为 ；若与图中阴影构成轴对称图形，涂黑的小正方形序号为 ．
三、解答题（本题共10小题，其中17-22题每题6分，23、24题每题8分，25、26题每题10分，共72分）
17．（本题6分）计算：
18．（本题6分）仔细观察小明同学解不等式的过程：
解：
∴
(1)第步的依据是______；
(2)第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______；
(3)直接写出该不等式的正确解集______；
(4)要使不等式组的解集只包含一个非负整数解，则在括号里添加的一元一次不等式可以为______；此时不等式组的解集是______；这个不等式组的非负整数解是______．
19．（本题6分）如图，AC是平行四边形ABCD的一条对角线，DE⊥AC，BF⊥AC垂足分别是E、F．
求证：四边形DEBF是平行四边形．
20．（本题6分）修建360米长的一段高速公路，甲工程队单独修建比乙工程队多用10天，甲工程队每天比乙工程队少修建6米．甲工程队每天修建的费用为2万元，乙工程队每天修建的费用为万元．
(1)求甲、乙两个工程队每天各修建多少米；
(2)为在35天内完成修建任务，应请哪个工程队修建这段高速公路才能在按时完成任务的前提下所花费用较少？并说明理由．
21．（本题6分）某生物小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒100毫升后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．
(1)求部分双曲线的函数表达式；
(2)参照上述数学模型，假设某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上能否驾车出行？请说明理由．
22．（本题6分）为助力乡村振兴，某村委会决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高米，坡面的坡度（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），点C、A与河对岸点E在同一水平线上，从山顶B处测得河对岸点E的俯角为．问该河的河宽为多少米？
23．（本题8分）为响应党的“文化自信”号召，某校开展了古诗词诵读大赛，现随机抽取部分同学的成绩进行统计，并绘制成如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图（A表示分，B表示分，C表示分，D表示分，E表示分，每组含前一个边界值，不含后一个边界值），请结合图中提供的信息，解答下列各题：
(1)填空：样本容量是 ，扇形统计图中的 ；
(2)把频数分布直方图补充完整；
(3)如果全校有1200名学生参加这次活动，80分以上（含80分）为优秀，那么估计获得优秀奖的学生有多少人？
24．（本题8分）如图，已知AB是⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CD⊥AB，垂足为D．
（1）求证：∠PCA＝∠ABC；
（2）过点A作AE∥PC交⊙O于点E，交CD于点F，交BC于点M，若∠CAB＝2∠B，CF＝，求阴影部分的面积．
25．（本题10分）如图，抛物线M过点，与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点D的坐标为．
(1)求抛物线M的表达式和点A的坐标；
(2)点F是线段上一动点，求周长的最小值；
(3)平移抛物线M得到抛物线N，已知抛物线N过点D，顶点为P，其对称轴与抛物线M交于点Q，若，直接写出点P的坐标．
26．（本题10分）问题探究

（1）如图1，在四边形中，连接，，，，求的面积；
问题解决
（2）如图2，有一个菱形广场，已知米，，连接．现计划对这个广场进行绿化．在和区域种植绿植，且满足点、、分别在、、上，，，为了节省成本，要求种植绿植的区域面积尽可能的小，问与的面积之和是否存在最小值，若存在，请求出其最小值：若不存在，请说明理由．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页2024年宁夏中考最后一卷
数学参考答案
一、单选题
1．A
【分析】本题主要考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，进行求解即可．
【详解】解： 的相反数是2024，
故选：A．
2．B
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，利用轴对称图形的概念逐一进行识别即可．
【详解】A．不是轴对称图形，该选项不符合题意；
B．是轴对称图形，该选项符合题意；
C． 不是轴对称图形，该选项不符合题意；
D． 不是轴对称图形，该选项不符合题意；
故选：B．
3．C
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【详解】解：（A）原式＝a5，故A错误；
（B）原式＝a6，故B错误；
（D）原式＝a2，故D错误；
故选C．
【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型.
