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2024年初中学业水平适应性练习
数学
考生须知：
1．本试卷满分120分，考试时间120分钟．
2．答题前，在答题纸上写姓名和准考证号．
3．必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效．答题方式详见答题纸上的说明．
试题卷
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列实数比较大小正确的是（ ）
A. B. C. D.
2. 某同学抛掷一枚硬币，连续抛掷次，都是反面朝上，则抛掷第次出现正面朝上的概率是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图是一个三通水管，如图放置，则它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知直线，将含有的直角三角板在这两条平行线中按如图所示的方式摆放，若，则（ ）
A. B. C. D.
5. 若一元二次方程的根的判别式的值是5，则b的值是（ ）
A 1 B. C. 3 D.
6. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，第一章“方田”中已讲述了平面几何图形面积的计算方法，比如扇形面积的计算，“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”大致意思为：现有一块扇形的田，弧长步，其所在圆的直径是步，则这块田的面积为（ ）
A. 120平方步 B. 240平方步 C. 平方步 D. 平方步
7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与图象如图所示，则（ ）
A. 当时，
B. 当时，，
C.
D. 关于，的方程组的解为
8. 如图，某数学实践小组要测量操场的旗杆的高度，操作如下：
（1）在点处放置测角仪，量得测角仪的高度为；
（2）测得仰角；
（3）量得测角仪到旗杆的水平距离为．
则旗杆的高度可表示为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，是的角平分线，分别以点、为圆心，以大于的长为半径在两侧作圆弧，交于点，点．作直线，分别交，于点，，连结，．设的面积为，四边形的面积为．若，则的值为（ ）
A B. C. D.
10. 二次函数（a，b为实数，）的图象对称轴为直线，且经过点．若二次函数的图象经过点，则关于x的方程的解是（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．
11. 计算：______．
12. 小凡家今年1~4月份的用电量情况如图所示，则2月到3月之间月用电量的增长率为______．
13. 某书店分别用400元和500元两次购进同一种书，第二次数量比第一次多10本，且两次进价相同，则该书店第一次购进______本．
14. 如图，已知是的弦，且，以为一边作正方形．若边与相切，切点为E，则的半径为______．
15. 已知，，且为正整数，则正整数a的值是______．
16. 如图，在边长为的正方形内部（不含边界）有一点E，连结．过点A作，且．连结，将线段绕点E顺时针旋转，点F恰好落在点D上，则的长为______．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 化简：
圆圆的解答如下：
．
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的答案．
18. 在四边形中，．连结对角线交于点，且．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若，已知，，求的长．
19. 某校为调查学生对禁毒知识的了解情况，从全校学生中随机抽取了部分学生进行禁毒知识的测试，并将测试成绩x分为五个等级：，，，，，整理后分别绘制成如图所示的信息不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
（1）求测试等级为的学生人数，并补全频数分布直方图．
（2）求扇形统计图中等级为所对应扇形圆心角的度数．
（3）若全校名学生都参加测试，请依据抽样测试的结果估计该校测试等级为的学生有多少人？
20. 小凡驾驶汽车匀速地从地行驶到地，行驶里程为千米，设小汽车的行驶时间为小时，行驶速度为千米/小时，且全程速度限定为不超过千米/小时．
（1）求关于的函数表达式，
（2）小凡上午点驾驶小汽车从地出发，需在当天点之前（含点）到达地，求汽车行驶速度的范围．
21. 如图，在锐角三角形中，．以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连结，点是延长线上的一点，连结，若平分．
（1）求证：；
（2）当，求的值．
22. 设二次函数（a为实数，且）．
（1）若该函数图象经过点，求二次函数表达式．
（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含a的代数式表示）．
（3）若该函数图象经过点，且满足，求a值．
23. 综合与实践
如图，在矩形中，点E是边AD上的一点（点E不与点A，点D重合），连结BE．过点C作交AD的延长线于点F，过点B作交FC的延长线于点G，过点F作交BE的延长线于点H．点P是线段CF上的一点，且．
探究发现：（1）点点发现结论：．请判断点点发现的结论是否正确，并说明理由．
深入探究：（2）老师请学生经过思考，提出新的问题，请你来解答．
①“运河小组”提出问题：如图1，若点P，点D，点H在同一条直线上，，，求的长．
②“武林小组”提出问题：如图2，连结和，若，，，求的值．
24. 如图，已知四边形内接于，且，点E为弦的中点，连结．延长相交于点F，连结，与相交于点G，与相交于点H．
（1）求证：．
（2）若点C是的中点，，求的值．
（3）连结，探究与之间的等量关系，并证明．2024年初中学业水平适应性练习
数学
考生须知：
1．本试卷满分120分，考试时间120分钟．
2．答题前，在答题纸上写姓名和准考证号．
3．必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效．答题方式详见答题纸上的说明．
试题卷
