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3.1 函数的概念及其表示
3.1.1 函数的概念
1.在初中我们学习了哪几种基本函数？其函数解析式分别是什么？
复习引入：
2.初中对函数是怎样定义的？
在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
正比例函数： ；
反比例函数： ；
一次函数： ；
二次函数： .
思考 有人说：“根据对应关系S=350t，这趟列车加速到350km/h后，运行1小时就前行了350km.”你认为这个说法正确吗？
问题1 某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时. 这段时间内，列车行进的路程S(单位：km)与运行时间t(单位：h)的关系可以表示为S=350t. 这里，t和S是两个变量，而且对于t的每一个确定的值，S都有唯一确定的值与之对应，所以S是t的函数.
这个说法正确显然是不正确的，因为对应关系S=350t是针对列车以350km/h运行半个小时的行驶状态，运行半个小时以后的行驶情况是无法确定的，所以不能确定运行1个小时列车行驶情况.
错误原因是没有关注变量t的变化范围.
问题1中S与t的函数关系正确描述：S=350t(0≤t≤0.5)①
变量t的变化范围是数集A1={t| 0≤t≤0.5}，
变量S的变化范围是数集B1={S| 0≤S≤175}
对于数集A1中任一时刻t，按照对应关系①，在数集B1中都有唯一确定的路程S和它对应.
思考 问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一函数吗？为什么？
问题2 某电器维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天. 如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个人的工资w(单位：元)是他工作天数d的函数吗？
解：显然工资w是工作天数d的函数，其对应关系为：w=350d ②
其中，d的变化范围是数集A2={1,2,3,4,5,6}，
w的变化范围是数集B2={350,700,1050,1400,1750,2100}.
对应数集A2中的任一个工作天数d，按照对应关系②，在数集B2中都有唯一确定的工资w与它对应.
不是同一函数，因为变量的取值范围不同.
问题3 下图是北京市2016年11月23日的空气质量指数(简称AQI)变化图. 如何根据该图确定这一天内任一时刻th的空气质量指数的值I？你认为这里的I是t的函数吗？
解：是函数. 因为变量t的变化范围是数集A3={t|0≤t≤24}，I的变化范围是数集B3={I|0思考 你能根据变化图找到中午12时的AQI的值？
思考 你认为按上表给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？
解：是函数. 因为变量y的变化范围是数集A4={2006,…,2015}，r的变化范围是数集B4={r|0问题4 国际上常用恩格尔系数r( =食物支出金额/总支出金额× %)反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高. 下表是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高.
上述问题的共同特征有:
【归纳】上述问题1～问题4中的函数有哪些共同特征？由此你能概括出函数概念的本质特征吗？
事实上，除解析式、图象、表格外，还有其他表示对应关系的方法. 为了表示方便，我们引进符号f统一表示对应关系.
(1)都包含两个非空数集，用A,B来表示；
(2)都有一个对应关系；
(3)尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：
对于数集A中的任意一 个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应．
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A.
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做值域.
一、函数的定义：
显然，值域是集合B的子集.
(1) A, B 都是非空数集；
(2) f : A →B确定了集合A到集合B上的函数;
(3) 函数的定义域为 A,值域为{f(x)|x∈A} B,而值域{f(x)|x∈A}由定义域、对应关系确定，定义域，对应关系，值域是函数的三要素;
(4) 符号y=f(x)的理解：
① y=f(x)为“y是x的函数”的数学表示,仅是一个函数符号, f(x)不是f与x相乘,例如：y=3x+1可以写成 f(x)= 3x+1,当x=2时y=7可以写成f(2)=7；
② f是对应关系, 它可以是一个或几个解析式,可以是图象,表格, 也可以是文字描述，不同函数中f 的具 体含义不一样.
(5) “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”“y=h(x)”.
对函数概念的理解：
当a为常数时，f(a)表示的是自变量x=a时对应的函数值，是一个常数. 而f(x)是一个随x变化而变化的变量.
(6)与f(a)(a为常数)的区别与联系：
总结：
1. 判断所给的对应关系是否为函数的方法
(1)先观察两个数集A，B是否非空；
(2)验证对应关系下，集合A中x的任意性，集合B中y的唯一性．
2. 根据图形判断对应关系是否为函数的步骤
(1)任取一条垂直于x轴的直线l；
(2)在定义域内平行移动直线l；
(3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．
二、已学函数的定义域和值域：
例1 函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映的两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律. 例如，正比例函数y=kx(k≠0)可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系、一定密度的物体的质量与体积的关 系、圆的周长与半径的关系等.
试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y=x(10-x)来描述.
解: 把y=x(10-x)看成二次函数，那么它的定义域是R，值域是B={y|y≤25}.
对应关系f把R中的任意一个数x，对应到B中唯一确定的数x(10-x).
如果对x的取值范围作出限制，例如x∈{x | 0长方形的周长为20，设一边长为x，面积为y，那么y＝x(10-x)，其中x的取值范围是A={x｜0P63练习1～4.
1. 一枚炮弹发射后，经过26 s落到地面击中目标. 炮弹的射高为845 m，且炮弹距地面的高度h (单位: m)与时间t (单位: s)的关系为
h=130t-5t2. ①
求①所表示的函数的定义域与值域，并用函数的定义描述这个函数.
