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第1讲　功与功率
学习目标　1.理解功的概念，会判断正、负功，会计算功的大小。 2.理解功率的概念，会求解平均功率和瞬时功率。 3.会分析、解决机车启动的两类问题。
1.思考判断
(1)只要物体受力的同时又发生了位移，就一定有力对物体做功。(×)
(2)一个力对物体做了负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动。(√)
(3)作用力做正功时，反作用力一定做负功。(×)
(4)由P＝Fv既能求某一时刻的瞬时功率，也可以求平均功率。(√)
(5)由P＝知，只要知道W和t就可求出任意时刻的功率。(×)
(6)当F为恒力时，v增大，F的功率一定增大。(×)
2.水平恒力F两次作用在同一静止物体上，使物体沿力的方向发生相同的位移，第一次是在光滑水平面上，第二次是在粗糙水平面上，两次力F做的功和平均功率的大小关系是(　　)
A.W1＝W2，P1＞P2
B.W1＞W2，P1＝P2
C.W1＞W2，P1＞P2
D.W1＝W2，P1＝P2
答案　A
考点一　恒力做功的分析和计算
1.判断力是否做功及做正、负功的方法
判断根据 适用情况
根据力和位移方向的夹角判断 常用于恒力做功的判断
根据力和瞬时速度方向的夹角判断 常用于质点做曲线运动
根据功能关系或能量守恒定律判断 常用于变力做功的判断
2.恒力做功的计算方法
(1)恒力做的功
直接用W＝Flcos α计算或用动能定理计算。
(2)合力做的功
方法一：先求合力F合，再用W合＝F合lcos α求功，尤其适用于已知质量m和加速度a的情况。
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合力做的功。
方法三：利用动能定理，合力做的功等于物体动能的变化量。
例1 (多选)(人教版必修第二册改编)一位质量m＝60 kg的滑雪运动员从高h＝10 m的斜坡自由下滑，如图1所示，如果运动员在下滑过程中受到的阻力f＝50 N，斜坡的倾角θ＝30°，重力加速度g取10 m/s2，运动员滑至坡底的过程中，关于各力做功的情况，下列说法正确的是(　　)
图1
A.重力做的功为6 000 J B.阻力做的功为1 000 J
C.支持力不做功 D.各力做的总功为零
答案　AC
解析　对运动员受力分析如图所示，重力做功WG＝mgh＝60×10×10 J＝6 000 J，阻力做功Wf＝－f·＝－50× J＝－1 000 J，由于支持力方向与位移方向垂直，支持力不做功，即WN＝0，各力做的总功W总＝WG＋Wf＋WN＝5 000 J，故A、C正确，B、D错误。
1.(多选)如图2所示，升降机内斜面的倾角θ＝30°，质量为2 kg的物体置于斜面上始终不发生相对滑动，在升降机以5 m/s2的加速度从静止开始匀加速上升4 s的过程中。g取10 m/s2，则(　　)
图2
A.斜面对物体的支持力做功900 J
B.斜面对物体的摩擦力做功－300 J
C.物体克服重力做功－800 J
D.合外力对物体做功400 J
答案　AD
解析　物体置于升降机内随升降机一起匀加速运动过程中，受力分析如图所示，由牛顿第二定律得Ffcos θ－FNsin θ＝0，Ffsin θ＋FNcos θ－mg＝ma，代入数据得Ff＝15 N，FN＝15 N，又x＝at2＝40 m，斜面对物体的支持力所做的功WN＝FNxcos θ＝900 J，故A正确；斜面对物体的摩擦力所做的功Wf＝Ffxsin θ＝300 J，故B错误；物体所受重力做的功WG＝－mgx＝－800 J，则物体克服重力做功800 J，故C错误；合外力对物体做的功W合＝WN＋Wf＋WG＝400 J，故D正确。
考点二　变力做功的分析和计算
变力做功常见的五种计算方法
方法 情境说明 方法总结
微元法 质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做的功为Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR
等效 转换 法 恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做的功为 W＝F·
平均 力法 弹簧由伸长量为x1被继续拉至伸长量为x2的过程中，克服弹簧弹力做的功为W＝Δx＝·(x2－x1)
图像法 在F－x图像中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移上所做的功
动能定 理法 用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做的功为WF，则有WF－mgL(1－cos θ)＝0，得WF＝mgL(1－cos θ)
例2 (多选)力F对物体所做的功可由公式W＝Flcos α求得。公式中力F必须是恒力。而实际问题中，有很多情况是变力在对物体做功。如图3，对于甲、乙、丙、丁四种情况下求解某个力所做的功，下列说法正确的是(　　)
图3
A.甲图中若F大小不变，物块从A到C过程中力F做的为W＝F(lOA－lOC)
B.乙图中，全过程中F做的总功为72 J
C.丙图中，绳长为R，若空气阻力f大小不变，小球从A运动到B过程中空气阻力做的功W＝πRf
D.图丁中，F始终保持水平，无论是F缓慢将小球从P拉到Q，还是F为恒力将小球从P拉到Q，F做的功都是W＝Flsin θ
答案　AB
解析　等效转换法：甲图中因力对绳做的功等于绳对物块做的功，则物块从A到C过程中绳对物块做的功为W＝F(lOA－lOC)，故A正确。
提示：轻绳对物体的拉力一直在变化，但轻绳拉力大小不变，可将变力做功问题转化为恒力做功来处理，轻绳对物块拉力做的功和恒力F做的功相等。
图像法：乙图中，F－x图线与坐标轴围成的面积代表功，则全过程中F做的总功为W＝15×6 J＋(－3)×6 J＝72 J，故B正确。
微元法：丙图中，绳长为R，若空气阻力f大小不变，方向始终与运动方向相反，可用微元法得小球从A运动到B过程中空气阻力做的功为W＝－f·＝－πRf，故C错误。
动能定理法：图丁中，F始终保持水平，当F为恒力时将小球从P拉到Q，F做的功是W＝Flsin θ，而F缓慢将小球从P拉到Q，F为水平方向的变力，F做的功不能直接用力乘以位移计算，要根据动能定理求解力F做功，故D错误。
除了以上求变力做功的方法外，还存在其他变力做功情况，如：
(1)用功率求功：机车类发动机保持功率P恒定做变速运动时，牵引力是变力，牵引力做的功W＝Pt。
(2)恒力做功和变力做功均可应用动能定理求解。　　
2.如图4所示，质量均为m的A、B两小物块用轻质弹簧相连，A放置在光滑水平地面上，一轻绳通过光滑的定滑轮与物块B相连(连接物块B的绳子恰好伸直但不绷紧)，弹簧的劲度系数k。现用一水平向右的拉力F作用在轻绳上，使物块B缓慢向上运动，已知重力加速度为g，当A物块恰好离开地面时，F所做功为(　　)
图4
A.F B.F
C. D.
答案　D
解析　开始时弹簧的压缩量为x1＝，此时F1＝0，当A物块恰好离开地面时弹簧伸长量为x2＝，此时F2＝2mg，则力F做功W＝(x1＋x2)＝，故D正确。
3.(2024·山东威海模拟)水平桌面上，长6 m的轻绳一端固定于O点，如图5所示(俯视图)，另一端系一质量m＝2.0 kg的小球。现对小球施加一个沿桌面大小不变的力F＝10 N，F拉着物体从M点运动到N点，F的方向始终与小球的运动方向成37°角。已知小球与桌面间的动摩擦因数μ＝0.2，不计空气阻力，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则下列说法正确的是(　　)
图5
A.拉力F对小球做的功为16π J
B.拉力F对小球做的功为8π J
C.小球克服摩擦力做的功为16π J
D.小球克服摩擦力做的功为4π J
答案　A
解析　将圆弧分成很多小段l1，l2，…，ln，拉力F在每小段上做的功为W1，W2，…，Wn，因拉力F大小不变，方向始终与小球的运动方向成37°角，所以W1＝Fl1cos 37°，W2＝Fl2cos 37°，…，Wn＝Flncos 37°，故WF＝W1＋W2＋…＋Wn＝Fcos 37°(l1＋l2＋…＋ln)＝Fcos 37°·＝16π J，故A正确，B错误；同理可得小球克服摩擦力做的功Wf＝μmg·＝8π J，故C、D错误。
考点三　功率的分析与计算
1.公式P＝和P＝Fv的区别
P＝是功率的定义式，P＝Fv是功率的计算式。
2.平均功率的计算方法
(1)利用＝。
(2)利用＝F cos α，其中为物体运动的平均速度。
3.瞬时功率的计算方法
(1)利用公式P＝Fvcos α，其中v为t时刻的瞬时速度。
(2)P＝FvF，其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度。
(3)P＝Fvv，其中Fv为物体受到的外力F在速度v方向上的分力。
例3 (2023·山东卷，4)《天工开物》中记载了古人借助水力使用高转筒车往稻田里引水的场景。引水过程简化如下：两个半径约为R的水轮，以角速度ω匀速转动。水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有n个，与水轮间无相对滑动，每个水筒离开水面时装有质量为m的水，其中的60%被输送到高出水面H处灌入稻田，当地的重力加速度为g，则筒车对灌入稻田的水做功的功率为(　　)
