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祁阳市2024年中考第二次模拟考试
九年级数学（试题卷）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；请将你认为正确的选项填涂到答题卡上）
1. 某班期末考试数学的平均成绩是83分，小亮得了90分，记作分，小英的成绩记作分，表示得了（　　）分．
A. 86 B. 83 C. 87 D. 80
2. 下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A B. C. D.
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 辽宁舰是中国人民海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰，满载排水量为67500吨，这个数据用科学记数法表示为（ ）
A. 6.75×103吨 B. 6.75×104吨 C. 0.675×105吨 D. 67.5×103吨
5. 榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传奇；凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，下图是某个部件“卯”的实物图，它的主视图是（　　）
A. B. C. D.
6. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
7. 下列说法正确的是（ ）
A. 甲 乙两人10次测试成绩的方差分别是，则乙的成绩更稳定
B. 某奖券的中奖率为，买100张奖券，一定会中奖1次
C. 要了解神舟飞船零件质量情况，适合采用抽样调查
D. 是不等式的解，这是一个必然事件
8. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，已知抛物线的对称轴是直线，直线轴，且交抛物线于点，，下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. 若实数，则 D. 当时，
10. 如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（ ）
A. B. C. D. 4
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分；请将答案填在答题卡的答案栏内）
11. 因式分解：_______________________．
12. 在“庆五四·展风采”演讲比赛中，7位同学参加决赛，演讲成绩依次为：77，80，79，77，80，79，80．这组数据的众数是______．
13. 不等式组的解集为___________．
14. 抛物线的顶点坐标是________．
15. 如图，内接于，是的直径，点是上一点，，则________．
16. 用半径为21 cm，圆心角为120°的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为______cm．
17. 如图，点在双曲线上，将直线向上平移若干个单位长度交轴于点，交双曲线于点．若，则点的坐标是___________．
18. 如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，矩形，B点坐标为，A、C分别在y轴、x轴上；若D点坐标为，连结，点E、点F分别从A点、B点出发，在上相向而行，速度均为1个单位/每秒，当E、F两点相遇时，两点停止运动；过E点作交x轴于H点，交y轴于G点，连结、，在运动过程中，最大面积为______．
三、解答题（本大题共8个小题，共66分，解答题要求写出证明步骤或解答过程）
19. 计算：
20. 先化简，再求值：，其中．
21. 指向五育并举的过程性评价是新时代教育改革与发展的重大命题．党的二十大报告指出：“全面贯彻党的教育方针，落实立德树人根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人．某初中学校为加强劳动教育，开设了劳动技能培训课程．为了解培训效果，学校对七年级名学生在培训前和培训后各进行一次劳动技能检测，两次检测项目相同，评委依据同一标准进行现场评估，分成“合格”、“良好”、“优秀”3个等级，依次记为2分、6分、8分（比如，某同学检测等级为“优秀”，即得8分）．学校随机抽取名学生的2次检测等级作为样本，绘制成下面的条形统计图：
（1）这名学生在培训前得分的中位数对应等级应为 ；（填“合格”、“良好”或“优秀”）
（2）求这名学生培训后比培训前的平均分提高了多少？
（3）利用样本估计该校七年级学生中，培训后检测等级为“良好”与“优秀”的学生人数之和是多少？
22. 2022年7月19日亚奥理事会宣布将于2023年9月23日至10月8日在杭州举办第19届亚运会，吉祥物为“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”，如图，某校准备举行“第19届亚运会”知识竞赛活动，拟购买30套吉祥物（“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”）作为竞赛奖品．某商店有甲，乙两种规格，其中乙规格比甲规格每套贵20元．
（1）若用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同，求甲、乙两种规格每套吉祥物的价格；
（2）在（1）的条件下，若购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？
