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平抛运动的临界极值问题和空间抛体运动
一、平抛运动的临界极值问题
常见的三种临界特征
(1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点。
(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界点。
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这个极值点往往是临界点。
例1 (多选)如图1所示，某运动员在乒乓球训练中，从左侧球台中心处，将球沿垂直于球网的方向水平击出，球恰好通过球网的上沿落到右侧边缘，设乒乓球的运动为平抛运动，下列判断正确的是(　　)
图1
A.击球点的高度与球网的高度之比为3∶2
B.击球点的高度与球网的高度之比为9∶8
C.若仅使击出的乒乓球的速度在水平面内顺时针(从上往下看)转动一个角度，则乒乓球落在球网的右侧
D.若仅使击出的乒乓球的速度在水平面内顺时针(从上往下看)转动一个角度，则乒乓球落在球网的左侧
答案　BD
解析　从击球点到球网，有x＝v0t1，h1＝gt，从击球点到右侧边缘，有3x＝v0t2，h2＝gt，击球点的高度与球网的高度之比为＝，故A错误，B正确；乒乓球的速度在水平面内顺时针(从上往下看)转动一个角度，由空间位置关系可知，转动后乒乓球要想过网，乒乓球到达网的高度时水平位移需要增大，若球抛出的初速度大小不变，从击球点抛出运动到球网高度时，球的水平位移不变，未能过网，则乒乓球落在球网的左侧，故C错误，D正确。
例2 (2023·新课标卷，24)将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上一跳一跳地飞向远方，俗称“打水漂”。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果，石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于θ。为了观察到“水漂”，一同学将一石子从距水面高度为h处水平抛出，抛出速度的最小值为多少？(不计石子在空中飞行时的空气阻力，重力加速度大小为g)
答案　
解析　设石子抛出时的水平速度为v0，接触水面时竖直方向的速度为vy，不计空气阻力，石子做平抛运动，竖直方向有v＝2gh
可以观察到“水漂”时，有tan θ≥
联立解得v0≥
即抛出速度的最小值为vmin＝。
二、空间抛体运动
例3 (多选)(2022·山东卷，11)如图2所示，某同学将离地1.25 m的网球以13 m/s的速度斜向上击出，击球点到竖直墙壁的距离为4.8 m。当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为8.45 m的P点。网球与墙壁碰撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍。平行墙面的速度分量不变。重力加速度g取10 m/s2，网球碰墙后的速度大小v和着地点到墙壁的距离d分别为(　　)
图2
A.v＝5 m/s B.v＝3 m/s
C.d＝3.6 m D.d＝3.9 m
答案　BD
解析　设网球飞出时的速度为v0，竖直方向v＝2g(H－h)
代入数据得v0竖直＝ m/s＝12 m/s
则v0水平＝ m/s＝5 m/s
网球击出点到P点水平方向的距离x水平＝v0水平t＝v0水平·＝6 m
根据几何关系可得打在墙面上时，垂直墙面的速度分量v0水平⊥＝v0水平·＝4 m/s
平行墙面的速度分量v0水平∥＝v0水平·＝3 m/s
反弹后，垂直墙面的速度分量v水平⊥′＝0.75·v0水平⊥＝3 m/s
则反弹后的网球速度大小为v＝＝3 m/s
网球落到地面的时间t′＝＝ s＝1.3 s
着地点到墙壁的距离d＝v水平⊥′t′＝3.9 m
故B、D正确，A、C错误。
1.如图1所示，猴子在地面与竖直墙壁之间跳跃玩耍，直杆AB与水平地面之间的夹角为45°，A点到地面的距离为5 m，已知重力加速度g取10 m/s2，空气阻力不计，若猴子从竖直墙上距地面3.2 m的C点以水平速度v0跳出，要到达直杆，水平速度v0至少为(　　)
图1
A.3 m/s B.4 m/s
C.5 m/s D.6 m/s
答案　D
解析　运动轨迹与杆相切时如图所示，AC之间的距离为5 m－3.2 m＝1.8 m，由图可知x＝y＋1.8 m，根据平抛运动规律有x＝v0t，y＝gt2，平抛运动的轨迹与直杆相切，则v0tan 45°＝gt，联立解得v0＝6 m/s，故D正确。