图6
A. B.
C. D.nmgωRH
答案　B
解析　由题知，水轮转一圈灌入农田的水的总质量为m总＝2πRnm×60%＝1.2πRnm，则水轮转一圈灌入稻田的水克服重力做的功W＝1.2πRnmgH，筒车对灌入稻田的水做功的功率为P＝，又T＝，联立解得P＝，故B正确。
4.如图7所示，质量为m＝2 kg的木块在倾角θ＝37°的斜面上由静止开始下滑，斜面足够长，木块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，则前2 s内重力的平均功率和2 s末重力的瞬时功率分别为(　　)
图7
A.48 W　24 W B.24 W　48 W
C.24 W　12 W D.12 W　24 W
答案　B
解析　木块所受的合外力F合＝mgsin θ－μmgcos θ＝4 N，木块的加速度a＝＝2 m/s2，前2 s内木块的位移x＝at2＝×2×22 m＝4 m，所以重力在前2 s内做的功为W＝mgxsin θ＝2×10×4×0.6 J＝48 J，重力在前2 s内的平均功率＝＝24 W，木块在2 s末的速度v＝at＝2×2 m/s＝4 m/s，2 s末重力的瞬时功率P＝mgvsin θ＝2×10×4×0.6 W＝48 W，故选项B正确。
考点四　机车启动问题
两种启动方式
两种方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动
P－t图像 和 v－t图像
OA段 过程 分析 v↑ F＝↓ a＝↓ a＝不变 F不变，v↑ P＝Fv↑直到P＝P额＝Fv1
运动 性质 加速度减小的加速直线运动 匀加速直线运动，维持时间t1＝
AB段 过程 分析 F＝F阻 a＝0 vm＝ v↑ F＝↓ a＝↓
运动 性质 以vm做匀速直线运动 加速度减小的加速直线运动
BC段 过程 分析 F＝F阻 a＝0 vm＝
运动 性质 以vm做匀速直线运动
转折点 在转折点A，牵引力与阻力大小相等，此时加速度为零，速度达到最大，为vm＝ 在转折点A，功率达到额定功率，匀加速运动结束，此时v1＝；在转折点B，速度达到最大，为vm＝
角度　恒定功率启动问题
例4 (多选)发展新能源汽车是当前一项国家战略，更是世界发展的潮流。假设有一辆纯电动客车质量m＝1×103 kg，客车沿平直的公路以恒定功率P从静止开始启动，如图8所示为牵引力F与速度v的关系图像，加速过程在图中的B点结束，所用的时间t＝10 s，10 s后客车做匀速运动。若客车所受阻力始终不变，下列说法正确的是(　　)
图8
A.客车的功率P＝64 kW
B.图中A点对应的时刻为5 s
C.图中A点对应时刻客车的加速度大小为4 m/s2
D.0～10 s客车通过的路程为128 m
答案　ACD
解析　客车以恒定功率P启动，由图可得P＝Fv＝64 kW，故A正确；客车以额定功率启动，作出其v－t图像如图曲线所示，如果客车是做初速度为零的匀加速直线运动，则v－t图像如图中的直线所示，当速度为8 m/s时直线对应的时间刚好是5 s，而A点对应曲线的时间tA小于5 s，故B错误；10 s后客车做匀速运动，此时客车受到的牵引力与阻力大小相等，故f＝4 000 N，图中A点，FA＝8 000 N，根据牛顿第二定律可得aA＝＝4 m/s2，故C正确；设0～10 s客车通过的路程为s，根据动能定理可得Pt－fs＝mv，代入数据解得s＝128 m，故D正确。
角度　恒定加速度启动问题
例5 (多选)质量m＝200 kg的小型电动汽车在平直的公路上由静止启动，如图9甲表示汽车运动的速度与时间的关系，图乙表示汽车牵引力的功率与时间的关系。设汽车在运动过程中阻力不变，在18 s末汽车的速度恰好达到最大，则下列说法正确的是(　　)
图9
A.汽车受到的阻力为800 N
B.8～18 s过程中汽车牵引力逐渐增大
C.0～8 s过程中汽车牵引力做的功为6.4×104J
D.0～18 s过程中汽车的位移大小为127.5 m
答案　AD
解析　当牵引力等于阻力时，速度达到最大值，由P＝Fvm＝fvm得f＝＝ N＝800 N，故A正确；v－t图像中图线的斜率表示加速度，根据图甲可知，8～18 s过程中汽车加速度不断减小，又因为阻力不变，由F－f＝ma知，汽车牵引力是逐渐减小的，故B错误；P－t图像中图线与时间轴围成的面积表示牵引力做的功，所以根据图乙可知0～8 s过程中汽车牵引力做的功为W＝ J＝3.2×104 J，故C错误；v－t图像中图线与时间轴围成的面积表示位移，故0～8 s过程中汽车的位移为x1＝ m＝32 m，8～18 s过程中，根据动能定理可得Pt－fx2＝mv－mv，代入数据解得x2＝95.5 m，则0～18 s过程中汽车的位移大小为x＝x1＋x2＝32 m＋95.5 m＝127.5 m，故D正确。
掌握三个重要关系式
1.无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝＝(式中Fmin为最小牵引力，其值等于阻力大小F阻)。　　
2.机车以恒定加速度启动的过程中，匀加速过程结束时，功率最大，但速度不是最大，v＝＜vm＝。
3.机车以恒定功率启动时，牵引力做的功W＝Pt。由动能定理得Pt－F阻x＝ΔEk，此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小。
5.(2023·湖北卷，4)两节动车的额定功率分别为P1和P2，在某平直铁轨上能达到的最大速度分别为v1和v2。现将它们编成动车组，设每节动车运行时受到的阻力在编组前后不变，则该动车组在此铁轨上能达到的最大速度为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　由题意可知对两节动车分别有P1＝f1v1，P2＝f2v2，当将它们编组后有P1＋P2＝(f1＋f2)v，联立可得v＝，故D正确。
A级　基础对点练
对点练1　恒力做功的分析和计算
1.(多选)(2024·河南新乡高三期中)如图1所示，滑块A和B叠放在固定的斜面体上，它们从静止开始以相同的加速度一起沿斜面加速下滑。已知B与斜面体的接触面光滑，则在A、B下滑的过程中，下列说法正确的是(　　)
图1
A.B对A的支持力做负功
B.B对A的作用力不做功
C.A对B的摩擦力做正功
D.斜面体对B的支持力做负功
答案　AB
解析　B对A的支持力竖直向上，与A、B的运动方向之间的夹角大于90°，B对A的支持力做负功，A正确；以A、B整体为研究对象，应用牛顿第二定律得(mA＋mB)gsin θ＝(mA＋mB)a，解得a＝gsin θ，隔离A分析，如图所示，则mAgsin θ＋Ffcos θ－FNsin θ＝mAa，得Ffcos θ＝FNsin θ，Ff与FN的合力方向与斜面垂直，所以B对A的作用力不做功，B正确；A对B的摩擦力沿着水平面向右，与运动方向之间的夹角大于90°，则A对B的摩擦力做负功，C错误；斜面体对B的支持力与斜面体垂直，即与B下滑的速度方向垂直，不做功，D错误。
2.如图2所示，长为L的小车置于光滑的水平面上，小车前端放一小物块，用大小为F的水平力将小车向右拉动一段距离s，此时物块刚好滑到小车的左端。物块与小车间的摩擦力为Ff，在此过程中(　　)
图2
A.摩擦力对小物块做的功为Ffs
B.摩擦力对系统做的总功为0
C.力F对小车做的功为FL
D.小车克服摩擦力所做的功为Ffs
答案　D
解析　由题意知，小物块对地的位移方向向右，大小为s－L，小物块受到的摩擦力方向水平向右，则摩擦力对小物块做的功为W1＝Ff(s－L)，故A错误；物块相对于小车的位移大小为L，则摩擦力对系统做的总功为－FfL，故B错误；小车对地位移大小为s，则力F对小车做的功为Fs，故C错误；小车受到的摩擦力方向水平向左，位移方向向右，大小为s，则小车克服摩擦力所做的功为Ffs，故D正确。
3.(2023·北京卷，11)如图3所示，一物体在力F作用下沿水平桌面做匀加速直线运动。已知物体质量为m，加速度大小为a，物体和桌面之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，在物体移动距离x的过程中(　　)
图3
A.摩擦力做功大小与F方向无关
B.合力做功大小与F方向有关
C.F为水平方向时，F做功为μmgx
D.F做功的最小值为max
答案　D
解析　设力F与水平方向的夹角为θ，则摩擦力为Ff＝μ(mg－Fsin θ)，摩擦力做的功Wf＝－μ(mg－Fsin θ)x，则摩擦力做功与F的方向有关，选项A错误；合力做功W＝F合x＝max，可知合力做功与力F方向无关，选项B错误；当力F水平时，有F－μmg＝ma，力F做功为WF＝Fx＝(ma＋μmg)x，选项C错误；因合外力做功为max大小一定，而合外力做的功等于力F与摩擦力Ff做功的代数和，而当Fsin θ＝mg时，摩擦力Ff＝0，则此时摩擦力做功为零，此时力F做功最小，最小值为max，选项D正确。
对点练2　变力做功的分析和计算
4.(2023·新课标卷，15)无风时，雨滴受空气阻力的作用在地面附近会以恒定的速率竖直下落。一质量为m的雨滴在地面附近以速率v下落高度h的过程中，克服空气阻力做的功为(重力加速度大小为g)(　　)
A.0 B.mgh
C.mv2－mgh D.mv2＋mgh
答案　B
解析　雨滴在地面附近下落过程中做匀速运动，对雨滴下落高度h的过程，由动能定理有mgh－Wf＝0，即Wf＝mgh，B正确，A、C、D错误。
5.如图4所示，一轻质立方体被从水表面缓慢压入水中，直至其上表面没入水中，已知立方体的棱长为L，水的密度为ρ，重力加速度为g，不考虑水面高度的变化。该过程中，立方体克服水的浮力所做的功为(　　)