4．D
【分析】用总人数减去其他三组的人数即为所求频数．
【详解】解：由题意得：，
∴组界为这一组的频数为8，
故选：D．
【点睛】本题考查频数分布直方图，能够根据要求读出相应的数据是解决本题的关键．
5．B
【分析】本题主要考查了无理数的估算，先估算出，进而可得．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：B．
6．B
【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据平行线的性质以及即可求解．
【详解】解：如图，
由题意得：，
∴，
∵
∴，
∴，
故选B．
7．D
【分析】此题主要考查了一次函数与方程组和不等式．根据一次函数的性质以及一次函数与方程、不等式的关系分析解答即可．
【详解】解：A、由直线的图象可得随的增大而增大，故，直线与轴的交点在轴的正半轴，故，说法正确，故本选项不符合题意；
B、直线经过的象限是一、二、四，说法正确，故本选项不符合题意；
C、当时，，解得，则，
所以关于、的方程组的解为，说法正确，故本选项不符合题意；
D、关于的不等式的解集是，原说法错误，故本选项符合题意．
故选：D．
8．C
【分析】将绕点逆时针旋转，得到，得出，，证明，得出，根据得出，进而得出，，根据，建立方程，解方程即可求解．
【详解】解：如图所示，将绕点逆时针旋转，得到
∴，，
∵将绕着点逆时针旋转得到
∴
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴
∵
∴
在中，
∴
∴，
设，则，
∵
∴
∵
∴
即
解得：
∴
∴
∵
∴
解得：（舍去）
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，正切的定义，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
二、填空题
9．3
【分析】先通分，再利用分式的加法法则和分式的化简即可求解．
【详解】解：原式=
=
=
=；
故答案为3．
【点睛】本题考查了分式的加法和化简，解题关键是掌握分式的加法（异分母的分式相加减，先通分，再将分子加减）与化简．
10．
【分析】本题主要考查了求阴影部分面积，以及用代数式表示式，根据阴影部分面积等于两个正方形的面积减去两个白色三角形的面积计算即可．
【详解】解：根据题意：
两个正方形的面积之和为：，
一个小白三角形和一个大白三角形的面积之和为：，
∴阴影部分面积为：．
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据根的判别式大于或等于零求解即可．
【详解】解：由题意得，，
．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查几何概率的求法．根据几何概率的求法：小球停留在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
【详解】解：设总面积为16，则其中阴影部分面积为，
小球停留在阴影部分的概率是．
故答案为：．
13．/128度
【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质．根据圆的内接四边形的性质以及圆周角定理求解即可．
【详解】解：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案：．
14．
【分析】此题考查实数与数轴，根据无理数的估算方法得到在和之间的整数的范围，据此确定无理数即可，正确掌握无理数的估算方法是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴点表示的在和2之间的无理数可以是等，
故答案为：．
15．
【分析】先分别求出用1、2、3、4个这样的图形拼出来的图形的总长度，再归纳类推出一般规律，由此即可得出答案．本题考查了整式与图形的规律型问题，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
【详解】由题意，用1个这样的图形拼出来的图形的总长度为，
用2个这样的图形拼出来的图形的总长度为，
用3个这样的图形拼出来的图形的总长度为，
用4个这样的图形拼出来的图形的总长度为，
则用2024个这样的图形拼出来的图形的总长度为，
故答案为：．
16． ② ⑤或⑥或⑦
【分析】根据轴对称图形与中心对称的定义找到答案．
【详解】当涂黑②时,将图形绕O旋转180°,与原图重合,阴影部分为中心对称图形,故答案为②.
当涂黑⑤⑥⑦时,与阴影部分组成轴对称图形.故答案为⑤⑥⑦.
【点睛】本题主要考查了利用旋转设计图案,解决本题主要关键是要熟练正确把握中心对称图形的性质.