2.(2024·河南开封模拟)如图2所示，刚性圆柱形容器，上端开口，容器内侧高h＝5 m，内径D＝1.6 m，现有一刚性小球(视为质点)从容器上端内边缘沿直径方向以v0的初速度水平抛出，小球恰好可以击中容器底部中心位置。已知重力加速度g＝10 m/s2，忽略空气阻力，小球与容器内壁碰撞视为弹性碰撞(碰撞时间不计)，则小球的初速度v0可能是(　　)
图2
A.2 m/s B.4 m/s
C.6 m/s D.8 m/s
答案　B
解析　根据平抛运动的规律可知，竖直方向有h＝gt2，解得t＝＝1 s，而根据题意，水平方向有D＝v0t(n＝0，1，2，…)，解得v0＝0.8(2n＋1) m/s(n＝0，1，2，…)，因此v0的可能值为0.8 m/s、2.4 m/s、4.0 m/s、5.6 m/s、7.2 m/s、8.8 m/s，故B正确。
3.如图3所示，容量足够大的圆筒竖直放置，水面高度为h，在圆筒侧壁开一个小孔P，筒内的水从小孔水平射出，设水到达地面时的落点距小孔的水平距离为x，小孔P到水面的距离为y。短时间内可认为筒内水位不变，重力加速度为g，不计空气阻力，在这段时间内，下列说法正确的是(　　)
图3
A.水从小孔P射出的速度大小为
B.y越小，则x越大
C.x与小孔的位置无关
D.当y＝时，x最大，最大值为h
答案　D
解析　取水面上质量为m的水滴，从小孔喷出时，由机械能守恒定律可知mgy＝mv2，解得v＝，A错误；水从小孔P射出时做平抛运动，则x＝vt，h－y＝gt2，解得x＝v＝2，可知x与小孔的位置有关，由数学知识可知，当y＝h－y，即y＝h时，x最大，最大值为h，并不是y越小x越大，D正确，B、C错误。
4.(2024·山东潍坊高三期末)如图4所示的正方体空间，其面ABCD水平。现将一小球先后两次从A点水平抛出，当以速度v1沿AC方向抛出时打在C′点，且在C′点的速度与竖直方向夹角为θ1；当以速度v2沿AD方向抛出时打在DD′中点E，且在E点的速度与竖直方向夹角为θ2。不计空气阻力，则(　　)
图4
A.v1∶v2＝1∶1 B.v1∶v2＝1∶
C.tan θ1∶tan θ2＝1∶1 D.tan θ1∶tan θ2＝∶1
答案　A
解析　根据题意，设正方体的棱长为a，由几何关系可知，当沿AC方向抛出时，水平位移为x1＝＝a，则有a＝v1t1，竖直方向上有a＝gt，解得v1＝，在C′点时的竖直分速度为v1y＝gt1＝，则有tan θ1＝＝，当沿AD方向抛出时，水平方向上有a＝v2t2，竖直方向上有＝gt，v2y＝gt2，解得v2＝，v2y＝，则有tan θ2＝＝1，则v1∶v2＝1∶1，tan θ1∶tan θ2＝1∶，故A正确。
5.如图5所示，乒乓球的发球器安装在水平桌面上，竖直转轴OO′距桌面的高度为h，发射器O′A部分长度也为h。打开开关后，可将乒乓球从A点以初速度v0水平发射出去，其中≤v0≤2，设发射出的所有乒乓球都能落到桌面上，乒乓球自身尺寸及空气阻力不计。若使该发球器绕转轴OO′在90°角的范围内来回缓慢水平转动，持续发射足够长时间后，乒乓球第一次与桌面相碰区域的最大面积S是(　　)
图5
A.2πh2 B.3πh2
C.4πh2 D.8πh2
答案　C
解析　根据平抛运动规律h＝gt2，解得t＝，以最小速度v1＝发射的乒乓球，水平位移最小，为x1＝v1t＝＝2h，对应的与桌面相碰区域的圆半径为r1＝h＋x1＝3h；以最大速度v2＝2发射的乒乓球，水平位移最大，为x2＝v2t＝2＝4h，对应的与桌面相碰区域的圆半径为r2＝h＋x2＝5h，乒乓球第一次与桌面相碰区域的最大面积S＝π[(5h)2－(3h)2]＝4πh2，故C正确。
6.(2024·广东茂名高三期中)如图6，长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝2|AD|＝2|AA1|，将可视为质点的小球从顶点A在∠BAD所在范围内(包括边界)分别沿不同方向水平抛出，落点都在A1B1C1D1范围内(包括边界)。不计空气阻力，则小球(　　)
图6
A.抛出速度最大时落在B1点
B.抛出速度最小时落在D1点
C.落在B1D1中点的速度与落在D1点的速度相等
D.从抛出到落在B1D1线段上任何一点所需的时间都相等
答案　D