图4
A. B.
C.ρgL2 D.ρgL4
答案　B
解析　设浸入的深度为h，则浮力的大小为F＝ρgV＝ρgL2h，可见浮力与浸入水中的深度成正比。由平均值法知克服浮力做的功为W＝L＝L＝，故B正确。
对点练3　功率的分析与计算
6.(2024·山东济宁高三期末)如图5所示，在某次体能训练中，运动员身上系着轻绳拖着轮胎从静止开始沿着笔直的跑道匀加速奔跑，2 s末轮胎的速度大小为4 m/s。已知绳与地面的夹角θ＝37°，绳对轮胎的拉力大小为50 N，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。下列说法正确的是(　　)
图5
A.前2 s内绳子拉力对轮胎所做的功为200 J
B.第2 s内运动员克服绳子拉力所做的功为120 J
C.前2 s内绳子拉力对轮胎做功的平均功率为100 W
D.第2 s末绳子拉力对轮胎做功的瞬时功率为200 W
答案　B
解析　前2 s内的位移为x＝t＝4 m，前2 s内绳子拉力对轮胎所做的功为W＝Fxcos 37°＝50×4×0.8 J＝160 J，故A错误；根据v＝at，解得a＝2 m/s2，第2 s内的位移为x′＝x－at＝3 m，第2 s内运动员克服绳子拉力所做的功为W′＝Fx′cos 37°＝50×3×0.8 J＝120 J，故B正确；前2 s内绳子拉力对轮胎做功的平均功率为＝＝80 W，故C错误；第2 s末绳子拉力对轮胎做功的瞬时功率P＝Fvcos 37°＝50×4×0.8 W＝160 W，故D错误。
7.(2023·山东卷，8)质量为M的玩具动力小车在水平面上运动时，牵引力F和受到的阻力f均为恒力。如图6所示，小车用一根不可伸长的轻绳拉着质量为m的物体由静止开始运动。当小车拖动物体行驶的位移为s1时，小车达到额定功率，轻绳从物体上脱落，物体继续滑行一段时间后停下，其总位移为s2。物体与地面间的动摩擦因数不变，不计空气阻力。小车的额定功率P0为(　　)
图6
A. B.
C. D.
答案　A
解析　设物体与地面间的动摩擦因数为μ，小车拖动物体行驶的位移为s1的过程中，有F－f－μmg＝(m＋M)a，v2＝2as1，P0＝Fv；轻绳从物体上脱落后，a2＝μg，v2＝2a2(s2－s1)，联立解得P0＝，故A正确。
对点练4　机车启动问题
8.复兴号动车在世界上首次实现速度350 km/h自动驾驶功能，成为我国高铁自主创新的又一重大标志性成果。一列质量为m的动车，初速度为v0，以恒定功率P在平直轨道上运动，经时间t达到该功率下的最大速度vm，设动车行驶过程所受到的阻力f保持不变。动车在时间t内(　　)
图7
A.做匀加速直线运动
B.牵引力的功率P＝fvm
C.当动车速度为时，其加速度为
D.牵引力做功W＝mv－mv
答案　B
解析　动车以恒定功率启动，由P＝F牵v可知动车的速度增大，则牵引力减小，由牛顿第二定律F牵－f＝ma可得动车的加速度逐渐减小，A错误；当动车的加速度为零时，即牵引力等于阻力时，动车的速度最大，则P＝fvm，B正确；当动车速度为时，牵引力为F牵′＝＝＝3f，根据牛顿第二定律可得F牵′－f＝ma1，则此时其加速度为a1＝，C错误；设动车在时间t内的位移为x，由动能定理得W－fx＝mv－mv，则牵引力所做的功为W＝fx＋mv－mv，D错误。
9.(多选)下列各图是反映汽车(额定功率为P额)从静止开始匀加速启动，最后做匀速直线运动的过程中，其速度随时间以及加速度、牵引力和功率随速度变化的图像，其中正确的是(　　)
答案　ACD
解析　汽车从静止开始匀加速启动，根据牛顿第二定律可得F0－f＝ma，可知牵引力在匀加速阶段保持不变，由功率P＝F0v，可知在匀加速阶段，功率与速度成正比，随着速度的增大而增大，当P＝P额时，功率保持不变，设此时的速度为v1，则有v1＝＝，之后牵引力减小，加速度减小，速度继续增加，汽车做加速度逐渐减小的加速运动，当牵引力F＝f时，加速度为零，汽车速度达到最大vm，汽车做匀速直线运动，则有vm＝＝，由以上分析可知，A、C、D正确，B错误。
B级　综合提升练
10.(多选)(2024·四川成都模拟)如图8甲所示，有长度均为x0的AB、BC两段水平路面，AB段光滑，BC段粗糙。在A处静止的小物体质量为m(可视为质点)在水平恒力F作用下，从A点开始运动，到C点恰好停下，BC段动摩擦因数自左往右逐渐增大，具体变化如图乙所示，重力加速度为g。下列判断正确的是(　　)
图8
A.水平恒力F的大小F＝μ0mg
B.水平恒力F在AB、BC两段路面上做功不相等
C.水平恒力F在AB段的平均功率等于BC段的平均功率
D.水平恒力F在AB段中间时刻瞬时功率小于在BC段中间时刻瞬时功率
答案　AD
解析　根据动能定理，在AC段水平恒力F做的功等于克服摩擦力做的功，有F·2x0－μ0mgx0＝0，解得F＝μ0mg，故A正确；F在AB、BC两段做的功相同，故B错误；小物体在AB段做匀加速直线运动，在BC段先做加速度减小的加速运动再做加速度增加的减速运动，在AB段运动的时间大于在BC段运动的时间，则水平恒力F在AB段的平均功率小于BC段的平均功率，故C错误；小物体在AB段中间时刻的瞬时速度小于在BC段中间时刻的瞬时速度，则水平恒力F在AB段中间时刻瞬时功率小于在BC段中间时刻瞬时功率，故D正确。
11.(2024·山东济南模拟)一辆玩具赛车在水平直线跑道上由静止开始以10 kW的恒定功率加速前进，赛车瞬时速度的倒数和瞬时加速度a的关系如图9所示，已知赛车在跑道上所受到的阻力不变，赛车到达终点前已达到最大速度。下列说法中正确的是(　　)
图9
A.赛车做加速度逐渐增大的加速直线运动
B.赛车的质量为20 kg
C.赛车所受阻力大小为500 N
D.赛车速度大小为5 m/s时，加速度大小为50 m/s2
答案　C
解析　由牛顿第二定律有－f＝ma，赛车做加速度逐渐减小的加速直线运动，整理得＝a＋，可知图像的斜率恒定为，与纵轴的截距为，结合图像可得＝0.05 s/m，＝ s3 /m2，解得m＝25 kg，f＝500 N，代入v＝5 m/s，解得a＝60 m/s2，故C正确，A、B、D错误。
C级　培优加强练
12.(2024·山东临沂高三月考)某学校科技小组对一辆自制小遥控车的性能进行研究，他们让小车在水平地面上由静止开始运动，将小车运动的全过程记录下来，通过数据处理得到如图10所示的v－t图像。已知小车在0～2 s内做匀加速直线运动，2～10 s内小车牵引力的功率保持不变，在10 s末停止遥控，关闭电动机，小车的质量m＝1 kg，整个过程中小车受到的阻力保持不变，求：
图10
(1)小车所受的阻力的大小和小车在0～2 s内所受牵引力的大小；
(2)小车在2～10 s内牵引力的功率；
(3)小车在14 s内阻力做的功。
答案　(1)2 N　4 N　(2)16 W　(3)－144 J
解析　(1)小车在10 s后的加速度大小为a2＝＝ m/s2＝2 m/s2
所受阻力为f＝ma2＝2 N
在0～2 s内加速度为a1＝＝ m/s2＝2 m/s2
由牛顿第二定律有F－f＝ma1
解得F＝4 N。
(2)由7～10 s内小车做匀速运动可得，小车牵引力功率
P＝Fv＝fvm＝16 W。
(3)小车在0～2 s内位移为x1＝a1t＝4 m
在2～7 s内，由动能定理有Pt2－fx2＝mv－mv，其中t2＝5 s
解得在2～7 s内位移为x2＝28 m
在7～10 s内位移为x3＝vmt3＝24 m
在10～14 s内位移为x4＝vmt4＝16 m
小车运动的总位移为x＝x1＋x2＋x3＋x4＝72 m
小车在14 s内阻力做的功为W＝－fx＝－144 J。第1讲　功与功率
学习目标　1.理解功的概念，会判断正、负功，会计算功的大小。 2.理解功率的概念，会求解平均功率和瞬时功率。 3.会分析、解决机车启动的两类问题。
2.
