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第3讲　机械能守恒定律及其应用
学习目标　1.理解重力势能和弹性势能，知道机械能守恒的条件。 2.会判断研究对象在某一过程机械能是否守恒。 3.会用机械能守恒定律解决单个物体或系统的机械能守恒问题。
2.
4.
1.思考判断
(1)重力势能的变化量与零势能参考面的选取无关。(√)
(2)被举到高处的物体重力势能一定不为零。(×)
(3)发生弹性形变的物体都具有弹性势能。(√)
(4)弹力做正功，弹性势能一定增加。(×)
(5)物体所受的合外力为零，物体的机械能一定守恒。(×)
(6)物体的速度增大时，其机械能可能减小。(√)
(7)物体除受重力外，还受其他力，但其他力不做功，则物体的机械能一定守恒。(√)
2.如图所示是“弹簧跳跳杆”，杆的上下两部分通过弹簧连接。当人和跳杆从一定高度由静止竖直下落时，弹簧先压缩后弹起。则人从静止竖直下落到最低点的过程中(　　)
A.弹簧弹性势能一直增加
B.杆下端刚触地时人的动能最大
C.人的重力势能一直减小
D.人的机械能保持不变
答案　C
考点一　机械能守恒的理解与判断
例1 (多选)在如图1所示的物理过程示意图中，甲图中一端固定有小球的轻杆从右偏上30°角释放后绕光滑支点摆动；乙图中轻绳一端连着一小球，从右偏上30°角处自由释放；丙图中物体A正在压缩弹簧；丁图中不计任何阻力和定滑轮质量，A加速下落，B加速上升。关于这几个物理过程(空气阻力忽略不计)，下列判断中正确的是(　　)
图1
A.甲图中小球机械能守恒
B.乙图中小球机械能守恒
C.丙图中物体A的机械能守恒
D.丁图中A、B组成的系统机械能守恒
答案　AD
解析　甲图过程中轻杆对小球不做功，只有重力做功，小球的机械能守恒，故A正确；乙图过程中小球在绳子绷紧的瞬间有动能损失，机械能不守恒，故B错误；丙图中重力和系统内弹力做功，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体A的机械能不守恒，故C错误；丁图中绳子张力对A做负功，对B做正功，代数和为零，A、B组成的系统机械能守恒，故D正确。
方法点拨　判断机械能守恒的三种方法
1.(2023·全国甲卷，14)一同学将铅球水平推出，不计空气阻力和转动的影响，铅球在平抛运动过程中(　　)
A.机械能一直增加 B.加速度保持不变
C.速度大小保持不变 D.被推出后瞬间动能最大
答案　B
解析　铅球水平抛出，只受重力作用，加速度始终为重力加速度g，机械能守恒，A错误，B正确；平抛运动过程中，铅球的水平方向分速度保持不变，竖直方向分速度变大，则铅球运动过程中速度一直增大，动能也一直增大，C、D错误。
2.(多选)如图2所示，将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上，槽的左侧有一固定的竖直墙壁(不与槽粘连)。现让一小球自左端槽口A点的正上方由静止开始下落，从A点与半圆形槽相切进入槽内，则下列说法正确的是(　　)
图2
A.小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功
B.小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，小球的机械能守恒
C.小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽组成的系统机械能守恒
D.小球从下落到从右侧离开半圆形槽的过程中，小球的机械能守恒
答案　BC
解析　小球从半圆形槽的最低点运动到半圆形槽右侧的过程中，小球对半圆形槽的力使半圆形槽向右运动，半圆形槽对小球的支持力对小球做负功，小球的机械能不守恒，A、D错误；小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，半圆形槽静止，则只有重力做功，小球的机械能守恒，B正确；小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽组成的系统只有重力做功，机械能守恒，C正确。
考点二　单物体的机械能守恒问题
1.表达式
2.一般步骤
例2 (2022·全国乙卷，16)如图3，固定于竖直平面内的光滑大圆环上套有一个小环，小环从大圆环顶端P点由静止开始自由下滑，在下滑过程中，小环的速率正比于(　　)
图3
A.它滑过的弧长 B.它下降的高度
C.它到P点的距离 D.它与P点的连线扫过的面积
答案　C
解析　如图所示，设小环下降的高度为h，大圆环的半径为R，小环到P点的距离为L，根据机械能守恒定律得mgh＝mv2
解得v＝，故B错误；
由几何关系可得h＝Lsin θ
sin θ＝
联立可得h＝，则v＝L
故C正确，A、D错误。
3.(2024·江西名校联考)一滑雪坡由AB和BC组成，AB为斜坡，BC是圆弧，C端水平。如图4所示，运动员连同滑雪装备的总质量m＝75 kg，从A点由静止滑下，通过C点时速度大小v＝12 m/s，之后落到水平地面DE上。A、C两点的高度差h1＝9.8 m，竖直台阶CD的高度h2＝5 m。取地面为参考平面，重力加速度大小g＝10 m/s2，不计空气阻力，则运动员(含装备)落地前瞬间的机械能为(　　)
图4
A.11 100 J B.9 150 J
C.7 350 J D.5 400 J
答案　B
解析　根据题意可知，运动员在C点的机械能为E＝mv2＋mgh2＝9 150 J，从C点离开后，运动员在空中只有重力对其做功，机械能守恒，则可知运动员(含装备)落地前瞬间的机械能为9 150 J，故B正确。
考点三　多物体的机械能守恒问题
1.解决多物体系统机械能守恒的注意点
(1)要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒。
(2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。
(3)列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。
2.常见的三种模型
模型　轻绳连接的物体系统机械能守恒
常见 情景
三点 提醒 ①分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。 ②用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。 ③对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒。
例3 如图5所示，固定的水平长杆上套有质量为m的小物块A，跨过轻质定滑轮(可视为质点O)的细线一端连接A，另一端悬挂质量为m的小物块B(B靠近定滑轮)，滑轮到杆的距离OC＝h，开始时A位于P点，PO与水平方向的夹角为30°，重力加速度为g，不计一切摩擦。现将A、B由静止释放，则当AO间的细线与水平方向的夹角为60°时，小物块B的速度大小为(　　)
