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2024年九年级学业水平第三次模拟考试
数学试题（2024.5）
考试时间120分钟 满分150分
第I卷（选择题 共40分）
一．选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1.﹣的相反数是（ ）
A.2024 B.-2024 C. D.﹣
2.一个立体图形的三视图如图所示，则该立体图形是( )
A.圆柱 B.圆锥 C.长方体 D.三棱柱
(第2题图) (第4题图)
3.石墨烯是目前世界上最薄、最坚硬的纳米材料，其理论厚度仅0.00000000034米，将数据0.00000000034用科学记数法表示为( )
A.34x10-11 B.3.4x10-10 C.3.4x10-9 D.0.34x10-9
4.如图，平行线AB、CD被直线EF所截，FG平分∠EFD，若∠EFD=70°，则∠EGF的度数是（ ）
A.35° B.55 C.70° D.110°
5.下列图形由正多边形和圆弧组成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
6.下列运算正确的是（ ）
A.a2·a3=a6 B.(a3)2=a6 C.(2a2)3=2a6 D.a6÷a3=a2
7.为帮助学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质、健全人格、锤炼意志，某校开展了"一人一球"的体育选修课活动．小明和小丽从"篮球""足球""排球"三种选修课中随机选择一种参加，则两人恰好选择同一种课程的概率是（ ）
A. B. C. D.
8.一次函数y=ax+b和反比例函数y=在同一个平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是( )
(第8题图) (第9题图)
9.如图，在平行四边形ABCD中，以点B为圆心，BC的长为半径作弧交AD于点E，分别以点C、E为圆心，大于CE的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线BF交AD的延长线于点G．若∠A=120°，AB=2，DG=1，则BC的长是（ ）
A.+ B. C. D.2
10．已知点A(x1，y1）在直线y=ax(a>0)上，点B(x2，y2)和C(x3，y3)在抛物线y=ax2-4ax上．当y1=y2=y3时，有x1A.2 B.4 C.8 D.10
第II卷（非选择题 共110分）
二.填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11.因式分解：4a2-9= 。
12.七巧板是我国古代的一项发明，被誉为"东方魔板"，它是由五块等腰直角三角形板、一块正方形板和一块平行四边形板组成．如图，在七巧板铺成的正方形地板上，一个小球自由滚动，则小球停留在阴影部分的概率为 。
（第12题图） （第14题图） （第15题图） （第16题图）
13.计算：﹣= 。
14.如图，将四边形ABCD绕点（-1，0）按顺时针方向旋转90°，得到四边形A'B'C'D',则点C的对应点 C’的坐标是 .
15.如图，射线（1）是某公共汽车线路收支差额y（票价总收入减去运营成本）与乘客量x的函数图象．目前这条线路亏损，为了扭转亏损，公交公司在不提高票价的情况下，决定通过优化管理来降低达营成本，改变后y与x的关系图为射线②，两射线与x轴的交点坐标分别是(1.5，0)、(0.6，0)，则当乘客为1万人时，改变后的收支差额较之前增加 万元。
16.如图，在矩形ABCD中，∠ABD=60°，BE=2AE，点F在AD边上运动，以线段EF为斜边作Rt△EFM，其中点M与点A位于EF两侧，∠MEF=30°．连接DM，当DM最小时，= 。
三．解答题（本大题共10个小题，共86分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分6分）计算：-2cos30°+(-1)0+（）﹣2.
18.（本小题满分6分）解不等式组：，并写出它的最小整数解。
19.（本小题满分6分）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE=FD。求证：BF=DE.
20.（本小题满分8分）为了解七年级学生的课外自主阅读情况，某校随机抽取了部分学生，对他们每天的阅读时间（阅读时间取整数，不足一分钟按一分钟算）的情况进行了调研。
【确立样本】
(1)已知学校七年级共6个班，决定共抽取60名学生进行调查，下列选取样本的方法中最合理的一种是 .（只需填上正确答案的序号）
①在每班抽取10个成绩较好的学生。
②在每班按照学号随机抽取10名学生。
③在前3个班每班随机抽取20人进行调查。
【收集数据】
利用软件将数据按由小到大的顺序排序，部分数据呈现如下：.....39，39，39，41，42，44，46，53，53，53，53，54，56，58，59，61，62，72，75....