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列实数比较大小正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查有理数的大小比较：正数大于0,0大于负数，两个负数绝对值大的反而小，熟练掌握有理数大小比较法则是解题的关键
【详解】解：A. ，故该项判断错误；
B. ，故该项判断错误；
C. ，故该项判断正确；
D. ，故该项判断错误；
故选：C
2. 某同学抛掷一枚硬币，连续抛掷次，都是反面朝上，则抛掷第次出现正面朝上的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查概率的意义，根据抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正面向上的概率都是，即可得到第次出现正面朝上的概率．解题的关键是正确把握概率的定义：对于一个随机事件，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件发生的概率．
【详解】解：抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正面向上的概率都是，
∴抛掷第次出现正面朝上的概率是．
故选：B．
3. 如图是一个三通水管，如图放置，则它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查简单组合体的三视图，找到从上往下看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．据此分析即可．
【详解】解：从上面看到的是一个矩形，中间是一个和这个矩形对边相切的圆．
故选：D．
4. 已知直线，将含有的直角三角板在这两条平行线中按如图所示的方式摆放，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，角的和差运算，根据题意得，由平角的定义得，再根据平行线的性质即可得解．掌握平行线的性质（两直线平行，同位角相等）、角的和差运算是解题的关键．
【详解】解：如图，
∵是一块含有的直角三角板，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
5. 若一元二次方程的根的判别式的值是5，则b的值是（ ）
A. 1 B. C. 3 D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，根据判别式列得方程求解即可，正确掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键
【详解】解：
解得，
故选：B
6. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，第一章“方田”中已讲述了平面几何图形面积的计算方法，比如扇形面积的计算，“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”大致意思为：现有一块扇形的田，弧长步，其所在圆的直径是步，则这块田的面积为（ ）
A. 120平方步 B. 240平方步 C. 平方步 D. 平方步
【答案】A
【解析】
【分析】本题是扇形面积公式的应用，考查了推理能力，是基础题．利用扇形面积公式计算即可得解．
【详解】解：∵扇形的田，弧长步，其所在圆的直径是步，
∴这块田的面积为（平方步），
故选：A．
7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则（ ）
A. 当时，
B. 当时，，
C.
D. 关于，的方程组的解为
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一次函数与方程、不等式的关系，解题的关键是根据一次函数与方程、不等式的关系并利用数形结合思想进行分析即可．
【详解】解：A．由图象得：当时，，故此选项不符合题意；
B．由图象得：当时，，，故此选项不符合题意；
C．由图象得：一次函数与的图像交于点，
∴，，
∴，
∴，故此选项符合题意；
D．由图象得：关于，的方程组的解为，故此选项不符合题意．
故选：C．
8. 如图，某数学实践小组要测量操场的旗杆的高度，操作如下：
（1）在点处放置测角仪，量得测角仪的高度为；
（2）测得仰角；
（3）量得测角仪到旗杆的水平距离为．
则旗杆的高度可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】过点作于点F，则四边形为矩形，根据三角函数的定义即可得到结论．
【详解】过点作于点F，
则四边形为矩形，
∴，，
在中，，
，，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，掌握三角函数的定义，并根据题意构建合适的直角三角形是解题的关键．
9. 如图，是的角平分线，分别以点、为圆心，以大于的长为半径在两侧作圆弧，交于点，点．作直线，分别交，于点，，连结，．设的面积为，四边形的面积为．若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如图，设交于点，设的面积为，根据作图可知：垂直平分，再根据是的角平分线，证明四边形是菱形，得，，继而得到，，，由相似三角形的判定和性质得，，得到，，再计算，可得结论．
【详解】解：如图，设交于点，设的面积为，
根据作图可知：垂直平分，
∴，，，
∴，
∵是的角平分线，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，，
∴，，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查基本作图—垂直平分线，角平分线的定义，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理．掌握基本作图，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理是解题的关键．
10. 二次函数（a，b为实数，）的图象对称轴为直线，且经过点．若二次函数的图象经过点，则关于x的方程的解是（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解一元二次方程，先根据题意得出，即，根据二次函数的图象经过点，二次函数（a，b为实数，）的图象经过点，得出，求出，代入求出，代入，求出结果即可．
【详解】解：∵二次函数（a，b为实数，）的图象对称轴为直线，
∴，
解得：，
∴，
∵二次函数的图象经过点，
∴，
即，
