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第02讲 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值
1.考点分析
考点要求 考题统计 考情分析
（1）函数的单调性 （2）函数的奇偶性 （3）函数的对称性 （4）函数的周期性 2023年I卷第4、11题，10分 2023年甲卷第13题，5分 2022年II卷第8题，5分 2022年I卷第12题，5分 2021年II卷第8题，5分 2021年甲卷第12题，5分 从近几年高考命题来看，本节是高考的一个重点，函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性是高考的必考内容，重点关注周期性、对称性、奇偶性结合在一起，与函数图像、函数零点和不等式相结合进行考查．
课程标准： （1）借助函数图像，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义． （2）结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义． （3）结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义． （4）会依据函数的性质进行简单的应用．
3.考点分析
知识点1：函数的单调性
（1）单调函数的定义
一般地，设函数的定义域为，区间：
如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数．
如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数．
①属于定义域内某个区间上；
②任意两个自变量，且；③都有或；
④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．
（2）单调性与单调区间
①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间．
②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．
（3）复合函数的单调性
复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.
【诊断自测】（2024·高三·上海杨浦·期中）已知函数，.若成立，则下列论断中正确的是（ ）
A．函数在上一定是增函数；B．函数在上一定不是增函数；
C．函数在上可能是减函数；D．函数在上不可能是减函数.
【答案】D
【解析】因为函数，且成立，
则函数在上不可能是减函数，可能是增函数，也可能不是增函数，
如，满足，但是在上不具有单调性，
故D正确，A、B、C错误.
故选：D
练习：1．已知函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）

A．是函数的增区间 B．是函数的减区间
C．函数在上是增函数 D．函数在上是减函数
【答案】C
【详解】根据函数图像可知函数在上递增，在上递减，故A，B正确；
函数在上也单调递增，但区间和不是连续区间，
并且由图象可知，因此不能说函数在上是增函数，C错误；
由于函数在时有定义，由图象可知，则为函数的一个单调递减区间，
故函数在上是减函数，D正确，
故选：C
2．下列函数中，在区间上是减函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据基本初等函数的单调性及对数型复合函数的单调性判断即可.
【详解】对于A：在定义域上单调递增，故A错误；
对于B：在定义域上单调递增，故B错误；
对于C：定义域为，因为在上单调递减且值域为，
又在定义域上单调递减，所以在上单调递增，故C错误；
对于D：，函数在上单调递减，故D正确；
故选：D
知识点2：函数的最值
一般地，设函数的定义域为D，如果存在实数M满足
①，都有；②，使得，则M是函数的最大值；
①，都有；②，使得，则M是函数的最小值.
【诊断自测】（2024·高三·北京·开学考试）函数的最小值为 .
【答案】
【解析】设，则，
又函数在上单调递增，
所以当，即时，
函数有最小值，
故答案为：.
知识点3：函数的奇偶性
函数奇偶性的定义及图象特点
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数 关于轴对称
奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数 关于原点对称
【诊断自测】（2024·高三·河北唐山·期末）函数为奇函数，为偶函数，在公共定义域内，下列结论一定正确的是（ ）
A．为奇函数 B．为偶函数
C．为奇函数 D．为偶函数
【答案】C
【解析】令，则,且，
既不是奇函数，也不是偶函数，故A、B错误；
令，则,且，
是奇函数，不是偶函数，故C正确、D错误；
故选：C
知识点4：函数的周期性
（1）周期函数：
对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期.
（2）最小正周期：
如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期.
【诊断自测】若偶函数对任意都有，且当时，，则 ．
【答案】【解析】由题设，即偶函数的周期为6，
所以.
故答案为：
知识点5：函数的对称性
(1)若函数为偶函数，则函数关于对称．
(2)若函数为奇函数，则函数关于点对称．
(3)若，则函数关于对称．
(4)若，则函数关于点对称．
【诊断自测】若函数y＝g（x）的图象与y＝ln x的图象关于直线x＝2对称，则g（x）＝ ．
【答案】ln （4－x）
【解析】在函数y＝g（x）的图象上任取一点（x，y），则点（x，y）关于直线x＝2对称的点为（4－x，y），且点（4－x，y）在函数y＝ln x的图象上，所以y＝ln （4－x）,
即,
故答案为：
解题方法总结
1、单调性技巧
（1）证明函数单调性的步骤
①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且；
②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形；
③定号：判断差的正负或商与的大小关系；
④得出结论．
（2）函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．
（3）记住几条常用的结论：
①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；
②若和均为增(或减)函数，则在和的公共定义域上为增(或减)函数；
③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；
④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．
2、奇偶性技巧
(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.
(2)奇偶函数的图象特征.
函数是偶函数函数的图象关于轴对称；
函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称.
(3)若奇函数在处有意义，则有；
偶函数必满足.
(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.
(5)若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则.
(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如.
对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.
(7)复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.
(8)常见奇偶性函数模型
奇函数：①函数或函数．②函数．
③函数或函数
④函数或函数．
注意：关于①式，可以写成函数或函数．
偶函数：①函数．②函数．
③函数类型的一切函数．
④常数函数
3、周期性技巧
4、函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；
（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；
（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.
5、对称性技巧
（1）若函数关于直线对称，则．
（2）若函数关于点对称，则．
（3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称．
题型一：单调性的定义及判断
【典例1-1】（2024·陕西榆林·一模）已知函数在上单调递增，则对实数，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】因为函数在上单调递增，且，由增函数的定义可知，当时，有，充分性成立；当时，若，由函数定义可知矛盾，
若，由函数单调性的定义可知矛盾，则，必要性成立.即对实数，“”是“”的充要条件.故选：C
【典例1-2】（2024·安徽蚌埠·模拟预测）下列函数中，满足“对任意的，使得”成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据题意，“对任意的，使得”，则函数在上为减函数.
对于选项A，，为二次函数，其对称轴为x＝－1，在上递减，符合题意；
对于选项B，，其导数，所以在上递增，不符合题意；
对于选项C，为一次函数，所以在上递增，不符合题意；
对于选项D，由复合函数单调性“同增异减”知，在上单调递增，不符合题意.
故选：A.
【方法技巧】
函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．
【变式1-1】三叉戟是希腊神话中海神波塞冬的武器，而函数的图象恰如其形，因而得名三叉戟函数，因为牛顿最早研究了这个函数的图象，所以也称它为牛顿三叉戟.已知函数的图象经过点，且.
(1)求函数的解析式；
(2)用定义法证明：在上单调递减.
【解析】（1）由题意可知，
解得，，
故（）.
（2）证明：，，且，则
.
由，且，
得，，，
所以，，
所以，
则，即.
故在上单调递减.
【变式1-2】（2024·高三·上海·期中）由方程确定函数，则在上是（ ）
A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数
【答案】B
【解析】当且时，，
当且时，，
当且时，，
当且时，无意义，
如图：
结合图象可知，在上是减函数.故选：B
题型二：复合函数单调性的判断
【典例2-1】函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数的定义域为R，函数在上单调递减，在单调递增，
而函数在R上单调递减，因此函数在上单调递增，在单调递减，
所以函数的单调递增区间是.
