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专题16 导数与函数的单调性（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 2
【考点突破】 8
【考点1】不含参函数的单调性 8
【考点2】含参函数的单调性 17
【考点3】根据函数的单调性求参数 24
【分层检测】 31
【基础篇】 31
【能力篇】 38
【培优篇】 40
考试要求：
1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).
1.函数的单调性与导数的关系
条件 恒有 结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)＞0 f(x)在(a，b)上单调递增
f′(x)＜0 f(x)在(a，b)上单调递减
f′(x)＝0 f(x)在(a，b)上是常数函数
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导函数f′(x)的零点；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.
1.若函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f′(x)≥0，所以“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件.
2.对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件.
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A． B．e C． D．
2．（2022·全国·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·浙江·高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
5．（2022·全国·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
6．（2023·全国·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 .
参考答案：
1．C
【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出．
【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以，
设，所以，所以在上单调递增，
，故，即，即a的最小值为．
故选：C．
2．A
【分析】由结合三角函数的性质可得;构造函数,利用导数可得,即可得解.
【详解】[方法一]：构造函数
因为当
故，故，所以；
设，
，所以在单调递增，
故，所以，
所以，所以，故选A
[方法二]：不等式放缩
因为当，
取得：，故
，其中，且
当时，，及
此时，
故，故
所以，所以，故选A
[方法三]：泰勒展开
设，则，，
，计算得，故选A.
[方法四]：构造函数
因为，因为当，所以,即，所以；设，，所以在单调递增，则,所以，所以,所以，
故选：A．
[方法五]：【最优解】不等式放缩
因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以．
故选：A．
【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；
方法5：利用二倍角公式以及不等式放缩，即可得出大小关系，属于最优解．
3．C
【分析】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小.
【详解】方法一：构造法
设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
方法二：比较法
解： ， ， ，
① ，
令
则 ，
故 在 上单调递减，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
则 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以
故
4．D
【分析】由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解.
【详解】对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；
对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；
对于C，，则，
当时，，与图象不符，排除C.
故选：D.
5．BC
【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.
【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确；
对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.
由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC.
故选：BC.
[方法三]：
因为，均为偶函数，
所以即，，
所以，，则，故C正确；
函数，的图象分别关于直线对称，
又，且函数可导，
所以，
所以，所以，
所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；
方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．
6．
【分析】原问题等价于恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得，由右侧函数的单调性可得实数的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数的取值范围.
【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立，
则，即在区间上恒成立，
故，而，故，
故即，故，
结合题意可得实数的取值范围是.
故答案为：.
【考点1】不含参函数的单调性
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知过点的直线与函数的图象有三个交点，则该直线的斜率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·福建·模拟预测）函数在上的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
二、多选题
3．（2024·河南信阳·模拟预测）已知，（参考数据），则下列说法正确的是（ ）
A．是周期为的周期函数
B．在上单调递增
C．在内共有4个极值点
D．设，则在上共有5个零点
三、填空题
4．（2024·云南大理·模拟预测）函数的最大值为 .
四、解答题
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)当时，讨论函数的单调性．
(2)若有两个极值点．
①求实数的取值范围；
②求证：．
6．（2024·湖北荆州·模拟预测）已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)若对于任意，都有，求实数a的取值范围.
参考答案：
1．C
【分析】方法一：问题转化为方程有三个不等的实数根.分离参数后构造函数，求导分析单调性后求出参数的范围；方法二：分离函数，令，则方程变为，分别构造函数，求导分析的单调性和极值，再讨论当时图象的情况和当时设切点，利用导数的意义求出切线的斜率，再由点在直线上和点斜式方程写出切线方程，求出斜率，最后综合以上求出斜率范围.
【详解】问题转化为方程有三个不等的实数根．
方法一：分离参数
因为，所以方程
有三个不等的实根等价于方程有两个不等的实根．
令，
则．
令，则，即单调递增．
又，所以当时，单调递减，且；
当时，单调递增，
且．
又因为当时，；当时，；当时，，
所以实数k的取值范围是．
故选：C．
方法二：分离函数
令，则，所以．
令，则，解得，
令，得；令，得；
所以在上单调递减，在上单调递增，有极小值；
而且，
所以方程有一解．
①当时，过一、三象限，两图象有两个交点，不合题意；
②当时，过原点O作的切线，
设切点，则，
所以．
又，得，
所以，
所以．
故选：C．
【点睛】关键点点睛：方法一关键是能够把问题转化为方程有三个不等的实数根，再分离参数后由导数确定单调性和特殊值分析函数的最值情况.
