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2023-2024学年第二学期八年级数学期末模拟试卷（4）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（　　）
A．ax2+bx+c＝0 B．（x+2）（x﹣3）＝x2﹣1 C．x2+1＝0 D．
2．下列各式计算正确的是（　　）
A． B．6＝2 C． D．5
3．2022年北京冬奥会在北京，张家口等地召开，在此之前进行了冬奥会会标征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（　　）
A．4 B．﹣4 C．±4 D．2
5．下列条件中，能判定四边形是矩形的是（　　）
A．对角线互相平分 B．对角线互相平分且垂直
C．对角线互相平分且相等 D．对角线互相垂直且相等
6．用反证法证明“三角形中最多有一个内角是直角”应先假设这个三角形中（　　）
A．至少有两个内角是直角 B．没有一个内角是直角
C．至少有一个内角是直角 D．每一个内角都不是直角
7．为了加强中小学生的安全意识，某校开展“防溺水”知识竞赛．来自不同年级的29名参赛同学的得分情况如表所示，这些成绩的中位数和众数分别是（　　）
成绩/分 80 85 90 95 100
人数/人 2 4 8 10 5
A．95分，95分 B．100分，90分 C．90分，95分 D．80分，100分
8．如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE长（　　）
A． B． C． D．
9．设函数，，当1≤x≤3时，函数y1的最大值是m，函数y2的最大值是m﹣2，则m＝（　　）
A．﹣6 B． C． D．2
10．如图，菱形ABCD中，点M为BC的中点，点N为对角线AC上一个动点，连接BN，MN．若MN+BN＝5，则AB的最大值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．当a＝﹣1时，二次根式的值是 　 　．
12．如果一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是 　 　边形．
13．某招聘考试中，小慧的笔试成绩为80分，面试成绩为90分，然后按照笔试成绩占40%、面试成绩占60%，计算最终成绩，则小慧的最终成绩为 　 　分．
14．已知一元二次方程x2﹣3x+k＝0的两个实数根为x1，x2，若x1x2+x1+x2＝1，则实数k＝　 　．
15．如图，点B在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上，且BC∥y轴，AC⊥BC，垂足为C，交y轴于点A．若△ABC的面积为5，则k＝　 　．
16．如图，四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．若AB＝6，则CE+CG的值为 　 　．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．计算：
（1）； （2）．
18．解方程：
（1）（x+2）（x+4）＝x+2 （2）x2﹣3x﹣1＝0
19．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，△ABC的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
①在图（1）中，过点A画BC的平行线AG；
②在图（2）中，画△ABC的中线BH；
③在图（3）中，画△ABC的角平分线AK．
20．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥CE，∠ADC的角平分线DE交AB于点E，连接CE、AC，AC交DE于点O．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若点E是AB的中点，CD＝5，求AB的长．
21．4月24日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动．为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取了20名学生的成绩进行统计分析（6分及6分以上为合格：9分及9分以上为优秀），绘制了如下统计图表：
学生成绩统计表
七年级 八年级
平均数 m 7.55
中位数 8 b
众数 a 7
根据上述信息，解答下列问题：
（1）学生成绩统计表中a＝　 　，b＝　 　；
（2）求七年级学生成绩的平均数m；
（3）根据以上数据，你认为该校七年级和八年级中，哪个年级的学生对航天航空知识掌握更好？并说明理由．
22．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？
如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？
素材1 某公司在网上和实体店同时销售一种自主研发的小商品，成本价为40元/件．
素材2 该商品的网上销售价定为60元/件，平均每天销售量是200件，在实体店的销售价定为80元/件，平均每天销售量是100件．按公司规定，实体店的销售价保持不变，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价．
