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广州市八年级下学期期末模拟考试
数学试题
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．某班30位同学阅读课外读物的本数统计如表所示：
本数 2 3 4 5 6 7 8
人数 ■ ■ 2 3 6 7 9
其中两个数据被遮盖，下列关于阅读课外读物的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ）
A．平均数，方差 B．中位数，方差
C．平均数，众数 D．中位数，众数
2．有下列四个算式：①；②；③；④．其中正确的是（ ）．
A．①④ B．③④ C．②③ D．①③
3．如图，点是平行四边形边上一动点，的路径移动，设点经过的路径长为x，的面积是y，则大致能反映y与x之间的函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
4．对于实数a,b，定义符号，其意义为：当时，，当时，，例如：，，若关于x的函数，则该函数的最大值为（　　）
A．0 B．2 C．3 D．5
5．实数a和b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
6．若一次函数（为常数且）的图像经过点，，则下列说法中，正确的是（ ）
A．该函数图像不经过第三象限 B．关于的方程的解为
C．该函数图像与坐标轴围成的三角形面积为8 D．该函数值随的增大而增大
7．如图，已知，增加下列条件可以使四边形成为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在菱形中，，，点、分别为、上的动点，，点从点向点运动过程中，的长度（　　）
A．逐渐增加 B．先减小再增加
C．恒等于9 D．恒等于6
9．如图，在中，，的平分线交于点D，，交于点E，于点F，，，则的长为（ ）
A．13 B．14 C．16 D．18
10．中，的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定为直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．已知某汽车油箱中的剩余油量y（升）与该汽车行驶里程数x（千米）是一次函数关系．当汽车加满油后，行驶100千米，油箱中还剩油138升；行驶150千米，油箱中还剩油132升．那么，当这辆汽车行驶350千米时，油箱中还剩油 升．
12．已知：，，，，的平均数是，，，，，的平均数是，则，，，，的平均数是 ．
13．若规定符号“*”的意义是，则的值是 ．
14．如图，已知是边长为4的等边三角形，点是边上一点，且，将沿折叠，点的对应点为，连接并延长，与的延长线交于点，连接，则的长为 ．
15．如图， 在 中， P为边上一动点 (且点P不与点B、C重合) ，于F．则的最小值为 ．
16．如图1，在菱形中，点P沿方向从点A移动到点C，设点P的移动路程为x，线段的长为y，点P在运动过程中y与x的变化关系如图2所示，点P运动到边上时，当，y的值最小为12，则a的值是 ．
三、解答题（共52分）
17．计算：
(1)；
(2)
18．如图．已知点P、Q是对角线上的两点，且，连接、、、．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若Q为的中点，的面积为2，则的面积为__________．
19．实数a，b在数轴上的位置如图所示，
(1)化简M；
(2)当时，求M的值．
20．“疫情未结束，防疫绝不放松”．为了了解同学们掌握防疫知识的情况，增强防疫意识，某校开展了“全民行动 共同抗疫”的自我防护知识网上答题竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（十分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分成四组：．，．，．，．），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：9，8，9，，，，，10，，．
八年级10名学生的竞赛成绩在组中的数据是，9，．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表．
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 9
八年级 10

根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中 ， ， ；
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握自我防护知识较好？请说明理由（一条理由即可）；
(3)该校七、八年级共640人参加了此次网上答题竞赛活动，估计参加竞赛活动成绩优秀（）的学生人数是多少？
21．近年来，我县在创建省级文明城市，为积极推进创建工作，我县呼吁全民积极参与垃圾分类，东关某社区计划购买A，B两种型号的垃圾分装桶，根据市场调查，若购买3个A型垃圾分装桶和4个B型垃圾分装桶共需要720元，购买6个A型垃圾分装桶和5个B型垃圾分装桶共需要1080元．
(1)求两种型号垃圾分装桶的单价；
(2)某企业为了更好地服务于社区，打算捐赠这批垃圾分装桶，若需购买A，B型号的垃圾分装桶共100个，其中A型垃圾分装桶的个数不少于B型的一半，试问：该企业最多需要花费多少元？