故选：A
【典例2-2】（2024·高三·浙江绍兴·期末）函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，
，解得或，
所以函数的定义域为，
令，则函数在上单调递减，在上单调递增，
而函数在上为增函数，
由复合函数单调性可得的单调递减区间为.
故选：C.
【方法技巧】
讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下：
1、若，在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数；
2、若，在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数．列表如下：
增 增 增
增 减 减
减 增 减
减 减 增
复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减．
【变式2-1】（2024·高三·甘肃·开学考试）函数的单调递减区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，
由题意单调递减，且，
则，解得，，
所以的单调递减区间是.
故选：D.
【变式2-2】函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由可得，
解得或，
由图象的对称轴为，
则在上单调递增，
故的单调递减区间为，故选：C
题型三：分段函数的单调性
【典例3-1】（2024·陕西商洛·一模）已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为是定义在上的增函数，
所以，解得.
故选：B
【典例3-2】已知函数满足对于任意的，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，对于任意的都有成立
则函数在上是增函数
∴，解得，
故选：B．
【方法技巧】
函数，在上为增函数，则：
①在上单调递增；②在上单调递增；③．
函数，在上为减函数，则：
①在上单调递减；②在上单调递减；③．
【变式3-1】已知函数，若，都有成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为对于，都有成立，所以函数是增函数，
则函数和均为增函数，且有，
即，解得.
故选：C.
【变式3-2】已知函数是R上的减函数，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由于函数是定义在R上的减函数，
所以，函数在区间上为减函数，
函数在区间上为减函数，且有，
即，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：B.
题型四：利用函数单调性求函数最值
【典例4-1】（2024·全国·模拟预测）设，则函数的最大值为 ．
【答案】
【解析】设，，两边平方得．
设，两边平方得，
则，
由于，，则，，
又由于在区间上单调递增，
所以当时,的最大值为，
则在区间上的最大值为．
故答案为：
【典例4-2】若函数在 上的最小值为1，则正实数的值为 .
【答案】
【解析】由题可得,
因为函数在 上的最小值为1，
当时，在 上，在单调递减，单调递增，
所以，解得（舍）；
当时，在 上在单调递减，单调递增，
所以，解得（舍）；
当时，在 上，在单调递减，单调递增，
所以，解得.
故答案为：
【方法技巧】
利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论：
1、如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值．
2、如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值．
3、若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值．
4、若函数在区间上是单调递增，则的最大值是，最小值是．
5、若函数在区间上是单调递减，则的最大值是，最小值是．
【变式4-1】（2024·上海嘉定·一模）函数 在 上的最大值和最小值的乘积为
【答案】/
【解析】令，，∵，∴，
∴，
令，
由对勾函数的性质可知，函数在上为减函数，在上为增函数，
∵，
∴
∴函数 在 上的最大值和最小值分别为，
∴函数 在 上的最大值和最小值的乘积为．
故答案为：．
【变式4-2】若函数 在 的最大值为2，则 的取值范围是 .
【答案】
【解析】设，，，
因为函数在 的最大值为2，，
所以，解得：，
当时，函数在上先递减再递增，
而，
所以，，且，即函数在 的最大值为2，符合题意；
当时，函数在上递减，所以，
而，所以函数在 的最大值为2，符合题意，
综上，．
故答案为：
题型五：利用函数单调性求参数的范围
【典例5-1】（2024·全国·模拟预测）若函数在区间上不单调，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为函数在上单调递减，在上单调递增．
又函数在区间上不单调，所以，
故选：B．
【典例5-2】（2024·广东佛山·二模）已知且，若函数在上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意，，
显然函数在上单调递增，而函数在上单调递减，
因此，而，则或，解得或，
所以实数a的取值范围为.
故选：D
【方法技巧】
若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解．
1、若在上恒成立在上的最大值．
2、若在上恒成立在上的最小值．
【变式5-1】若是区间上的单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】C
【解析】由题意，，
令，解得，令，解得或，
所以在上单调递减，在，上单调递减，
若函数在区间上单调，
则或或，解得或或，
即或.
故选：C.
【变式5-2】（2024·全国·模拟预测）函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，则．
当时，在上单调递增，
则由复合函数的单调性可知在上单调递增，
且在上恒成立，
所以，解得或（舍去）．
所以在上单调递增，
则，解得．
当时，在上单调递减，
则由复合函数的单调性可知在上单调递减，
且在上恒成立，
所以，解得或（舍去）．
所以在上单调递减，
则，解得，与矛盾．
综上所述，.
故选：C．
【变式5-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数且在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设函数，则．
①若，则在定义域上单调递减．
又在区间上单调递减，所以在区间上单调递增，故对任意的恒成立．
又，所以对任意的显然成立．
又因为对任意恒成立，所以0，故．
②若，则在定义域上单调递增．
又在区间上单调递减，所以在区间上单调递减，故对任意的恒成立．
因为抛物线的开口向上，所以不可能对任意的恒成立．
所以的取值范围为．
故选：A．
【变式5-4】若函数在区间内单调递增，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知得，解之得，即的定义域为，
又在区间内单调递增，根据复合函数的单调性，
可得：，解得．故选：D
题型六：利用函数的单调性比较函数值大小
【典例6-1】（2024·宁夏银川·一模）若，设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意知，由，
所以为偶函数，图象关于轴对称，
当时，由复合函数的单调性法则知随的增大而增大，
即 ， 单调递增，
因为，，
且，，
所以，所以，
即，也就是.故选：D
【典例6-2】（2024·宁夏石嘴山·三模）若定义在上的偶函数在上单调递增，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为是定义在上偶函数，所以，
因为，则，所以，
因为在上单调递增，所以，
即，
故选：A．
【变式6-1】（2024·高三·河北沧州·期中）已知函数，记，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】函数的定义域为，所以函数为偶函数，
当时，设，则，故在上单调递增且恒为正数，则函数在上单调递减，又函数为偶函数，故在上单调递增，又，即，于是，即.故选:C.
【变式6-2】函数，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意知，易知在上单调递增．
因为，
所以，所以，
即.故选：D.
【变式6-3】（2024·四川·模拟预测）若定义在上的偶函数在上单调递增，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为是定义在上偶函数，所以，
因为，所以，
因为在上单调递增，所以，
故选：A.
题型七：函数的奇偶性的判断与证明
【典例7-1】设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是奇函数
【答案】C
【解析】易知选项ABCD中的函数定义域即为；
因为是奇函数，是偶函数，所以，
对于A，，故是奇函数，即A错误；
对于B，，故是偶函数，即B错误；
对于C，，故是奇函数，即C正确；
对于D，，故是偶函数，即D错误；
故选：C.
【典例7-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数的图象经过点，则函数的奇偶性为（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
【答案】A
【解析】，整理得，即，
则，．
当时，；当时，，
即对一切实数都成立，即函数的定义域为．
，
即函数为奇函数．故选：A．
【变式7-1】（多选题）（2024·重庆·模拟预测）函数，，那么（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是奇函数
【答案】BC
【解析】因为，所以为偶函数，
因为，
即，所以为奇函数，
所以为非奇非偶函数，A错误；
，所以为奇函数，B正确；
，所以是奇函数，C正确；
令，，为偶函数，D错误.
