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专题17 导数与函数的极值、最值（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 3
【考点突破】 3
【考点1】根据函数图象判断极值 3
【考点2】求已知函数的极值 5
【考点3】由函数的极值求参数 6
【考点4】利用导数求函数的最值 7
【分层检测】 8
【基础篇】 8
【能力篇】 10
【培优篇】 11
考试要求：
1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.
2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值.
1.函数的极值
(1)函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0.则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.
(2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0.则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.
(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.
2.函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
1.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.
2.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.
一、单选题
1．（2022·全国·高考真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高考真题）当时，函数取得最大值，则（ ）
A． B． C． D．1
3．（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．（2023·全国·高考真题）若函数既有极大值也有极小值，则（ ）．
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高考真题）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点 B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线
三、填空题
6．（2022·全国·高考真题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是 ．
【考点1】根据函数图象判断极值
一、单选题
1．（2024·四川广安·二模）已知函数，给出下列4个图象：
其中，可以作为函数的大致图象的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数在上恰有两个极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2022·福建泉州·模拟预测）设函数的定义域为，是的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）
A．， B．是的极大值点
C．是的极小值点 D．是的极小值点
4．（2021·河北衡水·模拟预测）已知函数的导函数为，且满足，则（ ）
A．
B．
C．不存在极值
D．与的图象相切的直线的斜率不可能为-4
三、填空题
5．（2018·四川乐山·一模）已知函数，其导函数的图象经过点（1，0），（2，0），如图所示，则下列说法中不正确的序号是 ．
①当时函数取得极小值；
②有两个极值点；
③当时函数取得极小值；
④当时函数取得极大值．
6．（2021·四川成都·模拟预测）已知函数的定义域为，其部分自变量与函数值的对应情况如表：
x 0 2 4 5
3 1 2.5 1 3
的导函数的图象如图所示．给出下列四个结论：
①在区间上单调递增；
②有2个极大值点；
③的值域为；
④如果时，的最小值是1，那么t的最大值为4．
其中，所有正确结论的序号是 ．
反思提升：
由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性.两者结合可得极值点.
【考点2】求已知函数的极值
一、单选题
1．（2024·浙江·三模）已知 表示不超过 的最大整数，若 为函数的极值点，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全国·模拟预测）设函数，记的极小值点为，极大值点为，则（ ）
A．2 B． C． D．
二、多选题
3．（2024·山东枣庄·模拟预测）若函数，则（ ）
A．的图象关于对称 B．在上单调递增
C．的极小值点为 D．有两个零点
4．（2024·重庆·三模）已知函数(为常数)，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，在处的切线方程为
B．若有3个零点，则的取值范围为
C．当时，是的极大值点
D．当时，有唯一零点，且
三、填空题
5．（2024·辽宁鞍山·二模）的极大值为 ．
6．（2024·广东·模拟预测）在的极值点个数为 个．
反思提升：
运用导数求函数f(x)极值的一般步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；
(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号；
(5)求出极值.
【考点3】由函数的极值求参数
一、单选题
1．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知函数在上无极值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河南·模拟预测）已知函数在处取得最值，且在上恰有两个极值点，则（ ）
A．4 B．10 C． D．
二、多选题
3．（2024·河南·三模）已知为函数的极值点，则（ ）
A．
B．是偶函数
C．的图象关于直线对称
D．在区间上单调递增
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数．若过原点可作函数的三条切线，则（ ）
A．恰有2个异号极值点 B．若，则
C．恰有2个异号零点 D．若，则
三、填空题
5．（2024·江苏·二模）如果函数在区间[a，b]上为增函数，则记为，函数在区间[a，b]上为减函数，则记为.如果，则实数m的最小值为 ；如果函数，且，，则实数 .
6．（2024·陕西铜川·三模）若函数有两个极值点，则实数的取值范围为 .
反思提升：
1.已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.
【考点4】利用导数求函数的最值
一、单选题
1．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知数列满足点在直线上，的前n项和为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知函数，，若函数没有零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·河南南阳·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．若曲线在处的切线方程为，则
B．若，则函数的单调递增区间为
C．若，则函数在区间上的最小值为
D．若，则的取值范围为
4．（2024·河北·二模）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在上单调递增
B．若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为
C．函数在上存在极值点
D．若，则的最大值为
三、填空题
5．（2024·广东广州·模拟预测）若，关于的不等式恒成立，则正实数的最大值为 .
6．（2024·四川成都·三模）已知函数 ，若 存在最小值，且最小值为，则实数 的值为
反思提升：
1.利用导数求函数f(x)在[a，b]上的最值的一般步骤：
(1)求函数在(a，b)内的极值.
(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b).