【整理数据】
按照每天阅读的总时长分为A，B，C，D，E五组，相关信息如下：
【数据分析】
根据以上信息，解答下列问题：
分钟
(2)a= 分钟；b= ；本次问卷调查中阅读总时长的中位数为 分钟.
(3)C组数据的众数是 分钟，小明根据以上数据绘制了扇形统计图，其中C组对应扇形的圆心角为 度。
(4)已知七年级学生共有300人，请你估计七年级阅读的总时长超过60分钟的学生人数：
21.（本小题满分8分）如图，是某品牌电动单人沙发的实物图，在电动沙发调节过程中沙发的座深BC与水平地面是平行的，图2是电动沙发在初始状态时的侧面示意图，靠背AB与座垫BC的夹龟∠ABC=110"，座垫BC与脚托CD垂直，即BC⊥CD，且点D恰好落在水平地面EF上，为满足不同使用功能的需要，通过控制开关可以电动调节AB和CD分别绕点B和点C旋转合适的角度，其侧面示意图如图3所示，已知电动沙发的产品尺寸为：AB=50cm，BC=50cm，CD=40cm，在电动调节过程中始终满足∠A'BA:∠DCD'=5:8，且110°<∠A'BC<160°
(1)在电动沙发的初始状态时，求靠背的最高点4到水平地面的距离；
(2)在电动调节的过程中，求出此电动沙发可伸展的最大水平距离．（参考数据：sin70°≈0.94,cos70°=0.34,tan70°=2.75,sin80°≈0.98,cos80°=0.17,tan80°=5.67，结果精确到1cm）
22.（本小题满分8分）
如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，点C和点D为⊙O上两点，连接DB、AC并延长交于点E，CF是⊙O的切线，且CF⊥DE，垂足为F，连接CD.
(1)求证：∠CDE=∠E;
(2)已知AB=10，sinA=，求BF的长.
23.（本小题满分10分）为丰富学校图书资源，鼓励学生多读书、读好书、好读书，学校决定购买若干甲、乙两种品牌的平板电脑组建新的电子阅览室，经了解，甲、乙两种品牌的平板电脑单价分别为3000元和2500元，学校计划购买甲、乙两种品牌的平板电脑共60台．
(1)若恰好支出170000元，求甲、乙两种品牌的平板电脑各购买了多少台？
(2)若购买乙种品牌数量不超过甲种品牌数量的2倍，间甲、乙两种品牌的平板电脑各购买多少台时花费最少？最少花费是多少元"
24.（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，将OA绕点O顺时针旋转60°得到OB，点b在反比例函数y=的图象上，连接AB.
(1)求k的值；
(2)作△OAB关于直线y=m对称的△O'A'B'，点O、A、B的对应点分别为点O'、A'、B'，当反比例函数y=的图象恰好经过△O'A'B'的边A'B'的中点时，求m的值；
(3)若P为平面内一点，Q为双曲线y=上一点，是否存在点P和点Q，使得四边形ABPQ是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
25.（本小题满分12分）如图，抛物线M过点E(-2，3)，与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧）,与y轴交于点C，顶点D的坐标为（-1，4）.
(1)求抛物线M的表达式和点A的坐标；
(2)点F是线段AC上一动点，求△DEF周长的最小值；
(3)平移抛物线M得到抛物线N，已知抛物线N过点D，顶点为P，其对称轴与抛物线M交于点Q，若∠PDQ=4∠DPQ，直接写出点p的坐标。
26.（本小题满分12分）已知Rt△ABC中，∠ACB=90°,BC=3,AC=6，点D是AB上一点，连接CD.
(1)如图1，过点D作DE⊥AD，连接AE，且∠DAE=∠BAC，延长线段CD、BE交手点M，则
= ，tanM= .
(2)如图2，过点C作CE⊥CD ，且∠CED=∠BAC，连接AE.