故选：BC．
【变式7-2】利用图象判断下列函数的奇偶性：
(1)(2)(3)；
(4)；(5).
【解析】（1）函数的定义域为，
对于函数，
当，为二次函数，是一条抛物线，开口向下，对称轴为，
当，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为，
画出函数的图象，如图所示，
函数图象关于原点对称，所以函数为奇函数；
（2）函数的定义域为，
对于函数，
当，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为，
当，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为，
画出函数的图象，如图所示，
函数图象关于y轴对称，故为偶函数；
（3）先作出的图象，保留图象中x≥0的部分，
再作出的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，
即得的图象，如图实线部分．
由图知的图象关于y轴对称，所以该函数为偶函数.
（4）将函数的图象向左平移一个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，
即可得到函数的图象，如图，
由图知的图象既不关于y轴对称，也不关于x轴对称，
所以该函数为非奇非偶函数；
（5）函数，
当，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为，
当，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为，
画出函数的图象，如图，
由图知的图象关于y轴对称，所以该函数为偶函数.
题型八：已知函数的奇偶性求参数
【典例8-1】已知函数是奇函数，则 ，若则 .
【答案】
【解析】由，得，
则，所以函数的定义域为，
所以，解得，
所以，
此时，
所以为奇函数，
，
所以.
故答案为：1；.
【典例8-2】已知函数的图象关于原点对称，是偶函数，则 .
【答案】
【解析】函数的图象关于原点对称，则函数是奇函数，
函数的定义域为，
，即，
则，
是偶函数，
，
即，
即，
即，
则，，得，
则，
故答案为：
【变式8-1】（2024·高三·湖北武汉·期末）函数为奇函数，则实数k的取值为 .
【答案】
【解析】因为为定义域上的奇函数，所以，
即，整理化简有：恒成立，
所以，得，又因为，所以，
且当时，，其定义域为，关于原点对称，故满足题意.
故答案为：
【变式8-2】已知函数的图象关于轴对称，则 ．
【答案】1
【解析】因为，
且，即，
有，
所以．
故答案为：1.
【变式8-3】已知函数定义域为，，若为偶函数，则实数的值为 ．
【答案】
【解析】由题设，，即，
所以，整理得恒成立，则.
故答案为：
题型九：已知函数的奇偶性求表达式、求值
【典例9-1】已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则的值是 .
【答案】
【解析】因为①，所以
由函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，则
所以②
则①-②可得：，所以
则．
故答案为：．
【典例9-2】（2024·广东湛江·二模）已知奇函数则 ．
【答案】
【解析】当时，，，
则．
故答案为：.
【变式9-1】若定义在R上的偶函数和奇函数满足，则的解析式为 .
【答案】
【解析】由题意得：，即①，②，②-①得：，解得：.
故答案为：
【变式9-2】已知函数对一切实数都满足，且当时，，则 ．
【答案】
【解析】函数对一切实数都满足，
所以，
设，则， ，
又因为，即，
所以
所以.
故答案为：．
题型十：奇函数的中值模型
【典例10-1】函数在区间内的最大值为M，最小值为N，其中，则 ．
【答案】6
【解析】由题意可知，，
设，的定义域为，
所以，
所以为奇函数，所以，
所以
故答案为：
【典例10-2】对于函数 （其中 ），选取的一组值计算，所得出的正确结果一定不可能是（ ）
A．4和6 B．3和1 C．2和4 D．1和2
【答案】D
【解析】构造函数，
因为 ，
所以是奇函数，
所以，
所以，
又因为，所以能被2整除，
故选：D
【方法技巧】
已知奇函数，，则
（1）（2）
【变式10-1】（2024·广西·一模）是定义在R上的函数，为奇函数，则（ ）
A．－1 B． C． D．1
【答案】A
【解析】是定义在R上的函数，为奇函数，则
.
∴.
故选：A
【变式10-2】设函数的最大值为5，则的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】根据题意，设，利用定义法判断函数的奇偶性，得出是奇函数，结合条件得出的最大值和最小值，从而得出的最小值.由题可知，，
设，其定义域为，
又，
即，
由于
，
即，所以是奇函数，
而，
由题可知，函数的最大值为5，
则函数的最大值为：5-3=2，
由于是奇函数，得的最小值为-2，
所以的最小值为：-2+3=1.
故选：B.
【变式10-3】已知函数，且，则 ．
【答案】
【解析】由，得，
构建函数，定义域为，
则，即是奇函数，
于是，所以，
可得，
又，因此．
故答案为：
【变式10-4】设为奇函数，若在的最大值为3，则在的最小值为 .
【答案】
【解析】的定义域为且为奇函数，
所以，
，
所以，，
设，
则，所以是奇函数，
依题意可知，在的最大值为，
所以在的最小值为，
所以在的最小值为.
故答案为：
【变式10-5】（2024·高三·安徽·期中）函数的最大值为，最小值为，若，则 ．
【答案】1
【解析】，
设，则，
记，
因为，
所以是在上的奇函数，最大值为，最小值为，
所以，
又因为，
所以，
故答案为：1．
【变式10-6】（2024·高三·河南周口·开学考试）已知定义在上的函数满足，若函数的最大值和最小值分别为，则 ．
【答案】4048
【解析】令，得，令，则，
所以，令，
所以，为奇函数，．
令，
则，
即为奇函数，所以．
而，
所以．
故答案为：4048
【变式10-7】函数，若最大值为，最小值为，，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】，
令，定义域为关于原点对称，
∴，
∴为奇函数，∴，
∴，
，由对勾函数的单调性可知在上单调递减，在上单调递增，
∴，，，
∴，
∴，
故答案为：.
题型十一：利用单调性与奇偶性求解函数不等式
【典例11-1】已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增. 若实数满足， 则的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【解析】由题设，在上递减，由偶函数知：，
∴，即，
∴，则，得.
故的最小值是.
故选：C
【典例11-2】（2024·安徽安庆·三模）已知函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意知，解得，所以，其在上单调递增，
又因为，所以函数为奇函数，，
所以不等式可化为，
于是，即，解得或.
故选：C．
【方法技巧】
求解函数不等式时，由条件去掉“”，从而转化为自变量的大小关系，记得考虑函数的定义域．
【变式11-1】（2024·湖南永州·三模）已知函数，其中是自然对数的底数.若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
在上单调递增.
令，在上单调递增，
因为，所以为奇函数，
则化为
所以，解得，
.
故选：C
【变式11-2】设函数，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，则，
故是奇函数．
又，(等号成立的条件是)，
所以是R上的增函数，则，
而，
因此有，从而，解得，
故选：A.
【变式11-3】已知函数，则不等式的解集是
【答案】
【解析】令，则，故，
令，则，故为奇函数，且在定义域上单调递增，
由等价于，
所以，故，可得，
故不等式解集为.