(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
2.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·河北承德·二模）设为实数，若函数在处取得极小值，则（ ）
A．1 B． C．0 D．
2．（2024·江苏南通·二模）若函数有大于零的极值点，则实数a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024·重庆·模拟预测）若函数有极值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·江西上饶·一模）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的导函数为
B．在上单调递减
C．的最小值为
D．的图象在处的切线方程为
二、多选题
5．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A．在区间单调递减
B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线在处的切线
6．（2023·全国·模拟预测）设函数，若恒成立，则满足条件的正整数可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2024·贵州安顺·一模）设函数，则（ ）
A．有个极大值点
B．有个极小值点
C．是的极大值点
D．是的极小值点
三、填空题
8．（2024·安徽·二模）已知函数，当时的最大值与最小值的和为 ．
9．（2024·辽宁·一模）已知函数在处有极值8，则等于 ．
10．（22-23高二下·广东阳江·期中）若方程有两个不等的实数根，则实数的取值范围是 .
四、解答题
11．（2024·山东潍坊·二模）已知函数，曲线在点处的切线方程为．
(1)求实数a，b的值；
(2)求的单调区间和极值．
12．（2024·江苏南京·二模）已知函数，其中．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)当时，若在区间上的最小值为，求a的值．
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·上海·三模）已知函数的定义域为，则下列条件中，能推出1一定不是的极小值点的为（ ）
A．存在无穷多个，满足
B．对任意有理数，均有
C．函数在区间上为严格减函数，在区间上为严格增函数
D．函数在区间上为严格增函数，在区间上为严格减函数
二、多选题
2．（2024·浙江杭州·三模）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．在区间上单调递增 B．的最小值为
C．方程的解有2个 D．导函数的极值点为
三、填空题
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数的最小正周期为T，其图象关于点中心对称，则T的最大值为 ；写出曲线满足“在区间内恰有三个极值点”的一条对称轴方程为 ．
四、解答题
4．（2024·湖北荆州·模拟预测）已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)若对于任意，都有，求实数a的取值范围.
【培优篇】
一、单选题
1．（2024·湖北·二模）已知函数（e为自然对数的底数）．则下列说法正确的是（ ）
A．函数的定义域为R
B．若函数在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，则
C．当时，可能有三个零点
D．当时，函数的极小值大于极大值
二、多选题
2．（2024·江苏南通·三模）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
3．（2024·全国·模拟预测）已知，函数恒成立，则的最大值为 .
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专题17 导数与函数的极值、最值（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 3
【考点突破】 8
【考点1】根据函数图象判断极值 8
【考点2】求已知函数的极值 13
【考点3】由函数的极值求参数 19
【考点4】利用导数求函数的最值 23
【分层检测】 30
【基础篇】 30
【能力篇】 38
【培优篇】 42
考试要求：
1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.
2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值.
1.函数的极值
(1)函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0.则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.
(2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0.则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.
(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.
2.函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
1.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.
2.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.
一、单选题
1．（2022·全国·高考真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高考真题）当时，函数取得最大值，则（ ）
A． B． C． D．1
3．（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．（2023·全国·高考真题）若函数既有极大值也有极小值，则（ ）．
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高考真题）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点 B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线
三、填空题
6．（2022·全国·高考真题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是 ．
参考答案：
1．D
【分析】利用导数求得的单调区间，从而判断出在区间上的最小值和最大值.
【详解】，
所以在区间和上，即单调递增；
在区间上，即单调递减，
又，，，
所以在区间上的最小值为，最大值为.
故选：D
2．B
【分析】根据题意可知，即可解得，再根据即可解出．
【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．
故选：B.
3．C
【分析】设正四棱锥的高为，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.
【详解】∵球的体积为，所以球的半径,
[方法一]：导数法
设正四棱锥的底面边长为，高为，
则，,
所以，
所以正四棱锥的体积，
所以，
当时，，当时，，
所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，
又时，，时，,
所以正四棱锥的体积的最小值为，
所以该正四棱锥体积的取值范围是.
故选：C.
[方法二]：基本不等式法
由方法一故所以当且仅当取到，
当时，得，则
当时，球心在正四棱锥高线上，此时，
，正四棱锥体积，故该正四棱锥体积的取值范围是
4．BCD
【分析】求出函数的导数，由已知可得在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答.
【详解】函数的定义域为，求导得，
因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而，
因此方程有两个不等的正根，
于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确.
故选：BCD
5．AC
【分析】利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.
【详解】由题，，令得或，
令得，
所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确；
因，，，
所以，函数在上有一个零点，
当时，，即函数在上无零点，
综上所述，函数有一个零点，故B错误；
令，该函数的定义域为，，
则是奇函数，是的对称中心，
将的图象向上移动一个单位得到的图象，
所以点是曲线的对称中心，故C正确；
令，可得，又，
当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.
故选：AC.
6．
【分析】法一：依题可知，方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，构造函数，利用指数函数的图象和图象变换得到的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.