2．A
【分析】根据函数的性质，判断函数图象的形状.
【详解】因为，所以，
所以函数为偶函数，图象关于轴对称，故排除答案CD，
又，，
设，，则，.
所以在上为增函数，又，
所以在上恒成立，即在上单调递增，故排除B.
故选：A
3．BCD
【分析】选项A，根据条件得到，即可判断出选项A错误；选项B，对求导，得到，从而得到时，，即可判断出选项B的正误，选项C，令，求出时的解，再根据极值的定义，即可判断出结果，选项D，根据条件得出的周期为，再利用导数与函数单调性间的关系，得出在上的图象，再数形结合，即可求出结果.
【详解】对于选项A，因为，
所以，所以选项A错误，
对于选项B，因为
，
当时，，，，
所以当时，，当且仅当时，取等号，所以在上单调递增，故选项B正确，
对于选项C，因为，
令，得到，
又因为，当且仅当或时，取等号，
所以，不是变号零点，即，不是的极值点，
由，即，
又，解得或或或，
由图象知，每一个解都是变号零点，所以在内共有4个极值点，故选项C正确，
对于选项D，因为，
所以的周期为，
又因为，
当时，由得到，，，
列表如下，
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 单调递增
又，，，
则在上的大致图象如图所示，
当时，因为，此时无解，
由，则，又，则，
又由，，
故只需再画出在图象即可，
当时，，无解，
作出的图象，注意到，
所以时，的图象在图象下方，
由图可知与在上有5个交点，
所以在上共有5个零点，所以选项D正确，

故选：BCD.
【点睛】关键点点晴：本题的关键在于选项D，根据条件得出是周期为的周期函数，再利用导数与函数单调性间的关系，作出在上图象，且有最大值和最小值分别为，，利用，再数形结合，即可求出结果.
4．/
【分析】分类讨论去解析式中的绝对值，利用导数研究函数的单调性，根据单调性求函数的最大值.
【详解】函数，定义域为，
当时，，，
在为减函数，此时；
当时，，，
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
此时，
综上可知，.
故答案为：.
5．(1)在上单调递增；
(2)①；②证明见解析
【分析】（1）求得，设，得到，再令，求得为上的增函数，且，进而求得单调区间；
（2）①求得，令，解得，设，根据题意转化为直线与函数的图象有两个不同的交点，利用导数求得函数的单调性与极值，作出函数的图象，结合图象，即可求解；
②由函数有两个零点，得到，令，转化为证明，不妨令，只需证明，化简得到，令，转化为证明，令，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.
【详解】（1）解：当时，可得，其中，则，
设，则，
令，可得恒成立，
所以为上的增函数，且，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，
所以，所以，所以在上单调递增．
（2）解：①因为函数，可得，
令，解得，
设，可得，
因为有两个极值点，则直线与函数的图象有两个不同的交点，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以．
又当时，，故可作出的大致图象，如图所示，
结合图象可得，，即实数的取值范围为．
②由函数有两个零点，所以，
令，则等价于关于的方程有两个不相等的实数根，
只需证明，
不妨令，由得，
要证，只需证明，
即证，
即证，即证，
令，则，只需证明，
令，则，
所以在上单调递增，所以，
综上所述，原不等式成立．
【点睛】方法总结：利用导数证明或判定不等式问题：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3、适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4、构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数．
6．(1)增区间为，减区间为
(2)
【分析】（1）直接对已知函数求导，根据导数符号与原函数单调性的关系即可得解；
（2）分离参数，将原问题等价变形为当时，“”恒成立，构造函数，，利用导数求出它的最大值即可得解.
【详解】（1）函数的定义域为，.
令，解得.
与在区间上的情况如下：
x
- 0 +
极小值
故的增区间为，减区间为.
（2）当时，“”恒成立等价于当时，“”恒成立，
令，，则，.
当时，，所以在区间上单调递减.
当时，，所以在区间上单调递增.
而，，
所以在区间上的最大值为.
所以当时，对于任意，都有.
综上所述，满足题意的实数的取值范围是.