素材3 据调查，网上销售价每降低1元，网上销售每天平均多售出20件，实体店的销售受网上影响，平均每天销售量减少2件．
问题解决
任务1 计算所获利润 当该商品网上销售价为50元/件时，求公司在网上销售该商品每天的毛利润与实体店销售该商品每天的毛利润各是多少元？
任务2 拟定价格方案 公司要求每天的总毛利润（总毛利润＝网上毛利润+实体店毛利润）达到8160元，求每件商品的网上销售价是多少元？
23．在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意点A（x，y），我们把点B称为点A的“倒数点”．
（1）写出平面直角坐标系中第三象限内“倒数点”是本身的点的坐标 　 　；
（2）点P是反比例函数图象上的一点，求出点P的“倒数点”Q满足的函数表达式；
（3）如图，矩形OCDE的顶点C为（3，0），顶点E在y轴上，函数的图象与DE交于点A．若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形OCDE的一边上，求△OBC的面积．
24．如图①正方形ABCD中，点E是对角线AC上任意一点，连接DE，BE．
（1）求证：DE＝BE；
（2）当AE＝AB时，求∠BED的度数；
（3）如图②，过点E作EF⊥DE交AB于点F，当BE＝BF时，若AB＝．求AF的长．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（　　）
A．ax2+bx+c＝0 B．（x+2）（x﹣3）＝x2﹣1
C．x2+1＝0 D．
【思路点拨】根据一元二次方程的定义判断即可．
【解析】解：A、当a＝0时，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，本选项不符合题意；
B、化简后为x＝﹣5不是一元二次方程，本选项不符合题意；
C、x2+1＝0是一元二次方程，本选项符合题意；
D、不是整式方程，不是一元二次方程，本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
2．下列各式计算正确的是（　　）
A． B．6＝2 C． D．5
【思路点拨】根据二次根式的加减法对A、D进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．
【解析】解：A、与不能合并，所以A选项错误；
B、原式＝2，所以B选项错误；
C、原式＝＝，所以C选项正确；
D、原式＝3，所以D选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
3．2022年北京冬奥会在北京，张家口等地召开，在此之前进行了冬奥会会标征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【思路点拨】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解析】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：B．
【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
4．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（　　）
A．4 B．﹣4 C．±4 D．2
【思路点拨】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝0，建立关于m的方程，即可求解．
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4m＝0，
解得m＝4．
故选：A．
【点睛】此题考查了根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：（1）Δ＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0 方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0 方程没有实数根．
5．下列条件中，能判定四边形是矩形的是（　　）
A．对角线互相平分 B．对角线互相平分且垂直
C．对角线互相平分且相等 D．对角线互相垂直且相等
【思路点拨】根据矩形的判定即可得到结论．
【解析】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A选项不能判定四边形是矩形；
B、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故B选项不能判定四边形是矩形；
C、对角线相互平分且相等的四边形是矩形，故C选项能判定四边形是矩形；
D、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是矩形，故D选项不能判定四边形是矩形；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定条件，解题的关键在于能够熟练掌握矩形的判定条件．
6．用反证法证明“三角形中最多有一个内角是直角”应先假设这个三角形中（　　）