1.思考判断
（1）只要物体受力的同时又发生了位移，就一定有力对物体做功。（　　）
（2）一个力对物体做了负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动。（　　）
（3）作用力做正功时，反作用力一定做负功。（　　）
（4）由P＝Fv既能求某一时刻的瞬时功率，也可以求平均功率。（　　）
（5）由P＝知，只要知道W和t就可求出任意时刻的功率。（　　）
（6）当F为恒力时，v增大，F的功率一定增大。（　　）
2.水平恒力F两次作用在同一静止物体上，使物体沿力的方向发生相同的位移，第一次是在光滑水平面上，第二次是在粗糙水平面上，两次力F做的功和平均功率的大小关系是（　　）
A.W1＝W2，P1＞P2
B.W1＞W2，P1＝P2
C.W1＞W2，P1＞P2
D.W1＝W2，P1＝P2
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考点一　恒力做功的分析和计算
1.判断力是否做功及做正、负功的方法
判断根据 适用情况
根据力和位移方向的夹角判断 常用于恒力做功的判断
根据力和瞬时速度方向的夹角判断 常用于质点做曲线运动
根据功能关系或能量守恒定律判断 常用于变力做功的判断
2.恒力做功的计算方法
（1）恒力做的功
直接用W＝Flcos α计算或用动能定理计算。
（2）合力做的功
方法一：先求合力F合，再用W合＝F合lcos α求功，尤其适用于已知质量m和加速度a的情况。
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合力做的功。
方法三：利用动能定理，合力做的功等于物体动能的变化量。
例1 （多选）（人教版必修第二册改编）一位质量m＝60 kg的滑雪运动员从高h＝10 m的斜坡自由下滑，如图1所示，如果运动
员在下滑过程中受到的阻力f＝50 N，斜坡的倾角θ＝30°，重力加速度g取10 m/s2，运动员滑至坡底的过程中，关于各力做功的情况，下列说法正确的是（　　）
图1
A.重力做的功为6 000 J
B.阻力做的功为1 000 J
C.支持力不做功
D.各力做的总功为零
听课笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.（多选）如图2所示，升降机内斜面的倾角θ＝30°，质量为2 kg的物体置于斜面上始终不发生相对滑动，在升降机以5 m/s2的加速度从静止开始匀加速上升4 s的过程中。g取10 m/s2，则（　　）
图2
A.斜面对物体的支持力做功900 J
B.斜面对物体的摩擦力做功－300 J
C.物体克服重力做功－800 J
D.合外力对物体做功400 J
考点二　变力做功的分析和计算
变力做功常见的五种计算方法
方法 情境说明 方法总结
微元法 质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做的功为Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff（Δx1＋Δx2＋Δx3＋…）＝Ff·2πR
等效转换法 恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做的功为W＝F·
平均力法 弹簧由伸长量为x1被继续拉至伸长量为x2的过程中，克服弹簧弹力做的功为W＝Δx＝·（x2－x1）
图像法 在F－x图像中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移上所做的功
动能定理法 用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做的功为WF，则有WF－mgL（1－cos θ）＝0，得WF＝mgL（1－cos θ）
例2 （多选）力F对物体所做的功可由公式W＝Flcos α求得。公式中力F必须是恒力。而实际问题中，有很多情况是变力在对物体做功。如图3，对于甲、乙、丙、丁四种情况下求解某个力所做的功，下列说法正确的是（　　）
图3
A.甲图中若F大小不变，物块从A到C过程中力F做的为W＝F（lOA－lOC）
B.乙图中，全过程中F做的总功为72 J
C.丙图中，绳长为R，若空气阻力f大小不变，小球从A运动到B过程中空气阻力做的功W＝πRf
D.图丁中，F始终保持水平，无论是F缓慢将小球从P拉到Q，还是F为恒力将小球从P拉到Q，F做的功都是W＝Flsin θ
除了以上求变力做功的方法外，还存在其他变力做功情况，如：
（1）用功率求功：机车类发动机保持功率P恒定做变速运动时，牵引力是变力，牵引力做的功W＝Pt。
（2）恒力做功和变力做功均可应用动能定理求解。　　
2.如图4所示，质量均为m的A、B两小物块用轻质弹簧相连，A放置在光滑水平地面上，一轻绳通过光滑的定滑轮与物块B相连（连接物块B的绳子恰好伸直但不绷紧），弹簧的劲度系数k。现用一水平向右的拉力F作用在轻绳上，使物块B缓慢向上运动，已知重力加速度为g，当A物块恰好离开地面时，F所做功为（　　）
图4
A.F B.F
C. D.
3.（2024·山东威海模拟）水平桌面上，长6 m的轻绳一端固定于O点，如图5所示（俯视图），另一端系一质量m＝2.0 kg的小球。现对小球施加一个沿桌面大小不变的力F＝10 N，F拉着物体从M点运动到N点，F的方向始终与小球的运动方向成37°角。已知小球与桌面间的动摩擦因数μ＝0.2，不计空气阻力，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则下列说法正确的是（　　）
图5
A.拉力F对小球做的功为16π J
B.拉力F对小球做的功为8π J
C.小球克服摩擦力做的功为16π J
D.小球克服摩擦力做的功为4π J
考点三　功率的分析与计算
1.公式P＝和P＝Fv的区别
P＝是功率的定义式，P＝Fv是功率的计算式。
2.平均功率的计算方法
（1）利用＝。
（2）利用＝F cos α，其中为物体运动的平均速度。
3.瞬时功率的计算方法
（1）利用公式P＝Fvcos α，其中v为t时刻的瞬时速度。
（2）P＝FvF，其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度。
（3）P＝Fvv，其中Fv为物体受到的外力F在速度v方向上的分力。
例3 （2023·山东卷，4）《天工开物》中记载了古人借助水力使用高转筒车往稻田里引水的场景。引水过程简化如下：两个半径约为R的水轮，以角速度ω匀速转动。水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有n个，与水轮间无相对滑动，每个水筒
