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实验六　探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系
原理装置图 操作步骤
控制变量法 1.把两个质量相同的小球放在长槽和短槽上，使它们的转动半径相同，调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度不同，探究向心力的大小与角速度的关系。 2.保持两个小球质量不变，增大长槽上小球的转动半径，调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度相同，探究向心力的大小与半径的关系。 3.换成质量不同的小球，使两个小球的转动半径相同，调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度也相同，探究向心力的大小与质量的关系。
数据处理和结论 1.分别作出Fn－ω2、Fn－r、Fn－m的图像，分析向心力与角速度、半径、质量之间的关系。 2.实验结论
考点一　教材原型实验
例1 (2024·福建厦门高三月考)用如图1所示的实验装置来探究小球做圆周运动所需向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系，转动手柄使长槽和短槽分别随变速塔轮匀速转动，槽内的球就做匀速圆周运动。横臂的挡板对球的压力提供了向心力，球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒下降，从而露出标尺，标尺上的红白相间的等分格显示出两个小球所受向心力的比值。实验用球分为钢球和铝球，请回答相关问题：
图1
(1)在某次实验中，某同学把两个质量相等的钢球放在A、C位置，A、C到塔轮中心距离相同，将皮带处于左右塔轮的半径不等的层上。转动手柄，观察左右标出的刻度，此时可研究向心力的大小与________的关系。
A.质量m B.角速度ω 　　
C.半径r
(2)在(1)的实验中，某同学匀速转动手柄时，左边标尺露出4个格，右边标尺露出1个格，则皮带连接的左、右塔轮半径之比为________；其他条件不变，若增大手柄转动的速度，则左右两标尺示数的比值________(选填“变大”“变小”或“不变”)。
答案　(1)B　(2)1∶2　不变
解析　(1)两球质量m相等、转动半径r相等，塔轮皮带边缘线速度大小相等，由v＝rω可知，塔轮角速度不同，即小球角速度不同，此时可研究向心力的大小与角速度ω的关系，故B正确。
(2)左边标尺露出4个格，右边标尺露出1个格，则向心力之比为4∶1，由F＝mω2r，v＝rω，可知小球的角速度之比为2∶1；则皮带连接的左、右塔轮半径之比为1∶2；由上一步的分析可知，其他条件不变，若增大手柄转动的速度，则左右两标尺示数的比值不变。
1.(2024·浙江嘉兴高三期末)“探究向心力大小的表达式”的实验装置如图2所示。小球放在挡板A、B或C处做圆周运动的轨道半径之比为1∶2∶1，小球与挡板挤压，弹簧测力筒内的标尺可显示力的大小关系。
图2
(1)本实验利用的物理方法为________。
A.理想实验法 B.控制变量法
C.等效替代法
(2)为了探究小球受到的向心力大小和角速度的关系，现将一铁球放在C处，对另一小球，以下做法正确的是________。
A.选用相同的铁球放在A处
B.选用相同的铁球放在B处
C.选用相同大小的铝球放在A处
D.选用相同大小的铝球放在B处
(3)通过本实验可以得到的结果有________。
A.在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比
B.在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度成反比
C.在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度成正比
D.在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成反比
(4)当用两个质量相等的小球分别放在B、C处，匀速转动时发现右边标尺上露出的红白相间的等分格数为左边的2倍，左边塔轮与右边塔轮之间的角速度之比为________。
(5)用此装置做实验有较大的误差，误差产生的主要原因是________。
A.匀速转动时的速度过大
B.读数时标尺露出的红白相间的等分格数不稳定
答案　(1)B　(2)A　(3)A　(4)1∶2　(5)B
解析　(1)在实验中，主要利用了控制变量法来探究向心力与质量、半径、角速度之间的关系，故B正确。
(2)为了探究小球受到的向心力大小和角速度的关系，则必须保持质量和转动半径相同，因其中一球放在了C处，则应该选用相同的铁球放在A处，故A正确。
(3)在半径和角速度一定的情况下，由F＝mω2r知，向心力的大小与质量成正比，A正确；在质量和半径一定的情况下，由F＝mω2r知，向心力的大小与角速度的平方成正比，B、C错误；在质量和角速度一定的情况下，由F＝mω2r知，向心力的大小与半径成正比，D错误。
(4)右边的向心力的大小是左边的2倍，有F左∶F右＝1∶2，左边小球的轨道半径为右边小球的2倍，即r左∶r右＝2∶1，根据F＝mω2r可得ω＝，则＝。
(5)匀速转动时的速度过大，不会引起较大的误差；读数时标尺露出的红白相间的等分格数不稳定，从而产生误差，故B正确。
考点二　创新拓展实验
例2 (2024·山东日照模拟)某物理兴趣小组利用传感器进行“探究向心力大小F与半径r、角速度ω、质量m的关系”实验，实验装置如图3甲所示，装置中水平光滑直杆能随竖直转轴一起转动，将滑块套在水平直杆上，用细线将滑块与固定的力传感器连接。当滑块随水平光滑直杆一起匀速转动时，细线的拉力提供滑块做圆周运动的向心力。拉力的大小可以通过力传感器测得，滑块转动的角速度可以通过角速度传感器测得。
图3
(1)小组同学先让一个滑块做半径r为0.20 m的圆周运动，得到图乙中②图线；然后保持滑块质量不变，再将运动的半径r分别调整为0.14 m，0.16 m，0.18 m，0.22 m，在同一坐标系中又分别得到图乙中⑤、④、③、①四条图线。
(2)本实验所采用的实验探究方法与下列哪些实验是相同的________。
A.探究平抛运动的特点
B.探究变压器原、副线圈电压与匝数的关系
C.探究两个互成角度的力的合成规律