三、解答题
17．
【分析】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
先化简各式，然后再进行计算即可解答；
【详解】解：
．
18．(1)不等式的基本性质（或“不等式两边都乘以同一个正数，不等号方向不变”）；
(2)；不等式两边都乘以，不等号方向没有改变；
(3)；
(4)（答案不唯一）；（答案不唯一）；（答案不唯一）．
【分析】（）根据不等式的基本性质或“不等式两边都乘以同一个正数，不等号方向不变”即可；
（）根据不等式的基本性质或“不等式两边都乘以同一个负数，不等号方向改变”即可；
（）根据不等式的基本性质或“不等式两边都乘以同一个负数，不等号方向改变”即可求解；
（）根据不等式的解集，再根据不等式组的解集只包含一个非负整数解解答即可，
本题考查了解一元一次不等式以及解一元一次不等式组，掌握不等式的性质以及解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键．
【详解】（1）不等式的基本性质或“不等式两边都乘以同一个正数，不等号方向不变”
故答案为：不等式的基本性质或“不等式两边都乘以同一个正数，不等号方向不变”
（2）根据不等式的性质可知第五步出现错误，这一步错误的原因是不等式两边都乘以，不等号方向没有改变；
故答案为：，不等式两边都乘以，不等号方向没有改变；
（3），
∴，
故答案为：；
（4）由得，
∵不等式组的解集只包含一个非负整数解，
∴在括号内添加的一元一次不等式可以为，
∴不等式组的解集为，
则这个不等式组的非负整数解是，
故答案为：（答案不唯一）；（答案不唯一）；（答案不唯一）．
19．见解析
【分析】利用平行四边形的性质可得 ，再由DE⊥AC，BF⊥AC，可得 ， ，可证 ，从而得到 ，即可求证．
【详解】解：∵AC是平行四边形ABCD的一条对角线，
∴ ， ，
∴ ，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴ ， ，
在 和 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形DEBF是平行四边形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握平行四边形的性质定理和判定定理是解题的关键．
20．(1)甲工程队每天修建12米，则乙工程队每天修建18米
(2)甲工程队所花费用较少；理由见解析
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程，准确计算．
（1）设甲工程队每天修建x米，则乙工程队每天修建米，根据甲工程队单独修建比乙工程队多用10天，列出方程，解方程即可；
（2）分别求出两个工程队完成任务需要的时间和费用，然后进行比较即可．
【详解】（1）解：设甲工程队每天修建x米，则乙工程队每天修建米，根据题意得：
，
解得：，（舍去），
（天），
答：甲工程队每天修建12米，则乙工程队每天修建18米．
（2）解：甲工程队修建时间为：（天），需要花费：
（万元），
乙工程队修建时间为：（天），需要花费：
（万元），
∵，
∴两个工程队都能在天内完成，
∵，
∴甲工程队所花费用较少．
21．(1)
(2)不能，理由见解析
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是利用待定系数法求出反比例函数解析．
（1）先用待定系数法求出正比例函数解析式，然后求出，从而得出，再求出反比例函数解析式即可；
（2）求出当时，，然后进行判断即可．
【详解】（1）解：依题意，设的解析式为，将点代入得：，
解得：，
，
当时，，即，
∴，
设双曲线的解析式为，将点代入得：，
；
（2）解：不能，理由如下
在中，当时，，
从晚上到第二天早上时间间距为13小时，
，
第二天早上不能驾车出行．
22．60米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．先根据坡度求出，然后解求出，即可求解．
【详解】解：∵山高米，坡面的坡度，
∴，
解得米，
∵，，
∴，
∴米，
∴米，
即该河的河宽为60米．
23．(1)50，30
(2)见解析
(3)600人
【分析】本题考查了频数分布直方图，扇形统计图，样本容量，用校本估计总体数量，画频数分布直方图；
（1）由E组扇形圆心角，可求得其占比，进而由E组频数即可求得样本容量；由D组频数及求得样本容量即可求得a的值；
（2）由频数分布直方图及所求样本容量，即可求得C组的频数，从而补充完整频数分布直方图；
（3）优秀生的占比与全校学生数的乘积即可求解．
【详解】（1）解：，，，
∴，
故答案为：50，30；
（2）解：C组的频数为：，
补充的频数分布直方图如下：
（3）解：（人），
即估计获得优秀奖的学生有600人．
24．（1）详见解析；（2）.
【分析】（1）如图，连接OC，利用圆的切线的性质和直径对应的圆周角是直角可得∠PCA=∠OCB，利用等量代换可得∠PCA=∠ABC.