反思提升：
确定函数单调区间的步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求f′(x)；
(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.
【考点2】含参函数的单调性
一、单选题
1．（2023·吉林通化·模拟预测）已知函数有两个大于1的零点，则的取值范围可以是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知定义在D的上函数满足下列条件：①函数为偶函数，②存在，在上为单调函数. 则函数可以是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
3．（2023·山东泰安·一模）已知函数有两个极值点，，则（ ）
A． B． C． D．，
三、填空题
4．（2023·四川成都·三模）已知函数，.当时，，则实数的取值范围为 ．
四、解答题
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．
6．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数有最大值，求实数的值．
参考答案：
1．D
【分析】由函数有两个大于1的零点，得在不单调，然后利用导数研究函数的单调性即可求解.
【详解】因为函数有两个大于1的零点，所以在不单调.
由得，
当时，恒成立，所以在上单调递增，不符合题意；
当时，显然在上单调递增，而，
当时，当时，，所以在上单调递增，不符合题意，此时可排除ABC；
当时，因为，
所以存在，使得，即，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以在处取得极小值，也是最小值.
而，当趋向正无穷时，趋向正无穷，
所以当函数有两个大于1的零点时，只要即可，
，
设，则，所以单调递增；
设，则，当时，，单调递减；
对于D，当时，由知，
当时，，所以，满足题意；
故选：D.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种转化方法：
一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；
二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
2．C
【分析】分析函数的奇偶性判断A；求出函数的零点判断B；分析函数的奇偶性，借助导数求出单调区间判断C；求出函数的定义域判断D作答.
【详解】对于A，定义域为，，即为奇函数，A不是；
对于B，定义域为R，由得，即对任意的正整数k，都是的零点，显然不能满足条件②，B不是；
对于C，，必有，则且，即定义域为且，
，则函数为偶函数，满足条件①，
设，其导数，由得，
令，当时，，即在上为增函数，
而，在上为减函数，因此在上为减函数，
即存在，在上为减函数，满足条件②，C是；
对于D，定义域为，不能满足条件②，D不是.
故选：C
3．ACD
【分析】求出，根据已知得有两个变号零点，令，求出，分类讨论根据其正负得出单调性，令其满足有两个变号零点，当时，不满足题意，当时，则，即可解出的范围，判断A；
根据已知可得有两个变号零点，，而函数在上单调递增，在上单调递减，则，即可判断B；
，则，根据不等式的性质即可得出范围，判断C；
根据得出函数单调性，结合，且，列不等式，即可判断D.
【详解】对于A：，定义域，
，
函数有两个极值点，，
则有两个变号零点，
设，
则，
当时，，则函数单调递增，则函数最多只有一个变号零点，不符合题意，故舍去；
当时，时，，时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
若有两个变号零点，则，解得：，
此时由正趋向于时，趋向于，趋向于时，趋向于，
则有两个变号零点，满足题意，
故的范围为：，故A正确；
对于B：函数有两个极值点，，
即有两个变号零点，，
则，故B错误；
对于C：当时，，
则，即，，
则，故C正确；
对于D：有两个变号零点，，且函数先增后减，
则函数在与上单调递减，在上单调递增，
，且，
，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种转化方法：
一是利用导数研究含参函数的单调性，常转化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；
二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理；
再利用导数研究函数单调性、极值或最值时，如果一次求导无法求解，可考虑多次求导来进行求解，求解过程要注意原函数和对于的导函数的关系，不能混淆.
4．
【分析】根据求导公式和求导法则可得，利用导数和放缩法，结合二次函数的性质研究当、、、时函数的性质，进而得出函数的性质，即可求出a的取值范围.
【详解】由已知，得.
令.
①若，则，当时，，
所以在上单调递增，所以当时，成立.
②若，则图象的对称轴为直线，
所以在上单调递增，.
i）当时，，，，
所以，所以在上单调递增，
所以当时，成立；
ii）当时，，，使，
当时，，
所以，所以在上单调递减，
所以当时，，不合题意.
③若，则.
令，，则，
当时，，所以在上单调递减，
所以当时，，
所以当时，，
所以.
令，由解得，，
即，使，不合题意.
综上所述，实数的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
5．(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）求出函数的导数，讨论a的正负，判断导数的正负，即可求得答案；
（2）由（1）可得函数的最小值，要证明，即证；方法一，构造函数，利用导数求其最小值，说明大于等于0即可；方法二，利用进行放缩，证明即可.