D.探究加速度与物体受力、物体质量的关系
(3)对②图线的数据进行处理，获得了F－x图像，如图丙所示，该图像是一条过原点的直线，则图像横坐标x代表的是________(用半径r、角速度ω、质量m表示)。
(4)对5条F－ω图线进行比较分析，作F－r图像，得到一条过坐标原点的直线，则该直线的斜率为__________(用半径r、角速度ω、质量m表示)。
答案　(2)BD　(3)ω2　(4)mω2
解析　(2)本实验所采用的实验探究方法是保持滑块质量不变，探究运动半径为不同值时，滑块的向心力大小与角速度之间的关系，属于控制变量法，与“探究变压器原、副线圈电压与匝数的关系”、“探究加速度与物体受力、物体质量的关系”实验探究方法相同；“探究平抛运动的特点”和“探究两个互成角度的力的合成规律”两实验的探究方法是等效替代法。故B、D正确，A、C错误。
(3)乙图像中各图线均为曲线，对②图线的数据进行分析可以看出，当ω增大为原来的2倍时，F增大为原来的4倍，当ω增大为原来的3倍时，F增大为原来的9倍……可知，F与ω2成正比，以F为纵轴，ω2为横轴，则图像是一条过原点的直线，故图丙图像横坐标x代表的是ω2。
(4)由以上分析知在r一定时，F与ω2成正比；F－r图像又是一条过坐标原点的直线，F与r成正比；同时F也应与m成正比，归纳可知，F－r图像的斜率为mω2。
2.(2024·辽宁沈阳模拟)某实验小组用如图4甲所示装置探究向心力大小与线速度大小和运动半径的关系。光滑的水平直杆固定在竖直转轴上，水平直杆的左侧固定宽度为d的遮光条，遮光条到竖直转轴的距离为2r，水平直杆的右侧套上质量为m的滑块，用细线将滑块与固定在竖直转轴上的力传感器连接，物块到转轴的距离为r，细线处于水平伸直状态，细线拉力的大小可以通过力传感器测得。安装在铁架台上的光电门可测遮光条通过光电门的时间。
图4
(1)用游标卡尺测量遮光条的宽度如图乙所示，d＝________cm。
(2)当滑块随水平直杆一起匀速转动时，光电门显示遮光条通过光电门的时间为Δt，则此时滑块线速度大小v＝________(用字母d、Δt表示)；若保持滑块到竖直转轴的距离不变，让转轴以不同的角速度匀速转动，测得多组力传感器的示数F和对应的挡光时间Δt。为了画出线性图像，应作力F与________(选填“Δt2”“Δt”“”或“”)的函数图像。
答案　(1)0.85　(2)　
解析　(1)用游标卡尺测量遮光条的宽度为d＝8 mm＋5×0.1 mm＝8.5 mm＝0.85 cm。
(2)光电门显示遮光条通过光电门的时间为Δt，则此时遮光条的速度大小为v′＝，遮光条和滑块的角速度相等，遮光条到竖直转轴的距离为2r，滑块到转轴的距离为r，根据v＝ωr，可知滑块线速度大小为v＝v′＝，根据牛顿第二定律有F＝m＝m＝·，可知为了画出线性图像，应作力F与的函数图像。
1.(2024·浙江嘉兴模拟)小兴利用图1装置探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系。
图1
(1)开始时皮带在两个变速塔轮2、3的最上面一层，若要探究小球受到的向心力大小和角速度大小的关系，下列做法正确的是________。
A.用体积相同的钢球和铝球做实验
B.将变速塔轮2、3上的皮带往下移动
C.用秒表记录时间、计算两个小球的角速度
D.将两个小球都放在长槽上
(2)若放在长槽和短槽的三个小球均为质量相同的钢球，皮带所在塔轮的半径之比为1∶1，逐渐加大转速，左右标尺露出的红色、白色等分标记之比会________(选填“变大”“变小”“不变”或“无法确定”)；当小兴以1 r/s的转速转动手柄时，左右标尺露出的红色、白色等分标记之比是________。
答案　(1)B　(2)不变　3∶1
解析　(1)若要探究小球受到的向心力大小和角速度大小的关系，即探究F＝mω2r的关系，则需要用质量和体积都相同的两个相同球做实验，A错误；开始时皮带在两个变速塔轮2、3的最上面一层，此时半径相同，将变速塔轮2、3上的皮带往下移动，因两轮边缘的线速度相等，半径不相同，使得轮转动的角速度不相等，这样就可以探究力和角速度的关系，只需要知道两轮的半径关系即可知道两个小球的角速度关系，所以不需要用秒表记录时间、计算两个小球的角速度，B正确，C错误；为保证两球转动的半径相同，则需要将两个小球分别放在长槽和短槽上半径相同的位置，D错误。
(2)若放在长槽和短槽的三个小球均为质量相同的钢球，皮带所在塔轮的半径之比为1∶1，则角速度相同，转速也相同，根据F＝mω2r＝m(2πn)2r可知逐渐加大转速，左右标尺露出的红色、白色等分标记之比不变。当小兴以1 r/s的转速转动手柄时，根据F＝mω2r＝m(2πn)2r，左右两边的向心力大小之比为＝＝。
2.(2024·福建厦门模拟)如图2甲所示为向心力演示仪，可探究小球做圆周运动所需向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系。长槽的A、B处和短槽的C处分别到各自转轴中心距离之比为1∶2∶1。变速塔轮自上而下有三种组合方式，左右每层半径之比由上至下分别为1∶1、2∶1和3∶1，如图乙所示。
图2
(1)本实验的目的是探究向心力的大小与小球质量m、角速度ω和半径r之间的关系，下列实验中采用的实验方法与本实验相同的是________。
A.用油膜法估测油酸分子的大小
B.用单摆测量重力加速度的大小
C.探究加速度与物体受力、物体质量的关系
(2)在某次实验中，把两个质量相等的钢球放在B、C位置，探究向心力的大小与半径的关系，则需要将传动皮带调至第________层塔轮(选填“一”“二”或“三”)。
(3)在另一次实验中，把两个质量相等的钢球放在A、C位置，传动皮带位于第二层，转动手柄，则当塔轮匀速转动时，左右两标尺露出的格子数之比约为________。
A.1∶2 B.1∶4
C.2∶1 D.4∶1
答案　(1)C　(2)一　(3)B
解析　(1)探究向心力的大小与小球质量m、角速度ω和半径r之间的关系，采用的实验方法是控制变量法。用油膜法估测油酸分子的大小，采用的实验方法是通过测量宏观量来测量微观量的方法，故A错误；用单摆测量重力加速度的大小，分别测量出摆长和周期，通过单摆周期公式计算得到重力加速度大小，不是采用控制变量法，故B错误；探究加速度与物体受力、物体质量的关系，采用的实验方法是控制变量法，故C正确。
(2)在某次实验中，把两个质量相等的钢球放在B、C位置，探究向心力的大小与半径的关系，应使两球的角速度相同，则需要将传动皮带调至第一层塔轮。