离开水面时装有质量为m的水，其中的60%被输送到高出水面H处灌入稻田，当地的重力加速度为g，则筒车对灌入稻田的水做功的功率为（　　）
图6
A. B.
C. D.nmgωRH
听课笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4.如图7所示，质量为m＝2 kg的木块在倾角θ＝37°的斜面上由静止开始下滑，斜面足够长，木块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，则前
2 s内重力的平均功率和2 s末重力的瞬时功率分别为（　　）
图7
A.48 W　24 W B.24 W　48 W
C.24 W　12 W D.12 W　24 W
考点四　机车启动问题
两种启动方式
两种方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动
P－t图像 和 v－t图像
OA段 过程 分析 v↑ F＝↓ a＝↓ a＝不变 F不变，v↑ P＝Fv↑直到P＝P额＝Fv1
运动 性质 加速度减小的加速直线运动 匀加速直线运动，维持时间t1＝
AB段 过程 分析 F＝F阻 a＝0 vm＝ v↑ F＝↓ a＝↓
运动 性质 以vm做匀速直线运动 加速度减小的加速直线运动
BC段 过程 分析 F＝F阻 a＝0 vm＝
运动 性质 以vm做匀速直线运动
转折点 在转折点A，牵引力与阻力大小相等，此时加速度为零，速度达到最大，为vm＝ 在转折点A，功率达到额定功率，匀加速运动结束，此时v1＝；在转折点B，速度达到最大，为vm＝
角度　恒定功率启动问题
例4 （多选）发展新能源汽车是当前一项国家战略，更是世界发展的潮流。假设有一辆纯电动客车质量m＝1×103 kg，客车沿平直的公路以恒定功率P从静止开始启动，如图8所示为牵引力F与速度v的关系图像，加速过程在图中的B点结束，所用的时间t＝10 s，10 s后客车做匀速运动。若客车所受阻力始终不变，下列说法正确的是（　　）
图8
A.客车的功率P＝64 kW
B.图中A点对应的时刻为5 s
C.图中A点对应时刻客车的加速度大小为4 m/s2
D.0～10 s客车通过的路程为128 m
听课笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
角度　恒定加速度启动问题
例5 （多选）质量m＝200 kg的小型电动汽车在平直的公路上由静止启动，如图9甲表示汽车运动的速度与时间的关系，图乙表示汽车牵引力的功率与时间的关系。设汽车在运动过程中阻力不变，在18 s末汽车的速度恰好达到最大，则下列说法正确的是（　　）
图9
A.汽车受到的阻力为800 N
B.8～18 s过程中汽车牵引力逐渐增大
C.0～8 s过程中汽车牵引力做的功为6.4×104J
D.0～18 s过程中汽车的位移大小为127.5 m
听课笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
掌握三个重要关系式
1.无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝＝（式中Fmin为最小牵引力，其值等于阻力大小F阻）。
2.机车以恒定加速度启动的过程中，匀加速过程结束时，功率最大，但速度不是最大，v＝＜vm＝。
3.机车以恒定功率启动时，牵引力做的功W＝Pt。由动能定理得Pt－F阻x＝ΔEk，此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小。　　
5.（2023·湖北卷，4）两节动车的额定功率分别为P1和P2，在某平直铁轨上能达到的最大速度分别为v1和v2。现将它们编成动车组，设每节动车运行时受到的阻力在编组前后不变，则该动车组在此铁轨上能达到的最大速度为（　　）
A. B.
C. D.　　　　　第1练　功与功率
A级　基础对点练
对点练1　恒力做功的分析和计算
1.(多选)(2024·河南新乡高三期中)如图1所示，滑块A和B叠放在固定的斜面体上，它们从静止开始以相同的加速度一起沿斜面加速下滑。已知B与斜面体的接触面光滑，则在A、B下滑的过程中，下列说法正确的是(　　)
图1
A.B对A的支持力做负功
B.B对A的作用力不做功
C.A对B的摩擦力做正功
D.斜面体对B的支持力做负功
2.如图2所示，长为L的小车置于光滑的水平面上，小车前端放一小物块，用大小为F的水平力将小车向右拉动一段距离s，此时物块刚好滑到小车的左端。物块与小车间的摩擦力为Ff，在此过程中(　　)
图2
A.摩擦力对小物块做的功为Ffs
B.摩擦力对系统做的总功为0
C.力F对小车做的功为FL
D.小车克服摩擦力所做的功为Ffs
3.(2023·北京卷，11)如图3所示，一物体在力F作用下沿水平桌面做匀加速直线运动。已知物体质量为m，加速度大小为a，物体和桌面之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，在物体移动距离x的过程中(　　)
图3
A.摩擦力做功大小与F方向无关
B.合力做功大小与F方向有关
C.F为水平方向时，F做功为μmgx
D.F做功的最小值为max
对点练2　变力做功的分析和计算
4.(2023·新课标卷，15)无风时，雨滴受空气阻力的作用在地面附近会以恒定的速率竖直下落。一质量为m的雨滴在地面附近以速率v下落高度h的过程中，克服空气阻力做的功为(重力加速度大小为g)(　　)
A.0 B.mgh
C.mv2－mgh D.mv2＋mgh
5.如图4所示，一轻质立方体被从水表面缓慢压入水中，直至其上表面没入水中，已知立方体的棱长为L，水的密度为ρ，重力加速度为g，不考虑水面高度的变化。该过程中，立方体克服水的浮力所做的功为(　　)
图4
A. B.
C.ρgL2 D.ρgL4
对点练3　功率的分析与计算
6.(2024·山东济宁高三期末)如图5所示，在某次体能训练中，运动员身上系着轻绳拖着轮胎从静止开始沿着笔直的跑道匀加速奔跑，2 s末轮胎的速度大小为
4 m/s。已知绳与地面的夹角θ＝37°，绳对轮胎的拉力大小为50 N，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。下列说法正确的是(　　)
图5
A.前2 s内绳子拉力对轮胎所做的功为200 J
B.第2 s内运动员克服绳子拉力所做的功为120 J
C.前2 s内绳子拉力对轮胎做功的平均功率为100 W
D.第2 s末绳子拉力对轮胎做功的瞬时功率为200 W
7.(2023·山东卷，8)质量为M的玩具动力小车在水平面上运动时，牵引力F和受到的阻力f均为恒力。如图6所示，小车用一根不可伸长的轻绳拉着质量为m的物体由静止开始运动。当小车拖动物体行驶的位移为s1时，小车达到额定功率，轻绳从物体上脱落，物体继续滑行一段时间后停下，其总位移为s2。物体与地面间的动摩擦因数不变，不计空气阻力。小车的额定功率P0为(　　)
图6
A.
B.
C.
D.