解析　设AA1高度为h，由h＝gt2得t＝，则从抛出到落在B1D1线段上任何一点所需的时间都相等，D正确；设平抛的水平位移为x，抛出速度v0＝，落在C1点水平位移最大，因此抛出速度最大时落在C1点，A错误；水平位移小于A1D1时，比落在D1点抛出速度更小，落在A1点的抛出速度最小，B错误；由v＝2gh得，落在B1D1中点的竖直方向分速度与落在D1点的竖直方向分速度均为vy＝，落在B1D1中点时水平位移大于落在D1点时的水平位移，可知落在B1D1中点的水平分速度大于落在D1点的水平速度，由v＝得，落在B1D1中点的速度大于落在D1点的速度，C错误。
7.(多选)(2024·山东临沂模拟)如图7所示，足球球门宽为L，一个球员在球门线中点正前方距离球门s处高高跃起，将足球顶入球门的左下方死角(图中P点)，球员顶球点O距地面的高度为h。足球做平抛运动(足球可看成质点，忽略空气阻力)，重力加速度大小为g。下列说法正确的是(　　)
图7
A.足球位移的大小为
B.足球位移的大小为
C.足球刚落到P点的速度大小为
D.足球刚落到P点的速度大小为
答案　BC
解析　足球在水平方向的位移为x＝，足球位移的大小为l＝＝，A错误，B正确；足球运动的时间为t＝，则足球的水平速度为vx＝，竖直方向速度为vy＝gt，可得足球刚落到P点的速度大小为vP＝＝＝，C正确，D错误。一、平抛运动的临界极值问题
常见的三种临界特征
(1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点。
(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界点。
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这个极值点往往是临界点。
例1 (多选)如图1所示，某运动员在乒乓球训练中，从左侧球台中心处，将球沿垂直于球网的方向水平击出，球恰好通过球网的上沿落到右侧边缘，设乒乓球的运动为平抛运动，下列判断正确的是(　　)
图1
A.击球点的高度与球网的高度之比为3∶2
B.击球点的高度与球网的高度之比为9∶8
C.若仅使击出的乒乓球的速度在水平面内顺时针(从上往下看)转动一个角度，则乒乓球落在球网的右侧
D.若仅使击出的乒乓球的速度在水平面内顺时针(从上往下看)转动一个角度，则乒乓球落在球网的左侧
听课笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例2 (2023·新课标卷，24)将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上一跳一跳地飞向远方，俗称“打水漂”。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果，石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于θ。为了观察到“水漂”，一同学将一石子从距水面高度为h处水平抛出，抛出速度的最小值为多少？(不计石子在空中飞行时的空气阻力，重力加速度大小为g)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、空间抛体运动
例3 (多选) (2022·山东卷，11)如图2所示，某同学将离地1.25 m的网球以13 m/s的速度斜向上击出，击球点到竖直墙壁的距离为4.8 m。当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为8.45 m的P点。网球与墙壁碰撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍。平行墙面的速度分量不变。重力加速度g取10 m/s2，网球碰墙后的速度大小v和着地点到墙壁的距离d分别为(　　)
图2
A.v＝5 m/s B.v＝3 m/s
C.d＝3.6 m D.d＝3.9 m
听课笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(共22张PPT)
增分微点5 平抛运动的临界极值问题和空间抛体运动
第四章　曲线运动　万有引力与宇宙航行
一、平抛运动的临界极值问题
常见的三种临界特征
(1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点。
(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界点。
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这个极值点往往是临界点。
BD
图1