故答案为：
【变式11-4】（2024·天津河北·二模）已知函数，若，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题意得函数为偶函数，且当时函数单调递减，当时函数单调递增．
原不等式可化为，
∴，
两边平方整理得，
解得或．
∴实数的取值范围是．
故答案为：．
题型十二：函数对称性的应用
【典例12-1】已知函数，，，则 ．
【答案】
【解析】设函数图象的对称中心为，则有，
即，
整理得，比较系数可得，
因此函数图象的对称中心为，又，，且，
则点关于对称，所以.
故答案为：6
【典例12-2】（2024·河南·模拟预测）已知函数的定义域为R，若为奇函数，且直线与的图象恰有5个公共点，，，，，则 .
【答案】
【解析】为奇函数，则有，
即，可得，
，所以函数的图象关于点对称.
直线，即，
由，解得，所以直线过定点，
即直线关于点对称.
直线与的图象恰有5个公共点，，，，，
则有，，.
故答案为：
【方法技巧】
(1)若，则函数关于对称．
(2)若，则函数关于点对称．
【变式12-1】已知所有的三次函数的图象都有对称中心，，若函数，则 .
【答案】8090
【解析】，
则，
即函数的图象的对称中心为，
则，
故
.
故答案为：8090.
【变式12-2】若函数的图象与函数的图象关于直线对称，则 ．
【答案】
【解析】由于，解得，故它的反函数为.
再由函数的图像与的图像关于直线对称，
可得是函数的反函数，故，
所以．
故答案为．
【变式12-3】已知，函数对任意有成立，与的图象有个交点为，…，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】化简，所以的图象关于 对称，
由可得，
可得 的图象也关于对称，
因此与的图象的个交点为，…，，
也关于对称，所以，，设，
则，两式相加可，
同理可得
， .
故选：D.
【变式12-4】已知函数满足：是偶函数，若函数与函数图象的交点为，，，，则横坐标之和（ ）
A．0 B．m C． D．
【答案】B
【解析】由是偶函数，知函数的图象关于直线对称，函数，其图象也关于直线对称，
所以函数与函数图象的交点也关于直线对称，当为偶数时，其和为；当为奇数时，其和为.
故选：B.
【变式12-5】（多选题）（2024·高三·黑龙江鸡西·开学考试）对于定义在上的函数，下述结论正确的是（ ）
A．若，则的图象关于直线对称
B．若是奇函数，则的图象关于点对称
C．函数与函数的图象关于直线对称
D．若函数的图象关于直线对称，则为偶函数
【答案】BD
【解析】对A，对，有，
令替换，得，可得函数是周期为2的周期函数，
则的图象对称性不确定，即A错误；
对B，是奇函数，的图象关于原点成中心对称，
而的图象是将的图象向右平移一个单位，
的图象关于点对称，故B正确；
对C，函数是由的图象向左平移一个单位得到；
函数的图象是由的图象向右平移一个单位得，
而与的图象关于轴对称，
所以函数与函数的图象关于轴对称，故C错误；
对于D，若函数的图象关于直线对称，
则将其向左平移1个单位得到，则对称轴也向左平移1单位，
则关于轴对称，即为偶函数，故D正确.
故选：BD.
题型十三：函数周期性的应用
【典例13-1】（2024·陕西渭南·模拟预测）已知定义在R上的函数满足，为奇函数，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【解析】因为，
所以，
所以的周期为6.
又因为为奇函数，
所以，即，即，
令，则，即
所以，
故选：C.
【典例13-2】（2024·山东青岛·一模），，，则的值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．－1
【答案】B
【解析】由题意知，，，
令，则
显然时，不成立，故，
故，则，
即6为函数的周期，
则，
故选：B
【方法技巧】
(1)求解与函数的周期有关的问题，应根据周期定义，从而求出函数的周期．
(2)利用函数的周期性，可以解决区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题．
【变式13-1】已知函数满足，，则等于
【答案】3
【解析】根据函数解析式，求得函数的周期，利用函数周期性即可求得函数值.
则是以8为周期的周期函数.
所以.
故答案为：.
【变式13-2】（2024·广东广州·二模）已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】由题意可知：函数的定义域为R，
因为，则，
可得，所以为偶函数，
由可得，
即，整理得，
可得，
则，可得，
所以6为的周期，
由，
令，可得，可得；
令，可得，可得；
所以．
故选：A．
【变式13-3】（2024·陕西西安·二模）已知定义域为的函数满足，且当时，，则 .
【答案】
【解析】由已知可得，所以，
所以，即是函数的一个周期，
所以.
故答案为：
题型十四：对称性与周期性的综合应用
【典例14-1】（多选题）（2024·江西赣州·二模）函数及其导函数的定义域均为R，和都是奇函数，则（ ）
A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称
C．是周期函数 D．
【答案】BC
【解析】对于A，因为是奇函数，所以，
则有，的图象关于点对称，故A错误；
对于B，是奇函数，其图象关于原点对称，
向右平移1个单位后可得，所以的图象关于点对称，故B正确；
对于C，因为是奇函数，所以，
所以，所以，
所以，所以①，
因为，所以②，
由①②可得：，所以，
所以，，
所以是函数的一个周期函数，所以是周期函数，故C正确；
对于D，因为，所以，
，，，
所以，
而，故D错误.
故选：BC.
【典例14-2】（2024·高三·辽宁营口·期末）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】为奇函数，，所以关于对称，所以①，且，
又为偶函数，，则关于对称，所以②，
由①②可得，即，所以，
于是可得，所以的周期，
则，所以为偶函数
则，所以，所以
所以，解得，所以当时，
所以.
故选：B.
【方法技巧】
（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；
（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；
（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.
【变式14-1】（多选题）定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且，则下列说法中一定正确的是（ ）
A．为偶函数 B．为奇函数
C．函数是周期函数 D．
【答案】BCD
【解析】对A：由，故为奇函数，
若为偶函数，则，与条件不符，故A错误；
对B：由，则，
又，即，
即，又定义在上，
故为奇函数，故B正确；
对C：由，，，
所以，则，
所以，，
所以，所以，
则函数是周期函数的周期函数，函数是周期函数的周期函数，故C正确；
对D：由是周期函数的周期函数，
由，令，则，即，
令，则，即，
由，，
则，则关于对称，则关于对称，
又为奇函数，即关于中心对称，
故关于对称，则，
则，故D正确.
故选：BCD.
【变式14-2】（多选题）（2024·湖北·模拟预测）设定义在上的函数与的导函数分别为和.若，，且为奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称 B．
C． D．
【答案】AC
【解析】对于选项A：因为，则，
可得，
又因为，可得.
令，可得，解得，
可得，所以函数的图象关于直线对称，A正确；
对于选项C：因为为奇函数，
可知的图象关于点对称，且，
令，可得，即；
令，可得；
令，可得；
由函数的图象关于直线对称，可得；
所以，
又因为，则，
可知函数的周期，
所以，故C正确；
对于选项B：由AC可知，
可得，，
所以，故B错误；
对于选项D：可得，故D错误.