对点练4　机车启动问题
8.复兴号动车在世界上首次实现速度350 km/h自动驾驶功能，成为我国高铁自主创新的又一重大标志性成果。一列质量为m的动车，初速度为v0，以恒定功率P在平直轨道上运动，经时间t达到该功率下的最大速度vm，设动车行驶过程所受到的阻力f保持不变。动车在时间t内(　　)
图7
A.做匀加速直线运动
B.牵引力的功率P＝fvm
C.当动车速度为时，其加速度为
D.牵引力做功W＝mv－mv
9.(多选)下列各图是反映汽车(额定功率为P额)从静止开始匀加速启动，最后做匀速直线运动的过程中，其速度随时间以及加速度、牵引力和功率随速度变化的图像，其中正确的是(　　)
B级　综合提升练
10.(多选)(2024·四川成都模拟)如图8甲所示，有长度均为x0的AB、BC两段水平路面，AB段光滑，BC段粗糙。在A处静止的小物体质量为m(可视为质点)在水平恒力F作用下，从A点开始运动，到C点恰好停下，BC段动摩擦因数自左往右逐渐增大，具体变化如图乙所示，重力加速度为g。下列判断正确的是(　　)
图8
A.水平恒力F的大小F＝μ0mg
B.水平恒力F在AB、BC两段路面上做功不相等
C.水平恒力F在AB段的平均功率等于BC段的平均功率
D.水平恒力F在AB段中间时刻瞬时功率小于在BC段中间时刻瞬时功率
11.(2024·山东济南模拟)一辆玩具赛车在水平直线跑道上由静止开始以10 kW的恒定功率加速前进，赛车瞬时速度的倒数和瞬时加速度a的关系如图9所示，已知赛车在跑道上所受到的阻力不变，赛车到达终点前已达到最大速度。下列说法中正确的是(　　)
图9
A.赛车做加速度逐渐增大的加速直线运动
B.赛车的质量为20 kg
C.赛车所受阻力大小为500 N
D.赛车速度大小为5 m/s时，加速度大小为50 m/s2
C级　培优加强练
12.(2024·山东临沂高三月考)某学校科技小组对一辆自制小遥控车的性能进行研究，他们让小车在水平地面上由静止开始运动，将小车运动的全过程记录下来，通过数据处理得到如图10所示的v－t图像。已知小车在0～2 s内做匀加速直线运动，2～10 s内小车牵引力的功率保持不变，在10 s末停止遥控，关闭电动机，小车的质量m＝1 kg，整个过程中小车受到的阻力保持不变，求：
图10
(1)小车所受的阻力的大小和小车在0～2 s内所受牵引力的大小；
(2)小车在2～10 s内牵引力的功率；
(3)小车在14 s内阻力做的功。
第1练　功与功率
1.AB　[B对A的支持力竖直向上，与A、B的运动方向之间的夹角大于90°，B对A的支持力做负功，A正确；以A、B整体为研究对象，应用牛顿第二定律得(mA＋mB)gsin θ＝(mA＋mB)a，解得a＝gsin θ，隔离A分析，如图所示，则mAgsin θ＋Ffcos θ－FNsin θ＝mAa，得Ffcos θ＝FNsin θ，Ff与FN的合力方向与斜面垂直，所以B对A的作用力不做功，B正确；A对B的摩擦力沿着水平面向右，与运动方向之间的夹角大于90°，则A对B的摩擦力做负功，C错误；斜面体对B的支持力与斜面体垂直，即与B下滑的速度方向垂直，不做功，D错误。]
2.D　[由题意知，小物块对地的位移方向向右，大小为s－L，小物块受到的摩擦力方向水平向右，则摩擦力对小物块做的功为W1＝Ff(s－L)，故A错误；物块相对于小车的位移大小为L，则摩擦力对系统做的总功为－FfL，故B错误；小车对地位移大小为s，则力F对小车做的功为Fs，故C错误；小车受到的摩擦力方向水平向左，位移方向向右，大小为s，则小车克服摩擦力所做的功为Ffs，故D正确。]
3.D　[设力F与水平方向的夹角为θ，则摩擦力为Ff＝μ(mg－Fsin θ)，摩擦力做的功Wf＝－μ(mg－Fsin θ)x，则摩擦力做功与F的方向有关，选项A错误；合力做功W＝F合x＝max，可知合力做功与力F方向无关，选项B错误；当力F水平时，有F－μmg＝ma，力F做功为WF＝Fx＝(ma＋μmg)x，选项C错误；因合外力做功为max大小一定，而合外力做的功等于力F与摩擦力Ff做功的代数和，而当Fsin θ＝mg时，摩擦力Ff＝0，则此时摩擦力做功为零，此时力F做功最小，最小值为max，选项D正确。]
4.B　[雨滴在地面附近下落过程中做匀速运动，对雨滴下落高度h的过程，由动能定理有mgh－Wf＝0，即Wf＝mgh，B正确，A、C、D错误。]
5.B　[设浸入的深度为h，则浮力的大小为F＝ρgV＝ρgL2h，可见浮力与浸入水中的深度成正比。由平均值法知克服浮力做的功为W＝L＝L＝，故B正确。]
6.B　[前2 s内的位移为x＝t＝4 m，前2 s内绳子拉力对轮胎所做的功为W＝Fxcos 37°＝50×4×0.8 J＝160 J，故A错误；根据v＝at，解得a＝2 m/s2，第2 s内的位移为x′＝x－at＝3 m，第2 s内运动员克服绳子拉力所做的功为W′＝Fx′cos 37°＝50×3×0.8 J＝120 J，故B正确；前2 s内绳子拉力对轮胎做功的平均功率为＝＝80 W，故C错误；第2 s末绳子拉力对轮胎做功的瞬时功率P＝Fvcos 37°＝50×4×0.8 W＝160 W，故D错误。]
7.A　[设物体与地面间的动摩擦因数为μ，小车拖动物体行驶的位移为s1的过程中，有F－f－μmg＝(m＋M)a，v2＝2as1，P0＝Fv；轻绳从物体上脱落后，a2＝μg，v2＝2a2(s2－s1)，联立解得P0＝，故A正确。]
8.B　[动车以恒定功率启动，由P＝F牵v可知动车的速度增大，则牵引力减小，由牛顿第二定律F牵－f＝ma可得动车的加速度逐渐减小，A错误；当动车的加速度为零时，即牵引力等于阻力时，动车的速度最大，则P＝fvm，B正确；当动车速度为时，牵引力为F牵′＝＝＝3f，根据牛顿第二定律可得F牵′－f＝ma1，则此时其加速度为a1＝，C错误；设动车在时间t内的位移为x，由动能定理得W－fx＝mv－mv，则牵引力所做的功为W＝fx＋mv－mv，D错误。]
9.ACD　[汽车从静止开始匀加速启动，根据牛顿第二定律可得F0－f＝ma，可知牵引力在匀加速阶段保持不变，由功率P＝F0v，可知在匀加速阶段，功率与速度成正比，随着速度的增大而增大，当P＝P额时，功率保持不变，设此时的速度为v1，则有v1＝＝，之后牵引力减小，加速度减小，速度继续增加，汽车做加速度逐渐减小的加速运动，当牵引力F＝f时，加速度为零，汽车速度达到最大vm，汽车做匀速直线运动，则有vm＝＝，由以上分析可知，A、C、D正确，B错误。]
10.AD　[根据动能定理，在AC段水平恒力F做的功等于克服摩擦力做的功，有F·2x0－μ0mgx0＝0，解得F＝μ0mg，故A正确；F在AB、BC两段做的功相同，故B错误；小物体在AB段做匀加速直线运动，在BC段先做加速度减小的加速运动再做加速度增加的减速运动，在AB段运动的时间大于在BC段运动的时间，则水平恒力F在AB段的平均功率小于BC段的平均功率，故C错误；小物体在AB段中间时刻的瞬时速度小于在BC段中间时刻的瞬时速度，则水平恒力F在AB段中间时刻瞬时功率小于在BC段中间时刻瞬时功率，故D正确。]
11.C　[由牛顿第二定律有－f＝ma，赛车做加速度逐渐减小的加速直线运动，整理得＝a＋，可知图像的斜率恒定为，与纵轴的截距为，结合图像可得＝0.05 s/m，＝ s3 /m2，解得m＝25 kg，f＝500 N，代入v＝5 m/s，解得a＝60 m/s2，故C正确，A、B、D错误。]
12.(1)2 N　4 N　(2)16 W　(3)－144 J
解析　(1)小车在10 s后的加速度大小为
a2＝＝ m/s2＝2 m/s2
所受阻力为f＝ma2＝2 N
在0～2 s内加速度为a1＝＝ m/s2＝2 m/s2
由牛顿第二定律有F－f＝ma1
解得F＝4 N。
(2)由7～10 s内小车做匀速运动可得，小车牵引力功率
P＝Fv＝fvm＝16 W。
(3)小车在0～2 s内位移为
x1＝a1t＝4 m
在2～7 s内，由动能定理有Pt2－fx2＝mv－mv，其中t2＝5 s
解得在2～7 s内位移为x2＝28 m
在7～10 s内位移为x3＝vmt3＝24 m
在10～14 s内位移为x4＝vmt4＝16 m
小车运动的总位移为
x＝x1＋x2＋x3＋x4＝72 m
小车在14 s内阻力做的功为W＝－fx＝－144 J。(共68张PPT)
第1讲　功与功率
第五章　机械能守恒定律
理解功的概念，会判断正、负功，会计算功的大小。
理解功率的概念，会求解平均功率和瞬时功率。
会分析、解决机车启动的两类问题。
学习目标
目 录
CONTENTS
夯实必备知识
01
研透核心考点
02
提升素养能力
03
夯实必备知识
1
力的方向
力的方向
量度
位移
恒力
正功
负功
克服
不做功
比值
快慢
平均功率
平均
瞬时
1.思考判断