23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，与y轴交于点C，连接，．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）请根据图象直接写出不等式的解集．
24. 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）．（参考数据：，，，）
（1）求屋顶到横梁距离；
（2）求房屋的高（结果精确到）．
25. 如图，在中，是一条不过圆心的弦，点，是的三等分点，直径交于点，连结交于点，连结，过点的切线交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，求的值；
（3）连结交于点，若的半径为5．
①若，求的长；
②若，求的面积．
26. 定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如都是“纵三倍点”．
（1）下列函数图象上只有一个“纵三倍点”的是______；（填序号）
①；②；③．
（2）已知抛物线（均为常数）与直线只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线的解析式；
（3）若抛物线（是常数，）的图象上有且只有一个“纵三倍点”，令，是否存在一个常数，使得当时，的最小值恰好等于，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．祁阳市2024年中考第二次模拟考试
九年级数学（试题卷）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；请将你认为正确的选项填涂到答题卡上）
1. 某班期末考试数学的平均成绩是83分，小亮得了90分，记作分，小英的成绩记作分，表示得了（　　）分．
A. 86 B. 83 C. 87 D. 80
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查正负数的概念，关键是掌握正负数表示的实际意义．由正负数的概念可计算．
【详解】解：平均成绩是83分，小亮得了90分，记作分，小英的成绩记作分，
则
表示得了80分，
故选：D．
2. 下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A、既轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了幂的运算、合并同类项、平方差公式等知识，根据运算法则和乘法公式计算后即可得到答案．
【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意；
B．，故选项错误，不符合题意；
C．，故选项正确，符合题意；
D．与不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意．
故选：C．
4. 辽宁舰是中国人民海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰，满载排水量为67500吨，这个数据用科学记数法表示为（ ）
A. 6.75×103吨 B. 6.75×104吨 C. 0.675×105吨 D. 67.5×103吨
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于67500有5位，所以可以确定n=5-1=4．
【详解】67 500=6.75×104．
故选B．
【点睛】考查科学记数法表示较大的数的方法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数,其中解题关键是确定a与n值是关键．
5. 榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传奇；凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，下图是某个部件“卯”的实物图，它的主视图是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据主视图是从前向后观察到的图形，进行判断即可．
【详解】解：由题意，得：“卯”的主视图为：
故选C．
【点睛】本题考查三视图，熟练掌握三视图的画法，是解题的关键．
6. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键．
7. 下列说法正确的是（ ）
A. 甲 乙两人10次测试成绩的方差分别是，则乙的成绩更稳定
B. 某奖券的中奖率为，买100张奖券，一定会中奖1次
C. 要了解神舟飞船零件质量情况，适合采用抽样调查
D. 是不等式的解，这是一个必然事件
【答案】D
【解析】
【分析】根据方差的意义，概率的意义，抽样调查与普查，不等式的解与必然事件的定义逐项分析判断
【详解】解：A. 甲 乙两人10次测试成绩的方差分别是，则甲的成绩更稳定，故该选项不正确，不符合题意；
B. 某奖券的中奖率为，买100张奖券，可能会中奖1次，故该选项不正确，不符合题意；
C. 要了解神舟飞船零件质量情况，适合采用全面调查
D.解：，
，
解得：，
∴是不等式的解，这是一个必然事件，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了方差的意义，概率的意义，抽样调查与普查，不等式的解与必然事件的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
8. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设有x人，根据车的辆数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：设有x人，根据车的辆数不变列出等量关系，
每3人共乘一车，最终剩余2辆车，则车辆数为：，
每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，则车辆数为：，
∴列出方程为：．
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
9. 如图，已知抛物线对称轴是直线，直线轴，且交抛物线于点，，下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. 若实数，则 D. 当时，
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，数形结合思想等知识，掌握二次函数图象的性质是解题关键．
根据函数图象可知，由此可判断出A；根据抛物线的对称轴可得出，也可得出函数的最小值，在处取到，由此可判断C；令，则，即抛物线与轴交于点，根据函数图象可直接判断D；C没有直接条件判断．
【详解】解：根据函数图象可知，根据抛物线的对称轴公式可得，
，
，
∴，．故A正确，不符合题意；
∵函数的最小值在处取到，
∴若实数，则，即若实数，则．故C正确，不符合题意；
∵轴，
，
令，则，即抛物线与轴交于点，
∴当时，．
∴当时，．故D正确，不符合题意；
，
∴，没有条件可以证明．故B错误，符合题意；
故选：B．
10. 如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】由作图可知平分，设与交于点O，与交于点R，作于点Q，根据角平分线的性质可知，进而证明，推出，设，则，解求出．利用三角形面积法求出，再证，根据相似三角形对应边成比例即可求出．
【详解】解：如图，设与交于点O，与交于点R，作于点Q，
矩形中，，
，
．
由作图过程可知，平分，
四边形是矩形，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
．
．
，
．
，，
，
，即，
解得．
故选A．
【点睛】本题考查角平分线的作图方法，矩形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，涉及知识点较多，有一定难度，解题的关键是根据作图过程判断出平分，通过勾股定理解直角三角形求出．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分；请将答案填在答题卡的答案栏内）
11. 因式分解：_______________________．
【答案】
【解析】
【分析】先提公因式，再用平方差公式分解．
【详解】解：
【点睛】本题考查因式分解，掌握因式分解方法是关键．
12. 在“庆五四·展风采”的演讲比赛中，7位同学参加决赛，演讲成绩依次为：77，80，79，77，80，79，80．这组数据的众数是______．
【答案】80
【解析】
【分析】本题考查了众数，一组数据中出现的次数最多的数是这组数据的众数．
根据众数的概念求解即可．
【详解】解：这组数据出现次数最多的数是：80，
故众数是80．
故答案为：80．
13. 不等式组的解集为___________．
【答案】
【解析】
【分析】分别解两个不等式，再取两个解集的公共部分即可．
【详解】解：，
由①得：，
由②得：，
∴不等式组的解集为：；
故答案为：
【点睛】本题考查的是一次不等式组的解法，掌握一元一次不等式组的解法步骤与方法是解本题的关键．
14. 抛物线的顶点坐标是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，熟记的顶点坐标为是解题的关键．根据二次函数顶点式的性质，即可得出答案．
【详解】解：的顶点坐标为．
故答案为：．
15. 如图，内接于，是的直径，点是上一点，，则________．
【答案】35
【解析】
【分析】由同弧所对的圆周角相等，得再根据直径所对的圆周角为直角，得，然后由直角三角形的性质即可得出结果．
【详解】解：是所对的圆周角，
是的直径，
，
在中，，
故答案为: ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，以及直角三角形的性质，利用了转化的思想，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．
16. 用半径为21 cm，圆心角为120°的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为______cm．
【答案】7
【解析】
【分析】本题考查了扇形的弧长和围成圆锥的底面圆的周长的关系，熟知扇形的弧长等于底面圆的周长是解本题的关键．
设底面圆的半径为r，根据扇形的弧长等于底面圆的周长列出方程，进而得出底面圆半径．
【详解】解：设底面圆的半径为r，
根据题意可得：，
解得：，
∴底面圆的半径为7cm，
故答案为：7．
17. 如图，点在双曲线上，将直线向上平移若干个单位长度交轴于点，交双曲线于点．若，则点的坐标是___________．
【答案】
【解析】
【分析】求出反比例函数解析式，证明，过点作轴的垂线段交轴于点，过点作轴的垂线段交轴于点，通过平行线的性质得到，解直角三角形求点的横坐标，结合反比例函数解析式求出的坐标，即可解答．
【详解】解：把代入，可得，解得，
反比例函数解析式，
如图，过点作轴的垂线段交轴于点，过点作轴的垂线段交轴于点，
，
，
，
，
将直线向上平移若干个单位长度交轴于点，
,
在中，，
，
即点C的横坐标为，