【详解】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点
因为，所以方程的两个根为，
即方程的两个根为，
即函数与函数的图象有两个不同的交点，
因为分别是函数的极小值点和极大值点，
所以函数在和上递减，在上递增，
所以当时，，即图象在上方
当时，，即图象在下方
，图象显然不符合题意，所以．
令，则，
设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为，
则切线的斜率为，故切线方程为，
则有，解得，则切线的斜率为，
因为函数与函数的图象有两个不同的交点，
所以，解得，又，所以，
综上所述，的取值范围为．
[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导
=0的两个根为
因为分别是函数的极小值点和极大值点，
所以函数在和上递减，在上递增，
设函数，则，
若，则在上单调递增，此时若，则在
上单调递减，在上单调递增，此时若有和分别是函数
且的极小值点和极大值点，则，不符合题意；
若，则在上单调递减，此时若，则在上单调递增，在上单调递减，令，则，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，且，则需满足，，即故，所以.
【整体点评】法一：利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做”，是该题的最优解；
法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即可，该法属于通性通法．
【考点1】根据函数图象判断极值
一、单选题
1．（2024·四川广安·二模）已知函数，给出下列4个图象：
其中，可以作为函数的大致图象的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数在上恰有两个极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2022·福建泉州·模拟预测）设函数的定义域为，是的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）
A．， B．是的极大值点
C．是的极小值点 D．是的极小值点
4．（2021·河北衡水·模拟预测）已知函数的导函数为，且满足，则（ ）
A．
B．
C．不存在极值
D．与的图象相切的直线的斜率不可能为-4
三、填空题
5．（2018·四川乐山·一模）已知函数，其导函数的图象经过点（1，0），（2，0），如图所示，则下列说法中不正确的序号是 ．
①当时函数取得极小值；
②有两个极值点；
③当时函数取得极小值；
④当时函数取得极大值．
6．（2021·四川成都·模拟预测）已知函数的定义域为，其部分自变量与函数值的对应情况如表：
x 0 2 4 5
3 1 2.5 1 3
的导函数的图象如图所示．给出下列四个结论：
①在区间上单调递增；
②有2个极大值点；
③的值域为；
④如果时，的最小值是1，那么t的最大值为4．
其中，所有正确结论的序号是 ．
参考答案：
1．D
【分析】对的情况进行分类讨论，借助于导数对函数的单调性进行分析即可判断函数的大致图象.
【详解】由题意知，定义域为，
当时，，由指数函数的单调性可知函数单调递增，可对应①；
当时，，令可得：，所以当时，，当时，，所以，函数先减后增，且当时，，此时可对应②；
当时，，当时，当时，，当时，，所以，函数先增后减，
当时，，且此时，所以可对应③，
当时，，此时，所以可对应④.
故选：D.
2．D
【分析】函数在上恰有两个极值点，在上有两个变号零点，分离常数得，转化为两函数图象有两个不同的交点，利用数形结合思想进行求解；或直接求函数的单调性，求图象在上与轴有两个交点的条件.
【详解】解法一： 由题意可得，因为函数在上恰有两个极值点，所以在上有两个变号零点．
令，可得，令，
则直线与函数，的图象有两个不同的交点，
，
当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
又，当x趋近于0时，趋近于+∞，当x趋近于π时，趋近于+∞，
所以可作出的图象如图所示，数形结合可知，
即实数a的取值范围是，
故选：D．
解法二 由题意可得．因为函数在上恰有两个极值点，所以在上有两个变号零点．
当时，在上恒成立，不符合题意．
当时，令，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
因为，，所以，则，即实数a的取值范围是，
故选：D．
【点睛】方法点睛：
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.
3．BD
【分析】根据极值的定义、极值的性质和图象变换逐项判断后可得正确的选项.
【详解】对A. 是的极大值点，并不是最小值点，故A不正确；
对B. 相当于关于轴的对称图象，故应是的极大值点，故B正确；
对C. 相当于关于轴的对称图象，故应是的极小值点，跟没有关系，故C不正确；
对D. 相当于先关于轴的对称，再关于轴的对称图象.故D正确.
故选：BD.
4．AD
【分析】先求导，再令，求出，得，将代入判断函数值是否正确；再令导数为，判断函数极值点是否存在即可；对D只需令判断是否有解即可
【详解】，令，得，解得，A正确；
可得，所以，B错误；
，令，得，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增；所以与均为的极值点，C错误；
令，得，此方程中，，故此方程无解，即与相切的直线的斜率不可能为-4，D正确.
故选：AD
【点睛】本题主要考查导数的基本应用，导数值与函数解析式的求解，函数极值点的判断，属于基础题
5．①
【分析】由导函数的图像判断出函数f(x)的单调性，从而得到极值的情况，即可得到正确答案.
【详解】由图象可知,当时,;当时, ;当时, .
所以函数f(x)在上单增，在上单减，在上单增.
f(x)有两个极值点1和2,且当x=2时函数取得极小值,当x=1时,函数取得极大值,故只有①不正确.
故答案为:①
6．③④
【分析】画出函数图象，数形结合作出判断.
【详解】根据函数的导函数的图象与表格，整理出函数的大致图象，如图所示．
对于①，在区间上单调递减，故①错误；
对于②，有1个极大值点，2个极小值点，故②错误；
对于③，根据函数的极值和端点值可知，的值域为，故③正确；
对于④，如果时，的最小值是1，那么t的最大值为4，故④正确．
综上所述，所有正确结论的序号是③④．
故答案为：③④
反思提升：
由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性.两者结合可得极值点.