故选：AC.
【变式14-3】（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知函数，的定义域均为，其导函数分别为，．若，，且，则（ ）
A．函数为偶函数 B．函数的图像关于点对称
C． D．
【答案】ACD
【解析】因为，所以．
又因为，所以．
于是可得，令，则，所以．
所以，即函数的图像关于直线对称，即．
因为，所以函数的图像关于点对称，即，所以，即，于是，所以函数是周期为4的周期函数．
因为函数的图像关于直线对称，所以的图像关于轴对称，所以为偶函数，所以A选项正确．
将的图像作关于轴对称的图像可得到的图像，再向右平移3个单位长度，可得到的图像，再将所得图像向下平移2个单位长度，即可得到的图像，因此函数也是周期为4的函数．又的图像关于点对称，所以的图像关于点对称，所以B选项不正确．
因为，令，得，即，所以；令，得，所以，所以，所以，所以C选项正确．
因为，所以，，，，，
则有，
可得，所以D选项正确．
故选：ACD．
【变式14-4】（多选题）（2024·福建宁德·三模）若定义在上的函数满足，且值域为，则以下结论正确的是（ ）
A． B．
C．为偶函数 D．的图象关于中心对称
【答案】ABC
【解析】对于选项A，令得：，解得或，
令，得，
由的值域为，所以时，，不合题意，
所以，故A正确；
对于选项B，令得：，所以或，
令，得，即，
由的值域为，所以，
令得：，所以或，
由的值域为，所以，故B正确；
对于选项C，令，得，
因为，所以，所以为偶函数，故C正确；
对于选项D，若图象关于中心对称，则，由于定义域为R，值域为，
若，则必有，与题设矛盾，故D错误.
故选：ABC.
题型十五：类周期与倍增函数
【典例15-1】已知函数的定义域为,且满足,当时,则函数在区间上的零点个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当时,最大值为,
当时,
其最大值为,
当时,，在上是增函数,在上是减函数,,
当时,,最大值为,
当时, ,在上是增函数,在上是减函数,
又当时,的图像与直线有个交点,函数在区间上有个零点
故选：C
【典例15-2】设函数的定义域为，满足，且当时，若对任意，都有，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为对称轴为，所以当时，的最小值为；
当时，，由知，，所以此时，其最小值为；
同理，当时，，其最小值为；
当时，的最小值为；
作出如简图，因为，要使，
则有.解得或，
要使对任意，都有，则实数的取值范围是.
故选:.
【方法技巧】
1、类周期函数
若满足：或，则横坐标每增加个单位，则函数值扩大倍．此函数称为周期为的类周期函数．
2、倍增函数
若函数满足或，则横坐标每扩大倍，则函数值扩大倍．此函数称为倍增函数．
【变式15-1】设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是 .
【答案】
【解析】由，得，得分段求解析式，结合图象可得m的取值范围．，，
时，，
时，；
时，；
时，；
当时，由，解得或，
若对任意，都有，则．
故答案为：．
【变式15-2】（2024·上海·二模）已知函数是定义在上的函数，且，则函数在区间上的零点个数为 .
【答案】11.
【解析】令函数，得到方程，
当时，函数先增后减，在时取得最大值1，而在时也有；
当时，在处，函数取得最大值，
而，在时，也有，
当时，在处，函数取得最大值，
而，在时，也有，
，
当时，在处，函数取得最大值，
而，在时，也有，
综合以上分析，将区间 分成11段，每段恰有一个交点，所以共有11个交点，即有11个零点.
故答案为: 11.
题型十六：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性
【典例16-1】已知定义在上的函数对任意正数都有，当时，，
(1)求的值；
(2)证明：用定义证明函数在上是增函数；
【解析】（1）在等式中，
令，可得，解得；
（2）因为，则，
任取，则，
由时，，可得，
则，即，
因此，函数在上是增函数．
【典例16-2】（2024·山西临汾·三模）已知函数的定义域为，且，，则 ．
【答案】
【解析】令，则，
因为，所以，
令，则，得，
令，则，即，
所以，
所以
所以，所以，即，
是以6为周期的周期函数，
所以，
故答案为：.
【方法技巧】
抽象函数的模特函数通常如下：
(1)若，则(正比例函数)
(2)若，则(指数函数)
(3)若，则(对数函数)
(4)若，则(幂函数)
(5)若，则(一次函数)
【变式16-1】（多选题）（2024·辽宁·二模）已知定义城为R的函数．满足，且，，则（ ）
A． B．是偶函数
C． D．
【答案】ABC
【解析】对于A项，由，
令，则，故A项正确；
对于B项，令，则，
因，故，
令，则①，
所以函数关于点成中心对称，
令，则，
令，则②，
由①可得：③，由②③可知：，
且函数的定义域为，则函数是偶函数，故B项正确；
对于C项，令，则，
因为，，，代入上式中得，
故得：，故C项正确；
对于D项，由上可知：，则，
故函数的一个周期为4，故，
令，则，
所以，
则，故D项错误．
故选：ABC．
【变式16-2】（多选题）（2024·广西贺州·一模）已知函数的定义域为，且当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．是奇函数
B．为增函数
C．若实数a满足不等式，则a的取值范围为
D．
【答案】ABD
【解析】对于A，令，则，所以，
令，则，所以，
所以是奇函数，故A正确；
对于B，令，
则，
因为，所以，
所以，，
所以，
又因为当时，，
所以，即，
所以函数在上单调递增，
又是奇函数，且，
所以函数为增函数，故B正确；
对于C，由，得，
所以，解得，故C错误；
对于D，，
即，故D正确.
故选：ABD.
【变式16-3】定义在R上的连续函数满足对任意 ，，.
(1)证明：；
(2)请判断的奇偶性；
(3)若对于任意 ，不等式恒成立，求出m的最大值.
【解析】（1）令 ，则有 ， ，
因为 是任意的， ，由得 ，
， ；
（2）令 ，由①②得 ，将 代入，
解得 或 （ ，舍去），代入③得 ；
令 ，则有 ，
两式相加得 ，
由（1）的运算结果 ， 代入上式，得：
，
由可知如果 ，则有 ，不可能，
所以 ， ，
由于x是任意的，必有 ，两式相加得 ， 是偶函数， ， 是奇函数；
（3）由于，不等式即为：
，由 ， 得 ，
令 ，则不等式转化为 ，其中 ，
， ，当且仅当 时等号成立，所以m的最大值为 ；
综上，m的最大值为.
【变式16-4】（2024·河南南阳·模拟预测）定义在正实数集上的函数满足下列条件：
①存在常数，使得；②对任意实数，当时，恒有．
(1)求证：对于任意正实数、，；
(2)证明：在上是单调减函数；
(3)若不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）证明：令，，
则，
所以，即证；
（2）证明：设，则必，满足，
由（1）知，
故，即，
所以在上是单调减函数．
（3）令，则，
故，
即，由于
所以，又，故．
1．（多选题）（2022年新高考全国I卷数学真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确；
对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.
