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大兴区2023～2024学年度第二学期期末检测
初三数学
2024.05
考生须知 1.本试卷共7页，共28道题。满分100分。考试时间120分钟。 2.在试卷和答题卡上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号。 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答、其他试题用黑色字迹签字笔作答。 5.考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
一、选择题（共16分，每题2分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1.如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）
A.三棱柱 B.三棱锥 C.圆柱 D.圆锥
2.截至2023年12月中旬，2023年全民健身线上运动会已上线199项赛事，累计参赛人数达到2189万，证书总发放量达1731万张.将21890000用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
3.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
4.如图，A，B两点在数轴上表示的数分别是a，b，下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
5.某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“文明交通”“垃圾分类”两个宣传队，若小明和小亮每人随机选择参加其中一个宣传队，则他们恰好选到同一个宣传队的概率是（ ）
A. B. C. D.
6.若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根、则实数a的值为（ ）
A. 3 B. 2 C. 0 D.
7.如图，点A，B，C在上，C为的中点.若，则的大小是（ ）
A. 130° B. 120° C. 100° D. 50°
8.下面的三个问题中都有两个变量：
①扇形的圆心角一定；面积S与半径r；
②用长度为20的线绳围成一个矩形，矩形的面积S与一边长；
③汽车在高速公路上匀速行驶，行驶路程s与行驶时间t.
其中，两个变量之间的函数关系可以利用二次函数表示的是（ ）
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
二、填空题（共16分，每题2分）
9.若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______.
10.分解因式：______.
11.方程的解为______.
12.在平面直角坐标系中，若点和在反比例函数的图象上，则______（填“>”“=”或“<”）.
13.若n边形的每个外角都是60°，则n的值是______.
14.如图，AB是的直径，CD是的一条弦，，连接AC，OD.若，，则CD的长是______.
15.在四边形ABCD中，，只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是______（写出一个即可）.
16.甲、乙、丙、丁4名同学参加中学生天文知识竞赛，成绩各不相同，根据成绩决出第1名到第4名的名次.甲和乙去询问名次，老师对甲说：“很遗憾，你和乙都不是第1名。”对乙说：“你不是第4名。”从这两个回答分析，4个人的名次排列可能有______种不同情况，其中甲是第4名有______种可能情况.
三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
17.计算：.
18.解不等式组：
19.已知，求代数式的值.
20.在数学活动课上，同学们分组测量学校旗杆的高度，经过交流、研讨及测量给出如下两种方案，请你选择一种方案求出旗杆的高度.
方案一：在某一时刻，借助太阳光线，测得小华的身高DE为1.8米，他的影长EF为0.9米，同时测得旗杆AB的影长BC为6米. 方案二：利用“光在反射时，反射角等于入射角”的规律，小丽在她的脚下C点放了一面小镜子，然后向后退1.2米到达点E，恰好在小镜子中看到旗杆的顶端A，此时旗杆底端B到点C的距离BC为9米，小丽的眼睛点D到地面的距离DE为1.6米.
21.如图，在中，，E，F分别是BC，AD的中点，连接AE，CF，G是线段AC上一点，且，连接EG.
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若，，求EG的长.
22.某校有A，B两个合唱队，每队各10名学生，测量并获取了所有学生身高（单位：cm）的数据，并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
a.A队学生的身高：
165 167 168 170 170 170 171 172 173 174
b.B队学生身高的频数分布直方图如下（数据分成4组：，，，）：
c.B队学生身高的数据在这一组的是：
169 169 169 170
d.A，B两队学生身高数据的平均数、中位数、众数、方差如下：
平均数 中位数 众数 方差
A队 170 170 m 6.8
B队 170 n 169 3.4
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m，n的值；
（2）对于不同队的学生，若学生身高的方差越小，则认为该队舞台呈现效果越好。据此推断：A，B两队舞台呈现效果更好的是______（填“A队”或“B队”）；
（3）A队要选5名学生参加比赛，已确定3名学生参赛，他们的身高分别为170，170，173，他们的身高的方差为2.下列推断合理的是______（填序号）.
①另外选2名学生的身高为171和172时，5名学生身高的平均数大于171，方差小于2；
②另外选2名学生的身高为168和170时，5名学生身高的平均数小于171，方差小于2.
23.在平面直角坐标系中，函数（）的图象由函数的图象平移得到，且经过点.
（1）求这个函数的表达式；
（2）当时，对于x的每一个值，函数（）的值大于函数（）的值，直接写出m的取值范围.
24.综合实践活动课上，老师给每位同学准备了一张边长为30cm的正方形硬纸板，要求在4个角上剪去相同的小正方形（如图1），这样可制作一个如图2所示的无盖的长方体纸盒.设剪去的小正方形的边长为xcm（），则纸盒的底面边长为cm.
图1 图2
a.甲同学研究无盖纸盒的底面积，得到：
无盖纸盒的底面积与剪去小正方形的边长x的函数表达式为；
b.乙同学研究无盖纸盒的侧面积（四个侧面面积之和），得到：
无盖纸盒的侧面积与剪去小正方形的边长x的函数表达式为；
c.丙同学研究无盖纸盒的体积，得到：
无盖纸盒的体积与剪去小正方形的边长x的函数表达式为. 与x的几组对应值如下表： x（cm）12.557.51012.514（）7541562.520001687.51000312.556
如图3，在平面直角坐标系中，描出了表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接这些点，得到了函数（）的图象. 图3
根据以上信息，解决下列问题：
（1）当剪去小正方形的边长x为10cm时，则无盖纸盒的底面积为______；
（2）当无盖纸盒的侧面积取最大值时，求剪去小正方形的边长x的值；
（3）下列推断合理的是______（填序号）；
①当时，无盖纸盒的体积随着剪去小正方形的边长x的增大而减小；
②当剪去的小正方形的边长x为11cm时，无盖纸盒的体积小于；
③当无盖纸盒的体积为时，剪去的小正方形的边长x只能为10cm.