【详解】（1）的定义域为，．
若，则，在上单调递减：
若，则由得，当时，；当时，；
故在上单调递减，在上单调递增；
故当时，在上单调递减：
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）方法1，当时，由（1）知，当时，取得最小值．
所以，从而．
设，则．
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故当时，，
故当时，，即；
方法2：当时，由（1）知，当时，取得最小值，
所以，从而，
令，，
当时，；当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减，
故，当等号成立；
所以，当时，，
即.
6．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求导得，分类讨论可求单调区间；
（2）利用（1）的结论可求实数的值．
【详解】（1）
1°当时在区间上单调递增。
2°当时，时，单调递增
时，单调递减
综上，当时，的增区间是，
当时，的增区间是，减区间是
（2）由（1）知当时，无最大值。
当时，，平方有，
解得．
反思提升：
1.(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.
(2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式Δ的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内.
2.个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0时取到)，f(x)在R上是增函数.
【考点3】根据函数的单调性求参数
一、单选题
1．（2023·全国·模拟预测）若对任意的，，且，，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·辽宁沈阳·三模）已知函数，则“”是“在上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
3．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）已知，，则（ ）
A．当时，为奇函数
B．当时，存在直线与有6个交点
C．当时，在上单调递减
D．当时，在上有且仅有一个零点
三、填空题
4．（2023·安徽·二模）若不等式对恒成立，则实数a的取值范围为 ．
四、解答题
5．（2024·福建莆田·三模）已知函数，其中.
(1)当时，，求的取值范围.
(2)若，证明：有三个零点，，（），且，，成等比数列.
(3)证明：（）.
6．（2024·广东茂名·模拟预测）已知函数，.
(1)当时，求函数的最小值；
(2)若在上单调递减，求a的取值范围.
参考答案：
1．C
【分析】根据题意易知，变形可得，故构造函数，根据函数单调性的定义可得函数在上单调递减，由即可得解.
【详解】对任意的，，且，，易知，
则，所以，
即．
令，则函数在上单调递减．
因为，由，可得，
所以函数的单调递减区间为，
所以，故，
即实数的取值范围为．
故选：C．
2．A
【分析】若在上单调递增，则在上恒成立，参变分离得到在上恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可求出参数的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】函数定义域为，则，
若在上单调递增，则在上恒成立，
即在上恒成立，
又，当且仅当，即时取等号，
所以，
因为 ，
所以“”是“在上单调递增”的充分不必要条件.
故选：A
3．ACD
【分析】AB两个选项比较好判断；对C，可以利用函数在给定区间上的单调性，分离参数，转化为恒成立问题求参数的取值范围；对D，分析函数的单调性和一些特殊点的函数值符号，判断零点个数.
【详解】当时，，可以说是奇函数，故A正确；
当时，在上单调递增，与最多一个交点，故B错误；
因为，所以.
对C：在上递减，需有（）恒成立.
当时，，又，且当时，，所以.
当时，.
设，则，由，所以在上递减，在上递增，
所以的最小值为，所以.
所以且，即.故C正确；
对D：设，则.因为，所以当时，；当时，.
所以在上递增，在上递减，所以的最大值为，
又，所以只在有一解，设为即，
所以在上递增，在上递减.
且，且当时，，所以在上有且仅有一个零点.故D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：已知函数的单调区间，求参数的取值范围问题，常常要分离参数，转化为恒成立或存在性问题，进而求函数的最大或最小值来解决.
4．
【分析】用构造法解决含参不等式的恒成立问题，求解实数a的取值范围.
【详解】设，则．当时，恒成立，则函数在上单调递增，，不合题意，舍去；
当时，由得．
当时，，当时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
，令，易得在上单调递减，
，则的解集为，即实数a的取值范围是．
故答案为：.
5．(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）法一：先求的导数，再由导数讨论函数的单调性，判断是否成立，从而确定的取值范围；法二：由题意得，，即确定的单调性，由，得，然后通过设，利用导数证明即可；
（2）由（1）可知，的单调性，由此可判断上存在唯一零点，在上存在唯一零点，由即可证明；
（3）由题意，可得，即，进而得到，原命题即可证.
【详解】（1）（解法一）由题意可知的定义域为，
，
设，其中.