图5
A. B.
C. D.
答案　D
解析　将A、B由静止释放，当AO间的细线与水平方向的夹角为60°时，B下落的高度H＝－＝2(－1)h，由A和B组成的系统机械能守恒得mgH＝mv＋mv，A沿细线方向的分速度与B的速度大小相等，则有vB＝vAcos 60°，解得vB＝，故D正确。
模型　轻杆连接的物体系统机械能守恒
常见 情景
模型 特点 ①平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等。 ②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。 ③对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒。
例4 如图6所示，竖直平面内固定两根足够长的细杆L1、L2，两杆不接触，且两杆间的距离忽略不计。两个小球a、b(视为质点)质量均为m，a球套在竖直杆L1上，b球套在水平杆L2上，a、b通过铰链用长度为l的刚性轻杆L连接。将a球从图示位置(轻杆与L2杆夹角为45°)由静止释放，不计一切摩擦，已知重力加速度为g。在此后的运动过程中，下列说法中正确的是(　　)
图6
A.a球和b球所组成的系统机械能不守恒
B.b球的速度为零时，a球的加速度大小为零
C.b球的最大速度为
D.a球的最大速度为
答案　C
解析　对于a球和b球组成的系统，除重力外没有其他力做功，因此a球和b球所组成的系统机械能守恒，A错误；设轻杆L和水平杆L2的夹角为θ，由于两球沿杆方向的分速度大小相等，故vbcos θ＝vasin θ，可得vb＝vatan θ，当b球的速度为零时，轻杆L处于水平位置且与杆L2平行，则此时a球在竖直方向上只受到重力，因此a球的加速度大小为g，由机械能守恒定律有mg·L＝mv，解得va＝，此时a球具有向下的加速度g，故此时a球的速度不是最大，B、D错误；当轻杆L和L1第一次平行时，a球运动到最低点，b球运动到L1和L2交点位置，b球的速度达到最大，此时a球的速度为0，由机械能守恒定律有mg＝mv，解得vb＝，C正确。
模型　轻弹簧连接的物体系统机械能守恒
模型 特点 由轻弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功又有弹簧弹力做功，这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒。
两点 提醒 ①对同一弹簧，弹性势能的大小完全由弹簧的形变量决定，无论弹簧伸长还是压缩。 ②弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大。
例5 (2023·全国甲卷，24)如图7，光滑水平桌面上有一轻质弹簧，其一端固定在墙上。用质量为m的小球压弹簧的另一端，使弹簧的弹性势能为Ep。释放后，小球在弹簧作用下从静止开始在桌面上运动，与弹簧分离后，从桌面水平飞出。小球与水平地面碰撞后瞬间，其平行于地面的速度分量与碰撞前瞬间相等；垂直于地面的速度分量大小变为碰撞前瞬间的。小球与地面碰撞后，弹起的最大高度为h，重力加速度大小为g，忽略空气阻力。求：
图7
(1)小球离开桌面时的速度大小；
(2)小球第一次落地点距桌面上其飞出点的水平距离。
答案　(1)　(2)
解析　(1)从释放弹簧到小球离开桌面的过程中，小球与弹簧组成的系统机械能守恒，设小球离开桌面时的速度大小为v0，由机械能守恒定律有Ep＝mv
解得v0＝。
(2)小球与地面碰撞弹起后在竖直方向做竖直上抛运动，设弹起时小球的竖直速度为vy1，由运动学公式有v＝2gh
设小球落地前的瞬间竖直方向速度大小为vy，有vy1＝vy
小球从桌面水平飞出后，做平抛运动的过程中，有vy＝gt
其水平位移x＝v0t
联立解得x＝。
4.(2024·江苏扬州模拟)如图8所示，在一直立的光滑管内放置一轻质弹簧，上端O点与管口A的距离为2x0，一质量为m的小球从管口由静止下落，将弹簧压缩至最低点B，压缩量为x0，不计空气阻力，则(　　)
图8
A.弹簧的最大弹性势能为3mgx0
B.小球运动的最大速度等于2
C.弹簧的劲度系数为
D.小球运动中最大加速度为g
答案　A
解析　小球下落到最低点时重力势能全部转化为弹簧的弹性势能，此时弹性势能最大，有Epmax＝3mgx0，故A正确；根据选项A和弹簧弹性势能的表达式有3mgx0＝kx，解得k＝，故C错误；当小球的重力等于弹簧弹力时，小球有最大速度，则有mg＝kx，再根据弹簧和小球组成的系统机械能守恒有mg(x＋2x0)＝mv＋kx2，解得最大速度为vmax＝，故B错误；小球运动到最低点时有kx0－mg＝ma，解得a＝5g，故D错误。
A级　基础对点练
对点练1　机械能守恒定律的理解与判断
1.下列物体运动过程中，机械能守恒(或不变)的是(　　)
A.树叶在空中飘落
B.小球在水平桌面做匀速圆周运动
C.汽车制动后在公路上行驶
D.潜水员在水中匀速下沉
答案　B
解析　树叶在空中飘落，不能忽略空气阻力，阻力做负功，机械能不守恒，故A错误；小球在水平桌面做匀速圆周运动，合力指向圆心不做功，机械能不变，故B正确；汽车制动后在公路上行驶，阻力做负功，机械能不守恒，故C错误；潜水员在水中匀速下沉，浮力做负功，机械能不守恒，故D错误。
2.(2024·河南许昌高三期末)如图1所示，一轻质弹簧，下端与固定光滑斜面的底端相连，上端与斜面上的物体A相连，A处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过光滑轻质定滑轮，一端连接物体A，另一端连一轻钩。开始时各段绳子都处于伸直状态，A上方的一段绳子与斜面平行。现在挂钩上挂一物体B并从静止状态释放，则在物体B向下运动的过程中(物体A不会和滑轮相碰，物体B不会和地面相碰)，下列说法正确的是(　　)
图1
A.物体B机械能守恒
B.物体A和B组成的系统机械能守恒
C.物体A和轻弹簧组成的系统机械能守恒
D.物体A、物体B和轻弹簧三者组成的系统机械能守恒
答案　D
解析　物体B在下落的过程中，绳子的拉力对其做负功，机械能不守恒，故A错误；物体A和B组成的系统在运动过程中，弹簧弹力对系统做功，该系统机械能不守恒，故B错误；物体A和轻弹簧组成的系统在运动过程中，绳子拉力对系统做正功，该系统机械能不守恒，故C错误；物体A、物体B和轻弹簧三者组成的系统，在运动过程中，系统内只发生势能与动能之间的相互转化，该系统机械能守恒，故D正确。
对点练2　单物体的机械能守恒问题
3.(多选)(人教版必修第二册教材改编题)如图2所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上，若以地面为参考平面且不计空气阻力，重力加速度为g，则下列说法中正确的是(　　)
图2
A.物体落到海平面时的重力势能为mgh
B.物体从抛出到落到海平面的过程重力对物体做功为mgh
C.物体在海平面上的速度为
D.物体在海平面上的机械能为mv
答案　BCD
解析　物体运动过程中，机械能守恒，所以在任意一点的机械能均相等，都等于抛出时的机械能，物体在地面上的重力势能为零，动能为mv，故整个过程中的机械能均为mv，所以物体在海平面上的机械能为mv，物体下落h，在海平面上的重力势能为－mgh，根据机械能守恒定律可得－mgh＋mv2＝mv，所以物体在海平面上的速度为v＝，从抛出到落到海平面，重力做功为mgh，故A错误，B、C、D正确。
4.(2023·6月浙江选考，3)铅球被水平推出后的运动过程中，不计空气阻力，下列关于铅球在空中运动时的加速度大小a、速度大小v、动能Ek和机械能E随运动时间t的变化关系中，正确的是(　　)
答案　D
解析　铅球在空中做平抛运动，加速度为重力加速度，恒定不变，A错误；铅球的速度大小为v＝，又vy＝gt，联立可得v＝，所以v－t图像为曲线，B错误；由于不计空气阻力，则铅球在空中运动过程中只有重力做功，机械能守恒，E不变，D正确；由动能定理有mgh＝Ek－Ek0，又h＝gt2，联立可得Ek＝Ek0＋mg2t2，所以Ek－t图线为二次函数图线，C错误。