（4）当无盖纸盒的体积为时，无盖纸盒的侧面积为______.
25.如图，在中，，D是AB边上一点，以BD为直径作交AC于点E，连接DE并延长交BC的延长线于点F，且
（1）求证：AC是的切线；
（2）若，，求AD的长.
26.在平面直角坐标系中，点和点在抛物线（）上，设抛物线的对称轴为.
（1）若，，求t的值；
（2）已知点，在该抛物线上，若，，比较，的大小，并说明理由.
27.如图，在中，，，N是BC中点，P为NC上一点，连接AP，D为内一点，且，点D关于直线AP的对称点为点E，DE与AP交于点M，连接BD，CE.
（1）依题意补全图形；
（2）求证：；
（3）连接MN，若，用等式表示线段BD与MN的数量关系，并证明.
28.在平面直角坐标系中，对于点T，，，给出如下定义：若点N以点T为中心逆时针旋转90°后，能与点M重合，则称点T为线段MN的“完美等直点”.
（1）如图1，当，，时，线段MN的“完美等直点”坐标是______；
图1
（2）如图2，当，时，若直线上的一点T，满足T是线段MN的“完美等直点”，求点T的坐标及b的值；
图2
（3）当时，若点在以为圆心，为半径的圆上，点T为线段MN的“完美等直点”，直接写出点T的横坐标t的取值范围.
大兴区2023～2024学年度第二学期初三期末检测
数学参考答案及评分标准
一、选择题（共16分，每题2分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B D B C B C A
二、填空题（共16分，每题2分）
题号 9 10 11 12 13 14 15 16
答案 > 6 答案不唯一，例如： 8，4
三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27～28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
17.解：原式……………………4分
.……………………5分
18.解：
解不等式①，得.……………………2分
解不等式②，得.……………………4分
所以原不等式组的解集为.……………………5分
19.解：原式.
.……………………1分
.……………………2分
.……………………3分
.
.……………………4分
∴原式=10.……………………5分
20.方案一：
解：由题意得，
，.……………………1分
.……………………2分
.……………………3分
.……………………4分
，，，
.
答：旗杆高度为12m.……………………5分
方案二：
解：由题意得，
，……………………1分
.……………………2分
.……………………3分
，，，
.……………………4分
.
答：旗杆高度为12m.……………………5分
21.（1）证明：
四边形ABCD是平行四边形，
，.
点E，F分别为AD，BC中点，
，.
.
四边形AECF是平行四边形.……………………1分
，点E为BC中点，
.
四边形AECF是菱形.……………………2分
（2）解：连接EF，交AC于点O.
在中，
，，，
（舍负）.……………………3分
，
.
，
.……………………4分
∵四边形AECF是菱形，
∴O是AC的中点，.
，.
.……………………5分
在中，
，
（舍负）.……………………6分
22.解：（1），；……………………2分
（2）B队；……………………3分
（3）①.……………………5分
23.解：（1）∵函数的图象是由的图象平移得到的，
……………………1分
把代入，解得.……………………2分
∴函数的表达式是.……………………3分
（2）.……………………5分
24.（1）100；……………………1分
（2）解：.
答：当剪去小正方形的边长x为cm时，取得最大值；……………………3分
（3）②；……………………5分
（4）400.……………………6分
25.（1）证明：连接OE.
，
.……………………1分
，
.
.
.
.
∴AC是的切线.……………………2分
（2）解：如图，连接BE.
，
，
在中，
，
，
.……………………3分
∵BD是直径，
.
.
，
.
.
.
.……………………4分
.
.
.
在中，
，
在中，
，
.……………………5分
.……………………6分
26.解：（1）把点和点代入得，
解得：……………………1分
.……………………2分
（2），
∴当时，y随x的增大而增大.……………………3分
令，得，
∴抛物线与y轴交点坐标为.
，，，
，在对称轴的左侧，
设点关于对称轴的对称点坐标，
.
.
∴点关于对称轴的对称点坐标为.……………………4分
，
.
.……………………5分
点在对称轴左侧，点在对称轴右侧.
设点关于对称轴的对称点坐标，
.
.
∴点关于对称轴的对称点坐标为.
.
.……………………6分
27.解：（1）依题意补全图形：
…………………………1分
（2）证明：连接AE.
∵点D关于直线AP的对称点为E，，
，.
.
，
.
.……………………2分
，
.
.……………………3分
（3）用等式表示线段BD与MN的数量关系是：.……………………4分
证明：连接DN并延长到F，使得，连接FC，EF.
∴点N是DF中点.
∵点D关于直线AP的对称点为E，DE与AP交于M，
∴点M是DE中点.
∴MN为的中位线.
.……………………5分
∵点N是BC中点，
.
，，
.
，.
又，
.……………………6分
，
.
.
.
.
，，
.
.……………………7分
28.解：（1）……………………1分
（2）过点T作轴，轴，垂足分别为A，B.……………………2分
.
，
.
，
.
，.
∵点T在直线上，不妨设点T坐标为.
.
解得：.……………………3分
点T坐标为.……………………4分
点A坐标为.
点B坐标为.
.
.
……………………5分
（3）.……………………7分

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