①已知点G是线段ED的中点，连接AG，若CD=，求cos∠GAC的值；
②如图3，过点A作AH⊥ED，垂足为点H，交EC于点N，若BD=AB，直接写出AN的长。
答案
一．选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1.﹣的相反数是（ C ）
A.2024 B.-2024 C. D.﹣
2.一个立体图形的三视图如图所示，则该立体图形是( D )
A.圆柱 B.圆锥 C.长方体 D.三棱柱
(第2题图) (第4题图)
3.石墨烯是目前世界上最薄、最坚硬的纳米材料，其理论厚度仅0.00000000034米，将数据0.00000000034用科学记数法表示为( B )
A.34x10-11 B.3.4x10-10 C.3.4x10-9 D.0.34x10-9
4.如图，平行线AB、CD被直线EF所截，FG平分∠EFD，若∠EFD=70°，则∠EGF的度数是（ A ）
A.35° B.55 C.70° D.110°
5.下列图形由正多边形和圆弧组成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ D ）
6.下列运算正确的是（ B ）
A.a2·a3=a6 B.(a3)2=a6 C.(2a2)3=2a6 D.a6÷a3=a2
7.为帮助学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质、健全人格、锤炼意志，某校开展了"一人一球"的体育选修课活动．小明和小丽从"篮球""足球""排球"三种选修课中随机选择一种参加，则两人恰好选择同一种课程的概率是（ C ）
A. B. C. D.
8.一次函数y=ax+b和反比例函数y=在同一个平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是( A )
(第8题图) (第9题图)
9.如图，在平行四边形ABCD中，以点B为圆心，BC的长为半径作弧交AD于点E，分别以点C、E为圆心，大于CE的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线BF交AD的延长线于点G．若∠A=120°，AB=2，DG=1，则BC的长是（ C ）
A.+ B. C. D.2
10．已知点A(x1，y1）在直线y=ax(a>0)上，点B(x2，y2)和C(x3，y3)在抛物线y=ax2-4ax上．当y1=y2=y3时，有x1A.2 B.4 C.8 D.10
第II卷（非选择题 共110分）
二.填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11.因式分解：4a2-9= (2a+3)(2a﹣3) 。
12.七巧板是我国古代的一项发明，被誉为"东方魔板"，它是由五块等腰直角三角形板、一块正方形板和一块平行四边形板组成．如图，在七巧板铺成的正方形地板上，一个小球自由滚动，则小球停留在阴影部分的概率为 。
（第12题图） （第14题图） （第15题图） （第16题图）
13.计算：﹣= 。
14.如图，将四边形ABCD绕点（-1，0）按顺时针方向旋转90°，得到四边形A'B'C'D',则点C的对应点 C’的坐标是 （2，﹣4） .
15.如图，射线（1）是某公共汽车线路收支差额y（票价总收入减去运营成本）与乘客量x的函数图象．目前这条线路亏损，为了扭转亏损，公交公司在不提高票价的情况下，决定通过优化管理来降低达营成本，改变后y与x的关系图为射线②，两射线与x轴的交点坐标分别是(1.5，0)、(0.6，0)，则当乘客为1万人时，改变后的收支差额较之前增加 0.9 万元。
16.如图，在矩形ABCD中，∠ABD=60°，BE=2AE，点F在AD边上运动，以线段EF为斜边作Rt△EFM，其中点M与点A位于EF两侧，∠MEF=30°．连接DM，当DM最小时，= 。
三．解答题（本大题共10个小题，共86分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分6分）计算：-2cos30°+(-1)0+（）﹣2.
=﹣+1+9
=10
18.（本小题满分6分）解不等式组：，并写出它的最小整数解。
解：解不等式①得：x>-3
解不等式②得：x≥-2
∴原不等式组的解集为：x≥-2
最小整数解为﹣2
19.（本小题满分6分）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE=FD。求证：BF=DE.
证明：∵在菱形ABCD中
∴AB=AD
∴BE=FD
∴AB﹣BE=AD﹣FD
即AE=AF
在△ABF和△ADE中
∴△ABF≌△ADE(SAS)
∴BF=DE
20.（本小题满分8分）为了解七年级学生的课外自主阅读情况，某校随机抽取了部分学生，对他们每天的阅读时间（阅读时间取整数，不足一分钟按一分钟算）的情况进行了调研。
【确立样本】
(1)已知学校七年级共6个班，决定共抽取60名学生进行调查，下列选取样本的方法中最合理的一种是 .（只需填上正确答案的序号）
①在每班抽取10个成绩较好的学生。
②在每班按照学号随机抽取10名学生。
③在前3个班每班随机抽取20人进行调查。
【收集数据】
利用软件将数据按由小到大的顺序排序，部分数据呈现如下：.....39，39，39，41，42，44，46，53，53，53，53，54，56，58，59，61，62，72，75....