①当，即时，，所以，单调递增，
所以当时，，故满足题意；
②当，且，即时，，
所以，单调递增，
所以当时，，故满足题意；
③当，且，即时，
设的两根为，，
解得，，
则当时，，所以，单调递减，
则，故不满足题意 .
综上，的取值范围是 .
（解法二）由题意可知的定义域为，
，
因为，，所以，解得，
以下证明满足题意.
由可知，，所以当时，，
设，，所以为递增函数，
所以，所以，
综上，a的取值范围是.
（2）由（1）可知，当时，在和上单调递增，在上单调递减，
因为，所以，，
取，，
（其中，所以，即），
取，.
（其中，所以，即），
所以在上存在唯一零点，即在上存在唯一零点，在上存在唯一零点，即在上存在唯一零点，且，
所以，，
又，所以也是函数的零点，
显然且，所以，即，所以，所以，，成等比数列.
（3）由（1）可知当时，为单调递增函数，
所以当时，，即，
整理得，即，
所以（），
则（），
故（）.
【点睛】关键点点睛：本题后两问关键是利用（1）的结论，将所要证明的问题进行转化.
6．(1)2
(2).
【分析】（1）求定义域，求导，得到函数单调性，求出最小值；
（2）在上恒成立，参变分离得到，令，求导得到的单调性，得到，从而求出a的取值范围.
【详解】（1）因为，所以，定义域为，
可得，
令，显然在上单调递增且，
因此当时，则有，当时，则，
于是有当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，
所以.
（2）化简得，即，
因为在上单调递减，
所以在上恒成立，
由，
设，则有，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
要想在上恒成立，
只需，经检验，当符合题意，
因此a的取值范围为.
反思提升：
根据函数单调性求参数的一般思路：
(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集.
(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且在(a，b)内的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.
(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）函数（ ）
A．是偶函数，且在区间上单调递增 B．是偶函数，且在区间上单调递
C．是奇函数，且在区间上单调递增 D．既不是奇函数，也不是偶函数
2．（2023·全国·模拟预测）已知函数，则的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二上·福建南平·阶段练习）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三上·河北·期末）设函数且在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2021·河南郑州·模拟预测）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．3是的极小值点
B．是的极小值点
C．在区间上单调递减
D．曲线在处的切线斜率小于零
6．（2022·湖北黄冈·二模）设函数，则（ ）
A．在上有且仅有1个零点 B．的最小正周期为
C．在上单调递减 D．在上单调递减
7．（2021·山东淄博·二模）已知是自然对数的底数，则下列不等关系中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
8．（2024·全国·模拟预测）函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为 ．
9．（2022·湖北黄冈·二模）函数的图象如图所示，记、、，则、、最大的是 .
10．（2024·湖南怀化·二模）已知，则的单调增区间为 ．
四、解答题
11．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知函数.
(1)若的图象在点处的切线与直线垂直，求的值;
(2)讨论的单调性与极值.
12．（23-24高三上·吉林长春·期末）已知函数．
(1)，求函数的最小值；
(2)若在上单调递减，求的取值范围．
参考答案：
1．A
【分析】借助函数奇偶性的定义可判断函数奇偶性，借助导数即可得函数单调性.
【详解】的定义域为，，
为偶函数；
当时，在区间上单调递增.
故选：A.
2．A
【分析】根据对数真数大于零可构造不等式组求得函数定义域；利用导数可求得函数单调递增区间．
【详解】由得：，即的定义域为；
，
当时，；当时，；
的单调递增区间为．
故选：A．
3．A
【分析】利用导数与函数的关系将问题转化为恒成立问题，从而得解.
【详解】因为，所以，
因为在区间上单调递减，
所以，即，则在上恒成立，
因为在上单调递减，所以，故.
故选：A.
4．A
【分析】根据单调性与导数的关系可得在上恒成立，进而即可求解.
【详解】依题意，在上恒成立，
记，则在上恒成立，
在上单调递增，所以只需，解得，
故选：A．
5．AD
【分析】根据导函数的图象，结合极小值点的定义、导数的性质逐一判断即可.