解：定义域为A={t | 0≤t≤26}，
值域为B={h | 0≤h≤845}.
对应关系h=130t- 5t2把集合A中的任意一个数t，对应到集合B中唯一确定的数 130t- 5t2.
2. 2016年11月2日8时至次日8时(次日的时间前加0表示)北京的温度走势如图所示.
(1)求对应关系为图中曲线的函数的定义域与值域；
(2) 根据图象，求这一天12时所对应的温度.
解：(1) 如果记2016年11月2日8时为0，依次下去，11月3日8时为24，那么函数的定义域为A={t| 0≤t≤24}，值域为B={S | 2≤S≤12}.
(2) 9.33 ℃ .
3. 集合A，B与对应关系f如下图所示:
f : A→B是否为从集合A到集合B的函数 如果是，那么定义域、值域与对应关系各是什么
解：f: A→B是从集合A到集合B的函数，
定义域为A={1, 2, 3, 4, 5}；
值域为B={2, 3, 4, 5}；
对应关系f为问题中的Venn图.
4. 构建一个问题情境，使其中的变量关系能用解析式 来描述.
解：设边长为y的正方形面积为x，正方形周长不超过100，
那么y是x的函数，定义域是A={x|0对应关系 f 为 ，它使长方形的面积x与它的边长 相对应.
归 纳 小 结 强 化 思 想
设a,b是两个实数，而且a(1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为 [a,b]
(2)满足不等式a(3)满足不等式a≤x二、区间的概念：
这里的实数a，b叫做相应区间的端点.
实数集R可表示为(-∞，+∞),“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作负无穷大，“+∞”读作正无穷大.
(4)满足不等式x≥a的实数x的集合可表示为 [a,+∞)；
(5)满足不等式x>a的实数x的集合可表示为 (a, +∞)；
(6)满足不等式x≤b的实数x的集合可表示为 (-∞,b].
(7)满足不等式xx >a
x区间的几何表示：
在数轴上表示时，应注意闭区间端点用实心点，开区间端点用空心点.
a
b
a
b
a
b
a
b
a
a
b
b
注意：
3. 定义域、值域、不等式解集等经常用区间表示；
2. 区间只能表示连续的数集；
4. 实心点表示包括区间内的端点，空心点表示不包括端点；
1. 区间(a,b),必须有b>a；
5. 以“－∞”或“＋∞”为区间的一端时，这一端必须是小括号.
练习 试用区间表示下列实数集合：
（1）{x|5 ≤ x<6}
（2）{x|x ≥9}
（3）{x|x ≤ -5}∪{x| -1≤ x<2}
(4) {x|x≤3,且x≠-1}
例2 已知函数
(1)求函数的定义域；
(2)求 的值；
(3)当a>0时，求f(a)，f(a－1)的值.
解：
P67练习1,2
解：
P67练习1,2
解：
例题 (1) 已知函数f(x)的定义域为(2,5)，求函数f(x+3)的定义域;
(2) 已知函数f(x+3)的定义域为(-1,2)，求函数f(x)的定义域;
(3) 已知函数f(x+1)的定义域为(1,2)，求函数f(x-1)的定义域.
（1）任何一个函数的定义域都是指x的取值集合；
（2）同一对应关系f下的取值范围相同，即括号内的式子的取值范围相同.
抽象函数定义域问题：
【变式】1.已知函数f(x)的定义域为[-1,1]，求函数f(2x+1)的定义域.
2.已知函数f(2x-1)的定义域为[-3,3],求函数f(x)的定义域.
3.已知函数f(x-2)的定义域为[-1,1],求函数f(2x+1)的定义域.
思考 构成一个函数的要素由哪些？如果给定函数的定义域和对应关系，那么函数的值域确定吗？两个函数相等的条件是什么？
一个函数构成的要素为：定义域、对应关系、值域；　　　
如果两个函数的定义域相同，对应关系完全一致，那么这两个函数是同一个函数.
如果给定函数的定义域和对应关系，那么函数的值域是确定的，因为函数的值域由函数的定义域和对应关系决定的.
解：（1）定义域不同，故不是同一函数；
（2）是同一函数；
（3）对应关系不同，即值域不同，故不是同一函数；
（4）定义域不同，故不是同一函数.
P67练习3
解：(1)不相同.
因为前者的定义域为[0, 26]， 而后者的定义域为R.
(2)不相同.
因为前者的定义域为R，而后者的定义域为(-∞, 0)∪(0, +∞).
3. 判断下列各组中的函数是否为同一个函数，并说明理由:
(1)表示炮弹飞行高度h与时间t关系的函数h=130t-5t2和二次函数y= 130x-5x2;
(2) f(x)=1和g(x)=x0.
A
定义域不同
定义域不同
定义域不同
小结:
2.函数的三要素：
定义域A
值域B
对应法则f
定义域
对应法则
值域
1. 函数的概念：设A, B是非空数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟一确定的数f(x)和它对应，那么就称f : A B为从集合A到集合 B的函数.
3.会求简单函数的定义域和函数值；
4.理解区间是表示数集的一种方法,会把不等式转化为区间.

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