(3)在另一次实验中，把两个质量相等的钢球放在A、C位置，则两球做圆周运动的半径相等；传动皮带位于第二层，则两球做圆周运动的角速度之比为ω左∶ω右＝R2∶2R2＝1∶2，根据F＝mω2r，可知当塔轮匀速转动时，左右两标尺露出的格子数之比约为F左∶F右＝ω∶ω＝1∶4，故B正确。
3.(2024·四川泸州诊断性考试)某实验小组用如图3甲所示的装置探究向心力大小与周期、半径之间的关系，轻绳一端系着小球，另一端固定在竖直杆上的力传感器上，小球套在光滑水平杆上。水平杆在电动机带动下可以在水平面内绕竖直杆匀速转动。已知小球质量为m，小球做圆周运动的半径为r，电子计数器可记录杆做圆周运动的圈数n，用秒表记录小球转动n圈的时间为t。
图3
(1)若保持小球运动半径不变，仅减小运动周期，小球受到的拉力将________；若保持小球运动的周期不变，仅减小运动半径，小球受到的拉力将________(以上两空均选填“变大”“变小”或“不变”)。
(2)该小组同学做实验时，保持小球做圆周运动的半径不变，选用质量为m1的小球甲和质量为m2(m1>m2)的小球乙做了两组实验。两组实验中分别多次改变小球运动的转速，记录实验数据，作出了F与关系如图乙所示的①和②两条曲线，图中反映小球甲的实验数据是________(选填“①”或“②”)。
答案　(1)变大　变小　(2)①
解析　(1)小球做圆周运动时，有FT＝mω2r＝mr，当小球运动半径不变，仅减小运动周期，小球受到的拉力将变大；若保持小球运动的周期不变，仅减小运动半径，小球受到的拉力将变小。
(2)根据题意有周期T＝，可得F＝mr＝4π2mr·，因为甲球的质量较大，所以可得曲线①为小球甲的实验数据。
4.某同学利用图4甲所示的DIS向心力实验器来探究砝码做圆周运动所需要向心力F与其质量m、转动半径r和转动线速度v之间的关系。实验时，砝码和挡光杆随旋臂一起做圆周运动，砝码所需的向心力可通过牵引杆由力传感器测得，挡光杆每经过光电门一次，通过力传感器和光电门就同时获得一组向心力F和挡光杆挡光时间t的数据。牵引杆的质量和一切摩擦可忽略。
图4
(1)为了探究向心力大小与线速度的关系，则应保持________和________不变(用题中给出物理量的符号表示)。
(2)已知挡光杆和砝码到转轴的距离均为L，挡光杆的挡光宽度为d，在满足(1)的条件下，改变其转速得到多组F、t的数据，得到F－图线如图乙所示。根据图乙得到的实验结论是_________________________________________________
____________________________________________________________________。
(3)求得图线的斜率为k，则砝码的质量为________(用题中给出物理量的符号表示)。
答案　(1)m　r　(2)当质量m、转动半径r不变时，向心力与线速度的平方成正比　(3)kr
解析　(1)根据F＝m，探究向心力大小与线速度的关系，应保持质量m和转动半径r不变。
(2)线速度大小为v＝，则有F＝2，图线斜率表示质量与半径的比值，且保持不变，由此可知，当质量m、转动半径r不变时，向心力与线速度的平方成正比。
(3)由图线的斜率为k＝得砝码的质量为m＝kr。
5.如图5所示，是一个研究向心力与哪些因素有关的DIS实验装置的示意图，其中做圆周运动的圆柱体的质量为m，放置在未画出的圆盘上，圆周轨道的半径为r，力传感器测定的是向心力，光电传感器测定的是圆柱体的线速度。
(1)以下是保持圆柱体质量和圆周运动轨道半径不变的条件下，根据某组实验所得数据作出的F－v，F－v2，F－v3三个图像。研究图像后，可得出向心力F和圆柱体的线速度v的关系是___________________________________________。
v/m·s－1 1 1.5 2 2.5 3
F/N 0.88 2 3.5 5.5 7.9
(2)为了研究F和r成反比的关系，实验时除了保持圆柱体质量不变外，还应保持物理量_____________________________________________________________
________不变。
(3)若半径r＝0.1 m，根据你已经学习过的向心力公式以及上面的图线可以推算出，本实验中圆柱体的质量是________kg。
答案　(1)F与v的平方成正比　(2)线速度v　(3)0.088
解析　(1)由图像B可知F与v2成正比。
(2)研究F和r成反比的关系，实验时除了保持圆柱体质量不变外，还应保持线速度v不变。
(3)由F＝结合F－v2图像求得＝k＝ kg/m＝0.88 kg/m，解得m＝0.88×0.1 kg＝0.088 kg。
6.(2024·河北石家庄高三月考)某同学用如图6(a)所示装置探究钢质小球自由摆动至最低点时的速度大小与此时细线拉力的关系。其中力传感器显示的是小球自由摆动过程中各个时刻细线拉力FT的大小，光电门测量的是钢球通过光电门的挡光时间Δt。
图6
(1)调整细线长度，使细线悬垂时，钢球中心恰好位于光电门中心。
(2)要测量小球通过光电门的速度，还需测出____________(写出需要测量的物理量及其表示符号)，小球通过光电门的速度表达式为v＝________(用题中所给字母和测出的物理量符号表示)。
(3)由于光电门位于细线悬点的正下方，此时细线的拉力就是力传感器显示的各个时刻的拉力FT中的________(选填“最大值”“最小值”或“平均值”)。
(4)改变小球通过光电门的速度，重复实验，测出多组速度v和对应拉力FT的数据，作出FT－v2图像如图(b)所示。已知当地重力加速度g＝9.7 m/s2，则由图像可知，小球的质量为________kg，光电门到悬点的距离为________m。
答案　(2)小球的直径d　　(3)最大值　
(4)0.05　1
解析　(2)根据v＝知，要测量速度，需要知道钢球在挡光时间内通过的位移，即小球的直径d，速度表达式为v＝。
(3)小球摆动过程中受力分析如图所示，有FT－mgcos θ＝m，则FT＝mgcos θ＋m，由于F2始终指向轨迹的最低点，小球向最低点运动过程中速度增大，到达最低点时速度最大，在最低点FT最大，所以拉力传感器显示的是FT的最大值。
(4)小球摆至最低点时，细线的最大拉力FTm＝mg＋m，当小球速度为零时，拉力与重力大小相等，对比图线可知mg＝0.485 N，解得m＝0.05 kg，由斜率k＝＝ kg/m，解得r＝1 m。实验六　探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系