A．至少有两个内角是直角 B．没有一个内角是直角
C．至少有一个内角是直角 D．每一个内角都不是直角
【思路点拨】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
【解析】解：用反证法证明“三角形中最多有一个内角是直角”应先假设这个三角形中至少有两个内角是直角，
故选：A．
【点睛】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
7．为了加强中小学生的安全意识，某校开展“防溺水”知识竞赛．来自不同年级的29名参赛同学的得分情况如表所示，这些成绩的中位数和众数分别是（　　）
成绩/分 80 85 90 95 100
人数/人 2 4 8 10 5
A．95分，95分 B．100分，90分 C．90分，95分 D．80分，100分
【思路点拨】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．
【解析】解：把这些数据从小到大排列，最中间的两个数是第15个数，
所以这些成绩的中位数是：95；
95出现了10次，出现的次数最多，则众数是95，
所以这些成绩的中位数和众数分别是95分，95分．
故选：A．
【点睛】本题考查了中位数和众数的概念，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
8．如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE长（　　）
A． B． C． D．
【思路点拨】过E作EF⊥DC于F，根据正方形的性质和角平分线的性质以及勾股定理即可求出DE的长．
【解析】解：过点E作EF⊥DC于点F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，∠BDC＝45°，
∵CE平分∠ACD交BD于点E，
∴EO＝EF，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴AB＝BC＝1，
由勾股定理得，
∴，
在△EOC和△EFC中，
，
∴△EOC≌△EFC（AAS），
∴，
∵EF⊥DC，∠BDC＝45°，
∴△DEF为等腰直角三角形，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质：对角线相等且互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角、角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等以及勾股定理的运用．
9．设函数，，当1≤x≤3时，函数y1的最大值是m，函数y2的最大值是m﹣2，则m＝（　　）
A．﹣6 B． C． D．2
【思路点拨】根据反比例函数性质可知y1图象上对应最大值的点坐标为（1，m）．y2图象上对应最大值的点坐标为（3，m﹣2）．据此列出方程求出m值即可．
【解析】解：∵当1≤x≤3时，函数y1的最大值是m，函数y2的最大值是m﹣2，
∴y1图象上对应最大值的点坐标为（1，m）．y2图象上对应最大值的点坐标为（3，m﹣2）．，
∴﹣m＝3（m﹣2），
解得m＝．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数性质是关键．
10．如图，菱形ABCD中，点M为BC的中点，点N为对角线AC上一个动点，连接BN，MN．若MN+BN＝5，则AB的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【思路点拨】连接ND、BD、DM，DM与CA交于点N′，由菱形的性质可得当且仅当ND+NM最小，即N、D、M三点共线，且DM⊥CB时，AB最大，此时DM＝N′D+N′M＝5，然后根据等边三角形的性质可得答案．
【解析】解：如图所示，连接ND、BD、DM，DM与CA交于点N′，
菱形ABCD中，BD与CA互相垂直平分，
∴点B、点D关于CA对称，
∴NB＝ND，
∵BN+MN＝5，
∴ND+NM＝5，
当且仅当ND+NM最小，即N、D、M三点共线，且DM⊥CB时，AB最大，此时DM＝N′D+N′M＝5，
∵点M为BC的中点，DM⊥BC，
∴CD＝BD，
∵CD＝BC，
∴CD＝CB＝BD，
∴△CBD是等边三角形，
∴∠DCM＝60°，∠CDM＝30°，
∴CM＝DM×＝5×＝，
∴AB＝CD＝2CM＝，
故选：C．
【点睛】此题考查的是菱形的性质，正确作出辅助线是解决此题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．当a＝﹣1时，二次根式的值是 　2　．
【思路点拨】把a＝﹣1代入计算即可．
【解析】解：当a＝﹣1时，
＝＝＝2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握算术平方根的概念．
12．如果一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是 　六　边形．
【思路点拨】根据多边形的内角和与外角和的计算方法列方程求解即可．
【解析】解：设这个多边形为n边形，由题意得，
（n﹣2）×180°＝360°×2，
解得n＝6，
即这个多边形为六边形，
故答案为：六．