【考点2】求已知函数的极值
一、单选题
1．（2024·浙江·三模）已知 表示不超过 的最大整数，若 为函数的极值点，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全国·模拟预测）设函数，记的极小值点为，极大值点为，则（ ）
A．2 B． C． D．
二、多选题
3．（2024·山东枣庄·模拟预测）若函数，则（ ）
A．的图象关于对称 B．在上单调递增
C．的极小值点为 D．有两个零点
4．（2024·重庆·三模）已知函数(为常数)，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，在处的切线方程为
B．若有3个零点，则的取值范围为
C．当时，是的极大值点
D．当时，有唯一零点，且
三、填空题
5．（2024·辽宁鞍山·二模）的极大值为 ．
6．（2024·广东·模拟预测）在的极值点个数为 个．
参考答案：
1．B
【分析】求导后，构造，分别求出，由零点存在定理得到零点范围，再结合题意求出结果即可.
【详解】由题意可得，
令，
则，，
所以存在，使得，即，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以为函数的极值点，
所以，
所以，
故选：B.
2．D
【分析】根据的正负判断函数的单调性，从而得到和的值，代入可得的值.
【详解】由题知函数的定义域为，，
当时，，当时，，
在和上单调递增，在上单调递减，所以，．
所以．
故选：D．
3．AC
【分析】首先求出函数的定义域，即可判断奇偶性，从而判断A，利用导数说明函数的单调性，即可判断B、C，求出极小值即可判断D.
【详解】对于函数，令，解得或，
所以函数的定义域为，
又，
所以为奇函数，函数图象关于对称，故A正确；
又
，
当时，，即在上单调递减，故B错误；
当时，，即在上单调递增，
根据奇函数的对称性可知在上单调递增，在上单调递减，
所以的极小值点为，极大值点为，故C正确；
又，
且当趋近于1时，趋近于无穷大，当趋近于0时，趋近于无穷大，
所以在上无零点，根据对称性可知在上无零点，
故无零点，故D错误．
故选：AC．
4．ABD
【分析】根据导数的几何意义，可判定A正确；根据题意，转化为与的图象有3个交点，利用导数求得函数的单调性与极值，可判定B正确；当时，得到，讨论函数的单调性，结合极值点的定义，可判定C错误.当时，得到，函数单调递增，结合，可判定D正确；
【详解】对于A中，当时，可得，则，所以切线为A正确：
对于B中，若函数有3个零点，即有三个解，
其中时，显然不是方程的根，
当时，转化为与的图像有3个交点，
又由，
令，解得或；令，解得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减；
所以当时，函数取得极小值，极小值为，
又由时，，当时，且，
如下图：
所以，即实数的取值范围为，所以B正确：
对于中，当时，，可得，
令，在上单调递增，
且,所以存在使得，
所以在上，单调递减，
在上，单调递增，又,
所以在上，即，单调递减，
在上，即，单调递增，
所以是的极小值点，所以错误．
对于D中，当时，，
设，可得，
当时，在单调递减；当时，在单调递增，
所以当时，，所以，
所以，所以函数在上单调递增，
又因为，即，
所以有唯一零点且，所以D正确；
故选：ABD.
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解；
2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
5．
【分析】借助导数研究函数的单调性即可得其极大值.
【详解】，
当时，，当时，，
故在、上单调递减，在上单调递增，
故有极大值.
故答案为：.
6．2
【分析】
利用导数研究函数的单调性与极值，结合三角函数的性质计算即可判定.
【详解】由
，
令，则或，
显然当时，，则或，
满足的根为或，端点值不能做为极值点，舍去；
满足的根有两个，
根据正弦函数的性质可知时，，时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
所以在的极值点个数为2个.
故答案为：2
反思提升：
运用导数求函数f(x)极值的一般步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；
(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号；
(5)求出极值.
【考点3】由函数的极值求参数
一、单选题
1．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知函数在上无极值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河南·模拟预测）已知函数在处取得最值，且在上恰有两个极值点，则（ ）
A．4 B．10 C． D．
二、多选题
3．（2024·河南·三模）已知为函数的极值点，则（ ）
A．
B．是偶函数
C．的图象关于直线对称
D．在区间上单调递增
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数．若过原点可作函数的三条切线，则（ ）
A．恰有2个异号极值点 B．若，则
C．恰有2个异号零点 D．若，则
三、填空题
5．（2024·江苏·二模）如果函数在区间[a，b]上为增函数，则记为，函数在区间[a，b]上为减函数，则记为.如果，则实数m的最小值为 ；如果函数，且，，则实数 .
6．（2024·陕西铜川·三模）若函数有两个极值点，则实数的取值范围为 .
参考答案：
1．D
【分析】求导数确定单调性，讨论x的取值范围可得结果.
【详解】由题意得，，故，
因为函数在上无极值，
所以在R上恒成立，
当时，，
设，则，
当时，得，当时，得，
则在上单调递减，在上单调递增，
从而，故，
当时，，则.