5.(多选)(2024·山东日照高三期中)如图3所示，半径为r的竖直圆环A固定在木板B上，木板B放在水平地面上，B的左右两侧各有一挡板固定在地面上，使木板B不能左右移动。小球C在环内侧做圆周运动，小球运动至环的最高点时的速度大小为。已知A、B、C的质量均为m，不计一切摩擦，重力加速度为g。下列判断正确的是(　　)
图3
A.小球运动至环的最高点时对环的压力大小为3mg
B.小球运动至环的最高点时地面对木板的支持力为零
C.小球运动至环的最低点时的速度大小为
D.小球运动至环的最低点时处于超重状态
答案　BD
解析　小球运动至环的最高点时，由牛顿第二定律可得FN＋mg＝m，解得FN＝2mg，由牛顿第三定律可知，小球运动至环的最高点时对环的压力大小为2mg，A错误；小球运动至环的最高点时，对木板受力分析可知，木板受本身重力mg和环竖直向上的拉力大小为mg，因此地面对木板的支持力为零，B正确；设小球从最高点运动至环的最低点时速度大小为v2，由机械能守恒定律有mg·2r＋mv＝mv，解得v2＝，C错误；小球运动至环的最低点时向心加速度指向圆心，方向向上，小球处于超重状态，D正确。
对点练3　多物体的机械能守恒问题
6.(多选)(2024·天津宁河区模拟)如图4所示，竖直固定的光滑细杆上穿着一个小球B，小球通过一根不可伸长的轻绳绕过轻质光滑定滑轮与质量为m的物块A相连，用手将物块A竖直向上托起至定滑轮左侧细绳与竖直方向的夹角为θ，现突然松手，物块A开始在竖直方向上做往复运动，小球最高能到达M点。已知定滑轮到细杆的距离为d，Q点和定滑轮的高度相同，OM⊥OP，sin θ＝0.6，重力加速度大小为g，定滑轮可看作质点，下列说法正确的是(　　)
图4
A.当小球经过Q点时，A物块的加速度为零
B.小球的质量为
C.小球经过Q点时的加速度大小为g
D.A和B组成的系统机械能不守恒
答案　BC
解析　小球从P到Q，物块A从静止运动到最低点，此时速度为零，所以物块A先加速后减速，物块A受到的拉力先小于重力后大于重力，当小球经过Q点时，A物块处于最低点，此时A物块的加速度不为零，故A错误；小球经过Q点时水平方向受力平衡，在竖直方向仅受到重力作用，则加速度大小为g，故C正确；A和B组成的系统只有重力做功，所以系统机械能守恒，则有mBg·＝mg，解得mB＝，故B正确，D错误。
7.(2024·山东青岛模拟)如图5所示，一轻杆连接两相同的光滑小球，由倾角为75°的斜面滑下，滑到图示位置时小球a到地面高度为L，此时杆与水平地面夹角为45°，b球速度大小为，则小球a滑到水平面上时球的速度大小为(　　)
图5
A. B.
C.2 D.
答案　B
解析　滑到图示位置时，两球沿杆方向速度大小相同，则vacos 30°＝vbcos 45°，由图示位置到a滑到水平面上过程，根据机械能守恒定律有mv＋mv＋mgL＝
(m＋m)v2，联立解得v＝，故B正确。
B级　综合提升练
8.(多选)(2024·重庆模拟)如图6所示，轻弹簧一端固定于O点，另一端与质量为m的滑块连接，在外力作用下使滑块静止在固定光滑斜面上的A点，此时弹簧恰好水平。将滑块从A点由静止释放，沿斜面经B点运动到位于O点正下方的C点时，滑块的速度大小为v，且弹簧恰处于原长。已知弹簧原长为L，斜面倾角θ＝37°，OB⊥AC，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g，不计空气阻力。sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。从A点运动到C点的过程中(　　)
图6
A.滑块的加速度先减小后增大
B.滑块在B点的速度最大
C.滑块在A点时弹簧的弹性势能为mv2－mgL
D.滑块在A点时弹簧的弹性势能大于在B点时弹簧的弹性势能
答案　CD
解析　根据牛顿第二定律，可知滑块的加速度先减小后增大再减小，故A错误；滑块在C点的势能最小，由机械能守恒定律可知，滑块在C点的动能最大，则滑块在C点的速度最大，故B错误；由机械能守恒定律有mv2＝mgL＋Ep，解得Ep＝mv2－mgL，故C正确；滑块在A点时弹簧的形变量ΔxA＝L＝L，滑块在B点时弹簧的形变量ΔxB＝L(1－cos θ)＝L，则ΔxA>ΔxB，所以滑块在A点时弹簧的弹性势能大于在B点时的弹性势能，故D正确。
9.(2024·山东泰安模拟)某教师受儿童娱乐场过山车与彩色滑道项目的启发，设计了如图7所示的实验装置，竖直放置的光滑曲线轨道AM、水平轨道MN与光滑圆轨道O在M点平滑连接，在B点安装有压力传感器并与计算机连接(B为圆轨道的最高点)，已知圆O的半径为R。一质量为m的小物块从距水平轨道高h处的A点无初速度滑下，经过圆轨道O后到达水平轨道MN，压力传感器显示小物块经过B点时对轨道的压力大小为mg。下列说法正确的是(　　)
图7
A.h＝3R
B.小物块滑过M点时加速度大小a＝5.5g
C.减小h，小物块经过M点和B点时对轨道的压力差一定减小
D.减小h，使小物块恰能做完整圆周运动，则经过M点时对轨道的压力为5mg
答案　B
解析　小物块从A点运动到B点的过程，由机械能守恒定律得mgh＝mg·2R＋mv，在B点由牛顿第二定律得mg＋FNB＝m，由牛顿第三定律知FNB＝FNB′＝mg，解得h＝2.75R，故A错误；小物块从A点运动到M点的过程，由机械能守恒定律得mgh＝mv，M点由牛顿第二定律得FNM－mg＝m＝ma，解得FNM＝6.5 mg，aM＝＝5.5g，故B正确；减小h，小物块在B点由牛顿第二定律有FNB1＋mg＝m，在M点由牛顿第二定律有FNM1－mg＝m，从B点运动到M点由机械能守恒定律有2mgR＋mv＝mv，又FB1′＝FNB1，FM1′＝FNM1，联立解得FM1′－FB1′＝6mg，压力差恒定不变，若小物块恰能做完整圆周运动，在最高点对轨道的压力为0，那么在最低点对轨道的压力为6mg，故C、D错误。
10.如图8所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C球放在水平地面上。现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行。已知A的质量为4m，B、C的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计。开始时整个系统处于静止状态；释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面。求：
图8
(1)斜面的倾角α；
(2)A球获得的最大速度vm的大小。
答案　(1)30°　(2)2g
解析　(1)由题意可知，当A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面，A的加速度此时为零
由牛顿第二定律得4mgsin α－2mg＝0
则sin α＝，α＝30°。
(2)初始时系统静止且细线无拉力，弹簧处于压缩状态，设弹簧压缩量为Δx，对B，由平衡条件有kΔx＝mg
C球恰好离开地面时，弹簧伸长量也为Δx，故弹簧弹性势能变化量为零
A、B、C三小球和弹簧组成的系统机械能守恒
有4mg·2Δx·sin α－mg·2Δx＝(5m)v
联立解得vm＝2g。
11.如图9所示，鼓形轮的半径为R，可绕固定的光滑水平轴O转动。在轮上沿相互垂直的直径方向固定四根直杆，杆上分别固定有质量为m的小球，球与O的距离均为2R。在轮上绕有长绳，绳上悬挂着质量为M的重物。重物由静止下落，带动鼓形轮转动。重物落地后鼓形轮匀速转动，转动的角速度为ω。绳与轮之间无相对滑动，忽略鼓形轮、直杆和长绳的质量，不计空气阻力，重力加速度为g。求：
图9
(1)重物落地后，小球线速度的大小v；
(2)重物落地后一小球转到水平位置A，此时该球受到杆的作用力的大小F：
(3)重物下落的高度h。
答案　(1)2ωR　(2)　(3)(ωR)2
解析　(1)线速度v＝ωr，得v＝2ωR。
(2)向心力F向＝2mω2R
设F与水平方向的夹角为α，则Fcos α＝F向，Fsin α＝mg
则F＝。
(3)落地时，重物的速度v′＝ωR，由机械能守恒定律得Mv′2＋4×mv2＝Mgh
解得h＝(ωR)2。第3讲　机械能守恒定律及其应用
学习目标　1.理解重力势能和弹性势能，知道机械能守恒的条件。 2.会判断研究对象在某一过程机械能是否守恒。 3.会用机械能守恒定律解决单个物体或系统的机械能守恒问题。
2.