【点睛】本题考查多边形的内角与外角，掌握多边形内角和、外角和的计算方法是正确解答的前提．
13．某招聘考试中，小慧的笔试成绩为80分，面试成绩为90分，然后按照笔试成绩占40%、面试成绩占60%，计算最终成绩，则小慧的最终成绩为 　86　分．
【思路点拨】根据加权平均数的定义列式计算即可．
【解析】解：小慧的最终成绩为80×40%+90×60%＝86（分），
故答案为：86．
【点睛】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
14．已知一元二次方程x2﹣3x+k＝0的两个实数根为x1，x2，若x1x2+x1+x2＝1，则实数k＝　﹣2　．
【思路点拨】根据一元二次方程根与系数的关系分别求出x1+x2，x1 x2的值代入x1x2+x1+x2＝1求解即可．
【解析】解：∵x1+x2＝3，x1 x2＝k，
∴k+3＝1，
∴k＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若x1，x2为方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，则x1，x2与系数的关系式：x1+x2＝，x1 x2＝．
15．如图，点B在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上，且BC∥y轴，AC⊥BC，垂足为C，交y轴于点A．若△ABC的面积为5，则k＝　﹣2　．
【思路点拨】设点C的坐标为，进而得到，，根据△ABC的面积为5，列出方程进行求解即可．
【解析】解：∵点C在反比例函数上，
∴设点C的坐标为，
∵BC∥y轴，AC⊥BC，
∴，，
∴，
∵△ABC的面积为5，
∴，
解得：k＝﹣2
故答案为：﹣2．
【点睛】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握k值的几何意义是关键．
16．如图，四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．若AB＝6，则CE+CG的值为 　　．
【思路点拨】过点E作MN⊥BC于点M，作EN⊥CD于N，利用正方形的性质，角平分线的性质以及全等三角形的判定可证△EMF≌△END得出EF＝ED，再证明△ADE≌△CDG，得出AE＝CG，则可证CE+CG＝AC，最后利用勾股定理求解即可．
【解析】解：过点E作MN⊥BC于点M，作EN⊥CD于N，
∵四边形ABCD为正方形，AB＝6，
∴AD＝CD＝6，AC平分∠BCD，∠BCD＝∠ADC＝90°，，
∴EM＝EN，四边形EMCN是矩形，
∴∠MEN＝90°，
又∵EF⊥DE，
∴∠MEN＝∠FED＝90°，
∴∠MEF＝∠NED，
又∵∠EMF＝∠END＝90°，EM＝EN，
∴△EMF≌△END（ASA），
∴EF＝ED，
∴矩形DEFG是正方形，
又∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ADC＝∠EDG＝90°，DE＝DG，
∴∠ADE＝∠CDG，
∴△ADE≌△CDG（AAS），
∴AE＝CG，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，添加合适的辅助线，证明矩形DEFG是正方形是解题的关键．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．计算：
（1）； （2）．
【思路点拨】（1）根据二次根式的加减混合运算法则求解即可；
（2）先计算二次根式的乘法，然后计算加法．
【解析】解：（1）
＝
＝；
（2）
＝
＝．
【点睛】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式运算的相关法则．
18．解方程：
（1）（x+2）（x+4）＝x+2 （2）x2﹣3x﹣1＝0
【思路点拨】（1）先移项，然后利用因式分解法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可．
【解析】解：（1）∵（x+2）（x+4）＝x+2，
∴（x+2）（x+4）﹣（x+2）＝0，
∴（x+2）（x+4﹣1）＝0，
∴x+2＝0或x+4﹣1＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝﹣3；
（2）∵x2﹣3x﹣1＝0，
∴a＝1，b＝﹣3，c＝﹣1，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13＞0，
∴，
解得．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，正确进行计算是解题关键．
19．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，△ABC的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
①在图（1）中，过点A画BC的平行线AG；
②在图（2）中，画△ABC的中线BH；
③在图（3）中，画△ABC的角平分线AK．
【思路点拨】①根据平行线的判定画图即可．
②取AC的中点H，连接BH即可．
③结合等腰三角形的性质，延长AB至点D，使AD＝AC，取CD的中点E，连接AE交BC于点K，则AK即为所求．