综上，.
故选：D.
2．C
【分析】根据题意求出与的关系式，根据的范围求出的范围，当时同理即可求解.
【详解】由题意可知，，，
解得，，当时，
由，得，
由题意，得，解得，所以不存在，
当时，由，
得，由题意，
得，解得，
所以.
故选：C.
3．ABC
【分析】由是导函数的零点，可得判断A选项；由解析式判断奇偶性判断选项B；利用函数对称性的特征判断选项C；由正弦型函数的单调性判断选项D.
【详解】为函数的极值点，
，由可得，A选项正确；
由于，
所以是偶函数，B选项正确；
，
所以的图象关于直线对称，C选项正确；
由于的正负未知，所以在区间的单调性不确定，D选项错误，
故选：ABC．
4．BD
【分析】利用函数导数的符号可判断AC，设切点，利用导数求出切线方程，代入原点方程有三解，转化为利用导数研究函数极值，由数形结合求解即可判断BD.
【详解】因为，所以在上单调递增，故AC错误；
设过原点的函数的切线的切点为，则切线的斜率，
所以切线方程为，
即，
因为过原点，所以，
化简得，即方程有3个不等实数根，
令，则，
当时，或时，，时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以极大值，极小值为，如图，
所以与相交有三个交点需满足，故B正确；
同理，当时，可知极大值，极小值为，如图，

可得时，与相交有三个交点，故D正确.
故选：BD
5． 4 1
【分析】第一空：令,可得，可得函数的单调性可求得的最小值；第二空由题意可得是函数的极值点，可得,求解检验即可.
【详解】对于第一空：由题意在上单调递增，
因为，所以，令，则，
由对勾函数性质得当时，的单调递增区间为，
所以，即实数的最小值为2，所以实数的最小值为4；
对于第二空：函数可导，所以，
由题意在上单调递减，在上单调递增，即是函数的极值点，
所以，解得或，
经检验不满足题意，符合题意，所以.
故答案为：4；1.
6．
【分析】将导数方程参变分离，转化为与由两个交点的问题，利用导数讨论的单调性，观察变化趋势，作出草图，由图象即可得解.
【详解】的定义域为，
，
令，得.
令，则.
令，则，即，即.
当时，单调递增；当时，单调递减.
，
又当趋近于0时，趋近于；当趋近于时，趋近于0，
作出的草图如图，
由图可知，当时，方程有两个正根，从而函数有两个极值点.
【点睛】思路点睛：关于函数零点个数求参数问题，通常参变分离，转化为两个函数图象相交问题，借助导数研究函数单调性，作出草图即可得解，其中需要注意观察函数的变化趋势.
反思提升：
1.已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.
【考点4】利用导数求函数的最值
一、单选题
1．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知数列满足点在直线上，的前n项和为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知函数，，若函数没有零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·河南南阳·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．若曲线在处的切线方程为，则
B．若，则函数的单调递增区间为
C．若，则函数在区间上的最小值为
D．若，则的取值范围为
4．（2024·河北·二模）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在上单调递增
B．若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为
C．函数在上存在极值点
D．若，则的最大值为
三、填空题
5．（2024·广东广州·模拟预测）若，关于的不等式恒成立，则正实数的最大值为 .
6．（2024·四川成都·三模）已知函数 ，若 存在最小值，且最小值为，则实数 的值为
参考答案：
1．C
【分析】由题意可得数列是等差数列，根据等差数列的求和公式求出，从而可得，设，利用导数研究其单调性，结合即可求解.
【详解】因为数列满足点在直线上，
所以.
因为，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，
则.
设，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
又，，
所以，即的最小值为.
故选:C.
2．A
【分析】根据给定条件，利用导数求出函数的最小值，再对该最小值的符号分类讨论即得.
【详解】函数的定义域为，求导得，
当时，，当时，，故函数在上递减，在上递增，
则当时，函数取得最小值.
若，则，从而没有零点，满足条件；
若，由于，，
故由零点存在定理可知在上必有一个零点，不满足条件.
所以的取值范围是.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将零点的存在性问题转化为极值点的符号问题，属于较为常规的问题.
3．BD
【分析】由，可判定A错误；当，利用导数求得的单调递增区间，可判定B正确；当，利用导数求得函数的的单调性，求得在上的最小值为，可判定C错误；根据题意，分和、，结合函数的单调性，以及，可判定D正确.
【详解】对于A中，因为函数，可得，
则，所以，解得，所以A错误；
对于B中，若，则，
当时，可得，所以的单调递增区间为，所以B正确；
对于C中，若，则，
令，解得或（舍去），
当，即时，在上，可得，在上是增函数，
所以函数在上的最小值为；
当，即时，当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数在上的最小值为，所以C错误；
对于D中，因为，当时，，所以函数在上是增函数，
则，所以成立；
当时，由C项知：当时，，则成立；
当时，，即在区间上存在使得，
则不成立，
综上，实数的取值范围为，所以D正确.
故选：BD.