4.
1.思考判断
（1）重力势能的变化量与零势能参考面的选取无关。（　　）
（2）被举到高处的物体重力势能一定不为零。（　　）
（3）发生弹性形变的物体都具有弹性势能。（　　）
（4）弹力做正功，弹性势能一定增加。（　　）
（5）物体所受的合外力为零，物体的机械能一定守恒。（　　）
（6）物体的速度增大时，其机械能可能减小。（　　）
（7）物体除受重力外，还受其他力，但其他力不做功，则物体的机械能一定守恒。（　　）
2.如图所示是“弹簧跳跳杆”，杆的上下两部分通过弹簧连接。当人和跳杆从一定高度由静止竖直下落时，弹簧先压缩后弹起。则人从静止竖直下落到最低点的过程中（　　）
A.弹簧弹性势能一直增加
B.杆下端刚触地时人的动能最大
C.人的重力势能一直减小
D.人的机械能保持不变
考点一　机械能守恒的理解与判断
例1 （多选）在如图1所示的物理过程示意图中，甲图中一端固定有小球的轻杆从右偏上30°角释放后绕光滑支点摆动；乙图中轻绳一端连着一小球，从右偏上30°角处自由释放；丙图中物体A正在压缩弹簧；丁图中不计任何阻力和定滑轮质量，A加速下落，B加速上升。关于这几个物理过程（空气阻力忽略不计），下列判断中正确的是（　　）
图1
A.甲图中小球机械能守恒
B.乙图中小球机械能守恒
C.丙图中物体A的机械能守恒
D.丁图中A、B组成的系统机械能守恒
听课笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
方法点拨　判断机械能守恒的三种方法
1.（2023·全国甲卷，14）一同学将铅球水平推出，不计空气阻力和转动的影响，铅球在平抛运动过程中（　　）
A.机械能一直增加
B.加速度保持不变
C.速度大小保持不变
D.被推出后瞬间动能最大
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2.（多选）如图2所示，将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上，槽的左侧有一固定的竖直墙壁（不与槽粘连）。现让一小球自左端槽口A点的正上方由静止开始下落，从A点与半圆形槽相切进入槽内，则下列说法正确的是（　　）
图2
A.小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功
B.小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，小球的机械能守恒
C.小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽组成的系统机械能守恒
D.小球从下落到从右侧离开半圆形槽的过程中，小球的机械能守恒
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考点二　单物体的机械能守恒问题
1.表达式
2.一般步骤
例2 （2022·全国乙卷，16）如图3，固定于竖直平面内的光滑大圆环上套有一个小环，小环从大圆环顶端P点由静止开始自由下滑，在下滑过程中，小环的速率正比于（　　）
图3
A.它滑过的弧长
B.它下降的高度
C.它到P点的距离
D.它与P点的连线扫过的面积
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3.（2024·江西名校联考）一滑雪坡由AB和BC组成，AB为斜坡，BC是圆弧，C端水平。如图4所示，运动员连同滑雪装备的总质量m＝75 kg，从A点由静止滑下，通过C点时速度大小v＝12 m/s，之后落到水平地面DE上。A、C两点的高度差h1＝9.8 m，竖直台阶CD的高度h2＝5 m。取地面为参考平面，重力加速度大小g＝10 m/s2，不计空气阻力，则运动员（含装备）落地前瞬间的机械能为（　　）
图4
A.11 100 J B.9 150 J
C.7 350 J D.5 400 J
考点三　多物体的机械能守恒问题
1.解决多物体系统机械能守恒的注意点
（1）要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒。
（2）注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。
（3）列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。
2.常见的三种模型
模型　轻绳连接的物体系统机械能守恒
常见 情景
三点 提醒 ①分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。 ②用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。 ③对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒。
例3 如图5所示，固定的水平长杆上套有质量为m的小物块A，跨过轻质定滑轮（可视为质点O）的细线一端连接A，另一端悬挂质量为m的小物块B（B靠近定滑轮），滑轮到杆的距离OC＝h，开始时A位于P点，PO与水平方向的夹角为30°，重力加速度为g，不计一切摩擦。现将A、B由静止释放，则当AO间的细线与水平方向的夹角为60°时，小物块B的速度大小为（　　）