【解析】解：①如图（1），AG即为所求．
②如图（2），BH即为所求．
③由勾股定理得，AC＝＝5．
如图（3），延长AB至点D，使AD＝AC＝5，
则△ACD为等腰三角形．
取CD的中点E，连接AE交BC于点K，
则AK即为所求．
【点睛】本题考查作图—应用与设计作图、平行线的判定、三角形的中线、等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
20．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥CE，∠ADC的角平分线DE交AB于点E，连接CE、AC，AC交DE于点O．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若点E是AB的中点，CD＝5，求AB的长．
【思路点拨】（1）由平行四边形的判定得出四边形AECD是平行四边形，由角平分线的性质结合平行线的性质得出∠ADE＝∠AED，推出AD＝AE，即可得证；
（2）由菱形的性质可得CE＝CD＝5，AO＝CO，AC∥DE，由三角形中位线定理得出OE∥BC，推出AC⊥BC，再由直角三角形的性质即可得出答案．
【解析】（1）证明：∵AB∥CD，AD∥CE，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵DE是∠ADC的角平分线，
∴∠ADE＝∠CDE，
又∵AB∥CD，
∴∠AED＝∠CDE，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，
∴平行四边形AECD是菱形．
（2）解：∵四边形AECD是菱形，
∴CE＝CD＝5，AO＝CO，AC∥DE，
∵点E是AB的中点，
∴OE∥BC，
∴AC⊥BC，
∵在Rt△ACB中，点E是AB的中点，
∴AB＝2CE＝2CD＝10．
【点睛】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、角平分线的定义、三角形中位线定理、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
21．4月24日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动．为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取了20名学生的成绩进行统计分析（6分及6分以上为合格：9分及9分以上为优秀），绘制了如下统计图表：
学生成绩统计表
七年级 八年级
平均数 m 7.55
中位数 8 b
众数 a 7
根据上述信息，解答下列问题：
（1）学生成绩统计表中a＝　8　，b＝　7.5　；
（2）求七年级学生成绩的平均数m；
（3）根据以上数据，你认为该校七年级和八年级中，哪个年级的学生对航天航空知识掌握更好？并说明理由．
【思路点拨】（1）分别根据众数和中位数的定义解答即可；
（2）根据加权平均数的计算公式计算即可；
（3）比较两个年级的平均数、众数和中位数可得答案．
【解析】解：（1）由统计图可知，七年级中8分出现的次数最多，故众数a＝8；
把八年级20名学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为7，8，故中位数b＝＝7.5．
故答案为：8，7.5；
（2）七年级学生成绩的平均数m＝5×20%+6×10%+7×10%+8×30%+9×15%+10×15%＝7.55；
（3）七年级的学生对航天航空知识掌握更好，理由如下：
因为两个年级的平均数相同，但七年级的中位数和众数均高于八年级，所以七年级的学生对航天航空知识掌握更好．
【点睛】本题考查加权平均数，中位数以及众数，掌握相关统计量的计算方法是正确解答的前提．
22．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？
如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？
素材1 某公司在网上和实体店同时销售一种自主研发的小商品，成本价为40元/件．
素材2 该商品的网上销售价定为60元/件，平均每天销售量是200件，在实体店的销售价定为80元/件，平均每天销售量是100件．按公司规定，实体店的销售价保持不变，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价．
素材3 据调查，网上销售价每降低1元，网上销售每天平均多售出20件，实体店的销售受网上影响，平均每天销售量减少2件．
问题解决
任务1 计算所获利润 当该商品网上销售价为50元/件时，求公司在网上销售该商品每天的毛利润与实体店销售该商品每天的毛利润各是多少元？
任务2 拟定价格方案 公司要求每天的总毛利润（总毛利润＝网上毛利润+实体店毛利润）达到8160元，求每件商品的网上销售价是多少元？
【思路点拨】任务1：根据毛利润＝单件毛利润×销售数量求解即可；
任务2：先分别求出两种销售方式的毛利润，再根据总毛利润＝网上毛利润+实体店毛利润求解即可；
任务3：结合任务2的结论，利用完全平方公式变形求解即可．
【解析】解：任务1：网上毛利润为：（50﹣40）×（200+20×10）＝10×400＝4000（元），
实体店毛利润为：（80﹣40）×（100﹣2×10）＝40×80＝3200（元），