∵二次函数（a，b为实数，）的图象经过点，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴或，
解得：，，
故选：D．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．
11. 计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了整式的除法，根据整式的除法法则：同底数的幂相除，底数不变，指数相减，即可求出答案．
【详解】
故答案为：．
12. 小凡家今年1~4月份的用电量情况如图所示，则2月到3月之间月用电量的增长率为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设2月到3月之间月用电量的增长率为，结合统计图的信息得出月份的是千瓦时电费，月份的是千瓦时电费，进行列式计算，即可作答．
【详解】解：∵月份的是千瓦时电费，月份的是千瓦时电费，
则设2月到3月之间月用电量的增长率为，
∴，
解得，
故答案：．
13. 某书店分别用400元和500元两次购进同一种书，第二次数量比第一次多10本，且两次进价相同，则该书店第一次购进______本．
【答案】40
【解析】
【分析】设第一次购进x本书，则第二次购进本书，根据“两次进价相同”列出分式方程求解，正确理解题意列得分式方程是解题的关键．
【详解】解：设第一次购进x本书，则第二次购进本书，则
，
解得，
经检验，是分式方程的解，且符合题意，
故答案为40．
14. 如图，已知是的弦，且，以为一边作正方形．若边与相切，切点为E，则的半径为______．
【答案】
【解析】
【分析】连接并延长，交于F，连接，证明四边形为矩形，得出，，根据垂径定理得出，设的半径为r，则，，由勾股定理列式可求出．
【详解】解：连接并延长，交于F，连接，如图，
∵边与相切，切点为E，
∴，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
设的半径为r，则，
在中，，即
解得：，
即圆的半径为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，垂径定理和勾股定理，矩形的判定和性质，切线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
15. 已知，，且为正整数，则正整数a的值是______．
【答案】4
【解析】
【分析】此题考查了已知字母的值求代数式的值，根据已知等式变形为，再根据要求得到，，且a是整数，再分别取a的整数值代入计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵为正整数，，a是正整数，
∴，且a是整数，
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
故答案为4．
16. 如图，在边长为的正方形内部（不含边界）有一点E，连结．过点A作，且．连结，将线段绕点E顺时针旋转，点F恰好落在点D上，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】设，将绕着点顺时针旋转到，连接，则，，，，，，，由旋转的性质可知，，，证明四边形是正方形，则，，，，由勾股定理得，，计算求解即可．
【详解】解：设，如图，将绕着点顺时针旋转到，连接，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
由旋转的性质可知，，，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，，
∴四边形是正方形，
∴，，
∴，，
由勾股定理得，，
解得，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，余弦等知识．熟练掌握旋转的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，余弦是解题的关键．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 化简：
圆圆的解答如下：
．
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的答案．
【答案】圆圆的解答过程有错误，
【解析】
【分析】此题考查整式的混合计算，根据完全平方公式和平方差公式去括号，再合并同类项即可，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键．
【详解】解：圆圆的解答过程有错误．
．
18. 在四边形中，．连结对角线交于点，且．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若，已知，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（）根据平行线的性质及三角形全等判定可知，再利用三角形全等的性质即可解答；
（）根据勾股定理及全等三角形的判定与性质可知，再利用平行四边形的判定与性质可知，，最后利用平行四边形的性质及勾股定理即可解答．
【小问1详解】
解：∵在四边形中，，
∴，，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，，
∴在中，，
∵在四边形中，，
∴，，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
∴，，
∴，
∴在中，，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质，掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
19. 某校为调查学生对禁毒知识的了解情况，从全校学生中随机抽取了部分学生进行禁毒知识的测试，并将测试成绩x分为五个等级：，，，，，整理后分别绘制成如图所示的信息不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
（1）求测试等级为的学生人数，并补全频数分布直方图．
（2）求扇形统计图中等级为所对应扇形圆心角的度数．
（3）若全校名学生都参加测试，请依据抽样测试的结果估计该校测试等级为的学生有多少人？
【答案】（1）人，作图见解析
（2）
（3）人
【解析】
【分析】本题考查频数分布直方图，样本估计总体，扇形统计图等知识，
（1）根据等级的人数和所占的百分比求出总人数，再用总人数减去其它成绩的人数，求出等级的人数，从而补全统计图；