原理装置图 操作步骤
控制变量法 1.把两个质量相同的小球放在长槽和短槽上，使它们的转动半径相同，调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度不同，探究向心力的大小与角速度的关系。 2.保持两个小球质量不变，增大长槽上小球的转动半径，调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度相同，探究向心力的大小与半径的关系。 3.换成质量不同的小球，使两个小球的转动半径相同，调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度也相同，探究向心力的大小与质量的关系。
数据处理和结论 1.分别作出Fn－ω2、Fn－r、Fn－m的图像，分析向心力与角速度、半径、质量之间的关系。 2.实验结论 相同的物理量不同的物理量实验结论1m、rωω越大，Fn越大，Fn∝ω22m、ωrr越大，Fn越大，Fn∝r3r、ωmm越大，Fn越大，Fn∝m公式Fn＝mω2r
考点一　教材原型实验
例1 (2024·福建厦门高三月考)用如图1所示的实验装置来探究小球做圆周运动所需向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系，转动手柄使长槽和短槽分别随变速塔轮匀速转动，槽内的球就做匀速圆周运动。横臂的挡板对球的压力提供了向心力，球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒下降，从而露出标尺，标尺上的红白相间的等分格显示出两个小球所受向心力的比值。实验用球分为钢球和铝球，请回答相关问题：
图1
(1)在某次实验中，某同学把两个质量相等的钢球放在A、C位置，A、C到塔轮中心距离相同，将皮带处于左右塔轮的半径不等的层上。转动手柄，观察左右标出的刻度，此时可研究向心力的大小与________的关系。
A.质量m B.角速度ω 　　C.半径r
(2)在(1)的实验中，某同学匀速转动手柄时，左边标尺露出4个格，右边标尺露出1个格，则皮带连接的左、右塔轮半径之比为________；其他条件不变，若增大手柄转动的速度，则左右两标尺示数的比值________(选填“变大”“变小”或“不变”)。
1.(2024·浙江嘉兴高三期末)“探究向心力大小的表达式”的实验装置如图2所示。小球放在挡板A、B或C处做圆周运动的轨道半径之比为1∶2∶1，小球与挡板挤压，弹簧测力筒内的标尺可显示力的大小关系。
图2
(1)本实验利用的物理方法为________。
A.理想实验法 B.控制变量法
C.等效替代法
(2)为了探究小球受到的向心力大小和角速度的关系，现将一铁球放在C处，对另一小球，以下做法正确的是________。
A.选用相同的铁球放在A处
B.选用相同的铁球放在B处
C.选用相同大小的铝球放在A处
D.选用相同大小的铝球放在B处
(3)通过本实验可以得到的结果有________。
A.在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比
B.在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度成反比
C.在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度成正比
D.在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成反比
(4)当用两个质量相等的小球分别放在B、C处，匀速转动时发现右边标尺上露出的红白相间的等分格数为左边的2倍，左边塔轮与右边塔轮之间的角速度之比为________。
(5)用此装置做实验有较大的误差，误差产生的主要原因是________。
A.匀速转动时的速度过大
B.读数时标尺露出的红白相间的等分格数不稳定
考点二　创新拓展实验
例2 (2024·山东日照模拟)某物理兴趣小组利用传感器进行“探究向心力大小F与半径r、角速度ω、质量m的关系”实验，实验装置如图3甲所示，装置中水平光滑直杆能随竖直转轴一起转动，将滑块套在水平直杆上，用细线将滑块与固定的力传感器连接。当滑块随水平光滑直杆一起匀速转动时，细线的拉力提供滑块做圆周运动的向心力。拉力的大小可以通过力传感器测得，滑块转动的角速度可以通过角速度传感器测得。
图3
(1)小组同学先让一个滑块做半径r为0.20 m的圆周运动，得到图乙中②图线；然后保持滑块质量不变，再将运动的半径r分别调整为0.14 m，0.16 m，0.18 m，0.22 m，在同一坐标系中又分别得到图乙中⑤、④、③、①四条图线。
(2)本实验所采用的实验探究方法与下列哪些实验是相同的________。
A.探究平抛运动的特点
B.探究变压器原、副线圈电压与匝数的关系
C.探究两个互成角度的力的合成规律
D.探究加速度与物体受力、物体质量的关系
(3)对②图线的数据进行处理，获得了F－x图像，如图丙所示，该图像是一条过原点的直线，则图像横坐标x代表的是________(用半径r、角速度ω、质量m表示)。
(4)对5条F－ω图线进行比较分析，作F－r图像，得到一条过坐标原点的直线，则该直线的斜率为____________(用半径r、角速度ω、质量m表示)。
听课笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2.(2024·辽宁沈阳模拟)某实验小组用如图4甲所示装置探究向心力大小与线速度大小和运动半径的关系。光滑的水平直杆固定在竖直转轴上，水平直杆的左侧固定宽度为d的遮光条，遮光条到竖直转轴的距离为2r，水平直杆的右侧套上质量为m的滑块，用细线将滑块与固定在竖直转轴上的力传感器连接，物块到转轴的距离为r，细线处于水平伸直状态，细线拉力的大小可以通过力传感器测得。安装在铁架台上的光电门可测遮光条通过光电门的时间。
图4
(1)用游标卡尺测量遮光条的宽度如图乙所示，d＝________cm。
(2)当滑块随水平直杆一起匀速转动时，光电门显示遮光条通过光电门的时间为Δt，则此时滑块线速度大小v＝________(用字母d、Δt表示)；若保持滑块到竖直转轴的距离不变，让转轴以不同的角速度匀速转动，测得多组力传感器的示数F和对应的挡光时间Δt。为了画出线性图像，应作力F与________(选填“Δt2”“Δt”“”或“”)的函数图像。(共50张PPT)