图5
A. B.
C. D.
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模型　轻杆连接的物体系统机械能守恒
常见 情景
模型 特点 ①平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等。 ②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。 ③对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒。
例4 如图6所示，竖直平面内固定两根足够长的细杆L1、L2，两杆不接触，且两杆间的距离忽略不计。两个小球a、b（视为质点）质量均为m，a球套在竖直杆L1上，b球套在水平杆L2上，a、b通过铰链用长度为l的刚性轻杆L连接。将a球从图示位置（轻杆与L2杆夹角为45°）由静止释放，不计一切摩擦，已知重力加速度为g。在此后的运动过程中，下列说法中正确的是（　　）
图6
A.a球和b球所组成的系统机械能不守恒
B.b球的速度为零时，a球的加速度大小为零
C.b球的最大速度为
D.a球的最大速度为
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模型　轻弹簧连接的物体系统机械能守恒
模型 特点 由轻弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功又有弹簧弹力做功，这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒。
两点 提醒 ①对同一弹簧，弹性势能的大小完全由弹簧的形变量决定，无论弹簧伸长还是压缩。 ②弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长（或压缩至最短）时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大。
例5 （2023·全国甲卷，24）如图7，光滑水平桌面上有一轻质弹簧，其一端固定在墙上。用质量为m的小球压弹簧的另一端，使弹簧的弹性势能为Ep。释放后，小球在弹簧作用下从静止开始在桌面上运动，与弹簧分离后，从桌面水平飞出。小球与水平地面碰撞后瞬间，其平行于地面的速度分量与碰撞前瞬间相等；垂直于地面的速度分量大小变为碰撞前瞬间的。小球与地面碰撞后，弹起的最大高度为h，重力加速度大小为g，忽略空气阻力。求：
图7
（1）小球离开桌面时的速度大小；
（2）小球第一次落地点距桌面上其飞出点的水平距离。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4.（2024·江苏扬州模拟）如图8所示，在一直立的光滑管内放置一轻质弹簧，上端O点与管口A的距离为2x0，一质量为m的小球从管口由静止下落，将弹簧压缩至最低点B，压缩量为x0，不计空气阻力，则（　　）
图8
A.弹簧的最大弹性势能为3mgx0
B.小球运动的最大速度等于2
C.弹簧的劲度系数为
D.小球运动中最大加速度为g　　　　　第3练　机械能守恒定律及其应用
A级　基础对点练
对点练1　机械能守恒定律的理解与判断
1.下列物体运动过程中，机械能守恒(或不变)的是(　　)
A.树叶在空中飘落
B.小球在水平桌面做匀速圆周运动
C.汽车制动后在公路上行驶
D.潜水员在水中匀速下沉
2.(2024·河南许昌高三期末)如图1所示，一轻质弹簧，下端与固定光滑斜面的底端相连，上端与斜面上的物体A相连，A处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过光滑轻质定滑轮，一端连接物体A，另一端连一轻钩。开始时各段绳子都处于伸直状态，A上方的一段绳子与斜面平行。现在挂钩上挂一物体B并从静止状态释放，则在物体B向下运动的过程中(物体A不会和滑轮相碰，物体B不会和地面相碰)，下列说法正确的是(　　)
图1
A.物体B机械能守恒
B.物体A和B组成的系统机械能守恒
C.物体A和轻弹簧组成的系统机械能守恒
D.物体A、物体B和轻弹簧三者组成的系统机械能守恒
对点练2　单物体的机械能守恒问题
3.(多选)(人教版必修第二册教材改编题)如图2所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上，若以地面为参考平面且不计空气阻力，重力加速度为g，则下列说法中正确的是(　　)
图2
A.物体落到海平面时的重力势能为mgh
B.物体从抛出到落到海平面的过程重力对物体做功为mgh
C.物体在海平面上的速度为
D.物体在海平面上的机械能为mv
4.(2023·6月浙江选考，3)铅球被水平推出后的运动过程中，不计空气阻力，下列关于铅球在空中运动时的加速度大小a、速度大小v、动能Ek和机械能E随运动时间t的变化关系中，正确的是(　　)
5.(多选)(2024·山东日照高三期中)如图3所示，半径为r的竖直圆环A固定在木板B上，木板B放在水平地面上，B的左右两侧各有一挡板固定在地面上，使木板B不能左右移动。小球C在环内侧做圆周运动，小球运动至环的最高点时的速度大小为。已知A、B、C的质量均为m，不计一切摩擦，重力加速度为g。下列判断正确的是(　　)
图3
A.小球运动至环的最高点时对环的压力大小为3mg
B.小球运动至环的最高点时地面对木板的支持力为零
C.小球运动至环的最低点时的速度大小为
D.小球运动至环的最低点时处于超重状态
对点练3　多物体的机械能守恒问题
6.(多选)(2024·天津宁河区模拟)如图4所示，竖直固定的光滑细杆上穿着一个小球B，小球通过一根不可伸长的轻绳绕过轻质光滑定滑轮与质量为m的物块A相连，用手将物块A竖直向上托起至定滑轮左侧细绳与竖直方向的夹角为θ，现突然松手，物块A开始在竖直方向上做往复运动，小球最高能到达M点。已知定滑轮到细杆的距离为d，Q点和定滑轮的高度相同，OM⊥OP，sin θ＝0.6，重力加速度大小为g，定滑轮可看作质点，下列说法正确的是(　　)
图4
A.当小球经过Q点时，A物块的加速度为零
B.小球的质量为
C.小球经过Q点时的加速度大小为g
D.A和B组成的系统机械能不守恒
7.(2024·山东青岛模拟)如图5所示，一轻杆连接两相同的光滑小球，由倾角为75°的斜面滑下，滑到图示位置时小球a到地面高度为L，此时杆与水平地面夹角为45°，b球速度大小为，则小球a滑到水平面上时球的速度大小为(　　)
图5
A. B.
C.2 D.
B级　综合提升练
8.(多选)(2024·重庆模拟)如图6所示，轻弹簧一端固定于O点，另一端与质量为m的滑块连接，在外力作用下使滑块静止在固定光滑斜面上的A点，此时弹簧恰好水平。将滑块从A点由静止释放，沿斜面经B点运动到位于O点正下方的C点时，滑块的速度大小为v，且弹簧恰处于原长。已知弹簧原长为L，斜面倾角θ＝37°，OB⊥AC，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g，不计空气阻力。sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。从A点运动到C点的过程中(　　)
图6
A.滑块的加速度先减小后增大
B.滑块在B点的速度最大
C.滑块在A点时弹簧的弹性势能为mv2－mgL
D.滑块在A点时弹簧的弹性势能大于在B点时弹簧的弹性势能
9.(2024·山东泰安模拟)某教师受儿童娱乐场过山车与彩色滑道项目的启发，设计了如图7所示的实验装置，竖直放置的光滑曲线轨道AM、水平轨道MN与光滑圆轨道O在M点平滑连接，在B点安装有压力传感器并与计算机连接(B为圆轨道的最高点)，已知圆O的半径为R。一质量为m的小物块从距水平轨道高h处的A点无初速度滑下，经过圆轨道O后到达水平轨道MN，压力传感器显示小物块经过B点时对轨道的压力大小为mg。下列说法正确的是(　　)