【详解】A：由导函数的图象可知：当时，单调递减，当时，
单调递增，所以3是的极小值点，因此本选项说法正确；
B：由导函数的图象可知：当时，单调递减，当时，
单调递减，所以不是的极小值点，因此本选项说法不正确；
C：由导函数的图象可知：当时，单调递减，当时，单调递增，所以本选项说法不正确；
D：：由导函数的图象可知：，所以本选项说法正确，
故选：AD
6．ACD
【分析】由正弦二倍角公式可得，令，可知或，，由此即可判断A是否正确；根据正弦函数和正切函数的最小正周期即可判断B是否正确；对函数求导，可得，易知，由此即可判断C、D是否正确.
【详解】由正弦二倍角公式可得，，
∵，
∴或，
∴或，，
∵，∴当且仅当时，即时，满足，
∴在上有且只有一个零点，满足题意，则A正确；
由于，且的最小正周期为，的最小正周期为，
∴的最小正周期为，故B错误，
，则，
∵，∴，∴在每个连续区间上都单调递减，则C、D正确，
故选：ACD.
7．ACD
【分析】通过构造函数法，结合导数来判断出正确答案.
【详解】构造函数，
，
所以在区间递增；在区间递减，
所以，故，当且仅当时等号成立.
即，当且仅当时等号成立.
所以，AC选项错误，，B选项正确.
构造函数，
，
所以在区间递增；在区间递减，
所以，，D选项错误.
故选：ACD
8．
【分析】根据函数的导函数与函数的单调性之间的关系，结合常变量分离法、通过构造新函数，利用新函数的单调性进行求解即可.
【详解】在定义域内单调递增，
在上恒成立，
即在上恒成立．
令，
，，
即实数的取值范围为．
故答案为：
9．
【分析】根据导数的几何意义结合的图象分析判断即可
【详解】根据导数的几何意义，、、分别为处的切线斜率，
又与处的切线单调递增，处的切线单调递减，且处的切线比处的切线更陡峭，
∴，
故最大为.
故答案为：
10．/
【分析】求出函数的导数，再解导函数大于0的不等式即可.
【详解】函数的定义域为，求导得，
由，得，所以的单调增区间为.
故答案为：
11．(1)
(2)答案见解析.
【分析】（1）求导，根据直线垂直可得，即可求解，
（2）求导，对进行讨论，判断导函数的正负，即可得函数的单调性和极值.
【详解】（1）由题得，的定义域为.
.
的图象在点处的切线与直线l:垂直，
，
解得.
（2）由（1）知.
①当时，恒成立.
在上为减函数，此时无极值;
②当时，由，得，由，得，
在上单调递减，在上单调递增，
故的极小值为，无极大值.
综上可得，当时，在上为减函数，无极值;
当时，在上单调递减，在上单调递增.
的极小值为，无极大值.
12．(1)
(2)
【分析】（1）运用二次求导法进行求解即可；
（2）运用常变量分离法，结合导数的性质进行求解即可.
【详解】（1）因为，
所以，
令，则有，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
因此当时，则有，
因此当时，则有，
当时， 显然，
于是有当时，函数单调递减，
当时，函数单调递增，
所以；
（2）由，
因为在上单调递减，
所以在上恒成立，
由，
设，则有，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以，
要想在上恒成立，
只需，因此的取值范围为.
【能力篇】
一、单选题
1．（2023·贵州遵义·模拟预测）若函数在区间上单调递增，则的可能取值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、多选题
2．（2024·山西·一模）已知函数，则（ ）
A．当时，函数的最小正周期为
B．函数图象的对称轴是
C．当时，是函数的一个最大值点
D．函数在区间内不单调，则
三、填空题
3．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知函数，若，则的最小值为 .
四、解答题
4．（2024·山东·模拟预测）已知函数．
(1)若曲线在处的切线与直线垂直，求的值；
(2)讨论的单调性．
参考答案：
1．A
【分析】由，结合题意在上恒成立求范围，即可判断所能取的值.
【详解】由题设在区间上单调递增，所以恒成立，
所以上恒成立，即恒成立，
而在上递增，故.
所以A符合要求.
故选：A
2．ACD
【分析】由正弦函数的周期，对称性及最大值判断ABC，由导函数等于0有解判断D.
【详解】对A，当时，函数的最小正周期为，故A正确；
对B，令，得，故函数图象的对称轴是，故B错误；
对C， 当时，为最大值，
故是函数的一个最大值点，故C正确；
对D，函数在区间内不单调，则在有解，且左右函数值异号，
令，则，解得，故D正确.