实验六　探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系
第四章　曲线运动　万有引力与宇宙航行
目 录
CONTENTS
夯实必备知识
01
研透核心考点
02
提升素养能力
03
夯实必备知识
1
原理装置图 操作步骤
控制变量法 1.把两个质量相同的小球放在长槽和短槽上，使它们的转动半径相同，调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度不同，探究向心力的大小与角速度的关系。
2.保持两个小球质量不变，增大长槽上小球的转动半径，调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度相同，探究向心力的大小与半径的关系。
3.换成质量不同的小球，使两个小球的转动半径相同，调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度也相同，探究向心力的大小与质量的关系。
研透核心考点
2
考点二　创新拓展实验
考点一　教材原型实验
例1 (2024·福建厦门高三月考)用如图1所示的实验装置来探究小球做圆周运动所需向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系，转动手柄使长槽和短槽分别随变速塔轮匀速转动，槽内的球就做匀速圆周运动。横臂的挡板对球的压力提供了向心力，球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒下降，从而露出标尺，标尺上的红白相间的等分格显示出两个小球所受向心力的比值。实验用球分为钢球和铝球，请回答相关问题：
考点一　教材原型实验
图1
(1)在某次实验中，某同学把两个质量相等的钢球放在A、C位置，A、C到塔轮中心距离相同，将皮带处于左右塔轮的半径不等的层上。转动手柄，观察左右标出的刻度，此时可研究向心力的大小与________的关系。
A.质量m B.角速度ω 　　 C.半径r
解析　两球质量m相等、转动半径r相等，塔轮皮带边缘线速度大小相等，由v＝rω可知，塔轮角速度不同，即小球角速度不同，此时可研究向心力的大小与角速度ω的关系，故B正确。
答案　B　
(2)在(1)的实验中，某同学匀速转动手柄时，左边标尺露出4个格，右边标尺露出1个格，则皮带连接的左、右塔轮半径之比为________；其他条件不变，若增大手柄转动的速度，则左右两标尺示数的比值________(选填“变大”“变小”或“不变”)。
解析　左边标尺露出4个格，右边标尺露出1个格，则向心力之比为4∶1，由F＝mω2r，v＝rω，可知小球的角速度之比为2∶1；则皮带连接的左、右塔轮半径之比为1∶2；由上一步的分析可知，其他条件不变，若增大手柄转动的速度，则左右两标尺示数的比值不变。
答案　 1∶2 不变
1.(2024·浙江嘉兴高三期末)“探究向心力大小的表达式”的实验装置如图2所示。小球放在挡板A、B或C处做圆周运动的轨道半径之比为1∶2∶1，小球与挡板挤压，弹簧测力筒内的标尺可显示力的大小关系。
图2
(1)本实验利用的物理方法为________。
A.理想实验法 B.控制变量法 C.等效替代法
解析　在实验中，主要利用了控制变量法来探究向心力与质量、半径、角速度之间的关系，故B正确。
答案　B　
(2)为了探究小球受到的向心力大小和角速度的关系，现将一铁球放在C处，对另一小球，以下做法正确的是________。
A.选用相同的铁球放在A处
B.选用相同的铁球放在B处
C.选用相同大小的铝球放在A处
D.选用相同大小的铝球放在B处
解析　为了探究小球受到的向心力大小和角速度的关系，则必须保持质量和转动半径相同，因其中一球放在了C处，则应该选用相同的铁球放在A处，故A正确。
答案　A　
(3)通过本实验可以得到的结果有________。
A.在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比
B.在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度成反比
C.在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度成正比
D.在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成反比
解析　在半径和角速度一定的情况下，由F＝mω2r知，向心力的大小与质量成正比，A正确；在质量和半径一定的情况下，由F＝mω2r知，向心力的大小与角速度的平方成正比，B、C错误；在质量和角速度一定的情况下，由F＝mω2r知，向心力的大小与半径成正比，D错误。
答案　A　
(4)当用两个质量相等的小球分别放在B、C处，匀速转动时发现右边标尺上露出的红白相间的等分格数为左边的2倍，左边塔轮与右边塔轮之间的角速度之比为________。
答案　1∶2　
(5)用此装置做实验有较大的误差，误差产生的主要原因是________。
A.匀速转动时的速度过大
B.读数时标尺露出的红白相间的等分格数不稳定
解析　匀速转动时的速度过大，不会引起较大的误差；读数时标尺露出的红白相间的等分格数不稳定，从而产生误差，故B正确。
答案　B
例2 (2024·山东日照模拟)某物理兴趣小组利用传感器进行“探究向心力大小F与半径r、角速度ω、质量m的关系”实验，实验装置如图3甲所示，装置中水平光滑直杆能随竖直转轴一起转动，将滑块套在水平直杆上，用细线将滑块与固定的力传感器连接。当滑块随水平光滑直杆一起匀速转动时，细线的拉力提供滑块做圆周运动的向心力。拉力的大小可以通过力传感器测得，滑块转动的角速度可以通过角速度传感器测得。
考点二　创新拓展实验
图3
(1)小组同学先让一个滑块做半径r为0.20 m的圆周运动，得到图乙中②图线；然后保持滑块质量不变，再将运动的半径r分别调整为0.14 m，0.16 m，0.18 m，0.22 m，在同一坐标系中又分别得到图乙中⑤、④、③、①四条图线。
(2)本实验所采用的实验探究方法与下列哪些实验是相同的________。
A.探究平抛运动的特点
B.探究变压器原、副线圈电压与匝数的
关系
C.探究两个互成角度的力的合成规律
D.探究加速度与物体受力、物体质量的
关系