（2）先求出△OCA是等边三角形，在利用三角形的等边对等角定理求出FA=FC和CF=FM,然后分别求出AM、AC、MO、CD的值，分别求出、 、 的值，利用，然后通过计算即可解答.
【详解】解：（1）证明：连接OC，如图，
∵PC切⊙O于点C，∴OC⊥PC,
∴∠PCA+∠ACO=90 ,
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ACO+OCB=90
∴∠PCA=∠OCB,
∵OC=OB,∴∠OBC=∠OCB,
∴∠PCA=∠ABC；
（2）连接OE，如图，
∵△ACB中，∠ACB＝90 ,∠CAB＝2∠B,
∴∠B＝30 ,∠CAB＝60 ,∴△OCA是等边三角形，
∵CD⊥AB,∴∠ACD+∠CAD＝∠CAD＋∠ABC＝90 ,
∴∠ACD＝∠B＝30 ,
∵PC∥AE,∴∠PCA＝∠CAE＝30 ,∴FC=FA,
同理，CF＝FM,∴AM＝2CF=,
Rt△ACM中，易得AC=×=3＝OC,
∵∠B＝∠CAE＝30 ,∴∠AOC=∠COE=60 ,
∴∠EOB=60 ,∴∠EAB=∠ABC=30 ,∴MA=MB,
连接OM,EG⊥AB交AB于G点，如图所示，
∵OA=OB,∴MO⊥AB,∴MO＝OA×tan30 = ,
∵△CDO≌△EDO(AAS)，
∴EG=CD=AC×sin60 =，
∴,
同样，易求，
∴=.
【点睛】本题考查了切线的性质、解直角三角形、扇形面积和识图的能力，综合性较强，有一定难度，熟练掌握定理并准确识图是解题的关键.
25．(1)，
(2)最小值为
(3)P的坐标为或
【分析】（1）利用待定系数法求出表达式然后求出点A的坐标即可；
（2）首先得到直线的表达式为：，作E关于的对称点，则，设垂足为G，则点G为E与的中点，勾股定理求出，，进而求解即可；
（3）抛物线N由抛物线M平移得到，求出抛物线N的表达式为，得到顶点P的坐标为，，作于H，则，在中，，得到，进而列方程求解即可．
【详解】（1）∵顶点D的坐标为，
设二次函数表达式为
将点代入得
∴抛物线M的表达式为：
当时，或1，
∵点A在点B左侧，
∴点A的坐标为；
（2）当时，，
∴点C的坐标为
∴设直线的表达式为：
故解得
∴
作E关于的对称点，则，设垂足为G，则点G为E与的中点
∴点G的横坐标为
将代入得，
∴点G的坐标为，
∴点的坐标为
∵，，
∴，
∴
即周长的最小值为；
（3）∵抛物线N由抛物线M平移得到，设抛物线N的表达式为
将点代入得：，
∴抛物线N的表达式为
∴顶点P的坐标为，
将代入，，
∴，
作于H，则，
∵
∴点H为点P和点Q的中点，
∴
∴
又∵
∴
在中，
∴，
∴
或
∴解第一个方程可得（舍），
解第二个方程可得（舍），
将代入P点坐标，
P的坐标为或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及到的知识点有二次函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质、待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，并灵活运用分类讨论及数形结合的思想分析解决问题是解题的关键．
26．（1）24；（2）存在，平方米
【分析】（1）过点作于点，根据等腰直角三角形的性质可知，，由勾股定理可得，根据三角形的面积可得出的面积，进而可得出的面积；
（2）由菱形的性质及等腰三角形的判定可知的面积的面积，的面积的面积，由此可列出阴影部分面积，再利用二次函数的性质可得出结论．
【详解】解：（1）如图，过点作于点，

，，
，
，
，
．
（2）存在，理由如下：
在菱形中，，，，
，
，，
，，且，
，，四边形是平行四边形，
，，
，，
和是等腰三角形，
设米，则米，米，
，，
，
，
当时，与的面积之和最小为平方米．
当时，与的面积之和最小为平方米．
【点睛】本题在几何背景下考查二次函数的性质，涉及考查等腰三角形的性质与判定，三角形的面积，平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定等相关知识，设出参数，正确表达三角形的面积是解题关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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