把代入，可得，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，一次函数的平移，解直角三角形，熟练求得点的横坐标是解题的关键．
18. 如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，矩形，B点坐标为，A、C分别在y轴、x轴上；若D点坐标为，连结，点E、点F分别从A点、B点出发，在上相向而行，速度均为1个单位/每秒，当E、F两点相遇时，两点停止运动；过E点作交x轴于H点，交y轴于G点，连结、，在运动过程中，的最大面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】先求直线的解析式，进而设直线的解析式为，得出，即，利用得出，根据二次函数求最值的方法求解即可．
【详解】解：∵矩形，B点坐标为，
，
，
设直线的解析式为，
把D点坐标为代入，得，
解得，
∴直线的解析式为，
∵，
∴设直线的解析式为，
∴，
当时，，
，
，
，
，
，
，
，
∴的最大面积为，
故答案为: ．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上的点的坐标特征，矩形的性质，二次函数的最值，熟练掌握知识点是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共66分，解答题要求写出证明步骤或解答过程）
19. 计算：
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂，立方根．根据特殊角的三角函数值，零指数幂，立方根的性质计算即可．
【详解】解：
．
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了分式化简求值，先通分括号内，再运算除法，然后化简得出，最后把代入进行计算，即可作答．
【详解】解：
，
原式 ．
21. 指向五育并举的过程性评价是新时代教育改革与发展的重大命题．党的二十大报告指出：“全面贯彻党的教育方针，落实立德树人根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人．某初中学校为加强劳动教育，开设了劳动技能培训课程．为了解培训效果，学校对七年级名学生在培训前和培训后各进行一次劳动技能检测，两次检测项目相同，评委依据同一标准进行现场评估，分成“合格”、“良好”、“优秀”3个等级，依次记为2分、6分、8分（比如，某同学检测等级为“优秀”，即得8分）．学校随机抽取名学生的2次检测等级作为样本，绘制成下面的条形统计图：
（1）这名学生在培训前得分的中位数对应等级应为 ；（填“合格”、“良好”或“优秀”）
（2）求这名学生培训后比培训前的平均分提高了多少？
（3）利用样本估计该校七年级学生中，培训后检测等级为“良好”与“优秀”的学生人数之和是多少？
【答案】（1）合格 （2）这名学生培训后比培训前的平均分提高了分
（3）培训后检测等级为“良好”与“优秀”的学生人数之和是
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
（1）中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数的平均数为这组数据的中位数．
（2）根据条形统计图数据计算即可．
（3）用样本估计总体即可．
【小问1详解】
由题意得，这名学生在培训前得分的中位数对应等级应为合格．
故答案为：合格．
【小问2详解】
培训前的平均分：（分）；
培训后的平均分：（分）；
培训后比培训前的平均分提高了分．
【小问3详解】
样本中培训后“良好”的比例为：；
样本中培训后“优秀”的比例为：；
培训后检测等级为“良好”与“优秀”的学生人数之和是．
22. 2022年7月19日亚奥理事会宣布将于2023年9月23日至10月8日在杭州举办第19届亚运会，吉祥物为“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”，如图，某校准备举行“第19届亚运会”知识竞赛活动，拟购买30套吉祥物（“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”）作为竞赛奖品．某商店有甲，乙两种规格，其中乙规格比甲规格每套贵20元．
（1）若用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同，求甲、乙两种规格每套吉祥物的价格；
（2）在（1）的条件下，若购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？
【答案】（1）甲规格吉祥物每套价格为70元，乙规格每套为90元
（2）乙规格购买10套、甲规格购买20套总费用最少
【解析】
【分析】（1）根据等量关系：700元购买甲规格数量900元购买乙规格的数量，列出方程求解即可；
（2）设乙规格购买套，根据题意列出总费用与所满足的关系式为一次函数，再求出的取值范围，用一次函数的增减性可求解．
【小问1详解】
解：设甲规格吉祥物每套价格元，则乙规格每套价格为元，
根据题意，得，
解得．
经检验，是所列方程的根，且符合实际意义．
．
答：甲规格吉祥物每套价格为70元，乙规格每套为90元．
【小问2详解】
解：设乙规格购买套，甲规格购买套，总费用为元
根据题意，得
，
解得，
，
，
随的增大而增大．
当时，最小值．
故乙规格购买10套、甲规格购买20套总费用最少．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式及一次函数的应用，根据实际意义找出所含的等量关系，并正确列出分式方程及一次函数是解题的关键．