【点睛】方法技巧：利用导数研究函数的极值、最值等问题的求解策略：
1、求函数在闭区间上的最值时，在得到函数的极值的基础上，结合区间端点的函数值与的各极值进行比较得到函数的最值；
2、若所给函数含有参数，则需通过对参数分离讨论，判断函数的单调性，从而的函数的最值；
3、若函数在区间上有唯一的极值点，这个极值点就是函数的最值点，此结论在导数的实际问题中经常使用.
4．ABD
【分析】对于A，直接求得单调区间即可；对于B C D，构造函数，研究函数的最值即可.
【详解】对于A，的定义域为，令，
则当时，；
当时，即在上单调递减，
在上单调递增，
在上单调递增，故A正确；
对于B，由知在上单调递增，由得，则当时，，令，则当时，；当时，在上单调递增，
在上单调递减，，即的最小值为，故B正确；
对于的定义域为，令，
则当时，；当时，
即在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递增，无极值点，故C错误；
对于D，若，
则，
由知：均为定义域上的增函数，，
由得，，令，则当时，；
当时，在上单调递增，在上单调递减，
，即的最大值为，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：构造函数研究函数性质是解决导数问题的重要方法之一.
5．
【分析】先将不等式同构变形为，构造函数，求导判单调性转化为解不等式0或，令，求导求得最大值小于等于0即可求解.
【详解】，即，
令，则.
设，其中，
则，令，得，
所以当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以，又，
所以存在，使得，
所以若，则或，即0或恒成立，
当，故不可能，
，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
所以，所以只有才能满足要求，
即，又，解得，所以正实数的最大值为.
故答案为：
【点睛】方法点睛：函数隐零点的处理思路：
第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数.
第二步：虚设零点并确定取值范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.
6．
【分析】求得，令，得到，令，利用导数求得函数的单调性和极大值，分和，两种情况讨论，转化为，求得，即可求解.
【详解】因为函数，可得，
令，可得，令，可得，
当时，可得，此时单调递增，
当时，可得，此时单调递减，
所以，函数的极大值为，当且仅当时，，
所以，可得，如图所示，
当时，有两个实数根，记为，
当时，；当时，，
所以在处取得极大值，不符合题意；
当时，有一个实数根，记为，
当时，；当时，，
所以在处取得极小值，也是最小值，
综上可得，在内取得最小值，即时，函数取得最小值，
所以，即，即，
解得或（舍去），所以.
故答案为：.

【点睛】方法点睛：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：
1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；
3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.
结论拓展：与和相关的常见同构模型
①，构造函数或；
②，构造函数或；
③，构造函数或.
反思提升：
1.利用导数求函数f(x)在[a，b]上的最值的一般步骤：
(1)求函数在(a，b)内的极值.
(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b).
(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
2.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·河北承德·二模）设为实数，若函数在处取得极小值，则（ ）
A．1 B． C．0 D．
2．（2024·江苏南通·二模）若函数有大于零的极值点，则实数a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024·重庆·模拟预测）若函数有极值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·江西上饶·一模）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的导函数为
B．在上单调递减
C．的最小值为
D．的图象在处的切线方程为
二、多选题
5．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A．在区间单调递减
B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线在处的切线
6．（2023·全国·模拟预测）设函数，若恒成立，则满足条件的正整数可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2024·贵州安顺·一模）设函数，则（ ）
A．有个极大值点
B．有个极小值点
C．是的极大值点
D．是的极小值点
三、填空题
8．（2024·安徽·二模）已知函数，当时的最大值与最小值的和为 ．
9．（2024·辽宁·一模）已知函数在处有极值8，则等于 ．
10．（22-23高二下·广东阳江·期中）若方程有两个不等的实数根，则实数的取值范围是 .
四、解答题
11．（2024·山东潍坊·二模）已知函数，曲线在点处的切线方程为．
(1)求实数a，b的值；
(2)求的单调区间和极值．
12．（2024·江苏南京·二模）已知函数，其中．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)当时，若在区间上的最小值为，求a的值．
参考答案：
1．B
【分析】求出函数的导数，根据极值点求出的值，然后根据极值的概念检验即得．
【详解】由题可得，
令，解得；或，
因为函数在处取得极小值，
所以，即，
当时，，或，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，满足题意.
故选：B.
2．C
【分析】求出函数的导数，求出极值点，利用极值点大于0，求出的范围．
【详解】函数，
可得，
若，此时单调递增，无极值点，
故，令，解得，
当时，，当时，，
故是的极值点
由于函数有大于零的极值点，
，解得．
故选：C．
3．C
【分析】求出函数的定义域与导函数，依题意可得在上有变号零点，结合二次函数的性质得到，解得即可.
【详解】函数的定义域为，且，
因为函数有极值，所以在上有变号零点，
即在上有解（若有两个解，则两个解不能相等），
因为二次函数的对称轴为，开口向上，
所以只需，解得，即实数的取值范围是.
故选：C
4．C
【分析】根据导数的运算性质，结合导数的性质、几何意义逐一判断即可.