【整理数据】
按照每天阅读的总时长分为A，B，C，D，E五组，相关信息如下：
【数据分析】
根据以上信息，解答下列问题：
分钟
(2)a= 分钟；b= ；本次问卷调查中阅读总时长的中位数为 分钟.
(3)C组数据的众数是 分钟，小明根据以上数据绘制了扇形统计图，其中C组对应扇形的圆心角为 度。
(4)已知七年级学生共有300人，请你估计七年级阅读的总时长超过60分钟的学生人数：
(1)a=6 b=51 45.
(2)53 72
(3)300x(25%+10%)=105（人）
答：超过60分钟的学生人数为105人。
21.（本小题满分8分）如图，是某品牌电动单人沙发的实物图，在电动沙发调节过程中沙发的座深BC与水平地面是平行的，图2是电动沙发在初始状态时的侧面示意图，靠背AB与座垫BC的夹龟∠ABC=110"，座垫BC与脚托CD垂直，即BC⊥CD，且点D恰好落在水平地面EF上，为满足不同使用功能的需要，通过控制开关可以电动调节AB和CD分别绕点B和点C旋转合适的角度，其侧面示意图如图3所示，已知电动沙发的产品尺寸为：AB=50cm，BC=50cm，CD=40cm，在电动调节过程中始终满足∠A'BA:∠DCD'=5:8，且110°<∠A'BC<160°
(1)在电动沙发的初始状态时，求靠背的最高点4到水平地面的距离；
(2)在电动调节的过程中，求出此电动沙发可伸展的最大水平距离．（参考数据：sin70°≈0.94,cos70°=0.34,tan70°=2.75,sin80°≈0.98,cos80°=0.17,tan80°=5.67，结果精确到1cm）
(1)延长CB至点H，过点A作AQ⊥EF，交EF于点Q，交CH于点P
∵∠ABC=110°
∴∠ABP=180°-110°=70°
在Rt△ABP中，AB=50cm
∴sin70°=
∴AP=AB·sin70°=50x0.94=47cm
∵平行线之间的距离处处相等
∴PO=CD=40cm
∵AO=AP﹣PO=47+40=87cm
∴靠背的最高点才到水平地面的距离为87cm
(2)I为BC所在直线，过点A'作A'S⊥I，垂直为点S，过点D'作D'T⊥I，垂足为点T.当电动沙发伸展的最大水平距离时，即∠A'BC=160°
∴∠A'BS=180°-∠A'BC=180°-160°=20°，∠BA'S=90°-∠A'BS=70°
由题意可知，A'B=AB=50cm，CD'=CD=40cm
∵在Rt△A'BS中
∴BS=A'B·sin70°=50x0.94=47cm
又：∠A'BA=∠A'BC﹣∠ABC=160°-110°=50°
∵∠ABA:∠DCD'=5:8
∴∠DCD'=80°，∠CD’T=∠DCD'=70°
在Rt△CD’T中
∴CT=CD’·sin80°=40x0.98=39.2cm
∴ST=BS+BC+CT=47-50-39.2=136.2cm≈136cm
则电动沙发伸展的最大水平距离为136cm
22.（本小题满分8分）
如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，点C和点D为⊙O上两点，连接DB、AC并延长交于点E，CF是⊙O的切线，且CF⊥DE，垂足为F，连接CD.
(1)求证：∠CDE=∠E;
(2)已知AB=10，sinA=，求BF的长.
（1）连接OC
∵CF为切线
∴OC⊥CF
∴∠OCF=90°
∵CF⊥DE
∴∠CFD=90°
∴∠OCF+∠CFD=180
∴OC∥DE
∴∠E=∠OCA
∵弧BC=弧BC
∴∠CDE=∠A
∵OC=OA
∴∠CDE=∠E
(2)连接BC
∵AB为直径
∴∠BCA=90°
∴∠E+∠CBE=90°
∵∠BFC=90°
∴∠BCF+∠CBE=90°
∴∠BCF=∠E=∠A
∴sin∠BCF=sinA=
∴Rt△ABC，BC=AB·sinA=10x=6
∴在Rt△CBF中，BF=BC·sin∠BCF=6x=
23.（本小题满分10分）为丰富学校图书资源，鼓励学生多读书、读好书、好读书，学校决定购买若干甲、乙两种品牌的平板电脑组建新的电子阅览室，经了解，甲、乙两种品牌的平板电脑单价分别为3000元和2500元，学校计划购买甲、乙两种品牌的平板电脑共60台．
(1)若恰好支出170000元，求甲、乙两种品牌的平板电脑各购买了多少台？
(2)若购买乙种品牌数量不超过甲种品牌数量的2倍，间甲、乙两种品牌的平板电脑各购买多少台时花费最少？最少花费是多少元"
解：(1)设甲种品牌的电脑购买了x台，乙种品牌的电脑购买了y台.