22．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线交x轴于点C，交y轴于点D，两直线交于点E，，．
(1)如图1，求k和b的值；
(2)如图2，点P在x轴上，过点P作x轴的垂线交射线于点M，交射线于点N，设点P的横坐标为t，线段的长为d，求d与t之间的函数关系式，直接写出t的取值范围；
(3)如图3，在（2）的条件下，，点H在直线上，点F在x轴上，点G在直线上，连接和， 当四边形为矩形，且时，求点G的坐标．
23．如图1，在正方形中，、分别在上，连接，过点作于点，交于点、且点为线段的中点．
(1)①若，求．
②求证：；
(2)如图2，若点在正方形内，点在正方形外，且，其余条件不变，则还成立吗？说明理由．
24．在和中，点在边上，，，．
(1)如图1，当时，连接，写出，，之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，当时，过点作的垂线并延长，交于点，若，，求线段的长．中小学教育资源及组卷应用平台
广州市八年级下学期期末模拟考试数学试题
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．某班30位同学阅读课外读物的本数统计如表所示：
本数 2 3 4 5 6 7 8
人数 ■ ■ 2 3 6 7 9
其中两个数据被遮盖，下列关于阅读课外读物的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ）
A．平均数，方差 B．中位数，方差
C．平均数，众数 D．中位数，众数
【答案】D
【分析】本题考查了统计量的选择，熟练掌握中位数、众数、方差、平均数的意义和计算方法，是解题的关键．
通过计算本数为2、3的人数和，判断不影响成绩出现次数最多的结果，因此不影响众数，同时不影响找第15、16位数据，因此不影响中位数的计算，影响平均数和方差，进而进行选择．
【详解】这组数据中本数为2、3的人数和为：
，
则这组数据中出现次数最多的数8，即众数8，
与遮盖的数据无关；
第15、16个数据分别为6、7，则中位数为6.5，
与被遮盖的数据无关．
故选：D．
2．有下列四个算式：①；②；③；④．其中正确的是（ ）．
A．①④ B．③④ C．②③ D．①③
【答案】C
【分析】本题主要考查二次根式的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
利用二次根式的加减法的法则进行运算即可．
【详解】解：①与不属于同类二次根式，不能运算，故①不符合题意；
②，故②符合题意；
③，故③符合题意；
④，故④不符合题意；
故选：C．
3．如图，点是平行四边形边上一动点，的路径移动，设点经过的路径长为x，的面积是y，则大致能反映y与x之间的函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查动点问题的函数图像，一次函数的图像，平行四边形的性质．注意分段考虑．解题的关键是数形结合的应用．根据题意分三段来考虑，点沿移动，的面积逐渐变大；点沿移动，的面积不变；点沿移动，的面积逐渐减小，据此选择即可．
【详解】解：如图，过点作交的延长线于，设，与之间的距离为，
点沿移动，，是定值，则是的一次函数，
且的面积逐渐变大；
点沿移动，，与是定值，
即的面积不变；
点沿移动，，是定值，则是的一次函数，
且的面积逐渐减小；
故选：C．
4．对于实数a,b，定义符号，其意义为：当时，，当时，，例如：，，若关于x的函数，则该函数的最大值为（　　）
A．0 B．2 C．3 D．5
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据定义分情况列出不等式：①当时，；②当时，，再根据一次函数的性质可得出结果．
【详解】解：由题意得：
①当，即时，，
，y随x的增大而减小，
当时，y取得最大值3；
②当，即时，，
，y随x的增大而增大，
当时，．
综上可知，函数的最大值为3．
故选：C．
5．实数a和b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查数轴和运用数形结合思想进行绝对值和二次根式的化简能力，解题关键是掌握根据二次根式的性质化简二次根式与根据绝对值的意义化简．
由数轴得出，从而判定出，，再根据二次根式的性质化简二次根式与根据绝对值的意义化简即可．
【详解】解：由数轴可得：
∴，，
∴
，
故选：A．
6．若一次函数（为常数且）的图像经过点，，则下列说法中，正确的是（ ）
A．该函数图像不经过第三象限 B．关于的方程的解为
C．该函数图像与坐标轴围成的三角形面积为8 D．该函数值随的增大而增大
【答案】C
【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图像与性质等知识，正确求得函数解析式是解题关键．首先利用待定系数法求一次函数解析式为，根据的取值范围确定函数图像经过的象限，即可判断选项A；确定该函数图像与轴交点，即可判断选项B；确定函数图像与轴交点，结合该函数图像与轴交点，计算函数图像与坐标轴围成的三角形面积，即可判断选项C；根据的取值范围确定增减性，即可判断选项D．
【详解】解：将点，代入一次函数，
可得，解得，
所以，该一次函数的解析式为，
∵，，
∴该函数图像经过第二、三、四象限，不经过第一象限，故选项A错误，不符合题意；
对于一次函数，令，可得，
即该函数图像与轴交点为，
∴关于的方程的解为，故选项B错误，不符合题意；
对于一次函数，令，可得，
即该函数图像与轴交点为，
∴函数图像与坐标轴围成的三角形面积，故选项C正确，符合题意；
∵，
∴该函数值随的增大而减小，故选项D错误，不符合题意．