【详解】A：，因此本选项不正确；
B：由上可知：，
当时，，函数单调递增，因此本选项不正确；
C：由上可知：，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以当时，函数的最小值为，因此本选项正确；
D：由上可知，因为，
所以的图象在处的切线方程为，因此本选项不正确，
故选：C
5．ABD
【分析】由条件求出，即得.对于A,B两项，只需将看成整体角，利用正弦函数的图象即可判断，对于C，只需将代入解析式，根据函数值即可检验，对于D，利用导数的几何意义即可求出切线方程进行判断.
【详解】由题意可得，，则，因，则，于是.
对于A，令，由可得，，因在上单调递减，故在区间单调递减，即A正确；
对于B，令，由可得，，因在上有两个极值点，故B正确；
对于C，当时，，因，故直线不是曲线的对称轴，即C错误；
对于D，由求导得，，则，又，
故曲线在处的切线方程为，即，故D正确.
故选：ABD.
6．ABC
【分析】根据题意可得，利用导数结合分类讨论解决恒成立问题.
【详解】若恒成立，则恒成立，
构建，则，
∵，故，则有：
当，即时，则当时恒成立，
故在上单调递增，则，
即符合题意，故满足条件的正整数为1或2；
当，即时，令，则，
故在上单调递减，在上单调递增，则，
构建，则当时恒成立，
故在上单调递减，则，
∵，
故满足的整数；
综上所述：符合条件的整数为1或2或3，A、B、C正确，D错误.
故选：ABC.
7．ABD
【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间与极值点.
【详解】函数的定义域为，
且，
所以当或时，
当或时，
所以在，上单调递减，在，上单调递增，
所以在处取得极小值，在处取得极大值，在处取得极小值.
故选：ABD
8．
【分析】求导，可得函数的单调性，即可求解极值点以及端点处的函数值，即可求解最值.
【详解】，
当时，，递增；当时，，递减；
，，，
故最大值与最小值的和为：．
故答案为：
9．
【分析】求导，即可由且求解，进而代入验证是否满足极值点即可．
【详解】
若函数在处有极值8，则即
解得：或，
当时，，此时不是极值点，故舍去；
当时，，
当或时，，当，故是极值点，
故符合题意，
故，
故.
故答案为：.
10．
【分析】问题转化为函数的图像与直线有 2 个交点，利用导数研究函数单调性，作出函数图像，数形结合求实数的取值范围.
【详解】方程化为 ，令则问题转化为的图像与直线有 2 个交点，
因为，
当 时，单调递减，
当 时，，单调递增，
所以函数最小值为，且当正向无限趋近于时， 的取值无限趋近于正无穷大； 当无限趋近于正无穷大时， 的取值无限趋近于正无穷大；

故方程有两个不等的实数根时，.
故答案为：
11．(1)，
(2)单调递增区间是，，单调递减区间是，极大值为，极小值为.
【分析】（1）求导根据导数的几何意义求解即可；
（2）求导分析导函数的正负区间进而求解极值即可.
【详解】（1）由题可得，
由题意，故，
又，故.
（2）由（1）可得，
令可得或，令可得，
故的单调递增区间是，，单调递减区间是.
则的极大值为，极小值为.
12．(1)
(2)
【分析】（1）由，分别求出及，即可写出切线方程；
（2）计算出，令，解得或，分类讨论的范围，得出的单调性，由在区间上的最小值为，列出方程求解即可．
【详解】（1）当时，，则，，所以，
所以曲线在处的切线方程为：，即．
（2），令，解得或，
当时，时，，则在上单调递减，
所以，考虑，，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以的极大值为，所以由得；
当时，时，，则在上单调递减，
时，，则在上单调递增，
所以，则，不合题意；
当时，时，，则在上单调递减，
所以，不合题意；
综上，．
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·上海·三模）已知函数的定义域为，则下列条件中，能推出1一定不是的极小值点的为（ ）
A．存在无穷多个，满足
B．对任意有理数，均有
C．函数在区间上为严格减函数，在区间上为严格增函数
D．函数在区间上为严格增函数，在区间上为严格减函数
二、多选题
2．（2024·浙江杭州·三模）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．在区间上单调递增 B．的最小值为
C．方程的解有2个 D．导函数的极值点为
三、填空题
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数的最小正周期为T，其图象关于点中心对称，则T的最大值为 ；写出曲线满足“在区间内恰有三个极值点”的一条对称轴方程为 ．
四、解答题
4．（2024·湖北荆州·模拟预测）已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)若对于任意，都有，求实数a的取值范围.
参考答案：
1．B
【分析】举例说明判断ACD；利用极小值的意义推理判断A.
【详解】对于A，函数的图象如图，
显然函数满足题设条件，而1是的极小值点，A错误；
对于B，在附近的任意区间内，总存在有理数，这些有理数的函数值小于，因此1一定不是极小值点，B正确；
对于C，函数在上为严格减函数，在上为严格增函数，1是的极小值点，C错误；
对于D，函数图象如图，
函数在上为严格增函数，在上为严格减函数，1是的极小值点，D错误.