解析　本实验所采用的实验探究方法是保持滑块质量不变，探究运动半径为不同值时，滑块的向心力大小与角速度之间的关系，属于控制变量法，与“探究变压器原、副线圈电压与匝数的关系”、“探究加速度与物体受力、物体质量的关系”实验探究方法相同；“探究平抛运动的特点”和“探究两个互成角度的力的合成规律”两实验的探究方法是等效替代法。故B、D正确，A、C错误。
答案　BD　
(3)对②图线的数据进行处理，获得了F－x图像，如图丙所示，该图像是一条过原点的直线，则图像横坐标x代表的是________(用半径r、角速度ω、质量m表示)。
解析　乙图像中各图线均为曲线，对②图线的数据进行分析可以看出，当ω增大为原来的2倍时，F增大为原来的4倍，当ω增大为原来的3倍时，F增大为原来的9倍……可知，F与ω2成正比，以F为纵轴，ω2为横轴，则图像是一条过原点的直线，故图丙图像横坐标x代表的是ω2。
答案　ω2　
(4)对5条F－ω图线进行比较分析，作F－r图像，得到一条过坐标原点的直线，则该直线的斜率为__________(用半径r、角速度ω、质量m表示)。
解析　由以上分析知在r一定时，F与ω2成正比；F－r图像又是一条过坐标原点的直线，F与r成正比；同时F也应与m成正比，归纳可知，F－r图像的斜率为mω2。
答案　mω2
2.(2024·辽宁沈阳模拟)某实验小组用如图4甲所示装置探究向心力大小与线速度大小和运动半径的关系。光滑的水平直杆固定在竖直转轴上，水平直杆的左侧固定宽度为d的遮光条，遮光条到竖直转轴的距离为2r，水平直杆的右侧套上质量为m的滑块，用细线将滑块与固定在竖直转轴上的力传感器连接，物块到转轴的距离为r，细线处于水平伸直状态，细线拉力的大小可以通过力传感器测得。安装在铁架台上的光电门可测遮光条通过光电门的时间。
图4
解析　(1)用游标卡尺测量遮光条的宽度为d＝8 mm＋5×0.1 mm＝8.5 mm＝0.85 cm。
提升素养能力
3
1.(2024·浙江嘉兴模拟)小兴利用图1装置探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系。
图1
(1)开始时皮带在两个变速塔轮2、3的最上面一层，若要探究小球受到的向心力大小和角速度大小的关系，下列做法正确的是________。
A.用体积相同的钢球和铝球做实验
B.将变速塔轮2、3上的皮带往下移动
C.用秒表记录时间、计算两个小球的角速度
D.将两个小球都放在长槽上
(2)若放在长槽和短槽的三个小球均为质量相同的钢球，皮带所在塔轮的半径之比为1∶1，逐渐加大转速，左右标尺露出的红色、白色等分标记之比会________(选填“变大”“变小”“不变”或“无法确定”)；当小兴以1 r/s的转速转动手柄时，左右标尺露出的红色、白色等分标记之比是________。
答案　(1)B　(2)不变　3∶1
解析　(1)若要探究小球受到的向心力大小和角速度大小的关系，即探究F＝mω2r的关系，则需要用质量和体积都相同的两个相同球做实验，A错误；开始时皮带在两个变速塔轮2、3的最上面一层，此时半径相同，将变速塔轮2、3上的皮带往下移动，因两轮边缘的线速度相等，半径不相同，使得轮转动的角速度不相等，这样就可以探究力和角速度的关系，只需要知道两轮的半径关系即可知道两个小球的角速度关系，所以不需要用秒表记录时间、计算两个小球的角速度，B正确，C错误；为保证两球转动的半径相同，则需要将两个小球分别放在长槽和短槽上半径相同的位置，D错误。
2.(2024·福建厦门模拟)如图2甲所示为向心力演示仪，可探究小球做圆周运动所需向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系。长槽的A、B处和短槽的C处分别到各自转轴中心距离之比为1∶2∶1。变速塔轮自上而下有三种组合方式，左右每层半径之比由上至下分别为1∶1、2∶1和3∶1，如图乙所示。
图2
(1)本实验的目的是探究向心力的大小与小球质量m、角速度ω和半径r之间的关系，下列实验中采用的实验方法与本实验相同的是________。
A.用油膜法估测油酸分子的大小
B.用单摆测量重力加速度的大小
C.探究加速度与物体受力、物体质量的关系
(2)在某次实验中，把两个质量相等的钢球放在B、C位置，探究向心力的大小与半径的关系，则需要将传动皮带调至第________层塔轮(选填“一”“二”或“三”)。
(3)在另一次实验中，把两个质量相等的钢球放在A、C位置，传动皮带位于第二层，转动手柄，则当塔轮匀速转动时，左右两标尺露出的格子数之比约为________。
A.1∶2 B.1∶4 C.2∶1 D.4∶1
答案　(1)C　(2)一　(3)B
解析　(1)探究向心力的大小与小球质量m、角速度ω和半径r之间的关系，采用的实验方法是控制变量法。用油膜法估测油酸分子的大小，采用的实验方法是通过测量宏观量来测量微观量的方法，故A错误；用单摆测量重力加速度的大小，分别测量出摆长和周期，通过单摆周期公式计算得到重力加速度大小，不是采用控制变量法，故B错误；探究加速度与物体受力、物体质量的关系，采用的实验方法是控制变量法，故C正确。
(2)在某次实验中，把两个质量相等的钢球放在B、C位置，探究向心力的大小与半径的关系，应使两球的角速度相同，则需要将传动皮带调至第一层塔轮。
3.(2024·四川泸州诊断性考试)某实验小组用如图3甲所示的装置探究向心力大小与周期、半径之间的关系，轻绳一端系着小球，另一端固定在竖直杆上的力传感器上，小球套在光滑水平杆上。水平杆在电动机带动下可以在水平面内绕竖直杆匀速转动。已知小球质量为m，小球做圆周运动的半径为r，电子计数器可记录杆做圆周运动的圈数n，用秒表记录小球转动n圈的时间为t。
图3
(1)若保持小球运动半径不变，仅减小运动周期，小球受到的拉力将________；若保持小球运动的周期不变，仅减小运动半径，小球受到的拉力将________(以上两空均选填“变大”“变小”或“不变”)。
4.某同学利用图4甲所示的DIS向心力实验器来探究砝码做圆周运动所需要向心力F与其质量m、转动半径r和转动线速度v之间的关系。实验时，砝码和挡光杆随旋臂一起做圆周运动，砝码所需的向心力可通过牵引杆由力传感器测得，挡光杆每经过光电门一次，通过力传感器和光电门就同时获得一组向心力F和挡光杆挡光时间t的数据。牵引杆的质量和一切摩擦可忽略。
图4
(1)为了探究向心力大小与线速度的关系，则应保持________和________不变(用题中给出物理量的符号表示)。
(2)已知挡光杆和砝码到转轴的距离均为L，挡光杆的挡光宽度为d，在满足(1)的条件下，改变其转速得到多组F、
(3)求得图线的斜率为k，则砝码的质量为________(用题中给出物理量的符号表示)。