例1 (多选)如图1所示，某运动员在乒乓球训练中，从左侧球台中心处，将球沿垂直于球网的方向水平击出，球恰好通过球网的上沿落到右侧边缘，设乒乓球的运动为平抛运动，下列判断正确的是(　　)
A.击球点的高度与球网的高度之比为3∶2
B.击球点的高度与球网的高度之比为9∶8
C.若仅使击出的乒乓球的速度在水平面内顺时针(从上往下看)转动一个角度，则乒乓球落在球网的右侧
D.若仅使击出的乒乓球的速度在水平面内顺时针(从上往下看)转动一个角度，则乒乓球落在球网的左侧
例2 (2023·新课标卷，24)将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上一跳一跳地飞向远方，俗称“打水漂”。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果，石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于θ。为了观察到“水漂”，一同学将一石子从距水面高度为h处水平抛出，抛出速度的最小值为多少？(不计石子在空中飞行时的空气阻力，重力加速度大小为g)
二、空间抛体运动
例3 (多选)(2022·山东卷，11)如图2所示，某同学将离地1.25 m的网球以13 m/s的速度斜向上击出，击球点到竖直墙壁的距离为4.8 m。当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为8.45 m的P点。网球与墙壁碰撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍。平行墙面的速度分量不变。重力加速度g取10 m/s2，网球碰墙后的速度大小v和着地点到墙壁的距离d分别为(　　)
图2
BD
反弹后，垂直墙面的速度分量v水平⊥′＝0.75·v0水平⊥＝3 m/s
教师备选用题
D
1.如图1所示，猴子在地面与竖直墙壁之间跳跃玩耍，直杆AB与水平地面之间的夹角为45°，A点到地面的距离为5 m，已知重力加速度g取10 m/s2，空气阻力不计，若猴子从竖直墙上距地面3.2 m的C点以水平速度v0跳出，要到达直杆，水平速度v0至少为(　　)
图1
A.3 m/s B.4 m/s C.5 m/s D.6 m/s
B
2.(2024·河南开封模拟)如图2所示，刚性圆柱形容器，上端开口，容器内侧高h＝5 m，内径D＝1.6 m，现有一刚性小球(视为质点)从容器上端内边缘沿直径方向以v0的初速度水平抛出，小球恰好可以击中容器底部中心位置。已知重力加速度g＝10 m/s2，忽略空气阻力，小球与容器内壁碰撞视为弹性碰撞(碰撞时间不计)，则小球的初速度v0可能是(　　)
图2
A.2 m/s B.4 m/s C.6 m/s D.8 m/s
D
3.如图3所示，容量足够大的圆筒竖直放置，水面高度为h，在圆筒侧壁开一个小孔P，筒内的水从小孔水平射出，设水到达地面时的落点距小孔的水平距离为x，小孔P到水面的距离为y。短时间内可认为筒内水位不变，重力加速度为g，不计空气阻力，在这段时间内，下列说法正确的是(　　)
图3
A
4.(2024·山东潍坊高三期末)如图4所示的正方体空间，其面ABCD水平。现将一小球先后两次从A点水平抛出，当以速度v1沿AC方向抛出时打在C′点，且在C′点的速度与竖直方向夹角为θ1；当以速度v2沿AD方向抛出时打在DD′中点E，且在E点的速度与竖直方向夹角为θ2。不计空气阻力，则(　　)
图4
C
A.2πh2 B.3πh2
C.4πh2 D.8πh2
图5
D
6.(2024·广东茂名高三期中)如图6，长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝2|AD|＝2|AA1|，将可视为质点的小球从顶点A在∠BAD所在范围内(包括边界)分别沿不同方向水平抛出，落点都在A1B1C1D1范围内(包括边界)。不计空气阻力，则小球(　　)
图6
A.抛出速度最大时落在B1点
B.抛出速度最小时落在D1点
C.落在B1D1中点的速度与落在D1点的速度相等
D.从抛出到落在B1D1线段上任何一点所需的时间都相等
BC
7.(多选)(2024·山东临沂模拟)如图7所示，足球球门宽为L，一个球员在球门线中点正前方距离球门s处高高跃起，将足球顶入球门的左下方死角(图中P点)，球员顶球点O距地面的高度为h。足球做平抛运动(足球可看成质点，忽略空气阻力)，重力加速度大小为g。下列说法正确的是(　　)
图7
本节内容结束
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