故选：C．
7．如图，已知，增加下列条件可以使四边形成为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，根据平行四边形的判定定理逐项判断即可，解题的关键是熟知平行四边形的判定定理．
【详解】、由可得，结合题意，不能证明四边形成为平行四边形，不符合题意；
、由，结合题意，不能证明四边形成为平行四边形，不符合题意；
、∵，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，符合题意；
、由，结合题意，不能证明四边形成为平行四边形，不符合题意；
故选：．
8．如图，在菱形中，，，点、分别为、上的动点，，点从点向点运动过程中，的长度（　　）
A．逐渐增加 B．先减小再增加
C．恒等于9 D．恒等于6
【答案】D
【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，连接，由菱形的性质推出，，判定是等边三角形，得到，，由，推出，由判定，得到，于是得到．
【详解】解：连接，
∵四边形是菱形，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
9．如图，在中，，的平分线交于点D，，交于点E，于点F，，，则的长为（ ）
A．13 B．14 C．16 D．18
【答案】D
【分析】根据角平分线的性质得到，，由平行线的性质得，则，为等腰三角形，因此，再根据勾股定理得
【详解】解：平分，，，
，，
，
，
，
为等腰三角形，
，
在中，由勾股定理得，
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，解题关键是学会利用数形结合的思想，熟练运用所学知识答题．
10．中，的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定为直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答．本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∵，三角形内角和为
∴最大角为，
∴此时三角形不是直角三角形，
故B符合题意；
∵，
∴，
∴三角形是直角三角形，
故C不符合题意；
∵，
∴设，
∴，
∴，
∴三角形是直角三角形，
故D不符合题意；
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．已知某汽车油箱中的剩余油量y（升）与该汽车行驶里程数x（千米）是一次函数关系．当汽车加满油后，行驶100千米，油箱中还剩油138升；行驶150千米，油箱中还剩油132升．那么，当这辆汽车行驶350千米时，油箱中还剩油 升．
【答案】
【分析】本题考查一次函数的实际应用，设出函数关系式，待定系数法求出函数解析式，再令，求出函数值即可．
【详解】解：设某汽车油箱中的剩余油量y（升）与该汽车行驶里程数x（千米）的函数关系式为，
由题意，得：，解得：，
∴，
∴当时，，
∴当这辆汽车行驶350千米时，油箱中还剩油升；
故答案为：．
12．已知：，，，，的平均数是，，，，，的平均数是，则，，，，的平均数是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平均数的求法，先求前个数的和，再求后个数的和，然后利用平均数的定义求出个数的平均数，正确理解算术平均数的概念是解题的关键．
【详解】解：∵，，，，的平均数是，，，，，的平均数是，
∴，，，，的平均数是，
故答案为：．
13．若规定符号“*”的意义是，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查新定义运算，涉及二次根式混合运算，根据新定义列式，再由二次根式混合运算法则求解即可得到答案，读懂题意，熟练掌握二次根式混合运算法则是解决问题的关键．
【详解】解：，
，
故答案为：．
14．如图，已知是边长为4的等边三角形，点是边上一点，且，将沿折叠，点的对应点为，连接并延长，与的延长线交于点，连接，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了等边三角形的性质，折叠的性质，勾股定理；过点作于点，连接交于点，先根据折叠的得出，进而勾股定理求得，在中，得出，根据等面积法求得，进而勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，连接交于点，
∵是等边三角形，将沿折叠，点的对应点为，
∴，
∴
∵
∴
∴
∵折叠，
∴，
∴
∵已知是边长为4的等边三角形，点是边上一点，且，
∴
在中，，则
∴，
∴
在中，
∵折叠，
∴，
∵
∴，
解得：
在中，，则
∴
即，
∴
故答案为：．
15．如图， 在 中， P为边上一动点 (且点P不与点B、C重合) ，于F．则的最小值为 ．
【答案】4.8
【分析】本题考查了矩形的性质和判定、勾股定理、垂线段最短的应用，根据已知得出四边形是矩形，得出，要使最小，只要最小即可，根据垂线段最短得出即可．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
要使最小，只要最小即可，
过A作于P，此时最小，
在中，，由勾股定理得：，
由三角形面积公式得：，
∴，
即．
故答案为：4.8．
16．如图1，在菱形中，点P沿方向从点A移动到点C，设点P的移动路程为x，线段的长为y，点P在运动过程中y与x的变化关系如图2所示，点P运动到边上时，当，y的值最小为12，则a的值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，菱形的性质，勾股定理，根据菱形的性质，再结合运动时随的变化的关系图象，通过勾股定理即可求解．