（2）用乘以等级所占的百分比即可；
（3）用总人数乘以等级人数所占的百分比即可；
解题的关键是频数分布直方图和扇形统计图的信息关联．
【小问1详解】
解：∵调查的总人数有：（人），
∴（人），
∴测试等级为的学生人数有人，补全统计图如下：
【小问2详解】
∵，
∴扇形统计图中等级为所对应的扇形圆心角的度数为；
【小问3详解】
∵，
∴估计该校测试等级为的学生有人．
20. 小凡驾驶汽车匀速地从地行驶到地，行驶里程为千米，设小汽车的行驶时间为小时，行驶速度为千米/小时，且全程速度限定为不超过千米/小时．
（1）求关于的函数表达式，
（2）小凡上午点驾驶小汽车从地出发，需在当天点之前（含点）到达地，求汽车行驶速度的范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查反比例函数关系的表示，根据函数表达式求函数值的取值方法，掌握函数表达式的运用是解题的管家．
（1）根据行程问题中的数量关系即可求解；
（2）把题意，，代入（1）中的解析式即可求解．
【小问1详解】
解：根据题意，．
【小问2详解】
解：由题意得：，
因，
所以．（其他方法合理亦可）
21. 如图，在锐角三角形中，．以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连结，点是延长线上的一点，连结，若平分．
（1）求证：；
（2）当，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟知相似三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）由作图可知，得，由邻补角性质得，由平分，可得，即可得证；
（2）由（1）可得，由相似性质得，再因为，即可求解．
【小问1详解】
解：证明：，
，
，
平分，
，
；
【小问2详解】
，
，
，
，
，
，
．
22. 设二次函数（a为实数，且）．
（1）若该函数图象经过点，求二次函数表达式．
（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含a的代数式表示）．
（3）若该函数图象经过点，且满足，求a的值．
【答案】（1）
（2）该函数图象的对称轴：直线，最小值
（3）
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
（1）把已知点的坐标代入中求出的值，从而得到二次函数解析式；
（2）把化为顶点式即可．
（3）把代入解析式得，且满足，即可求出a的值.
【小问1详解】
解：因为函数图象经过点，所以可得：，
解得：，，
因为，所以，
所以．
【小问2详解】
，
该函数图象的对称轴：直线，最小值．
【小问3详解】
∵函数图象经过点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
23. 综合与实践
如图，在矩形中，点E是边AD上的一点（点E不与点A，点D重合），连结BE．过点C作交AD的延长线于点F，过点B作交FC的延长线于点G，过点F作交BE的延长线于点H．点P是线段CF上的一点，且．
探究发现：（1）点点发现结论：．请判断点点发现的结论是否正确，并说明理由．
深入探究：（2）老师请学生经过思考，提出新的问题，请你来解答．
①“运河小组”提出问题：如图1，若点P，点D，点H在同一条直线上，，，求的长．
②“武林小组”提出问题：如图2，连结和，若，，，求的值．
【答案】（1）点点发现的结论正确，理由见解析；（2）①；②
【解析】
【分析】（1）由矩形得到，，证得四边形是平行四边形，故，，利用，得到，结合，即可证得．
（2）①在中根据直角三角形的性质得到，证得，由得到，推出，得到，过点H作，求出，，明，得到，求出，，由，，得，证得，求出，易证四边形是矩形，即可得到．
②连结，由得到，结合得到，又因为，证得，得到，求出，，勾股定理求出，证，所以，，即可求出．
【详解】证明：（1）因为矩形，所以，，
因为，所以四边形是平行四边形，所以，，
因为，所以，
因为，所以，所以，
因为，，所以，
所以．
所以点点发现的结论正确．
（2）①在中，因为，所以，所以，
因为，所以，
因为，所以，所以，
因为四边形是平行四边形，所以，
因为，所以，所以，
过点H作，因为，所以，，
因为，所以，
因为，所以，所以，
所以，所以，所以，所以，
因为，，所以，
因，所以，所以，
因为，,
所以，
所以四边形是矩形，所以．
②连结，在中，因为，所以，所以，
因为，所以，
因为，所以，
所以，所以，，
因为，，所以，
因为，
所以，所以，，
所以．
【点睛】此题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，求锐角三角函数值，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键．
24. 如图，已知四边形内接于，且，点E为弦的中点，连结．延长相交于点F，连结，与相交于点G，与相交于点H．
（1）求证：．
（2）若点C是的中点，，求的值．
（3）连结，探究与之间等量关系，并证明．
【答案】（1）见详解 （2）
（3），理由见详解
【解析】
【分析】（1）可得，由直角三角形斜边上中线的性质及圆内接四边形性质得到，由，可得，即可求证；
（2）过点B作，垂足为点P，由可得，，故，由，可得，，则，，代入数据即可求解；
（3）连接并延长交于点T，连接，由三角形的中位线定理得，，可证，则，根据圆周角定理得，故．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵点E为弦的中点，
∴，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：由（1）得：，，
∴，，
∴，
过点B作，垂足为点P，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵点C是的中点，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：．
连接并延长交于点T，连接，
∵点O、E为中点，
∴，，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆的内接四边形性质，锐角三角函数，相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理，正确添加辅助线是解决本题的关键．

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