故选：B
2．ABD
【分析】利用导数判断单调性，求解最值判断A，B，将方程解的问题转化为函数零点问题判断C，对构造函数再次求导，判断极值点即可.
【详解】易知，可得，
令，，令，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故的最小值为，故A，B正确，
若讨论方程的解，即讨论的零点，
易知，，故，
故由零点存在性定理得到存在作为的一个零点，
而当时，，显然在内无零点，
故只有一个零点，即只有一个解，故C错误，
令，故，
令，解得，而，，
故是的变号零点，即是的极值点，
故得导函数的极值点为，故D正确.
故选：ABD
3． （答案不唯一，满足即可）
【分析】由图象的对称中心求出范围，根据最小正周期的计算公式即可得出T的最大值；由在区间内恰有三个极值点，得出的值，即可求出一条对称轴．
【详解】因为函数的图象关于点中心对称，
所以，即，又，
所以的最小值为的最大值为．
当时，．
因为函数在区间内恰有三个极值点，
所以，解得，又，
因此，所以，
则曲线的一条对称轴方程为，即，
故答案为：，（答案不唯一，满足即可）．
4．(1)增区间为，减区间为
(2)
【分析】（1）直接对已知函数求导，根据导数符号与原函数单调性的关系即可得解；
（2）分离参数，将原问题等价变形为当时，“”恒成立，构造函数，，利用导数求出它的最大值即可得解.
【详解】（1）函数的定义域为，.
令，解得.
与在区间上的情况如下：
x
- 0 +
极小值
故的增区间为，减区间为.
（2）当时，“”恒成立等价于当时，“”恒成立，
令，，则，.
当时，，所以在区间上单调递减.
当时，，所以在区间上单调递增.
而，，
所以在区间上的最大值为.
所以当时，对于任意，都有.
综上所述，满足题意的实数的取值范围是.
【培优篇】
一、单选题
1．（2024·湖北·二模）已知函数（e为自然对数的底数）．则下列说法正确的是（ ）
A．函数的定义域为R
B．若函数在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，则
C．当时，可能有三个零点
D．当时，函数的极小值大于极大值
二、多选题
2．（2024·江苏南通·三模）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
3．（2024·全国·模拟预测）已知，函数恒成立，则的最大值为 .
参考答案：
1．D
【分析】对于A：，通过求导找到零点，进而确定定义域；对于B：求出，，，进而可得切线方程，从而得到面积；对于CD：求出，利用零点存在定理，确定零点位置，从而得到极值，进而可判断零点个数以及极值关系.
【详解】记，则，所以为单调递增函数，
，，所以函数有唯一零点，
因为有意义需使，所以函数的定义域为，所以A错误；
因为，，，
所以函数在点P处的切线方程为，，
此直线与x轴、y轴的交点分别为，，
由三角形的面积公式得，解得或，所以B错误；
当时，，
当时，记，
则，明显单调递增，
而，，
由零点存在定理知存在，使得，即，
在上单调递减，在上单调递增，
所以，
即当时，，所以，
所以在上单调递减，在上单调递增，其中，，
当时，记，，
所以在上单调递增，
，，
由零点存在定理知存在，使得，
即当时，，从而有，
当时，，从而有，
综上可知在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递减，在上单调递增，其中，且，，
所以，．
又因为，，
所以当时，，当时，，且，
所以最多只有两个零点，C错误，D正确．
故选：D.
【点睛】方法点睛：1．函数零点的判定常用的方法有：
（1）零点存在性定理；（2）数形结合；（3）解方程f(x)＝0.
2．研究方程f(x)＝g(x)的解，实质就是研究G(x)＝f(x)－g(x)的零点．
3．转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题．
2．AD
【分析】结合图象和指、对函数之间的关系即可判断AB；利用切线不等式即可判断C；利用不等式即可判断D.
【详解】对A，由图可知：与交点，
与的交点，
根据指数函数与对数函数为一对反函数知：，关于对称，
故，，故A正确；
对B，由A知，故B错误；
对C，由知，则，设，，
则，则当时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递增；
则，则恒成立，即，当时取等；
令，则有，因为，则，即，故C错误；
对D，设，，则，
则当时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减；
则，即在上恒成立，
即在上恒成立，当时取等，
令，则，即，因为，则，则，
故，故D正确.
故选：AD.

【点睛】关键点点睛：本题AB选项的关键是充分利用图象并结合指、函数的关系，而CD选项的关键在于两个不等式和的运用.
3．7
【分析】当为正偶数时，不符合题意，当为正奇数时，只需研究 时，分离参数得恒成立，设，利用导数求的最小值可解.
【详解】当为正偶数时，
当时，，不符合题意，所以为正奇数，
则当时，恒成立，
只需研究 时，恒成立即可，
当时，成立，
则当时，因为此时小于0，所以恒成立，
当时，恒成立，
设，则，令，得，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，又因为为正奇数，所以的最大值为7.
故答案为：7
【点睛】思路点睛：分为奇数、偶数进行讨论，之后采用分离参数的方法求参数的最值.
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