【详解】解：当点P运动到边上时，由垂线段最短可知：此时，
作图如下图：
依题意得：，，
设，则，
在中，，即，
解得：，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
即a的值是．
三、解答题（共52分）
17．计算：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，零指数幂，负整数指数幂：
（1）先计算二次根式乘除法，再计算二次根式加减法即可；
（2）先化简二次根式，计算零指数幂，负整数指数幂，再计算加减法即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．如图．已知点P、Q是对角线上的两点，且，连接、、、．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若Q为的中点，的面积为2，则的面积为__________．
【答案】(1)见解析
(2)12
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握知识点并能够添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）连接交于点，由平行四边形的性质可得，，结合已知可得，即可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形进行证明．
（2）先证明，，再利用平行四边形的性质可得答案．
【详解】（1）证明：连接交于点，

∵四边形是平行四边形，
，，
，
，
即，
，
∴四边形是平行四边形．
（2）∵Q为的中点，，
∴，
∵的面积为2，
∴，，
∴的面积为．
19．实数a，b在数轴上的位置如图所示，
(1)化简M；
(2)当时，求M的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了由数轴判断式子的符号、绝对值的性质、二次根式的化简及运算，采用数形结合的思想是解题的关键．
（1）根据数轴可知，然后确定，，然后根据绝对值和二次根式的性质化简即可解答；
（2）将代入（1）化简的代数式计算即可
【详解】（1）解∶由数轴可知，
∴，
∴，
．
（2）解：当时，
20．“疫情未结束，防疫绝不放松”．为了了解同学们掌握防疫知识的情况，增强防疫意识，某校开展了“全民行动 共同抗疫”的自我防护知识网上答题竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（十分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分成四组：．，．，．，．），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：9，8，9，，，，，10，，．
八年级10名学生的竞赛成绩在组中的数据是，9，．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表．
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 9
八年级 10

根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中 ， ， ；
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握自我防护知识较好？请说明理由（一条理由即可）；
(3)该校七、八年级共640人参加了此次网上答题竞赛活动，估计参加竞赛活动成绩优秀（）的学生人数是多少？
【答案】(1)40，，9和
(2)八年级学生掌握自我防护知较好，理由见解析
(3)416人
【分析】（1）首先确定八年级10名学生的竞赛成绩在组和组的人数，进而求得的值；将八年级10名学生的成绩从小到大排列，结合中位数的定义即可确定的值；根据众数的定义，即可确定的值；
（2）根据方差确定答案即可；
（3）利用该校七、八年级参加此次网上答题竞赛活动的总人数乘以七、八年级随机抽取的20人中优秀人数所占的百分比即可．
【详解】（1）解：根据题意，八年级10名学生的竞赛成绩在组的学生有3人，
∴八年级10名学生的竞赛成绩在组的有人，
∴八年级10名学生的竞赛成绩在组的学生占比，
即；
∵八年级10名学生的竞赛成绩中，组有人，组有人，组有3人，组有4人，
∴将这10人的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数都是，
因此中位数是，即；
七年级10名学生成绩出现次数最多的是9和，因此众数是9和，
即和．
故答案为：40，，9和；
（2）八年级学生掌握自我防护知较好，理由：
∵七年级的方差为，八年级的方差是，而，
∴八年级学生的成绩较为稳定，
∴八年级学生掌握自我防护知较好（答案不唯一，有道理即可）；
（3）（人），
答：参加竞赛活动成绩优异的学生人数是416人．
【点睛】本题主要考查扇形统计图、中位数、众数、方差、利用样本估计总体等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
21．近年来，我县在创建省级文明城市，为积极推进创建工作，我县呼吁全民积极参与垃圾分类，东关某社区计划购买A，B两种型号的垃圾分装桶，根据市场调查，若购买3个A型垃圾分装桶和4个B型垃圾分装桶共需要720元，购买6个A型垃圾分装桶和5个B型垃圾分装桶共需要1080元．