故选：ACD.
3．/
【分析】先利用导数判断函数的单调性，再结合已知及得，从而，利用基本不等式求得最值即可.
【详解】由得，所以是上增函数.
又，
故由得，即.
则，
当且仅当时取等号，此时.
故最小值为.
故答案为：
4．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）对函数求导，结合题意有，，即可求解值；
（2）对函数求导，分和两种情况讨论，根据导数的正负判断原函数的单调性.
【详解】（1）因为，， 所以，
曲线在处的切线与垂直，
所以， 得；
（2）由得，
当时，的定义域为，
令得，
当时，，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减；
当时，的定义域为，
令得
当时，，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增．
综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
【培优篇】
一、单选题
1．（22-23高二下·安徽宿州·期中）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
2．（2023·广东广州·模拟预测）函数，则下列结论正确的是（ ）
A．若函数在上为减函数，则
B．若函数的对称中心为，则
C．当时，若有三个根，且，则
D．当时，若过点可作曲线的三条切线，则
三、填空题
3．（2023·河北衡水·模拟预测）已知函数 有两个极值点，且，则实数的取值范围为 .
参考答案：
1．C
【分析】求得，由题意转化为在上恒成立，设，求得，令，利用导数求得单调递增，结合，得到在上单调递减，利用，即可求解.
【详解】由函数，可得，
因为函数在区间上单调递增，可得在上恒成立，
即在上恒成立，
设，可得，
令，可得
当时，，所以单调递增，
又因为，
所以，所以在上单调递减，
所以，即实数的取值范围是.
故选：C.
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
2．ACD
【分析】求导得到导函数，根据单调区间解得A正确，代入点计算得到，B错误，求导得到函数的单调区间，确定，，代入计算得到C正确，设出切点，计算切线方程，得到，构造函数，计算极值得到D正确，得到答案.
【详解】对选项A：，，
函数在上为减函数，则，解得，正确；
对选项B：函数的对称中心为，则，，错误；
对选项C：，，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
，，，故，，
要证，即，
整理得到，，不等式成立，正确；
对选项D：设切点为，则，，
则切线方程为，
将代入上式，整理得，方程有三个不同解，
设，则，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
极小值，极大值，故，正确；
故选：ACD
【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数求函数的单调区间，函数的切线问题，零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，将参数的范围转化为求函数的极值是解题的关键.
3．
【分析】原题等价于 是导函数 的两个零点，求导，参数分离，构造函数，根据所够造的函数的导函数的图像求解.
【详解】原题等价于 是导函数 的两个零点， ，
即是方程 的两个不相等的实数根，显然不符合方程0，
所以和是方程 的两个根，
即函数 的图像与直线有两个不同的交点，
由于 ，所以当或时， ；当时， ，故的减区间为和，增区间为，
当x趋于时， 趋于0，且，当且x趋于0时，
趋于，当时，x趋于0时，趋于，
在处， 取得极小值 ；当时，x趋于时， 趋于 ，
作出的大致图像如下图所示，
由图可知， ，且，
因为，取，并令，则 ， 单调递增， ，解得 ，此时 ，即 ，
故答案为：.
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专题16 导数与函数的单调性（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 2
【考点突破】 3
【考点1】不含参函数的单调性 3
【考点2】含参函数的单调性 4
【考点3】根据函数的单调性求参数 6
【分层检测】 7
【基础篇】 7
【能力篇】 8
【培优篇】 9
考试要求：
1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).
1.函数的单调性与导数的关系
条件 恒有 结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)＞0 f(x)在(a，b)上单调递增
f′(x)＜0 f(x)在(a，b)上单调递减
f′(x)＝0 f(x)在(a，b)上是常数函数
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导函数f′(x)的零点；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.
1.若函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f′(x)≥0，所以“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件.
2.对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件.
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A． B．e C． D．
2．（2022·全国·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·浙江·高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
5．（2022·全国·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
6．（2023·全国·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 .
【考点1】不含参函数的单调性
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知过点的直线与函数的图象有三个交点，则该直线的斜率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·福建·模拟预测）函数在上的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
二、多选题
3．（2024·河南信阳·模拟预测）已知，（参考数据），则下列说法正确的是（ ）
A．是周期为的周期函数
B．在上单调递增
C．在内共有4个极值点
D．设，则在上共有5个零点
三、填空题
4．（2024·云南大理·模拟预测）函数的最大值为 .