图7
A.h＝3R
B.小物块滑过M点时加速度大小a＝5.5g
C.减小h，小物块经过M点和B点时对轨道的压力差一定减小
D.减小h，使小物块恰能做完整圆周运动，则经过M点时对轨道的压力为5mg
10.如图8所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C球放在水平地面上。现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行。已知A的质量为4m，B、C的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计。开始时整个系统处于静止状态；释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面。求：
图8
(1)斜面的倾角α；
(2)A球获得的最大速度vm的大小。
11.如图9所示，鼓形轮的半径为R，可绕固定的光滑水平轴O转动。在轮上沿相互垂直的直径方向固定四根直杆，杆上分别固定有质量为m的小球，球与O的距离均为2R。在轮上绕有长绳，绳上悬挂着质量为M的重物。重物由静止下落，带动鼓形轮转动。重物落地后鼓形轮匀速转动，转动的角速度为ω。绳与轮之间无相对滑动，忽略鼓形轮、直杆和长绳的质量，不计空气阻力，重力加速度为g。求：
图9
(1)重物落地后，小球线速度的大小v；
(2)重物落地后一小球转到水平位置A，此时该球受到杆的作用力的大小F：
(3)重物下落的高度h。
第3练　机械能守恒定律及其应用
1.B　[树叶在空中飘落，不能忽略空气阻力，阻力做负功，机械能不守恒，故A错误；小球在水平桌面做匀速圆周运动，合力指向圆心不做功，机械能不变，故B正确；汽车制动后在公路上行驶，阻力做负功，机械能不守恒，故C错误；潜水员在水中匀速下沉，浮力做负功，机械能不守恒，故D错误。]
2.D　[物体B在下落的过程中，绳子的拉力对其做负功，机械能不守恒，故A错误；物体A和B组成的系统在运动过程中，弹簧弹力对系统做功，该系统机械能不守恒，故B错误；物体A和轻弹簧组成的系统在运动过程中，绳子拉力对系统做正功，该系统机械能不守恒，故C错误；物体A、物体B和轻弹簧三者组成的系统，在运动过程中，系统内只发生势能与动能之间的相互转化，该系统机械能守恒，故D正确。]
3.BCD　[物体运动过程中，机械能守恒，所以在任意一点的机械能均相等，都等于抛出时的机械能，物体在地面上的重力势能为零，动能为mv，故整个过程中的机械能均为mv，所以物体在海平面上的机械能为mv，物体下落h，在海平面上的重力势能为－mgh，根据机械能守恒定律可得－mgh＋mv2＝mv，所以物体在海平面上的速度为v＝，从抛出到落到海平面，重力做功为mgh，故A错误，B、C、D正确。]
4.D　[铅球在空中做平抛运动，加速度为重力加速度，恒定不变，A错误；铅球的速度大小为v＝，又vy＝gt，联立可得v＝，所以v－t图像为曲线，B错误；由于不计空气阻力，则铅球在空中运动过程中只有重力做功，机械能守恒，E不变，D正确；由动能定理有mgh＝Ek－Ek0，又h＝gt2，联立可得Ek＝Ek0＋mg2t2，所以Ek－t图线为二次函数图线，C错误。]
5.BD　[小球运动至环的最高点时，由牛顿第二定律可得FN＋mg＝m，解得FN＝2mg，由牛顿第三定律可知，小球运动至环的最高点时对环的压力大小为2mg，A错误；小球运动至环的最高点时，对木板受力分析可知，木板受本身重力mg和环竖直向上的拉力大小为mg，因此地面对木板的支持力为零，B正确；设小球从最高点运动至环的最低点时速度大小为v2，由机械能守恒定律有mg·2r＋mv＝mv，解得v2＝，C错误；小球运动至环的最低点时向心加速度指向圆心，方向向上，小球处于超重状态，D正确。]
6.BC　[小球从P到Q，物块A从静止运动到最低点，此时速度为零，所以物块A先加速后减速，物块A受到的拉力先小于重力后大于重力，当小球经过Q点时，A物块处于最低点，此时A物块的加速度不为零，故A错误；小球经过Q点时水平方向受力平衡，在竖直方向仅受到重力作用，则加速度大小为g，故C正确；A和B组成的系统只有重力做功，所以系统机械能守恒，则有mBg·＝mg，解得mB＝，故B正确，D错误。]
7.B　[滑到图示位置时，两球沿杆方向速度大小相同，则vacos 30°＝vbcos 45°，由图示位置到a滑到水平面上过程，根据机械能守恒定律有mv＋mv＋mgL＝(m＋m)v2，联立解得v＝，故B正确。]
8.CD　[根据牛顿第二定律，可知滑块的加速度先减小后增大再减小，故A错误；滑块在C点的势能最小，由机械能守恒定律可知，滑块在C点的动能最大，则滑块在C点的速度最大，故B错误；由机械能守恒定律有mv2＝mgL＋Ep，解得Ep＝mv2－mgL，故C正确；滑块在A点时弹簧的形变量ΔxA＝L＝L，滑块在B点时弹簧的形变量ΔxB＝L(1－cos θ)＝L，则ΔxA>ΔxB，所以滑块在A点时弹簧的弹性势能大于在B点时的弹性势能，故D正确。]
9.B　[小物块从A点运动到B点的过程，由机械能守恒定律得mgh＝mg·2R＋mv，在B点由牛顿第二定律得mg＋FNB＝m，由牛顿第三定律知FNB＝FNB′＝mg，解得h＝2.75R，故A错误；小物块从A点运动到M点的过程，由机械能守恒定律得mgh＝mv，M点由牛顿第二定律得FNM－mg＝m＝ma，解得FNM＝6.5 mg，aM＝＝5.5g，故B正确；减小h，小物块在B点由牛顿第二定律有FNB1＋mg＝m，在M点由牛顿第二定律有FNM1－mg＝m，从B点运动到M点由机械能守恒定律有2mgR＋mv＝mv，又FB1′＝FNB1，FM1′＝FNM1，联立解得FM1′－FB1′＝6mg，压力差恒定不变，若小物块恰能做完整圆周运动，在最高点对轨道的压力为0，那么在最低点对轨道的压力为6mg，故C、D错误。]
10.(1)30°　(2)2g
解析　(1)由题意可知，当A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面，A的加速度此时为零
由牛顿第二定律得4mgsin α－2mg＝0
则sin α＝，α＝30°。
(2)初始时系统静止且细线无拉力，弹簧处于压缩状态，设弹簧压缩量为Δx，对B，由平衡条件有kΔx＝mg
C球恰好离开地面时，弹簧伸长量也为Δx，故弹簧弹性势能变化量为零
A、B、C三小球和弹簧组成的系统机械能守恒
有4mg·2Δx·sin α－mg·2Δx＝(5m)v
联立解得vm＝2g。
11.(1)2ωR　(2)　(3)(ωR)2
解析　(1)线速度v＝ωr，得v＝2ωR。
(2)向心力F向＝2mω2R
设F与水平方向的夹角为α，则Fcos α＝F向，Fsin α＝mg
则F＝。
(3)落地时，重物的速度v′＝ωR，由机械能守恒定律得
Mv′2＋4×mv2＝Mgh
解得h＝(ωR)2。(共60张PPT)
第3讲　机械能守恒定律及其应用
第五章　机械能守恒定律
理解重力势能和弹性势能，知道机械能守恒的条件。
会判断研究对象在某一过程机械能是否守恒。
会用机械能守恒定律解决单个物体或系统的机械能守恒问题。
学习目标
目 录
CONTENTS
夯实必备知识
01
研透核心考点
02
提升素养能力
03
夯实必备知识
1
机械能
mgh
地球
有关
无关
减小
增大
减小
弹性形变
减少
增加
动能
势能
保持不变
不做功
为零
1.思考判断
(1)重力势能的变化量与零势能参考面的选取无关。( )
(2)被举到高处的物体重力势能一定不为零。( )
(3)发生弹性形变的物体都具有弹性势能。( )
(4)弹力做正功，弹性势能一定增加。( )
(5)物体所受的合外力为零，物体的机械能一定守恒。( )
(6)物体的速度增大时，其机械能可能减小。( )
(7)物体除受重力外，还受其他力，但其他力不做功，则物体的机械能一定守恒。( )
√
×
√
×
×
√