(1)只要物体受力的同时又发生了位移，就一定有力对物体做功。( )
(2)一个力对物体做了负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动。( )
(3)作用力做正功时，反作用力一定做负功。( )
(4)由P＝Fv既能求某一时刻的瞬时功率，也可以求平均功率。( )
×
√
×
√
×
×
2.水平恒力F两次作用在同一静止物体上，使物体沿力的方向发生相同的位移，第一次是在光滑水平面上，第二次是在粗糙水平面上，两次力F做的功和平均功率的大小关系是(　　)
A.W1＝W2，P1＞P2 B.W1＞W2，P1＝P2
C.W1＞W2，P1＞P2 D.W1＝W2，P1＝P2
A
研透核心考点
2
考点二　变力做功的分析和计算
考点一　恒力做功的分析和计算
考点三　功率的分析与计算
考点四　机车启动问题
1.判断力是否做功及做正、负功的方法
考点一　恒力做功的分析和计算
判断根据 适用情况
根据力和位移方向的夹角判断 常用于恒力做功的判断
根据力和瞬时速度方向的夹角判断 常用于质点做曲线运动
根据功能关系或能量守恒定律判断 常用于变力做功的判断
2.恒力做功的计算方法
(1)恒力做的功
直接用W＝Flcos α计算或用动能定理计算。
(2)合力做的功
方法一：先求合力F合，再用W合＝F合lcos α求功，尤其适用于已知质量m和加速度a的情况。
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合力做的功。
方法三：利用动能定理，合力做的功等于物体动能的变化量。
AC
例1 (多选)(人教版必修第二册改编)一位质量m＝60 kg的滑雪运动员从高h＝10 m的斜坡自由下滑，如图1所示，如果运动员在下滑过程中受到的阻力f＝50 N，斜坡的倾角θ＝30°，重力加速度g取10 m/s2，运动员滑至坡底的过程中，关于各力做功的情况，下列说法正确的是(　　)
图1
A.重力做的功为6 000 J B.阻力做的功为1 000 J
C.支持力不做功 D.各力做的总功为零
AD
1.(多选)如图2所示，升降机内斜面的倾角θ＝30°，质量为2 kg的物体置于斜面上始终不发生相对滑动，在升降机以5 m/s2的加速度从静止开始匀加速上升4 s的过程中。g取10 m/s2，则(　　)
图2
A.斜面对物体的支持力做功900 J
B.斜面对物体的摩擦力做功－300 J
C.物体克服重力做功－800 J
D.合外力对物体做功400 J
变力做功常见的五种计算方法
考点二　变力做功的分析和计算
方法 情境说明 方法总结
微元法 质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做的功为Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR
图像法 在F－x图像中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移上所做的功
动能定 理法 用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做的功为WF，则有WF－mgL(1－cos θ)＝0，得WF＝mgL(1－cos θ)
例2 (多选)力F对物体所做的功可由公式W＝Flcos α求得。公式中力F必须是恒力。而实际问题中，有很多情况是变力在对物体做功。如图3，对于甲、乙、丙、丁四种情况下求解某个力所做的功，下列说法正确的是(　　)
图3
解析　等效转换法：甲图中因力对绳做的功等于绳对物块做的功，则物块从A到C过程中绳对物块做的功为W＝F(lOA－lOC)，故A正确。
提示：轻绳对物体的拉力一直在变化，但轻绳拉力大小不变，可将变力做功问题转化为恒力做功来处理，轻绳对物块拉力做的功和恒力F做的功相等。
图像法：乙图中，F－x图线与坐标轴围成的面积代表功，则全过程中F做的总功为W＝15×6 J＋(－3)×6 J＝72 J，故B正确。
题
干
动能定理法：图丁中，F始终保持水平，当F为恒力时将小球从P拉到Q，F做的功是W＝Flsin θ，而F缓慢将小球从P拉到Q，F为水平方向的变力，F做的功不能直接用力乘以位移计算，要根据动能定理求解力F做功，故D错误。
答案　AB
题
干
除了以上求变力做功的方法外，还存在其他变力做功情况，如：
(1)用功率求功：机车类发动机保持功率P恒定做变速运动时，牵引力是变力，牵引力做的功W＝Pt。
(2)恒力做功和变力做功均可应用动能定理求解。　　
D
2.如图4所示，质量均为m的A、B两小物块用轻质弹簧相连，A放置在光滑水平地面上，一轻绳通过光滑的定滑轮与物块B相连(连接物块B的绳子恰好伸直但不绷紧)，弹簧的劲度系数k。现用一水平向右的拉力F作用在轻绳上，使物块B缓慢向上运动，已知重力加速度为g，当A物块恰好离开地面时，F所做功为(　　)
图4
3.(2024·山东威海模拟)水平桌面上，长6 m的轻绳一端固定于O点，如图5所示(俯视图)，另一端系一质量m＝2.0 kg的小球。现对小球施加一个沿桌面大小不变的力F＝10 N，F拉着物体从M点运动到N点，F的方向始终与小球的运动方向成37°角。已知小球与桌面间的动摩擦因数μ＝0.2，不计空气阻力，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则下列说法正确的是(　　)
图5
A.拉力F对小球做的功为16π J
B.拉力F对小球做的功为8π J
C.小球克服摩擦力做的功为16π J
D.小球克服摩擦力做的功为4π J
A
考点三　功率的分析与计算
3.瞬时功率的计算方法
(1)利用公式P＝Fvcos α，其中v为t时刻的瞬时速度。
(2)P＝FvF，其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度。
(3)P＝Fvv，其中Fv为物体受到的外力F在速度v方向上的分力。
B
例3 (2023·山东卷，4)《天工开物》中记载了古人借助水力使用高转筒车往稻田里引水的场景。引水过程简化如下：两个半径约为R的水轮，以角速度ω匀速转动。水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有n个，与水轮间无相对滑动，每个水筒离开水面时装有质量为m的水，其中的60%被输送到高出水面H处灌入稻田，当地的重力加速度为g，则筒车对灌入稻田的水做功的功率为(　　)
图6
B
4.如图7所示，质量为m＝2 kg的木块在倾角θ＝37°的斜面上由静止开始下滑，斜面足够长，木块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，则前2 s内重力的平均功率和2 s末重力的瞬时功率分别为(　　)
图7
A.48 W　24 W B.24 W　48 W
C.24 W　12 W D.12 W　24 W
两种启动方式
考点四　机车启动问题
两种方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动
P－t图像 和 v－t图像
ACD
例4 (多选)发展新能源汽车是当前一项国家战略，更是世界发展的潮流。假设有一辆纯电动客车质量m＝1×103 kg，客车沿平直的公路以恒定功率P从静止开始启动，如图8所示为牵引力F与速度v的关系图像，加速过程在图中的B点结束，所用的时间t＝10 s，10 s后客车做匀速运动。若客车所受阻力始终不变，下列说法正确的是(　 　)
角度　　恒定功率启动问题
图8
A.客车的功率P＝64 kW
B.图中A点对应的时刻为5 s
C.图中A点对应时刻客车的加速度大小为4 m/s2
D.0～10 s客车通过的路程为128 m
解析　客车以恒定功率P启动，由图可得P＝Fv＝64 kW，故A正确；客车以额定功率启动，作出其v－t图像如图曲线所示，如果客车是做初速度为零的匀加速直线运动，则v－t图像如图中的直线所示，当速度为8 m/s时直线对应的时间刚好是5 s，而A点对应曲线的时间tA小于5 s，故B错误；10 s后客车做匀速运动，此时客车受到的牵引力与阻
AD
例5 (多选)质量m＝200 kg的小型电动汽车在平直的公路上由静止启动，如图9甲表示汽车运动的速度与时间的关系，图乙表示汽车牵引力的功率与时间的关系。设汽车在运动过程中阻力不变，在18 s末汽车的速度恰好达到最大，则下列说法正确的是(　　)
角度　　恒定加速度启动问题
图9
A.汽车受到的阻力为800 N
B.8～18 s过程中汽车牵引力逐渐增大
C.0～8 s过程中汽车牵引力做的功为6.4×104J
D.0～18 s过程中汽车的位移大小为127.5 m
题
干