任务2：设网上销售价下降x元/件，则
网上毛利润为：（60﹣40﹣x）×（200+20x）＝﹣20x2+200x+4000，
实体店毛利润为：（80﹣40）×（100﹣2x）＝4000﹣80x，
总毛利润为：﹣20x2+200x+4000+4000﹣80x＝﹣20x2+120x+8000，
根据题意得，﹣20x2+120x+8000＝8160，
解得，x1＝2；x2＝4，
∴60﹣x＝58或56，
答：该商品的网上销售价是每件58元或56元．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，列代数式，以及一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解答本题的关键．
23．在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意点A（x，y），我们把点B称为点A的“倒数点”．
（1）写出平面直角坐标系中第三象限内“倒数点”是本身的点的坐标 　（﹣1，﹣1）　；
（2）点P是反比例函数图象上的一点，求出点P的“倒数点”Q满足的函数表达式；
（3）如图，矩形OCDE的顶点C为（3，0），顶点E在y轴上，函数的图象与DE交于点A．若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形OCDE的一边上，求△OBC的面积．
【思路点拨】（1）在第三象限，只有﹣1的倒数是它本身，所以第三象限内“倒数点”是本身的点的坐标（﹣1，﹣1）；
（2）点P（x，y）的“倒数点”Q满足的坐标是（，）据此可得点Q满足的函数表达式；
（3）设A点坐标为（m，）则B（，），点B的纵横坐标满足，根据反比例函数的性质可知点B在y＝的图象上，且点B不会在坐标轴上，只能再边ED或CD上，分情况讨论即可得到三角形OBC的面积．
【解析】解：（1）根据倒数的规定，在第三象限，只有﹣1的倒数是它本身，所以第三象限内“倒数点”是本身的点的坐标（﹣1，﹣1），
故答案为：（﹣1，﹣1）；
（2）∵点P是反比例函数图象上的一点，
∴点P（x，y）的“倒数点”Q满足的坐标是（，），
∴xy＝，
∴y＝；
（3）设A点坐标为（m，）
∵点B是点A的“倒数点”，
∴B（，），
∴点B的纵横坐标满足，
∴点B在y＝的图象上，且点B不会在坐标轴上，只能再边ED或CD上，
①点B在边ED上时，点A、B纵坐标相同，即，
∴m＝2或m＝﹣2（舍去），点B的纵坐标为1，
∴S△OBC＝＝，
②当点B在CD上时，点B的横坐标为3，点B的纵坐标为，
∴S△OBC＝＝．
综上所述，三角形OBC的面积为或．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握纵横坐标之积是定值是解答本题的关键．
24．如图①正方形ABCD中，点E是对角线AC上任意一点，连接DE，BE．
（1）求证：DE＝BE；
（2）当AE＝AB时，求∠BED的度数；
（3）如图②，过点E作EF⊥DE交AB于点F，当BE＝BF时，若AB＝．求AF的长．
【思路点拨】（1）由正方形的性质得AD＝AB，∠DAE＝∠BAE，再证明△DAE≌△BAE便可得DE＝BE；
（2）由（1）得△DAE≌△BAE，可得∠AED＝∠AEB，进而可以解决问题；
（3）过E作EM⊥BF，证明△BEF是等边三角形，设BM＝x，则MF＝BM＝x，EM＝x，得AM＝EM＝x，由AB＝．列出x的方程进行解答便可．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAE＝∠BAE，
∵AE＝AE，
∴△DAE≌△BAE（SAS），
∴DE＝BE；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝∠DAC＝45°，
由（1）知：△DAE≌△BAE，
∴∠AED＝∠AEB＝（180°﹣45°）＝135°，
∴∠BED＝2∠AEB＝135°；
（3）如图②，过E作EM⊥BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝CB，∠DCE＝∠BCE，
∵CE＝CE，
∴△DCE≌△BCE（SAS），
∴∠CDE＝∠CBE，
∵∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴∠ADE＝∠ABE，
∵DE⊥EF，
∴∠DEF＝90°，
在四边形ADEF中，∠DAF＝90°，
∴∠ADE+∠AFE＝180°，
∵∠AFE+∠BFE＝180°，
∴∠BFE＝∠EBF，
∴BE＝EF，
∵BE＝BF，
∴△BEF是等边三角形，
∴∠EBF＝60°，
设BM＝x，则MF＝BM＝x，EM＝x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE＝∠BAD＝45°，
∴AM＝EM＝x，
∵AM+BM＝AB＝，
∴x+x＝，
解得，x＝，
∴BF＝2x＝2，
∴AF＝AB﹣BF＝﹣2＝﹣．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，第（3）题难度大，关键是构造直角三角形和证明等边三角形．
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