由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC.
故选：BC.
[方法三]：
因为，均为偶函数，
所以即，，
所以，，则，故C正确；
函数，的图象分别关于直线对称，
又，且函数可导，
所以，
所以，所以，
所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；
方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．
2．（多选题）（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数的定义域为，，则（ ）．
A． B．
C．是偶函数 D．为的极小值点
【答案】ABC
【解析】方法一：
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.
方法二：
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，当时，对两边同时除以，得到，
故可以设，则，
当肘，，则，
令，得；令，得；
故在上单调递减，在上单调递增，
因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，
显然，此时是的极大值，故D错误.
故选：.
3．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）若为偶函数，则 ．
【答案】2
【解析】因为为偶函数，定义域为，
所以，即，
则，故，
此时，
所以，
又定义域为，故为偶函数，
所以.
故答案为：2.
4．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，
则有函数在区间上单调递减，因此，解得，
所以的取值范围是.
故选：D
4．(链接人B必修一P108T5)函数f(x)＝在区间[1,5]上的最大值为________，最小值为________．
答案：3　
5．(链接北师必修一P64T2)已知函数f(x)＝x2－2kx＋4在[5,20]上单调，则实数k的取值范围是________．
答案：(－∞，5]∪[20，＋∞)
4．(链接苏教必修一P119T5)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　)
A．－ B．
C． D．－
答案：B
解析：因为f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，所以a－1＋2a＝0，所以a＝.又f(－x)＝f(x)，所以b＝0，所以a＋b＝.故选B.
5．(链接北师必修二P4T3)已知f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数，且f(－1)＝2f(10)＋3，则f(2 023)＝________.
答案：－1
解析：由题意知f(10)＝f(3×3＋1)＝f(1)，又f(－1)＝2f(10)＋3，且f(－1)＝－f(1)，所以f(－1)＝2f(1)＋3，所以－3f(1)＝3，即f(1)＝－1.所以f(2 023)＝f(674×3＋1)＝f(1)＝－1.
2. （北师必修1）若函数 的定义域是 ,且对任意的 ,都有 成立,试判断 的 奇偶性.
证明: 因为函数 在 上满足:
对任意的 ,都有
令 ,得 ,所以 .
令 ,得 , 即 .
所以函数 在 上是奇函数.
3. （北师必修1）已知函数 在定义域 上是减函数,求实数 的取值范围.
解： 由题意,得 所以 .
1．（人教A版必修1）已知函数，.
（1）求、的单调区间；
（2）求、的最小值.
【解析】（1）函数的图象开口向上，对称轴为直线，
所以，函数的减区间为，增区间为，函数的增区间为；
（2）由（1）知，函数在处取得最小值，
由于函数在定义域上单调递增，则函数在处取得最小值.
2．（人教A版必修1）（1）根据函数单调性的定义证明函数在区间上单调递增.
（2）讨论函数在区间上的单调性.
（3）讨论函数在区间上的单调性.
【解析】（1）证明且，
则.
.
又即.
在区间上单调递增.
（2）且.
.
①当时，，又，
即.在上为减函数.
②当时，，又.
即在上为增函数.
（3）且，
则.
①当时，，又，即.
在上为减函数.
②当时，又，，即.
在上为增函数.
3．（人教A版必修1）设函数的定义域为I，区间，记.证明：
（1）函数在区间D上单调递增的充要条件是：，都有；
（2）函数在区间D上单调递减的充要条件是：，都有.
【解析】证明：（1）充分性：不妨设，则
即在D上单调递增.
必要性：若在D上单调递增.
则，不妨设，则.
.
即，都有.
（2）充分性：不妨设，则，
，即，
在D上单调递减.
必要性：若在D上单调递减.
，不妨设，则.
即，都有.
4．（人教A版必修1）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，画出函数的图像，并求出的解析式．
【解析】因为函数是定义在上的奇函数，所以图像关于原点对称且，图像如图所示
当时，，所以当时，，则，
整理有，所以的解析式为
5．（人教A版必修1）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.
（1）求函数图象的对称中心；
（2）类比上述推广结论，写出“函数的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论.
【解析】（1）.
设，则.
为奇函数.
的图象关于点对称.
即的图象的对称中心是点.
函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数.
7.（苏教版必修1） 已知函数 ,对于任意的 ,试比较 与 的大小.
解： , ,
, ,即 ,
易错点：判断函数的奇偶性忽视定义域
易错分析： 函数具有奇偶性的必要条件是定义域一定要关于原点对称。如果定义域不关于原点对称，一定是非奇非偶函数.
答题模板：判断函数的奇偶性
1、模板解决思路
奇、偶函数定义域的特点：因为和需同时有意义，所以奇、偶函数的定义域一定关于原点对称．这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，因此要先考虑定义域．
2、模板解决步骤
第一步：求函数的定义域；
第二步：判断其定义域是否关于原点对称；
第三步：若是，则验证与的关系；若不是，则非奇非偶函数；
第四步：得出结论．
【易错题1】函数是 函数（填“奇”、“偶”、“既奇又偶”或“非奇非偶”）.
【答案】奇
【解析】对于函数，有，解得且，
所以，函数的定义域为，定义域关于原点对称，
，
所以，函数是奇函数.
故答案为：奇.
【易错题2】下列函数中，是偶函数的有 （填序号）.
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5），；（6）.
【答案】（2）（3）（6）
【解析】对于（1），函数的定义域为，关于原点对称，且，则函数为奇函数；
对于（2），函数定义域为，关于原点对称，且，则函数为偶函数；
对于（3），函数的定义域为，关于原点对称，，则函数为偶函数；
对于（4），函数定义域为，关于原点对称，，则函数为奇函数；
对于（5），函数的定义域为，不关于原点对称，不具有奇偶性，函数，为非奇非偶函数；
对于（6），函数的定义域为，关于原点对称，，则函数为偶函数.
因此，为偶函数的有（2）（3）（6）.
故答案为（2）（3）（6）.
【易错题3】函数的奇偶性为 .
【答案】奇函数
【解析】要使函数，必须满足，解得，
所以函数的定义域为，关于原点对称，
由可得，
所以函数可化为
因为，
所以函数是奇函数.
故答案为：奇函数
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第02讲 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值
1.考点分析
考点要求 考题统计 考情分析
（1）函数的单调性 （2）函数的奇偶性 （3）函数的对称性 （4）函数的周期性 2023年I卷第4、11题，10分 2023年甲卷第13题，5分 2022年II卷第8题，5分 2022年I卷第12题，5分 2021年II卷第8题，5分 2021年甲卷第12题，5分 从近几年高考命题来看，本节是高考的一个重点，函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性是高考的必考内容，重点关注周期性、对称性、奇偶性结合在一起，与函数图像、函数零点和不等式相结合进行考查．
课程标准： （1）借助函数图像，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义． （2）结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义． （3）结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义． （4）会依据函数的性质进行简单的应用．
3.考点分析
知识点1：函数的单调性
（1）单调函数的定义
一般地，设函数的定义域为，区间：
如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数．
如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数．
①属于定义域内某个区间上；
②任意两个自变量，且；③都有或；
④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．
（2）单调性与单调区间
①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间．
②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．
（3）复合函数的单调性
复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.