3.机车以恒定功率启动时，牵引力做的功W＝Pt。由动能定理得Pt－F阻x＝ΔEk，此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小。
D
5.(2023·湖北卷，4)两节动车的额定功率分别为P1和P2，在某平直铁轨上能达到的最大速度分别为v1和v2。现将它们编成动车组，设每节动车运行时受到的阻力在编组前后不变，则该动车组在此铁轨上能达到的最大速度为(　　)
提升素养能力
3
AB
对点练1　恒力做功的分析和计算
1.(多选)(2024·河南新乡高三期中)如图1所示，滑块A和B叠放在固定的斜面体上，它们从静止开始以相同的加速度一起沿斜面加速下滑。已知B与斜面体的接触面光滑，则在A、B下滑的过程中，下列说法正确的是(　　)
A级　基础对点练
图1
A.B对A的支持力做负功
B.B对A的作用力不做功
C.A对B的摩擦力做正功
D.斜面体对B的支持力做负功
解析　B对A的支持力竖直向上，与A、B的运动方向之间的夹角大于90°，B对A的支持力做负功，A正确；以A、B整体为研究对象，应用牛顿第二定律得(mA＋mB)gsin θ＝(mA＋mB)a，解得a＝gsin θ，隔离A分析，如图所示，则mAgsin θ＋Ffcos θ－FNsin θ＝mAa，得Ffcos θ＝FNsin θ，Ff与FN的合力方向与斜面垂直，所以B对A的作用力不做功，B正确；A对B的摩擦力沿着水平面向右，与运动方向之间的夹角大于90°，则A对B的摩擦力做负功，C错误；斜面体对B的支持力与斜面体垂直，即与B下滑的速度方向垂直，不做功，D错误。
D
2.如图2所示，长为L的小车置于光滑的水平面上，小车前端放一小物块，用大小为F的水平力将小车向右拉动一段距离s，此时物块刚好滑到小车的左端。物块与小车间的摩擦力为Ff，在此过程中(　　)
图2
A.摩擦力对小物块做的功为Ffs B.摩擦力对系统做的总功为0
C.力F对小车做的功为FL D.小车克服摩擦力所做的功为Ffs
解析　由题意知，小物块对地的位移方向向右，大小为s－L，小物块受到的摩擦力方向水平向右，则摩擦力对小物块做的功为W1＝Ff(s－L)，故A错误；物块相对于小车的位移大小为L，则摩擦力对系统做的总功为－FfL，故B错误；小车对地位移大小为s，则力F对小车做的功为Fs，故C错误；小车受到的摩擦力方向水平向左，位移方向向右，大小为s，则小车克服摩擦力所做的功为Ffs，故D正确。
D
3.(2023·北京卷，11)如图3所示，一物体在力F作用下沿水平桌面做匀加速直线运动。已知物体质量为m，加速度大小为a，物体和桌面之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，在物体移动距离x的过程中(　　)
图3
A.摩擦力做功大小与F方向无关
B.合力做功大小与F方向有关
C.F为水平方向时，F做功为μmgx
D.F做功的最小值为max
解析　设力F与水平方向的夹角为θ，则摩擦力为Ff＝μ(mg－Fsin θ)，摩擦力做的功Wf＝－μ(mg－Fsin θ)x，则摩擦力做功与F的方向有关，选项A错误；合力做功W＝F合x＝max，可知合力做功与力F方向无关，选项B错误；当力F水平时，有F－μmg＝ma，力F做功为WF＝Fx＝(ma＋μmg)x，选项C错误；因合外力做功为max大小一定，而合外力做的功等于力F与摩擦力Ff做功的代数和，而当Fsin θ＝mg时，摩擦力Ff＝0，则此时摩擦力做功为零，此时力F做功最小，最小值为max，选项D正确。
B
对点练2　变力做功的分析和计算
4.(2023·新课标卷，15)无风时，雨滴受空气阻力的作用在地面附近会以恒定的速率竖直下落。一质量为m的雨滴在地面附近以速率v下落高度h的过程中，克服空气阻力做的功为(重力加速度大小为g)(　　)
解析　雨滴在地面附近下落过程中做匀速运动，对雨滴下落高度h的过程，由动能定理有mgh－Wf＝0，即Wf＝mgh，B正确，A、C、D错误。
B
5.如图4所示，一轻质立方体被从水表面缓慢压入水中，直至其上表面没入水中，已知立方体的棱长为L，水的密度为ρ，重力加速度为g，不考虑水面高度的变化。该过程中，立方体克服水的浮力所做的功为(　　)
图4
B
对点练3　功率的分析与计算
6.(2024·山东济宁高三期末)如图5所示，在某次体能训练中，运动员身上系着轻绳拖着轮胎从静止开始沿着笔直的跑道匀加速奔跑，2 s末轮胎的速度大小为4 m/s。已知绳与地面的夹角θ＝37°，绳对轮胎的拉力大小为50 N，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。下列说法正确的是(　　)
图5
A.前2 s内绳子拉力对轮胎所做的功为200 J
B.第2 s内运动员克服绳子拉力所做的功为120 J
C.前2 s内绳子拉力对轮胎做功的平均功率为100 W
D.第2 s末绳子拉力对轮胎做功的瞬时功率为200 W
A
7.(2023·山东卷，8)质量为M的玩具动力小车在水平面上运动时，牵引力F和受到的阻力f均为恒力。如图6所示，小车用一根不可伸长的轻绳拉着质量为m的物体由静止开始运动。当小车拖动物体行驶的位移为s1时，小车达到额定功率，轻绳从物体上脱落，物体继续滑行一段时间后停下，其总位移为s2。物体与地面间的动摩擦因数不变，不计空气阻力。小车的额定功率P0为(　　)
图6
B
对点练4　机车启动问题
8.复兴号动车在世界上首次实现速度350 km/h自动驾驶功能，成为我国高铁自主创新的又一重大标志性成果。一列质量为m的动车，初速度为v0，以恒定功率P在平直轨道上运动，经时间t达到该功率下的最大速度vm，设动车行驶过程所受到的阻力f保持不变。动车在时间t内(　　)
图7
解析　动车以恒定功率启动，由P＝F牵v可知动车的速度增大，则牵引力减小，由牛顿第二定律F牵－f＝ma可得动车的加速度逐渐减小，A错误；当动车的加速度为零时，即牵引力等于阻力时，动车的速度
ACD
9.(多选)下列各图是反映汽车(额定功率为P额)从静止开始匀加速启动，最后做匀速直线运动的过程中，其速度随时间以及加速度、牵引力和功率随速度变化的图像，其中正确的是(　 　)
解析　汽车从静止开始匀加速启动，根据牛顿第二定律可得F0－f＝ma，可知牵引力在匀加速阶段保持不变，由功率P＝F0v，可知在匀加速阶段，功率与速度成正比，随着速度的增大而增大，当P＝P额时，功率保持不变，设此时
AD
B级　综合提升练
图8
10.(多选)(2024·四川成都模拟)如图8甲所示，有长度均为x0的AB、BC两段水平路面，AB段光滑，BC段粗糙。在A处静止的小物体质量为m(可视为质点)在水平恒力F作用下，从A点开始运动，到C点恰好停下，BC段动摩擦因数自左往右逐渐增大，具体变化如图乙所示，重力加速度为g。下列判断正确的是(　　)
B.水平恒力F在AB、BC两段路面上做功不相等
C.水平恒力F在AB段的平均功率等于BC段的平均功率
D.水平恒力F在AB段中间时刻
瞬时功率小于在BC段中间时刻
瞬时功率
相同，故B错误；小物体在AB段做匀加速直线运动，在BC段先做加速度减小的加速运动再做加速度增加的减速运动，在AB段运动的时间大于在BC段运动的时间，则水平恒力F在AB段的平均功率小于BC段的平均功率，故C错误；小物体在AB段中间时刻的瞬时速度小于在BC段中间时刻的瞬时速度，则水平恒力F在AB段中间时刻瞬时功率小于在BC段中间时刻瞬时功率，故D正确。
C
图9
A.赛车做加速度逐渐增大的加速直线运动
B.赛车的质量为20 kg
C.赛车所受阻力大小为500 N
D.赛车速度大小为5 m/s时，加速度大小为50 m/s2
C级　培优加强练
图10
12.(2024·山东临沂高三月考)某学校科技小组对一辆自制小遥控车的性能进行研究，他们让小车在水平地面上由静止开始运动，将小车运动的全过程记录下来，通过数据处理得到如图10所示的v－t图像。已知小车在0～2 s内做匀加速直线运动，2～10 s内小车牵引力的功率保持不变，在10 s末停止遥控，关闭电动机，小车的质量m＝1 kg，整个过程中小车受到的阻力保持不变，求：
(1)小车所受的阻力的大小和小车在0～2 s内所受牵引力的大小；
(2)小车在2～10 s内牵引力的功率；
(3)小车在14 s内阻力做的功。
答案　(1)2 N　4 N　(2)16 W　(3)－144 J
所受阻力为f＝ma2＝2 N
由牛顿第二定律有F－f＝ma1
解得F＝4 N。
(2)由7～10 s内小车做匀速运动可得，小车牵引力功率
P＝Fv＝fvm＝16 W。
小车运动的总位移为x＝x1＋x2＋x3＋x4＝72 m
小车在14 s内阻力做的功为W＝－fx＝－144 J。
本节内容结束
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