√
2.如图所示是“弹簧跳跳杆”，杆的上下两部分通过弹簧连接。当人和跳杆从一定高度由静止竖直下落时，弹簧先压缩后弹起。则人从静止竖直下落到最低点的过程中(　　)
C
A.弹簧弹性势能一直增加
B.杆下端刚触地时人的动能最大
C.人的重力势能一直减小
D.人的机械能保持不变
研透核心考点
2
考点二　单物体的机械能守恒问题
考点一　机械能守恒的理解与判断
考点三　多物体的机械能守恒问题
例1 (多选)在如图1所示的物理过程示意图中，甲图中一端固定有小球的轻杆从右偏上30°角释放后绕光滑支点摆动；乙图中轻绳一端连着一小球，从右偏上30°角处自由释放；丙图中物体A正在压缩弹簧；丁图中不计任何阻力和定滑轮质量，A加速下落，B加速上升。关于这几个物理过程(空气阻力忽略不计)，下列判断中正确的是(　　)
考点一　机械能守恒的理解与判断
图1
A.甲图中小球机械能守恒
B.乙图中小球机械能守恒
C.丙图中物体A的机械能守恒
D.丁图中A、B组成的系统机械能守恒
AD
解析　甲图过程中轻杆对小球不做功，只有重力做功，小球的机械能守恒，故A正确；乙图过程中小球在绳子绷紧的瞬间有动能损失，机械能不守恒，故B错误；丙图中重力和系统内弹力做功，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体A的机械能不守恒，故C错误；丁图中绳子张力对A做负功，对B做正功，代数和为零，A、B组成的系统机械能守恒，故D正确。
方法点拨　判断机械能守恒的三种方法
B
1.(2023·全国甲卷，14)一同学将铅球水平推出，不计空气阻力和转动的影响，铅球在平抛运动过程中(　　)
A.机械能一直增加 B.加速度保持不变
C.速度大小保持不变 D.被推出后瞬间动能最大
解析　铅球水平抛出，只受重力作用，加速度始终为重力加速度g，机械能守恒，A错误，B正确；平抛运动过程中，铅球的水平方向分速度保持不变，竖直方向分速度变大，则铅球运动过程中速度一直增大，动能也一直增大，C、D错误。
2.(多选)如图2所示，将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上，槽的左侧有一固定的竖直墙壁(不与槽粘连)。现让一小球自左端槽口A点的正上方由静止开始下落，从A点与半圆形槽相切进入槽内，则下列说法正确的是(　　)
图2
A.小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功
B.小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，小球的机械能守恒
C.小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽组成的系统机械能守恒
D.小球从下落到从右侧离开半圆形槽的过程中，小球的机械能守恒
BC
解析　小球从半圆形槽的最低点运动到半圆形槽右侧的过程中，小球对半圆形槽的力使半圆形槽向右运动，半圆形槽对小球的支持力对小球做负功，小球的机械能不守恒，A、D错误；小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，半圆形槽静止，则只有重力做功，小球的机械能守恒，B正确；小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽组成的系统只有重力做功，机械能守恒，C正确。
1.表达式
考点二　单物体的机械能守恒问题
2.一般步骤
C
A.它滑过的弧长 B.它下降的高度
C.它到P点的距离 D.它与P点的连线扫过的面积
例2 (2022·全国乙卷，16)如图3，固定于竖直平面内的光滑大圆环上套有一个小环，小环从大圆环顶端P点由静止开始自由下滑，在下滑过程中，小环的速率正比于(　　)
图3
由几何关系可得h＝Lsin θ
B
3.(2024·江西名校联考)一滑雪坡由AB和BC组成，AB为斜坡，BC是圆弧，C端水平。如图4所示，运动员连同滑雪装备的总质量m＝75 kg，从A点由静止滑下，通过C点时速度大小v＝12 m/s，之后落到水平地面DE上。A、C两点的高度差h1＝9.8 m，竖直台阶CD的高度h2＝5 m。取地面为参考平面，重力加速度大小g＝10 m/s2，不计空气阻力，则运动员(含装备)落地前瞬间的机械能为(　　)
图4
A.11 100 J B.9 150 J C.7 350 J D.5 400 J
1.解决多物体系统机械能守恒的注意点
(1)要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒。
(2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。
(3)列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。
考点三　多物体的机械能守恒问题
2.常见的三种模型
模型　　轻绳连接的物体系统机械能守恒
常见 情景
三点 提醒 ①分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。
②用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。
③对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒。
图5
D
模型　　轻杆连接的物体系统机械能守恒
常见 情景
模型 特点 ①平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等。
②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。
③对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒。
C
例4 如图6所示，竖直平面内固定两根足够长的细杆L1、L2，两杆不接触，且两杆间的距离忽略不计。两个小球a、b(视为质点)质量均为m，a球套在竖直杆L1上，b球套在水平杆L2上，a、b通过铰链用长度为l的刚性轻杆L连接。将a球从图示位置(轻杆与L2杆夹角为45°)由静止释放，不计一切摩擦，已知重力加速度为g。在此后的运动过程中，下列说法中正确的是(　　)
图6
A.a球和b球所组成的系统机械能不守恒
B.b球的速度为零时，a球的加速度大小为零
解析　对于a球和b球组成的系统，除重力外没有其他力做功，因此a球和b球所组成的系统机械能守恒，A错误；设轻杆L和水平杆L2的夹角为θ，由于两球沿杆方向的分速度大小相等，故vbcos θ＝vasin θ，可得vb＝vatan θ，当b球的速度为零时，轻杆L处于水平位置且与杆L2平行，则此时a球在坚直方向上只受到重力，因此a球的加速度
模型　　轻弹簧连接的物体系统机械能守恒
模型 特点 由轻弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功又有弹簧弹力做功，这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒。
两点 提醒 ①对同一弹簧，弹性势能的大小完全由弹簧的形变量决定，无论弹簧伸长还是压缩。
②弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大。
例5 (2023·全国甲卷，24)如图7，光滑水平桌面上有一轻质弹簧，其一端固定在墙上。用质量为m的小球压弹簧的另一端，使弹簧的弹性势能为Ep。释放后，小球在弹簧作用下从静止开始在桌面上运动，与弹簧分离后，从桌面水平飞出。小球与水平地面碰撞后瞬间，其平行于地面的速度分量与碰撞前瞬间相等；垂
图7
(2)小球第一次落地点距桌面上其飞出点的水平距离。
小球从桌面水平飞出后，做平抛运动的过程中，有vy＝gt