【诊断自测】（2024·高三·上海杨浦·期中）已知函数，.若成立，则下列论断中正确的是（ ）
A．函数在上一定是增函数；B．函数在上一定不是增函数；
C．函数在上可能是减函数；D．函数在上不可能是减函数.
练习：练习：1．已知函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）

A．是函数的增区间 B．是函数的减区间
C．函数在上是增函数 D．函数在上是减函数
2．下列函数中，在区间上是减函数的是（ ）
A． B． C． D．
知识点2：函数的最值
一般地，设函数的定义域为D，如果存在实数M满足
①，都有；②，使得，则M是函数的最大值；
①，都有；②，使得，则M是函数的最小值.
【诊断自测】（2024·高三·北京·开学考试）函数的最小值为 .
知识点3：函数的奇偶性
函数奇偶性的定义及图象特点
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数 关于轴对称
奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数 关于原点对称
【诊断自测】（2024·高三·河北唐山·期末）函数为奇函数，为偶函数，在公共定义域内，下列结论一定正确的是（ ）
A．为奇函数 B．为偶函数
C．为奇函数 D．为偶函数
知识点4：函数的周期性
（1）周期函数：
对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期.
（2）最小正周期：
如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期.
【诊断自测】若偶函数对任意都有，且当时，，则 ．
知识点5：函数的对称性
(1)若函数为偶函数，则函数关于对称．
(2)若函数为奇函数，则函数关于点对称．
(3)若，则函数关于对称．
(4)若，则函数关于点对称．
【诊断自测】若函数y＝g（x）的图象与y＝ln x的图象关于直线x＝2对称，则g（x）＝ ．
解题方法总结
1、单调性技巧
（1）证明函数单调性的步骤
①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且；
②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形；
③定号：判断差的正负或商与的大小关系；
④得出结论．
（2）函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．
（3）记住几条常用的结论：
①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；
②若和均为增(或减)函数，则在和的公共定义域上为增(或减)函数；
③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；
④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．
2、奇偶性技巧
(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.
(2)奇偶函数的图象特征.
函数是偶函数函数的图象关于轴对称；
函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称.
(3)若奇函数在处有意义，则有；
偶函数必满足.
(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.
(5)若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则.
(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如.
对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.
(7)复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.(8)常见奇偶性函数模型
奇函数：①函数或函数．②函数．
③函数或函数
④函数或函数．
注意：关于①式，可以写成函数或函数．
偶函数：①函数．②函数．③函数类型的一切函数．④常数函数
3、周期性技巧
4、函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；
（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；
（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.
5、对称性技巧
（1）若函数关于直线对称，则．
（2）若函数关于点对称，则．
（3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称．
题型一：单调性的定义及判断
【典例1-1】（2024·陕西榆林·一模）已知函数在上单调递增，则对实数，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【典例1-2】（2024·安徽蚌埠·模拟预测）下列函数中，满足“对任意的，使得”成立的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】三叉戟是希腊神话中海神波塞冬的武器，而函数的图象恰如其形，因而得名三叉戟函数，因为牛顿最早研究了这个函数的图象，所以也称它为牛顿三叉戟.已知函数的图象经过点，且.
(1)求函数的解析式；
(2)用定义法证明：在上单调递减.
【变式1-2】（2024·高三·上海·期中）由方程确定函数，则在上是（ ）
A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数
【典例2-1】函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】（2024·高三·浙江绍兴·期末）函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2024·高三·甘肃·开学考试）函数的单调递减区间是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-2】函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
题型三：分段函数的单调性
【典例3-1】（2024·陕西商洛·一模）已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例3-2】已知函数满足对于任意的，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】已知函数，若，都有成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】已知函数是R上的减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型四：利用函数单调性求函数最值
【典例4-1】（2024·全国·模拟预测）设，则函数的最大值为 ．
【典例4-2】若函数在 上的最小值为1，则正实数的值为 .
【方法技巧】
利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论：
1、如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值．
2、如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值．
3、若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值．
4、若函数在区间上是单调递增，则的最大值是，最小值是．
5、若函数在区间上是单调递减，则的最大值是，最小值是．
【变式4-1】（2024·上海嘉定·一模）函数 在 上的最大值和最小值的乘积为
【变式4-2】若函数 在 的最大值为2，则 的取值范围是 .
题型五：利用函数单调性求参数的范围
【典例5-1】（2024·全国·模拟预测）若函数在区间上不单调，则a的取值范围是（ ）
A．B．C． D．
【典例5-2】（2024·广东佛山·二模）已知且，若函数在上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解．
1、若在上恒成立在上的最大值．
2、若在上恒成立在上的最小值．
【变式5-1】若是区间上的单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．
【变式5-2】（2024·全国·模拟预测）函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数且在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-4】若函数在区间内单调递增，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型六：利用函数的单调性比较函数值大小
【典例6-1】（2024·宁夏银川·一模）若，设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【典例6-2】（2024·宁夏石嘴山·三模）若定义在上的偶函数在上单调递增，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-1】（2024·高三·河北沧州·期中）已知函数，记，则（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】函数，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（2024·四川·模拟预测）若定义在上的偶函数在上单调递增，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
题型七：函数的奇偶性的判断与证明
【典例7-1】设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是奇函数
【典例7-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数的图象经过点，则函数的奇偶性为（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
【变式7-1】（多选题）（2024·重庆·模拟预测）函数，，那么
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是奇函数
【变式7-2】利用图象判断下列函数的奇偶性：
(1)(2)(3)；(4)；(5).
题型八：已知函数的奇偶性求参数
【典例8-1】已知函数是奇函数，则 ，若则 .
【典例8-2】已知函数的图象关于原点对称，是偶函数，则 .
【变式8-1】（2024·高三·湖北武汉·期末）函数为奇函数，则实数k的取值为 .
【变式8-2】已知函数的图象关于轴对称，则 ．
【变式8-3】已知函数定义域为，，若为偶函数，则实数的值为 ．
题型九：已知函数的奇偶性求表达式、求值
【典例9-1】已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则的值是 .
【典例9-2】（2024·广东湛江·二模）已知奇函数则 ．
【变式9-1】若定义在R上的偶函数和奇函数满足，则的解析式为 .
【变式9-2】已知函数对一切实数都满足，且当时，，则 ．
题型十：奇函数的中值模型
【典例10-1】函数在区间内的最大值为M，最小值为N，其中，则 ．
【典例10-2】对于函数 （其中 ），选取的一组值计算，所得出的正确结果一定不可能是（ ）
A．4和6 B．3和1 C．2和4 D．1和2
【方法技巧】
已知奇函数，，则
（1）（2）
【变式10-1】（2024·广西·一模）是定义在R上的函数，为奇函数，则（ ）
A．－1 B． C． D．1
【变式10-2】设函数的最大值为5，则的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【变式10-3】已知函数，且，则 ．
【变式10-4】设为奇函数，若在的最大值为3，则在的最小值为 .