23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，与y轴交于点C，连接，．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）请根据图象直接写出不等式的解集．
【答案】（1），；
（2）9； （3）或．
【解析】
【分析】（1）把点B代入反比例函数，即可得到反比例函数的解析式；把点A代入反比例函数，即可求得点A的坐标；把点A、B的坐标代入一次函数一次函数即可求得a、b的值，从而得到一次函数的解析式；
（2）的面积是和的面积之和，利用面积公式求解即可；
（3）利用图象，找到反比例函数图象在一次函数图象下方所对应的x的范围，直接得出结论．
【小问1详解】
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
解得：
∴反比例函数的表达式为．
∵在反比例函数的图象上，
∴，
解得，（舍去）．
∴点A的坐标为．
∵点A，B在一次函数的图象上，
把点，分别代入，得，
解得，
∴一次函数的表达式为；
【小问2详解】
∵点C为直线与y轴交点，
∴把代入函数，得
∴点C的坐标为
∴，
∴
．
【小问3详解】
由图象可得，不等式的解集是或．
【点睛】此题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积，函数与不等式的关系，求出两个函数解析式是解本题的关键．
24. 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）．（参考数据：，，，）
（1）求屋顶到横梁的距离；
（2）求房屋的高（结果精确到）．
【答案】（1）4.2米；（2）14米
【解析】
【分析】（1）可得，在中由即可求AG；
（2）设，利用三角函数由x表示DH、CH，由DH-CH=8列方程即可求解．
【详解】解：（1）∵房屋的侧面示意图是轴对称图形，所在直线是对称轴，，
∴，，．
在中，，，
∵，，．
∴（米）
答：屋顶到横梁的距离约是4.2米．
（2）过点作于点，设，
在中，，，
∵，∴，
在中，，，
∵，∴．
∵，
∴，
∵，，
解得．
∴（米）
答：房屋的高约是14米．
【点睛】本题主要考查了仰角定义及其解直角三角形的应用，解题时首先正确理解仰角的定义，然后构造直角三角形利用三角函数和已知条件列方程解决问题．
25. 如图，在中，是一条不过圆心的弦，点，是的三等分点，直径交于点，连结交于点，连结，过点的切线交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，求的值；
（3）连结交于点，若的半径为5．
①若，求的长；
②若，求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）①②
【解析】
【分析】（1）根据题意可得，再由是的切线，即可求证．
（2）先证明，设出，根据勾股定理即可求解．
（3）①根据题意可得，再由勾股定理及相似三角形的性质即可求解；
②作出辅助线，设出，利用勾股定理及相似三角形的性质可得方程，进而可求得，再证明，即可解答．
【小问1详解】
证明：点，是的三等分点，
，
是的直径，
，
是的切线，
，
；
【小问2详解】
如图，连接，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
；
【小问3详解】
①如图2，连接，
设则
由勾股定理得，
解得，
，
，
；
②如图3，过点O作于点M，则，
设则，
由勾股定理得，，
，
，
，
，
解得（舍去），
，
，
，
，
，
；
【点睛】本题考查了圆的综合应用，涉及相似三角形的性质和判定，圆周角定理及其推论，全等三角形的性质和判定，勾股定理，三角函数等知识点，解题的关键是作出辅助线，构造相似三角形解答．
26. 定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如都是“纵三倍点”．
（1）下列函数图象上只有一个“纵三倍点”的是______；（填序号）
①；②；③．
（2）已知抛物线（均为常数）与直线只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线的解析式；
（3）若抛物线（是常数，）的图象上有且只有一个“纵三倍点”，令，是否存在一个常数，使得当时，的最小值恰好等于，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）①③ （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据“纵三倍点”的定义逐项判断即可；
（2）根据定义可得“纵三倍点”为，代入得出①，联立根据题意得出②，联立①②，即可求解；
（3）联立 ，依题意得出得出 ，当时， 的最小值为1，根据题意，即可求解．
【小问1详解】
解：①联立，解得：，
∴一次函数的图象上的“纵三倍点”为，故①符合题意；
③联立，即，
解得：
故②不合题意；
④联立，解得：，
∴二次函数的图象上只有一个“纵三倍点”，故③正确；
综上分析可知，正确是①③．
故答案为：①③．
【小问2详解】
解：
解得：
依题意经过，则①
联立
∴
∵抛物线（均为常数）与直线只有一个交点，
∴②
联立①②得
解得：
∴抛物线解析式为；
【小问3详解】
解：联立
即
依题意，，
∴
∴
∴当时，的最小值为1，
∵当时，的最小值恰好等于，
∴．
【点睛】本题主要考查了先定义运算，一次函数、二次函数和反比例函数的综合应用，一元二次方程根的判别式，解题的关键是理解“纵三倍点”的定义，任意的一个“纵三倍点”一定在正比例函数的图象上．

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