则
解得
答：甲种品牌的电脑购买了40台，乙种品牌的电脑购买了20台．
(2)设甲种品牌的电脑购买了m台，乙种品牌的电脑购买了（60-m）台，由题，60-m≤2m
解得m≥20
设费用为w,则w=3000m+2500(60-m)=500m+150000
∵500>0
∴w随m的增大而增大
∴当m=20时，w最少，此时w=500m+150000=160000.
∴甲种品牌的电脑购买20台，乙种品牌的电脑购买40台最省钱，最少费用为160000元．
24.（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，将OA绕点O顺时针旋转60°得到OB，点b在反比例函数y=的图象上，连接AB.
(1)求k的值；
(2)作△OAB关于直线y=m对称的△O'A'B'，点O、A、B的对应点分别为点O'、A'、B'，当反比例函数y=的图象恰好经过△O'A'B'的边A'B'的中点时，求m的值；
(3)若P为平面内一点，Q为双曲线y=上一点，是否存在点P和点Q，使得四边形ABPQ是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
(1)A(0，2)，OA=2
∵将OA绕点O顺时针旋转60°得到OB
∴OB=OA=2，∠AOB=60°
过点B向x轴的垂线，交x轴于点C
∴∠BOC=30°
∴BC=1
∵Rt△ABO中，OB=2
∴OC=
∴B(，1)
∴点B在反比例函数y=的图象
∴k=
(1)将△OAB关于直线y=m对称得到△O'A'B'
A'(0，2m-2)，B'(，2m-1)，O'(0，2m)..
当反比例函数y=过边AB'的中点时
边A’B'的中点是(，2m－1.5)
∴（2m－1.5）=，得m=
当反比例函数y=过边O'B'的中点时，
边O’A’的中点是（，2m－0.5）
（3）（，3）或（﹣，﹣1）
25.（本小题满分12分）如图，抛物线M过点E(-2，3)，与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧）,与y轴交于点C，顶点D的坐标为（-1，4）.
(1)求抛物线M的表达式和点A的坐标；
(2)点F是线段AC上一动点，求△DEF周长的最小值；
(3)平移抛物线M得到抛物线N，已知抛物线N过点D，顶点为P，其对称轴与抛物线M交于点Q，若∠PDQ=4∠DPQ，直接写出点p的坐标。
∵顶点D的坐标为（-1，4)，设二次函数表达式为y=a(x+1)2+4，将点E(-2，3)代入得a=-1
∵抛物线M的表达式为：y=-(x+1)2+4
当y=0时，x=-3或1
∵点A在点B左侧，
∴点A的坐标为（-3，0）.
当x=0时，y=3，
∴点C的坐标为（0，3）
∴直线AC的表达式为：y=x+3
作E关于AC的对称点E'，则EE'⊥AC，设垂足为G，则点G为E与E'的中点
∵直线AC的表达式为y=x+3，所以EE'的表达式为y=x+1
联立可得点G的坐标为（-1，2）
点E’的坐标为（0，1）
∵D(-1，4)，E(-2，3)，E'(0，1)
∴DE=、DE'=
∴C△DEF周长的最小值为+
26.（本小题满分12分）已知Rt△ABC中，∠ACB=90°,BC=3,AC=6，点D是AB上一点，连接CD.
(1)如图1，过点D作DE⊥AD，连接AE，且∠DAE=∠BAC，延长线段CD、BE交手点M，则
= ，tanM= .
(2)如图2，过点C作CE⊥CD ，且∠CED=∠BAC，连接AE.
①已知点G是线段ED的中点，连接AG，若CD=，求cos∠GAC的值；
②如图3，过点A作AH⊥ED，垂足为点H，交EC于点N，若BD=AB，直接写出AN的长。
（1），
（2）①30°
②

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