【变式10-5】（2024·高三·安徽·期中）函数的最大值为，最小值为，若，则 ．
【变式10-6】（2024·高三·河南周口·开学考试）已知定义在上的函数满足，若函数的最大值和最小值分别为，则 ．
【变式10-7】函数，若最大值为，最小值为，，则的取值范围是 .
题型十一：利用单调性与奇偶性求解函数不等式
【典例11-1】已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增. 若实数满足， 则的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．2
【典例11-2】（2024·安徽安庆·三模）已知函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C． D．
【变式11-1】（2024·湖南永州·三模）已知函数，其中是自然对数的底数.若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式11-2】设函数，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式11-3】已知函数，则不等式的解集是
【变式11-4】（2024·天津河北·二模）已知函数，若，则实数的取值范围是 .
题型十二：函数对称性的应用
【典例12-1】已知函数，，，则 ．
【典例12-2】（2024·河南·模拟预测）已知函数的定义域为R，若为奇函数，且直线与的图象恰有5个公共点，，，，，则 .
【方法技巧】
(1)若，则函数关于对称．
(2)若，则函数关于点对称．
【变式12-1】已知所有的三次函数的图象都有对称中心，，若函数，则 .
【变式12-2】若函数的图象与函数的图象关于直线对称，则 ．
【变式12-3】已知，函数对任意有成立，与的图象有个交点为，…，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式12-4】已知函数满足：是偶函数，若函数与函数图象的交点为，，，，则横坐标之和（ ）
A．0 B．m C． D．
变式12-5】（多选题）（2024·高三·黑龙江鸡西·开学考试）对于定义在上的函数，下述结论正确的是（ ）
A．若，则的图象关于直线对称
B．若是奇函数，则的图象关于点对称
C．函数与函数的图象关于直线对称
D．若函数的图象关于直线对称，则为偶函数
题型十三：函数周期性的应用
【典例13-1】（2024·陕西渭南·模拟预测）已知定义在R上的函数满足，为奇函数，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【典例13-2】（2024·山东青岛·一模），，，则的值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．－1
【变式13-1】已知函数满足，，则等于
【变式13-2】（2024·广东广州·二模）已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式13-3】（2024·陕西西安·二模）已知定义域为的函数满足，且当时，，则 .
题型十四：对称性与周期性的综合应用
【典例14-1】（多选题）（2024·江西赣州·二模）函数及其导函数的定义域均为R，和都是奇函数，则（ ）
A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称
C．是周期函数 D．
【典例14-2】（2024·高三·辽宁营口·期末）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；
（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；
（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.
【变式14-1】（多选题）定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且，则下列说法中一定正确的是（ ）
A．为偶函数 B．为奇函数
C．函数是周期函数 D．
【变式14-2】（多选题）（2024·湖北·模拟预测）设定义在上的函数与的导函数分别为和.若，，且为奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称 B．
C． D．
【变式14-3】（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知函数，的定义域均为，其导函数分别为，．若，，且，则（ ）
A．函数为偶函数 B．函数的图像关于点对称
C． D．
【变式14-4】（多选题）（2024·福建宁德·三模）若定义在上的函数满足，且值域为，则以下结论正确的是（ ）
A． B．
C．为偶函数 D．的图象关于中心对称
题型十五：类周期与倍增函数
【典例15-1】已知函数的定义域为,且满足,当时,则函数在区间上的零点个数为（ ）
A． B． C． D．
【典例15-2】设函数的定义域为，满足，且当时，若对任意，都有，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
1、类周期函数
若满足：或，则横坐标每增加个单位，则函数值扩大倍．此函数称为周期为的类周期函数．
2、倍增函数
若函数满足或，则横坐标每扩大倍，则函数值扩大倍．此函数称为倍增函数．
【变式15-1】设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是 .
【变式15-2】（2024·上海·二模）已知函数是定义在上的函数，且，则函数在区间上的零点个数为 .
题型十六：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性
【典例16-1】已知定义在上的函数对任意正数都有，当时，，
(1)求的值；
(2)证明：用定义证明函数在上是增函数；
【典例16-2】（2024·山西临汾·三模）已知函数的定义域为，且，，则 ．
【方法技巧】
抽象函数的模特函数通常如下：
(1)若，则(正比例函数)
(2)若，则(指数函数)
(3)若，则(对数函数)
(4)若，则(幂函数)
(5)若，则(一次函数)
【变式16-1】（多选题）（2024·辽宁·二模）已知定义城为R的函数．满足，且，，则（ ）
A． B．是偶函数
C． D．
【变式16-2】（多选题）（2024·广西贺州·一模）已知函数的定义域为，且当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．是奇函数B．为增函数
C．若实数a满足不等式，则a的取值范围为
D．
【变式16-3】定义在R上的连续函数满足对任意 ，，.
(1)证明：；
(2)请判断的奇偶性；
(3)若对于任意 ，不等式恒成立，求出m的最大值.
【变式16-4】（2024·河南南阳·模拟预测）定义在正实数集上的函数满足下列条件：
①存在常数，使得；②对任意实数，当时，恒有．
(1)求证：对于任意正实数、，；
(2)证明：在上是单调减函数；
(3)若不等式恒成立，求实数的取值范围．
1．（多选题）（2022年新高考全国I卷数学真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
2．（多选题）（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数的定义域为，，则（ ）．
A． B．
C．是偶函数 D．为的极小值点
3．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）若为偶函数，则 ．
4．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是
A． B． C． D．
1．(链接人B必修一P108T5)函数f(x)＝在区间[1,5]上的最大值为________，最小值为________．
2．(链接北师必修一P64T2)已知函数f(x)＝x2－2kx＋4在[5,20]上单调，则实数k的取值范围是________．
答案：(－∞，5]∪[20，＋∞)
3．(链接苏教必修一P119T5)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　)
A．－ B． C． D．－
4．(链接北师必修二P4T3)已知f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数，且f(－1)＝2f(10)＋3，则f(2 023)＝________.
5. （北师必修1）若函数 的定义域是 ,且对任意的 ,都有 成立,试判断 的 奇偶性.
6. （北师必修1）已知函数 在定义域 上是减函数,求实数 的取值范围.
7．（人教A版必修1）已知函数，.
（1）求、的单调区间；
（2）求、的最小值.
8．（人教A版必修1）（1）根据函数单调性的定义证明函数在区间上单调递增.
（2）讨论函数在区间上的单调性.
（3）讨论函数在区间上的单调性.
9．（人教A版必修1）设函数的定义域为I，区间，记.证明：
（1）函数在区间D上单调递增的充要条件是：，都有；
（2）函数在区间D上单调递减的充要条件是：，都有.
10．（人教A版必修1）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，画出函数的图像，并求出的解析式．
11．（人教A版必修1）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.
（1）求函数图象的对称中心；
（2）类比上述推广结论，写出“函数的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论.
12.（苏教版必修1） 已知函数 ,对于任意的 ,试比较 与 的大小.
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