答案　(1)m　r　(2)当质量m、转动半径r不变时，向心力与线速度的平方成正比　(3)kr
5.如图5所示，是一个研究向心力与哪些因素有关的DIS实验装置的示意图，其中做圆周运动的圆柱体的质量为m，放置在未画出的圆盘上，圆周轨道的半径为r，力传感器测定的是向心力，光电传感器测定的是圆柱体的线速度。
(1)以下是保持圆柱体质量和圆周运动轨道半径不变的条件下，根据某组实验所得数据作出的F－v，F－v2，F－v3三个图像。研究图像后，可得出向心力F和圆柱体的线速度v的关系是___________________________________________。
(2)为了研究F和r成反比的关系，实验时除了保持圆柱体质量不变外，还应保持物理量_________________
_______________________________
________不变。
(3)若半径r＝0.1 m，根据你已经学习过的向心力公式以及上面的图线可以推算出，本实验中圆柱体的质量是________kg。
v/m·s－1 1 1.5 2 2.5 3
F/N 0.88 2 3.5 5.5 7.9
答案　(1)F与v的平方成正比　(2)线速度v　(3)0.088
解析　(1)由图像B可知F与v2成正比。
(2)研究F和r成反比的关系，实验时除了保持圆柱体质量不变外，还应保持线速度v不变。
6.(2024·河北石家庄高三月考)某同学用如图6(a)所示装置探究钢质小球自由摆动至最低点时的速度大小与此时细线拉力的关系。其中力传感器显示的是小球自由摆动过程中各个时刻细线拉力FT的大小，光电门测量的是钢球通过光电门的挡光时间Δt。
图6
(1)调整细线长度，使细线悬垂时，钢球中心恰好位于光电门中心。
(2)要测量小球通过光电门的速度，还需测出____________(写出需要测量的物理量及其表示符号)，小球通过光电门的速度表达式为v＝________(用题中所给字母和测出的物理量符号表示)。
(3)由于光电门位于细线悬点的正下方，此时细线的拉力就是力传感器显示的各个时刻的拉力FT中的________(选填“最大值”“最小值”或“平均值”)。
(4)改变小球通过光电门的速度，重复实验，测出多组速度v和对应拉力FT的数据，作出FT－v2图像如图(b)所示。已知当地重力加速度g＝9.7 m/s2，则由图像可知，小球的质量为________kg，光电门到悬点的距离为________m。
本节内容结束
THANKS　　　　　实验六　探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系
1.(2024·浙江嘉兴模拟)小兴利用图1装置探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系。
图1
(1)开始时皮带在两个变速塔轮2、3的最上面一层，若要探究小球受到的向心力大小和角速度大小的关系，下列做法正确的是________。
A.用体积相同的钢球和铝球做实验
B.将变速塔轮2、3上的皮带往下移动
C.用秒表记录时间、计算两个小球的角速度
D.将两个小球都放在长槽上
(2)若放在长槽和短槽的三个小球均为质量相同的钢球，皮带所在塔轮的半径之比为1∶1，逐渐加大转速，左右标尺露出的红色、白色等分标记之比会________(选填“变大”“变小”“不变”或“无法确定”)；当小兴以1 r/s的转速转动手柄时，左右标尺露出的红色、白色等分标记之比是________。
2.(2024·福建厦门模拟)如图2甲所示为向心力演示仪，可探究小球做圆周运动所需向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系。长槽的A、B处和短槽的C处分别到各自转轴中心距离之比为1∶2∶1。变速塔轮自上而下有三种组合方式，左右每层半径之比由上至下分别为1∶1、2∶1和3∶1，如图乙所示。
图2
(1)本实验的目的是探究向心力的大小与小球质量m、角速度ω和半径r之间的关系，下列实验中采用的实验方法与本实验相同的是________。
A.用油膜法估测油酸分子的大小
B.用单摆测量重力加速度的大小
C.探究加速度与物体受力、物体质量的关系
(2)在某次实验中，把两个质量相等的钢球放在B、C位置，探究向心力的大小与半径的关系，则需要将传动皮带调至第________层塔轮(选填“一”“二”或“三”)。
(3)在另一次实验中，把两个质量相等的钢球放在A、C位置，传动皮带位于第二层，转动手柄，则当塔轮匀速转动时，左右两标尺露出的格子数之比约为________。
A.1∶2 B.1∶4
C.2∶1 D.4∶1
3.(2024·四川泸州诊断性考试)某实验小组用如图3甲所示的装置探究向心力大小与周期、半径之间的关系，轻绳一端系着小球，另一端固定在竖直杆上的力传感器上，小球套在光滑水平杆上。水平杆在电动机带动下可以在水平面内绕竖直杆匀速转动。已知小球质量为m，小球做圆周运动的半径为r，电子计数器可记录杆做圆周运动的圈数n，用秒表记录小球转动n圈的时间为t。
图3
(1)若保持小球运动半径不变，仅减小运动周期，小球受到的拉力将________；若保持小球运动的周期不变，仅减小运动半径，小球受到的拉力将________(以上两空均选填“变大”“变小”或“不变”)。
(2)该小组同学做实验时，保持小球做圆周运动的半径不变，选用质量为m1的小球甲和质量为m2(m1>m2)的小球乙做了两组实验。两组实验中分别多次改变小球运动的转速，记录实验数据，作出了F与关系如图乙所示的①和②两条曲线，图中反映小球甲的实验数据是________(选填“①”或“②”)。
4.某同学利用图4甲所示的DIS向心力实验器来探究砝码做圆周运动所需要向心力F与其质量m、转动半径r和转动线速度v之间的关系。实验时，砝码和挡光杆随旋臂一起做圆周运动，砝码所需的向心力可通过牵引杆由力传感器测得，挡光杆每经过光电门一次，通过力传感器和光电门就同时获得一组向心力F和挡光杆挡光时间t的数据。牵引杆的质量和一切摩擦可忽略。
图4
(1)为了探究向心力大小与线速度的关系，则应保持________和________不变(用题中给出物理量的符号表示)。
(2)已知挡光杆和砝码到转轴的距离均为L，挡光杆的挡光宽度为d，在满足(1)的条件下，改变其转速得到多组F、t的数据，得到F－图线如图乙所示。根据图乙得到的实验结论是________________________________________________