(1)求两种型号垃圾分装桶的单价；
(2)某企业为了更好地服务于社区，打算捐赠这批垃圾分装桶，若需购买A，B型号的垃圾分装桶共100个，其中A型垃圾分装桶的个数不少于B型的一半，试问：该企业最多需要花费多少元？
【答案】(1)A型垃圾分装桶单价为80元，B型垃圾分装桶单价为120元
(2)10640元
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式得实际应用，二元一次方程组的实际应用：
（1）设A型垃圾分装桶单价为x元，B型垃圾分装桶单价为y元，根据购买3个A型垃圾分装桶和4个B型垃圾分装桶共需要720元，购买6个A型垃圾分装桶和5个B型垃圾分装桶共需要1080元列出方程组求解即可；
（2）设购买A型垃圾分装桶m个，企业的花费为W元，则购买B型垃圾分装桶个，先根据A型垃圾分装桶的个数不少于B型的一半列出不等式求出m的取值范围，再根据（1）所求列出W关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设A型垃圾分装桶单价为x元，B型垃圾分装桶单价为y元，
由题意得，，
解得，
答：A型垃圾分装桶单价为80元，B型垃圾分装桶单价为120元；
（2）解：设购买A型垃圾分装桶m个，企业的花费为W元，则购买B型垃圾分装桶个，
∵A型垃圾分装桶的个数不少于B型的一半，
∴，
∴；
由题意得：，
∵，
∴W随着m增大而减小，
又∵m为整数，
∴当时，W最大，最大为，
答：该企业最多需要花费10640元．
22．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线交x轴于点C，交y轴于点D，两直线交于点E，，．
(1)如图1，求k和b的值；
(2)如图2，点P在x轴上，过点P作x轴的垂线交射线于点M，交射线于点N，设点P的横坐标为t，线段的长为d，求d与t之间的函数关系式，直接写出t的取值范围；
(3)如图3，在（2）的条件下，，点H在直线上，点F在x轴上，点G在直线上，连接和， 当四边形为矩形，且时，求点G的坐标．
【答案】(1)
(2)；
(3)点G的坐标为或
【分析】（1）首先表示出A、B的坐标，再根据，求出C、D的坐标，最后利用待定系数法即可求出k和b的值；
（2）设点P的横坐标为t，则，，利用线段MN的长为d，即可表示出d与t之间的函数关系式，联立两直线的解析式，求出交点E的坐标，根据过点P作x轴的垂线交射线于点M，交射线于点N即可求出t的取值范围；
（3）当时，根据（2）可求出的面积，设，则，根据可求出或，分情况即可求出点G的坐标．
【详解】（1）解：直线交x轴于点A，交y轴于点B，
，，
即，，
又，，
，，
，，
将，代入直线，得
，
；
（2）设点P的横坐标为t，则，，
线段MN的长为d，
，
即，
即，
；
（3）过点G作于点I，
当时，由（2）可知，
由题意可知，，，
设，则，
四边形为矩形，
，
，，
，
，
解得，
当时，，
，,
即，
当时，，
，,
即，
综上所述：点G的坐标为或．
【点睛】本题是一次函数的综合题，主要考查求函数解析式、已知两点坐标表示线段长度、一次函数与几何图形相结合，熟练掌握函数性质、正确画出图形是解题的关键．
23．如图1，在正方形中，、分别在上，连接，过点作于点，交于点、且点为线段的中点．
(1)①若，求．
②求证：；
(2)如图2，若点在正方形内，点在正方形外，且，其余条件不变，则还成立吗？说明理由．
【答案】(1)①；②见解析
(2)成立，证明见解析
【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，中位线的性质；
（1）①根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得进而根据等边对等角可得根据三角形的外角的性质可得，进而根据，即可得出；
②根据①的结论可得，根据正方形的性质可得，即可证明，根据全等三角形的性质，即可得证；
（2）延长至，使得，连结，，设，根据得出，进而根据中位线的性质可得，得出，即可得出，证明，即可得证．
【详解】（1）解：①∵四边形是正方形，
∴
∵点为线段的中点．
∴
∴
∵，
∴
∵
∴
②∵
∴
∴
又∵四边形是正方形，
∴
∴
∴
∴
（2），成立
证明：延长至，使得，连结，
∵，
∴，
在正方形中，是对角线，
∴，
∴.
∴.
∴
设，则
∵
∴
∵M是的中点，D是的中点，
∴，
∴
又∵
∴
∴
∴
24．在和中，点在边上，，，．
(1)如图1，当时，连接，写出，，之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，当时，过点作的垂线并延长，交于点，若，，求线段的长．
【答案】(1)，理由见解析
(2)的长为
【分析】（1）根据可证，则可得，，进而可得，在中，根据勾股定理可得，进而可得．
（2）连接，，过点作，交的延长线于点，可得是的垂直平分线，设，则，，在中，根据勾股定理列方程即可求解．
【详解】（1）．
理由如下：
，，，
，．
．
在和中，
．
，．
，
在中，．
，
．
（2），，，
和是等边三角形．
，，
则．
如图，连接，，过点作，交的延长线于点，
由（1）可知，，
，．
，
．
在中，，．
，．
是等边三角形，，
平分．
．
设，则，，
在中，，
即．
解得．
的长为．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，合理作出辅助线是解题的关键．

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