其水平位移x＝v0t
A
4.(2024·江苏扬州模拟)如图8所示，在一直立的光滑管内放置一轻质弹簧，上端O点与管口A的距离为2x0，一质量为m的小球从管口由静止下落，将弹簧压缩至最低点B，压缩量为x0，不计空气阻力，则(　　)
图8
提升素养能力
3
B
对点练1　机械能守恒定律的理解与判断
1.下列物体运动过程中，机械能守恒(或不变)的是(　　)
A.树叶在空中飘落 B.小球在水平桌面做匀速圆周运动
C.汽车制动后在公路上行驶 D.潜水员在水中匀速下沉
A级　基础对点练
解析　树叶在空中飘落，不能忽略空气阻力，阻力做负功，机械能不守恒，故A错误；小球在水平桌面做匀速圆周运动，合力指向圆心不做功，机械能不变，故B正确；汽车制动后在公路上行驶，阻力做负功，机械能不守恒，故C错误；潜水员在水中匀速下沉，浮力做负功，机械能不守恒，故D错误。
D
2.(2024·河南许昌高三期末)如图1所示，一轻质弹簧，下端与固定光滑斜面的底端相连，上端与斜面上的物体A相连，A处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过光滑轻质定滑轮，一端连接物体A，另一端连一轻钩。开始时各段绳子都处于伸直状态，A上方的一段绳子与斜面平行。现在挂钩上挂一物体B并从静止状态释放，则在物体B向下运动的过程中(物体A不会和滑轮相碰，物体B不会和地面相碰)，下列说法正确的是(　　)
图1
A.物体B机械能守恒
B.物体A和B组成的系统机械能守恒
C.物体A和轻弹簧组成的系统机械能守恒
D.物体A、物体B和轻弹簧三者组成的系统机械能守恒
解析　物体B在下落的过程中，绳子的拉力对其做负功，机械能不守恒，故A错误；物体A和B组成的系统在运动过程中，弹簧弹力对系统做功，该系统机械能不守恒，故B错误；物体A和轻弹簧组成的系统在运动过程中，绳子拉力对系统做正功，该系统机械能不守恒，故C错误；物体A、物体B和轻弹簧三者组成的系统，在运动过程中，系统内只发生势能与动能之间的相互转化，该系统机械能守恒，故D正确。
BCD
对点练2　单物体的机械能守恒问题
3.(多选)(人教版必修第二册教材改编题)如图2所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上，若以地面为参考平面且不计空气阻力，重力加速度为g，则下列说法中正确的是(　 　)
图2
A.物体落到海平面时的重力势能为mgh
B.物体从抛出到落到海平面的过程重力对物体做功为mgh
D
4.(2023·6月浙江选考，3)铅球被水平推出后的运动过程中，不计空气阻力，下列关于铅球在空中运动时的加速度大小a、速度大小v、动能Ek和机械能E随运动时间t的变化关系中，正确的是(　　)
BD
5.(多选)(2024·山东日照高三期中)如图3所示，半径为r的竖直圆环A固定在木板B上，木板B放在水平地面上，B的左右两侧各有一挡板固定在地面上，使木板B不能左右移动。小球C在环内侧做圆周运动，小球运动至环的最高点时的速度
图3
A.小球运动至环的最高点时对环的压力大小为3mg
B.小球运动至环的最高点时地面对木板的支持力为零
D.小球运动至环的最低点时处于超重状态
BC
对点练3　多物体的机械能守恒问题
6.(多选)(2024·天津宁河区模拟)如图4所示，竖直固定的光滑细杆上穿着一个小球B，小球通过一根不可伸长的轻绳绕过轻质光滑定滑轮与质量为m的物块A相连，用手将物块A竖直向上托起至定滑轮左侧细绳与竖直方向的夹角为θ，现突然松手，物块A开始在竖直方向上做往复运动，小球最高能到达M点。已知定滑轮到细杆的距离为d，Q点和定滑轮的高度相同，OM⊥OP，sin θ＝0.6，重力加速度大小为g，定滑轮可看作质点，下列说法正确的是(　　)
图4
A.当小球经过Q点时，A物块的加速度为零
C.小球经过Q点时的加速度大小为g
D.A和B组成的系统机械能不守恒
B
图5
CD
8.(多选)(2024·重庆模拟)如图6所示，轻弹簧一端固定于O点，另一端与质量为m的滑块连接，在外力作用下使滑块静止在固定光滑斜面上的A点，此时弹簧恰好水平。将滑块从A点由静止释放，沿斜面经B点运动到位于O点正下方的C点时，滑块的速度大小为v，且弹簧恰处于原长。已知弹簧原长为L，斜面倾角θ＝37°，OB⊥AC，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g，不计空气阻力。sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。从A点运动到C点的过程中(　　)
图6
B级　综合提升练
A.滑块的加速度先减小后增大
B.滑块在B点的速度最大
D.滑块在A点时弹簧的弹性势能大于在B点时弹簧的弹性势能
解析　根据牛顿第二定律，可知滑块的加速度先减小后增大再减小，故A错误；滑块在C点的势能最小，由机械能守恒定律可知，滑块在C点的动能最大，则滑块在C点的速度最大，故B错误；
B
9.(2024·山东泰安模拟)某教师受儿童娱乐场过山车与彩色滑道项目的启发，设计了如图7所示的实验装置，竖直放置的光滑曲线轨道AM、水平轨道MN与光滑圆轨道O在M点平滑连接，在B点安装有压力传感器并与计算机连接(B为圆轨道的最高点)，已知圆O的半径为R。一质量为m的小物块从距水平轨道高h处的A点无初速度滑下，经过圆轨道O后到达水平轨道MN，压力传感器
图7
A.h＝3R
B.小物块滑过M点时加速度大小a＝5.5g
C.减小h，小物块经过M点和B点时对轨道的压力差一定减小
D.减小h，使小物块恰能做完整圆周运动，则经过M点时对轨道的压力为5mg
联立解得FM1′－FB1′＝6mg，压力差恒定不变，若小物块恰能做完整圆周运动，在最高点对轨道的压力为0，那么在最低点对轨道的压力为6mg，故C、D错误。
10.如图8所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C球放在水平地面上。现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行。已知A的质量为4m，B、C的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计。开始时整个系统处于静止状态；释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面。求：
图8
(1)斜面的倾角α；
(2)A球获得的最大速度vm的大小。
解析　(1)由题意可知，当A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好
离开地面，A的加速度此时为零
由牛顿第二定律得4mgsin α－2mg＝0
(2)初始时系统静止且细线无拉力，弹簧处于压缩状态，设弹簧压缩量为Δx，对B，由平衡条件有kΔx＝mg
C球恰好离开地面时，弹簧伸长量也为Δx，故弹簧弹性势能变化量为零
A、B、C三小球和弹簧组成的系统机械能守恒
11.如图9所示，鼓形轮的半径为R，可绕固定的光滑水平轴O转动。在轮上沿相互垂直的直径方向固定四根直杆，杆上分别固定有质量为m的小球，球与O的距离均为2R。在轮上绕有长绳，绳上悬挂着质量为M的重物。重物由静止下落，带动鼓形轮转动。重物落地后鼓形轮匀速转动，转动的角速度为ω。绳与轮之间无相对滑动，忽略鼓形轮、直杆和长绳的质量，不计空气阻力，重力加速度为g。求：
图9
(1)重物落地后，小球线速度的大小v；
(2)重物落地后一小球转到水平位置A，此时该球受到杆的作用力的大小F：
(3)重物下落的高度h。
解析　(1)线速度v＝ωr，得v＝2ωR。
(2)向心力F向＝2mω2R
设F与水平方向的夹角为α，则Fcos α＝F向，Fsin α＝mg
本节内容结束
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