_____________________________________________________________________。
(3)求得图线的斜率为k，则砝码的质量为________(用题中给出物理量的符号表示)。
5.如图5所示，是一个研究向心力与哪些因素有关的DIS实验装置的示意图，其中做圆周运动的圆柱体的质量为m，放置在未画出的圆盘上，圆周轨道的半径为r，力传感器测定的是向心力，光电传感器测定的是圆柱体的线速度。
(1)以下是保持圆柱体质量和圆周运动轨道半径不变的条件下，根据某组实验所得数据作出的F－v，F－v2，F－v3三个图像。研究图像后，可得出向心力F和圆柱体的线速度v的关系是______________________________________________。
v/m·s－1 1 1.5 2 2.5 3
F/N 0.88 2 3.5 5.5 7.9
(2)为了研究F和r成反比的关系，实验时除了保持圆柱体质量不变外，还应保持物理量______________________________________________________________
________不变。
(3)若半径r＝0.1 m，根据你已经学习过的向心力公式以及上面的图线可以推算出，本实验中圆柱体的质量是________kg。
6.(2024·河北石家庄高三月考)某同学用如图6(a)所示装置探究钢质小球自由摆动至最低点时的速度大小与此时细线拉力的关系。其中力传感器显示的是小球自由摆动过程中各个时刻细线拉力FT的大小，光电门测量的是钢球通过光电门的挡光时间Δt。
图6
(1)调整细线长度，使细线悬垂时，钢球中心恰好位于光电门中心。
(2)要测量小球通过光电门的速度，还需测出____________(写出需要测量的物理量及其表示符号)，小球通过光电门的速度表达式为v＝________(用题中所给字母和测出的物理量符号表示)。
(3)由于光电门位于细线悬点的正下方，此时细线的拉力就是力传感器显示的各个时刻的拉力FT中的________(选填“最大值”“最小值”或“平均值”)。
(4)改变小球通过光电门的速度，重复实验，测出多组速度v和对应拉力FT的数据，作出FT－v2图像如图(b)所示。已知当地重力加速度g＝9.7 m/s2，则由图像可知，小球的质量为________kg，光电门到悬点的距离为________m。
实验六　探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系
1.(1)B　(2)不变　3∶1
解析　(1)若要探究小球受到的向心力大小和角速度大小的关系，即探究F＝mω2r的关系，则需要用质量和体积都相同的两个相同球做实验，A错误；开始时皮带在两个变速塔轮2、3的最上面一层，此时半径相同，将变速塔轮2、3上的皮带往下移动，因两轮边缘的线速度相等，半径不相同，使得轮转动的角速度不相等，这样就可以探究力和角速度的关系，只需要知道两轮的半径关系即可知道两个小球的角速度关系，所以不需要用秒表记录时间、计算两个小球的角速度，B正确，C错误；为保证两球转动的半径相同，则需要将两个小球分别放在长槽和短槽上半径相同的位置，D错误。
(2)若放在长槽和短槽的三个小球均为质量相同的钢球，皮带所在塔轮的半径之比为1∶1，则角速度相同，转速也相同，根据F＝mω2r＝m(2πn)2r可知逐渐加大转速，左右标尺露出的红色、白色等分标记之比不变。当小兴以1 r/s的转速转动手柄时，根据F＝mω2r＝m(2πn)2r，左右两边的向心力大小之比为＝＝。
2.(1)C　(2)一　(3)B
解析　(1)探究向心力的大小与小球质量m、角速度ω和半径r之间的关系，采用的实验方法是控制变量法。用油膜法估测油酸分子的大小，采用的实验方法是通过测量宏观量来测量微观量的方法，故A错误；用单摆测量重力加速度的大小，分别测量出摆长和周期，通过单摆周期公式计算得到重力加速度大小，不是采用控制变量法，故B错误；探究加速度与物体受力、物体质量的关系，采用的实验方法是控制变量法，故C正确。
(2)在某次实验中，把两个质量相等的钢球放在B、C位置，探究向心力的大小与半径的关系，应使两球的角速度相同，则需要将传动皮带调至第一层塔轮。
(3)在另一次实验中，把两个质量相等的钢球放在A、C位置，则两球做圆周运动的半径相等；传动皮带位于第二层，则两球做圆周运动的角速度之比为ω左∶ω右＝R2∶2R2＝1∶2，根据F＝mω2r，可知当塔轮匀速转动时，左右两标尺露出的格子数之比约为F左∶F右＝ω∶ω＝1∶4，故B正确。
3.(1)变大　变小　(2)①
解析　(1)小球做圆周运动时，有FT＝mω2r＝mr，当小球运动半径不变，仅减小运动周期，小球受到的拉力将变大；若保持小球运动的周期不变，仅减小运动半径，小球受到的拉力将变小。
(2)根据题意有周期T＝，可得F＝mr＝4π2mr·，因为甲球的质量较大，所以可得曲线①为小球甲的实验数据。]
4.(1)m　r　(2)当质量m、转动半径r不变时，向心力与线速度的平方成正比　(3)kr
解析　(1)根据F＝m，探究向心力大小与线速度的关系，应保持质量m和转动半径r不变。
(2)线速度大小为v＝，则有F＝2，图线斜率表示质量与半径的比值，且保持不变，由此可知，当质量m、转动半径r不变时，向心力与线速度的平方成正比。
(3)由图线的斜率为k＝得砝码的质量为m＝kr。
5.(1)F与v的平方成正比　(2)线速度v　(3)0.088
解析　(1)由图像B可知F与v2成正比。
(2)研究F和r成反比的关系，实验时除了保持圆柱体质量不变外，还应保持线速度v不变。
(3)由F＝结合F－v2图像求得＝k＝ kg/m＝0.88 kg/m，解得m＝0.88×0.1 kg＝0.088 kg。
6.(2)小球的直径d　　(3)最大值　(4)0.05　1
解析　(2)根据v＝知，要测量速度，需要知道钢球在挡光时间内通过的位移，即小球的直径d，速度表达式为v＝。
(3)小球摆动过程中受力分析如图所示，有FT－mgcos θ＝m，则FT＝mgcos θ＋m，由于F2始终指向轨迹的最低点，小球向最低点运动过程中速度增大，到达最低点时速度最大，在最低点FT最大，所以拉力传感器显示的是FT的最大值。
(4)小球摆至最低点时，细线的最大拉力FTm＝mg＋m，当小球速度为零时，拉力与重力大小相等，对比图线可知mg＝0.485 N，解得m＝0.05 kg，由斜率k＝＝ kg/m，解得r＝1 m。

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