四、解答题
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)当时，讨论函数的单调性．
(2)若有两个极值点．
①求实数的取值范围；
②求证：．
6．（2024·湖北荆州·模拟预测）已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)若对于任意，都有，求实数a的取值范围.
反思提升：
确定函数单调区间的步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求f′(x)；
(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.
【考点2】含参函数的单调性
一、单选题
1．（2023·吉林通化·模拟预测）已知函数有两个大于1的零点，则的取值范围可以是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知定义在D的上函数满足下列条件：①函数为偶函数，②存在，在上为单调函数. 则函数可以是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
3．（2023·山东泰安·一模）已知函数有两个极值点，，则（ ）
A． B． C． D．，
三、填空题
4．（2023·四川成都·三模）已知函数，.当时，，则实数的取值范围为 ．
四、解答题
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．
6．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数有最大值，求实数的值．
反思提升：
1.(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.
(2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式Δ的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内.
2.个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0时取到)，f(x)在R上是增函数.
【考点3】根据函数的单调性求参数
一、单选题
1．（2023·全国·模拟预测）若对任意的，，且，，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·辽宁沈阳·三模）已知函数，则“”是“在上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
3．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）已知，，则（ ）
A．当时，为奇函数
B．当时，存在直线与有6个交点
C．当时，在上单调递减
D．当时，在上有且仅有一个零点
三、填空题
4．（2023·安徽·二模）若不等式对恒成立，则实数a的取值范围为 ．
四、解答题
5．（2024·福建莆田·三模）已知函数，其中.
(1)当时，，求的取值范围.
(2)若，证明：有三个零点，，（），且，，成等比数列.
(3)证明：（）.
6．（2024·广东茂名·模拟预测）已知函数，.
(1)当时，求函数的最小值；
(2)若在上单调递减，求a的取值范围.
反思提升：
根据函数单调性求参数的一般思路：
(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集.
(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且在(a，b)内的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.
(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）函数（ ）
A．是偶函数，且在区间上单调递增 B．是偶函数，且在区间上单调递
C．是奇函数，且在区间上单调递增 D．既不是奇函数，也不是偶函数
2．（2023·全国·模拟预测）已知函数，则的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二上·福建南平·阶段练习）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三上·河北·期末）设函数且在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2021·河南郑州·模拟预测）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．3是的极小值点
B．是的极小值点
C．在区间上单调递减
D．曲线在处的切线斜率小于零
6．（2022·湖北黄冈·二模）设函数，则（ ）
A．在上有且仅有1个零点 B．的最小正周期为
C．在上单调递减 D．在上单调递减
7．（2021·山东淄博·二模）已知是自然对数的底数，则下列不等关系中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
8．（2024·全国·模拟预测）函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为 ．
9．（2022·湖北黄冈·二模）函数的图象如图所示，记、、，则、、最大的是 .
10．（2024·湖南怀化·二模）已知，则的单调增区间为 ．
四、解答题
11．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知函数.
(1)若的图象在点处的切线与直线垂直，求的值;
(2)讨论的单调性与极值.
12．（23-24高三上·吉林长春·期末）已知函数．
(1)，求函数的最小值；
(2)若在上单调递减，求的取值范围．
【能力篇】
一、单选题
1．（2023·贵州遵义·模拟预测）若函数在区间上单调递增，则的可能取值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、多选题
2．（2024·山西·一模）已知函数，则（ ）
A．当时，函数的最小正周期为
B．函数图象的对称轴是
C．当时，是函数的一个最大值点
D．函数在区间内不单调，则
三、填空题
3．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知函数，若，则的最小值为 .
四、解答题
4．（2024·山东·模拟预测）已知函数．
(1)若曲线在处的切线与直线垂直，求的值；
(2)讨论的单调性．
【培优篇】
一、单选题
1．（22-23高二下·安徽宿州·期中）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
2．（2023·广东广州·模拟预测）函数，则下列结论正确的是（ ）
A．若函数在上为减函数，则
B．若函数的对称中心为，则
C．当时，若有三个根，且，则
D．当时，若过点可作曲线的三条切线，则
三、填空题
3．（2023·河北衡水·模拟预测）已知函数 有两个极值点，且，则实数的取值范围为 .
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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